Кепстр

В анализе Фурье кепстр ( / ˈ k ɛ p s t r ʌ m , ˈ s ɛ p -, - s t r ə m / ; множественное число cepstra , прилагательное cepstral ) является результатом вычисления обратного преобразования Фурье (IFT). логарифма предполагаемого спектра сигнала . Метод является инструментом исследования периодических структур в частотных спектрах. Силовой кепстр находит применение при анализе человеческой речи .

Термин «кепстр» был получен путем перестановки первых четырех букв спектра . Операции с кепстрой называются квенрентным анализом (или квенрентным аланисисом ^[1] ), лифтингом или кепстральным анализом . Его можно произносить двумя указанными способами, причем второй имеет то преимущество, что позволяет избежать путаницы с кепструмом .

Этапы формирования кепстра по истории времени

Источник

Понятие кепстра было введено в 1963 году Б. П. Богертом, М. Дж. Хили и Дж. У. Тьюки . ^[1] Он служит инструментом для исследования периодических структур в частотных спектрах. ^[2] Такие эффекты связаны с заметными эхами или отражениями в сигнале, либо с появлением гармонических частот ( парциальных , обертонов ). Математически он решает проблему деконволюции сигналов в частотном пространстве. ^[3]

Ссылки на статью Богерта в библиографии часто редактируются неправильно. ^{[ нужна цитация ]} Термины «quefrency», «alanysis», «cepstrum» и «saphe» были изобретены авторами путем перестановки букв по частоте, анализу, спектру и фазе. Изобретенные термины определяются по аналогии со старыми терминами.

Общее определение

Кепстр является результатом следующей последовательности математических операций:

• преобразование сигнала из временной области в частотную область
• вычисление логарифма спектральной амплитуды
• преобразование в частотную область, где последняя независимая переменная, квенренция, имеет временную шкалу. ^{[1] [2] [3]}

Типы

Кепстр используется во многих вариантах. Наиболее важными являются:

• кепстр мощности: логарифм берется из «спектра мощности».
• комплексный кепстр: логарифм берется из спектра, который рассчитывается с помощью анализа Фурье.

В формулах, объясняющих кепстр, используются следующие сокращения:

Силовой кепстр

Первоначально «кепстр» определялся как кепстр власти по следующему соотношению: ^{[1] [3]}

${\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}}$

Силовой кепстр имеет основные применения в анализе звуковых и вибрационных сигналов. Это дополнительный инструмент спектрального анализа. ^[2]

Иногда его также определяют как: ^[2]

${\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}\left\{\log \left(\left|{\mathcal {F}}\{f(t)\}\right|^{2}\right)\right\}\right|^{2}}$

Благодаря этой формуле кепстр также иногда называют спектром спектра . Можно показать, что обе формулы согласуются друг с другом, поскольку частотное спектральное распределение остается прежним, единственное различие заключается в масштабном коэффициенте ^[2] , который можно применять впоследствии. Некоторые статьи предпочитают вторую формулу. ^{[2] [4]}

Другие обозначения возможны в связи с тем, что логарифм спектра мощности равен логарифму спектра, если применяется масштабный коэффициент 2: ^[5]

${\displaystyle \log |{\mathcal {F}}|^{2}=2\log |{\mathcal {F}}|}$

и поэтому:

${\displaystyle C_{p}=\left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{2\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},{\text{ or}}}$

${\displaystyle C_{p}=4\cdot \left|{\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log |{\mathcal {F}}|\right\}\right|^{2},}$

что обеспечивает связь с реальным кепстром (см. ниже).

