Круг — это фигура , состоящая из всех точек плоскости , находящихся на заданном расстоянии от данной точки — центра . Расстояние между любой точкой круга и центром называется радиусом .
Круг был известен еще до начала письменной истории. Распространены естественные круги, такие как полная луна или кусочек круглого фрукта. Круг является основой колеса , которое, вместе с соответствующими изобретениями, такими как шестерни , делает возможным создание многих современных машин. В математике изучение круга помогло вдохновить развитие геометрии, астрономии и исчисления .
Дуга : любая соединенная часть круга. Указание двух конечных точек дуги и центра позволяет создать две дуги, которые вместе образуют полный круг.
Центр : точка, равноудаленная от всех точек окружности.
Хорда : отрезок прямой, конечные точки которого лежат на окружности, разделяя таким образом окружность на два сегмента.
Окружность : длина одного контура по кругу или расстояние по кругу.
Диаметр : отрезок линии, конечные точки которого лежат на окружности и проходит через центр; или длина такого отрезка. Это наибольшее расстояние между любыми двумя точками окружности. Это частный случай хорды, а именно самая длинная хорда для данной окружности, длина которой в два раза превышает длину радиуса.
Диск : область плоскости, ограниченная кругом. В строгом математическом использовании круг — это только граница диска, тогда как в повседневной жизни термины «круг» и «диск» могут использоваться как синонимы.
Линза : область, общая для (пересечения) двух перекрывающихся дисков.
Радиус : отрезок линии, соединяющий центр круга с любой точкой на самом круге; или длина такого отрезка, равная половине (длине) диаметра. Обычно радиус обозначается и должен быть положительным числом. Окружность с является вырожденным случаем , состоящим из одной точки.
Сектор : область, ограниченная двумя радиусами одинаковой длины с общим центром и любой из двух возможных дуг, определяемых этим центром и концами радиусов.
Сегмент : область, ограниченная хордой и одной из дуг, соединяющих конечные точки хорды. Длина хорды накладывает нижнюю границу диаметра возможных дуг. Иногда термин « сегмент» используется только для регионов, не содержащих центр круга, которому принадлежит их дуга.
Секанс : протяженная хорда, копланарная прямая, пересекающая окружность в двух точках.
Полукруг : одна из двух возможных дуг, определяемых конечными точками диаметра, принимая ее середину за центр. В нетехническом обиходе это может означать внутреннюю часть двумерной области, ограниченную диаметром и одной из его дуг, что технически называется полудиском. Полудиск – это частный случай сегмента, а именно самый большой.
Касательная : копланарная прямая линия, имеющая одну общую точку с окружностью («касается окружности в этой точке»).
Все указанные регионы можно считать открытыми , то есть не содержащими своих границ, или закрытыми , включая соответствующие границы.
Этимология
Слово «круг» происходит от греческого κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ), которое само по себе является метатезой гомеровского греческого κρίκος ( krikos ), что означает «обруч» или «кольцо». [1] Происхождение слов «цирк» и «круг» тесно связано.
Египетский папирус Ринда , датированный 1700 годом до нашей эры, дает метод определения площади круга. Результат соответствует256/81(3,16049...) как приблизительное значение π . [3]
Третья книга «Начал» Евклида посвящена свойствам кругов. Определение круга, данное Евклидом, таково:
Круг — это плоская фигура, ограниченная одной изогнутой линией, причем все прямые линии, проведенные из определенной точки внутри нее до ограничивающей линии, равны. Ограничивающая линия называется окружностью, а точка — центром.
В «Седьмом письме» Платона есть подробное определение и объяснение круга. Платон объясняет идеальный круг и то, чем он отличается от любого рисунка, слова, определения или объяснения. Ранняя наука , особенно геометрия , астрология и астрономия , для большинства средневековых ученых была связана с божественным , и многие верили, что существует нечто по своей сути «божественное» или «совершенное», что можно найти в кругах. [5] [6]
С появлением абстрактного искусства в начале 20 века геометрические объекты стали самостоятельным художественным предметом. Василий Кандинский особенно часто использовал круги как элемент своих композиций. [8] [9]
Символизм и религиозное использование
Со времен самых ранних известных цивилизаций, таких как ассирийцы и древние египтяне, жители долины Инда и вдоль Желтой реки в Китае, а также западные цивилизации древней Греции и Рима во времена классической античности, круг использовался напрямую или косвенно в изобразительном искусстве, чтобы передать послание художника и выразить определенные идеи. Однако различия в мировоззрении (верованиях и культуре) оказали большое влияние на восприятие художников. В то время как некоторые подчеркивали периметр круга, чтобы продемонстрировать свое демократическое проявление, другие сосредоточились на его центре, чтобы символизировать концепцию космического единства. В мистических учениях круг главным образом символизирует бесконечность и цикличность существования, но в религиозных традициях он олицетворяет небесные тела и божественных духов.
