разрешение Годемент

Концепция теории пучков

Разрешение Годемана пучка — это конструкция в гомологической алгебре , которая позволяет рассматривать глобальную, когомологическую информацию о пучке в терминах локальной информации, поступающей из его стеблей. Она полезна для вычисления когомологий пучка . Она была открыта Роджером Годеманом .

Строительство Годемент

Для топологического пространства X (в более общем смысле, топоса X с достаточным количеством точек) и пучка F на X конструкция Годемана для F дает пучок, построенный следующим образом. Для каждой точки пусть обозначается стебель F в точке x . Для открытого множества определите ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle F_{x}}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$

${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)(U):=\prod _{x\in U}F_{x}.}$

Открытое подмножество, очевидно, индуцирует отображение ограничения , поэтому является предпучком . Легко проверяется аксиома пучка . Также легко доказывается, что является вялым , то есть каждое отображение ограничения является сюръективным. Отображение можно превратить в функтор, поскольку отображение между двумя пучками индуцирует отображения между их стеблями. Наконец, существует каноническое отображение пучков , которое отправляет каждую секцию в «произведение» ее ростков . Это каноническое отображение является естественным преобразованием между тождественным функтором и . ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)(V)\rightarrow \operatorname {Gode} (F)(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} }$ ${\displaystyle F\to \operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} }$

Другой способ рассмотрения следующий. Пусть будет множеством X с дискретной топологией. Пусть будет непрерывное отображение, индуцированное тождеством. Оно индуцирует сопряженные функторы прямого и обратного образа и . Тогда , а единицей этого присоединения является естественное преобразование, описанное выше. ${\displaystyle \operatorname {Gode} }$ ${\displaystyle X_{\text{disc}}}$ ${\displaystyle p\colon X_{\text{disc}}\to X}$ ${\displaystyle p_{*}}$ ${\displaystyle p^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} =p_{*}\circ p^{-1}}$

Из-за этого присоединения существует ассоциированная монада в категории пучков на X . Используя эту монаду, есть способ превратить пучок F в коаугментированный косимплициальный пучок. Этот коаугментированный косимплициальный пучок порождает расширенный коцепной комплекс, который определяется как разрешение Годемана для F .

В более приземленных терминах, пусть , и пусть обозначают каноническую карту. Для каждого пусть обозначает , и пусть обозначает каноническую карту. Полученное разрешение является дряблым разрешением F , а его когомологии являются когомологиями пучка F . ${\displaystyle G_{0}(F)=\operatorname {Gode} (F)}$ ${\displaystyle d_{0}\colon F\rightarrow G_{0}(F)}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle G_{i}(F)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gode} (\operatorname {coker} (d_{i-1}))}$ ${\displaystyle d_{i}\colon G_{i-1}\rightarrow G_{i}}$

Ссылки

• Годеман, Роджер (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , Париж: Hermann, ISBN 9782705612528, МР  0345092
• Вайбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9781139644136, ISBN 978-0-521-55987-4, г-н  1269324

Внешние ссылки

• Авторы проекта Stacks. «Резолюция 20.30 Годемент».
• Горески, Марк. "Введение в извращенные пучки §.4.1. Разрешение Годемент" (PDF) . Институт перспективных исследований.