Далее следует отметить, что окончательную операцию возведения в квадрат в формуле спектра мощности иногда называют ненужной ^[3] и поэтому иногда опускают. ^{[4] [2]} ${\displaystyle C_{p}}$

Реальный кепстр напрямую связан со степенным кепстром:

${\displaystyle C_{p}=4\cdot C_{r}^{2}}$

Он получается из комплексного кепстра (определенного ниже) путем отбрасывания фазовой информации (содержащейся в мнимой части комплексного логарифма ). ^[4] Основное внимание уделяется периодическим эффектам в амплитудах спектра: ^[6]

${\displaystyle C_{r}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {|{\mathcal {F}}\{f(t)\}|}})\right\}}$

Комплексный кепстр

Комплексный кепстр был определен Оппенгеймом в его разработке теории гомоморфных систем. ^{[7] [8]} Формула представлена ​​также в другой литературе. ^[2]

${\displaystyle C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log({\mathcal {F}}\{f(t)\})\right\}}$

Поскольку логарифмический термин является сложным, его можно также записать как произведение величины и фазы, а затем как сумму. Дальнейшее упрощение очевидно, если log — натуральный логарифм с основанием  e : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \log({\mathcal {F}})=\log({\mathcal {|F|\cdot e^{i\varphi }}})}$

${\displaystyle \log _{e}({\mathcal {F}})=\log _{e}({\mathcal {|F|}})+\log _{e}(e^{i\varphi })=\log _{e}({\mathcal {|F|}})+i\varphi }$

Следовательно: Комплексный кепстр можно также записать как: ^[9]

${\displaystyle C_{c}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{\log _{e}({\mathcal {|F|}})+i\varphi \right\}}$

Комплексный кепстр сохраняет информацию о фазе. Таким образом, всегда можно вернуться из области запросов во временную область с помощью обратной операции: ^{[2] [3]}

${\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{b^{\left({\mathcal {F}}\{C_{c}\}\right)}\right\},}$

где b — основание используемого логарифма.

Основное применение — модификация сигнала в области частот (лифтинг) как аналог операции фильтрации в области спектральных частот. ^{[2] [3]} Примером является подавление эхо-эффектов путем подавления определенных частот. ^[2]

Фазовый кепстр (после фазового спектра ) связан с комплексным кепстром как

фазовый спектр = (комплексный кепстр − обращение времени комплексного кепстра) ² .

Связанные понятия

Независимая переменная кепстрального графа называется квенренцией . ^[10] Кефрентность является мерой времени, но не в смысле сигнала во временной области . Например, если частота дискретизации аудиосигнала составляет 44 100 Гц и в кепстре имеется большой пик, квенренность которого равна 100 выборкам, этот пик указывает на наличие основной частоты, равной 44 100/100 = 441 Гц. Этот пик возникает в кепстре, поскольку гармоники в спектре являются периодическими, а период соответствует основной частоте, поскольку гармоники представляют собой целые кратные основной частоте. ^[11]

Кепстр , который означает «временной отклик степенного ряда по уравнению Колмогорова», похож на кепстр и имеет к нему такое же отношение, как ожидаемое значение имеет статистическое среднее, т.е. кепстр — это эмпирически измеренная величина, а кепстр — это теоретическая величина. количество. Он использовался до появления кепстра. ^{[12] [13]}

Автокепстр определяется как кепстр автокорреляции . Автокепстр более точен, чем кепстр, при анализе данных с эхо-сигналами.

Продолжая тему анаграмм, фильтр, работающий на кепстре, можно назвать лифтером . Подъемник нижних частот аналогичен фильтру нижних частот в частотной области . Его можно реализовать путем умножения на окно в частотной области и последующего преобразования обратно в частотную область, что приводит к модифицированному сигналу, т.е. с уменьшением эха сигнала.