Круг означает множество священных и духовных концепций, включая единство, бесконечность, целостность, вселенную, божественность, баланс, стабильность и совершенство и другие. Такие концепции были переданы в культурах всего мира посредством использования символов, например, компаса, нимба, vesica piscis и его производных (рыба, глаз, ореол, мандорла и т. д.), уробороса, колеса Дхармы , радуга, мандалы, окна-розы и так далее. [10] Магические круги являются частью некоторых традиций западного эзотеризма .
Аналитические результаты
Длина окружности
Отношение длины окружности к ее диаметру равно π (пи), иррациональной константе , примерно равной 3,141592654. Таким образом, длина окружности C связана с радиусом r и диаметром d соотношением:
Огороженная территория
Как доказал Архимед в своем «Измерении круга» , площадь, заключенная в круг , равна площади треугольника, основание которого имеет длину окружности круга, а высота равна радиусу круга, [11] что приводит к π, умноженному на π . по квадрату радиуса:
Окружность представляет собой плоскую кривую, охватывающую максимальную площадь для заданной длины дуги. Это связывает круг с проблемой вариационного исчисления, а именно с изопериметрическим неравенством .
Это уравнение , известное как уравнение окружности , следует из теоремы Пифагора , примененной к любой точке окружности: как показано на соседней диаграмме, радиус — это гипотенуза прямоугольного треугольника, другие стороны которого имеют длину | Икс - а | и | у - б |. Если центр круга находится в начале координат (0, 0), то уравнение упрощается до
В этой параметризации отношение t к r можно интерпретировать геометрически как стереографическую проекцию линии, проходящей через центр, параллельной оси x (см . Замена касательного полуугла ). Однако эта параметризация работает только в том случае, если t будет распространяться не только на все действительные числа, но и на бесконечность; в противном случае самая левая точка круга будет опущена.
3-х очковая форма
Уравнение окружности, определяемое тремя точками, не лежащими на прямой, получается преобразованием трехточечной формы уравнения окружности :
где a — радиус круга, — полярные координаты общей точки на круге и — полярные координаты центра круга (т. е. r 0 — расстояние от начала координат до центра круга, и φ — угол против часовой стрелки от положительной оси x до линии, соединяющей начало координат с центром круга). Для круга с центром в начале координат, т.е. r 0 = 0 , это сводится к r = a . Когда r 0 = a или начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид
В общем случае уравнение можно решить относительно r , дав
для вещественных p , q и комплексных g иногда называют обобщенным кругом . Это становится приведенным выше уравнением для круга с , поскольку . Не все обобщенные круги на самом деле являются кругами: обобщенный круг — это либо (истинный) круг, либо линия .
Касательные линии
Касательная линия , проходящая через точку P на окружности, перпендикулярна диаметру, проходящему через P . Если P = ( x 1 , y 1 ) и круг имеет центр ( a , b ) и радиус r , то касательная линия перпендикулярна линии от ( a , b ) до ( x 1 , y 1 ), поэтому имеет вид ( Икс 1 - а ) Икс + ( y 1 – б ) y знак равно c . Оценка в ( x 1 , y 1 ) определяет значение c , и в результате уравнение тангенса имеет вид
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. В декартовых координатах можно дать явные формулы для координат центра круга и радиуса через координаты трех заданных точек. Смотри описанный круг .
Аккорд
Хорды равноудалены от центра окружности тогда и только тогда, когда они равны по длине.
Биссектриса хорды проходит через центр окружности; эквивалентные утверждения, вытекающие из уникальности биссектрисы:
Перпендикулярная линия, проведенная из центра окружности, делит хорду пополам.
Отрезок , проходящий через центр и делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.
Если центральный угол и вписанный угол окружности опираются на одну и ту же хорду и лежат по одну и ту же сторону от хорды, то центральный угол в два раза больше вписанного угла.
Если два угла вписаны в одну хорду и по одну и ту же сторону хорды, то они равны.
Если два угла вписаны в одну хорду и по разные стороны хорды, то они являются дополнительными .
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (см. теорему Фалеса ).
Диаметр – это самая длинная хорда окружности.
Среди всех окружностей, имеющих общую хорду AB, окружность минимального радиуса имеет диаметр AB.
Если пересечение любых двух хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую хорду на длины c и d , то ab = cd .
Если пересечение любых двух перпендикулярных хорд делит одну хорду на длины a и b , а другую хорду на длины c и d , то a 2 + b 2 + c 2 + d 2 равно квадрату диаметра. [12]
Сумма квадратов длин любых двух хорд, пересекающихся под прямым углом в данной точке, такая же, как и у любых других двух перпендикулярных хорд, пересекающихся в той же точке, и определяется выражением 8 r 2 − 4 p 2 , где r — длина радиус окружности, а p — расстояние от центральной точки до точки пересечения. [13]
Расстояние от точки окружности до данной хорды, умноженное на диаметр окружности, равно произведению расстояний от точки до концов хорды. [14] : стр.71
Касательная
Линия, проведенная перпендикулярно радиусу через конечную точку радиуса, лежащую на окружности, является касательной к окружности.
Линия, проведенная перпендикулярно касательной, проходящей через точку касания окружности, проходит через центр окружности.