Интерпретация

Кепстр можно рассматривать как информацию о скорости изменения в различных диапазонах спектра. Первоначально он был изобретен для характеристики сейсмического эха, возникающего в результате землетрясений и взрывов бомб . Его также использовали для определения основной частоты человеческой речи и для анализа отраженных радиолокационных сигналов. Определение высоты звука кепстра особенно эффективно, поскольку эффекты голосового возбуждения (высоты) и голосового тракта (форманты) складываются в логарифме спектра мощности и, таким образом, четко разделены. ^[14]

Кепстр — это представление, используемое при обработке гомоморфных сигналов для преобразования сигналов, объединенных с помощью свертки (например, источника и фильтра), в суммы их кепстров для линейного разделения. В частности, степенной кепстр часто используется в качестве вектора признаков для представления человеческого голоса и музыкальных сигналов. Для этих приложений спектр обычно сначала преобразуется с использованием шкалы mel . Результат называется кепстром мел-частоты или MFC (его коэффициенты называются кепстральными коэффициентами мел-частоты или MFCC). Он используется для голосовой идентификации, определения высоты звука и многого другого. Кепстр полезен в этих приложениях, поскольку низкочастотное периодическое возбуждение голосовых связок и формантная фильтрация речевого тракта , которые свертываются во временной области и умножаются в частотной области , аддитивны и находятся в разных областях квенрентной области. .

Обратите внимание, что чистая синусоидальная волна не может использоваться для проверки кепстра на предмет определения его высоты тона по кечастотности, поскольку чистая синусоидальная волна не содержит никаких гармоник и не приводит к пикам кечастотности. Вместо этого следует использовать тестовый сигнал, содержащий гармоники (например, сумму как минимум двух синусов, где второй синус является некоторой гармоникой (кратной) первого синуса, или, лучше, сигнал с квадратной или треугольной формой волны, поскольку такие сигналы обеспечивают множество обертонов в спектре.).

Важным свойством кепстрального домена является то, что свертка двух сигналов может быть выражена как сложение их комплексных кепстров:

${\displaystyle x_{1}*x_{2}\mapsto x'_{1}+x'_{2}.}$

Приложения

Концепция кепстра привела к многочисленным применениям: ^{[2] [3]}

• работа с выводом отражения (радар, гидролокаторы, сейсмология Земли)
• оценка основной частоты динамика (высоты)
• анализ и распознавание речи
• медицинские приложения для анализа электроэнцефалограммы (ЭЭГ) и мозговых волн
• анализ вибрации машин на основе гармонических структур (неисправности коробки передач, поломки лопаток турбины и т. д.) ^{[2] [4] [5]}

Недавно деконволюция на основе кепстра была использована для сигналов поверхностной электромиографии, чтобы удалить влияние последовательности стохастических импульсов, которая генерирует сигнал пЭМГ , из спектра мощности самого сигнала пЭМГ. Таким образом, сохранялась только информация о форме и амплитуде потенциала действия двигательной единицы (MUAP), которая затем использовалась для оценки параметров модели самой MUAP во временной области. ^[15]

Кратковременный кепстральный анализ был предложен Шредером и Ноллом в 1960-х годах для применения при определении высоты звука человеческой речи. ^{[16] [17] [14]}

Рекомендации

1. Б. П. Богерт, М. Дж. Р. Хили и Дж. В. Тьюки, Quefrency Alanysis [ sic ] временных рядов для эхо: кепстр, псевдоавтоковариация, перекрестное кепстральное и сафовое растрескивание , Труды симпозиума по анализу временных рядов (М. Розенблатт, Эд) ) Глава 15, 209-243. Нью-Йорк: Уайли, 1963.
2. Нортон, Майкл Питер; Карчуб, Денис (17 ноября 2003 г.). Основы анализа шума и вибрации для инженеров. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-49913-5.
3. Д. Г. Чайлдерс, Д. П. Скиннер, Р. К. Кемерайт, «Кепстр: Руководство по обработке», Proceedings of the IEEE , Vol. 65, № 10, октябрь 1977 г., стр. 1428–1443.
4. RB Randall: Анализ кепстра и диагностика неисправностей коробки передач, Рекомендации по применению Брюля и Кьяера 233-80, издание 2. (PDF)
5. Информационная система Beckhoff: Мониторинг состояния TF3600 TC3: Мониторинг коробки передач (онлайн, 4 апреля 2020 г.).
6. «Реальный кепстр и реконструкция минимальной фазы - MATLAB rceps».
7. А.В. Оппенгейм, "Суперпозиция в одном классе нелинейных систем", к.т.н. дисс., Рез. Лаб. Электроника, Массачусетский технологический институт, 1965.
8. А. В. Оппенгейм, Р. В. Шафер, «Цифровая обработка сигналов», 1975 (Прентис Холл).
9. Р.Б. Рэндалл: «История кепстрального анализа и его применения к механическим проблемам», (PDF) в: Механические системы и обработка сигналов, том 97, декабрь 2017 г. (Elsevier).
10. Штайнбух, Карл В .; Вебер, Вольфганг; Хайнеманн, Трауте, ред. (1974) [1967]. Taschenbuch der Informatik – Band III – Anwendungen und spezielle Systeme der Nachrichtenverarbeitung (на немецком языке). Том. 3 (3-е изд.). Берлин, Германия: Springer Verlag . стр. 272–274. ISBN 3-540-06242-4. LCCN  73-80607. {{cite book}}: |work=игнорируется ( помощь )
11. «Введение - Дискретный кепстр». Поддержка.ircam.fr. 1 января 1990 года . Проверено 16 сентября 2022 г.
12. «Прогнозирующее разложение временных рядов с применением к сейсморазведке», отчет Э.А. Робинсона Массачусетского технологического института, 1954 г.; Геофизика 1967 вып. 32, стр. 418–484;
    «Использование кепстра в анализе сигналов», М.Т. Сильвия и Э.А. Робинсон, Geoexploration, том 16, выпуски 1–2, апрель 1978 г., страницы 55–73.
13. «Подход кепструма к фильтрации, сглаживанию и прогнозированию с применением к улучшению речи», Т. Дж. Мойр и Дж. Ф. Барретт, Proc. Королевское общество А, том. 459, 2003, стр. 2957–2976.
14. А. Майкл Нолл (1967), «Определение высоты кепстра», Журнал Акустического общества Америки, Vol. 41, № 2, стр. 293–309.
15. Г. Бьяджетти, П. Криппа, С. Орсиони и К. Турчетти, «Гомоморфная деконволюция для оценки muap по поверхностным сигналам ЭМГ», Журнал IEEE по биомедицинской и медицинской информатике, том. 21, нет. 2, стр. 328–338, март 2017 г.
16. А. Майкл Нолл и Манфред Р. Шредер , «Кратковременное обнаружение высоты кепстра», (аннотация) Журнал Акустического общества Америки, Vol. 36, № 5, с. 1030
17. А. Майкл Нолл (1964), «Методы кратковременного спектра и кепстра для обнаружения высоты голоса», Журнал Акустического общества Америки, Vol. 36, № 2, стр. 296–302.

дальнейшее чтение

• Чайлдерс, Д.Г.; Скиннер, ДП; Кемерайт, Р.К. (1977). «Кепстр: Руководство по обработке». Труды IEEE . 65 (10). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 1428–1443. Бибкод : 1977IEEP..65.1428C. дои : 10.1109/proc.1977.10747. ISSN  0018-9219. S2CID  6108941.
• Оппенгейм, А.В.; Шафер, Р.В. (2004). «История DSP - От частоты к квенренции: история кепстра». Журнал обработки сигналов IEEE . 21 (5). Институт инженеров по электротехнике и электронике (IEEE): 95–106. Бибкод : 2004ISPM...21...95O. дои : 10.1109/msp.2004.1328092. ISSN  1053-5888. S2CID  1162306.
• «Анализ речевых сигналов».
• «Речевой анализ: кепстральный анализ против LPC», www.advsolned.com
• «Учебное пособие по Цепструму и LPCC»