К окружности из любой точки вне окружности всегда можно провести две касательные, и эти касательные равны по длине.
Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P , то, обозначая центр как O , углы ∠ BOA и ∠ BPA являются дополнительными.
Если AD касается окружности в точке A и AQ — хорда окружности, то ∠ DAQ =1/2дуга( AQ ) .
Теоремы
Теорема о хорде утверждает, что если две хорды, CD и EB , пересекаются в точке A , то AC × AD = AB × AE .
Если две секущие, AE и AD , также разрезают окружность в точках B и C соответственно, то AC × AD = AB × AE (следствие теоремы об хорде).
Касательную можно рассматривать как предельный случай секущей, концы которой совпадают. Если касательная из внешней точки A пересекает окружность в F , а секущая из внешней точки A пересекает окружность в C и D соответственно, то AF 2 = AC × AD (теорема о касательном секущем).
Угол между хордой и касательной в одном из ее концов равен половине угла, образуемого в центре окружности на противоположной стороне хорды (угол касательной хорды).
Если угол, образуемый хордой в центре, равен 90 ° , то ℓ = r √2 , где ℓ — длина хорды, а r — радиус круга.
Если в круг вписаны две секущие, как показано справа, то размер угла A равен половине разницы размеров вложенных в него дуг ( и ). То есть , где O — центр окружности (теорема о секущем-секущем).
Вписанные углы
Вписанный угол (примеры — синий и зеленый углы на рисунке) равен ровно половине соответствующего центрального угла (красного). Следовательно, все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (розовый), равны. Углы, вписанные в дугу (коричневые), являются дополнительными. В частности, каждый вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым углом (поскольку центральный угол равен 180 °).
Учитывая длину хорды y и длину сагитты x , теорему Пифагора можно использовать для расчета радиуса уникального круга, который будет соответствовать двум линиям:
Другое доказательство этого результата, опирающееся только на два приведенных выше свойства хорды, состоит в следующем. Учитывая хорду длины y и сагитту длины x , поскольку сагитта пересекает середину хорды, мы знаем, что она является частью диаметра круга. Поскольку диаметр в два раза больше радиуса, «недостающая» часть диаметра имеет длину ( 2 r − x ). Используя тот факт, что одна часть одной хорды, умноженная на другую часть, равна тому же произведению, взятому по хорде, пересекающей первую хорду, мы находим, что ( 2 r − x ) x = ( y / 2) 2 . Решая относительно r , находим искомый результат.
Самая простая и основная — это построение по центру круга и точке на окружности. Поместите неподвижную ножку циркуля в центральную точку, подвижную ножку в точку круга и вращайте компас.
Обозначьте точку пересечения этих двух серединных перпендикуляров M . (Они встречаются, потому что точки не лежат на одной прямой ).
Постройте круг с центром M , проходящим через одну из точек P , Q или R (он также пройдет через две другие точки).
Круг Аполлония
Аполлоний Пергский показал, что круг также можно определить как набор точек на плоскости, имеющих постоянное отношение ( отличное от 1) расстояний до двух фиксированных фокусов, A и B. [15] [16] (Набор точек, в которых расстояния равны, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку AB , линии.) Иногда говорят, что этот круг нарисован вокруг двух точек.
Доказательство состоит из двух частей. Во-первых, нужно доказать, что при наличии двух фокусов A и B и отношения расстояний любая точка P , удовлетворяющая отношению расстояний, должна попадать на определенную окружность. Пусть C — еще одна точка, также удовлетворяющая соотношению и лежащая на отрезке AB . По теореме о биссектрисе отрезок PC делит внутренний угол APB пополам , поскольку отрезки подобны:
Аналогично, отрезок PD, проходящий через некоторую точку D на продолжении AB , делит пополам соответствующий внешний угол BPQ , где Q находится на продолжении AP . Поскольку сумма внутреннего и внешнего углов равна 180 градусам, угол CPD равен ровно 90 градусам; то есть прямой угол. Множество точек P таких, что угол CPD является прямым, образует окружность, диаметр которой CD .
Во-вторых, см. в [17] :15 доказательство того, что каждая точка указанной окружности удовлетворяет заданному соотношению.
Перекрестные отношения
Тесно связанное свойство окружностей включает в себя геометрию взаимного отношения точек на комплексной плоскости. Если A , B и C такие же, как указано выше, то окружность Аполлония для этих трех точек представляет собой совокупность точек P , для которых абсолютное значение двойного отношения равно единице:
Другими словами, P является точкой на окружности Аполлония тогда и только тогда, когда двойное отношение [ A , B ; C , P ] находится на единичной окружности комплексной плоскости.
Обобщенные круги
Если C — середина отрезка AB , то совокупность точек P, удовлетворяющих условию Аполлония
Таким образом, если A , B и C заданы разные точки на плоскости, то геометрическое место точек P , удовлетворяющих приведенному выше уравнению, называется «обобщенной окружностью». Это может быть либо настоящий круг, либо линия. В этом смысле линия представляет собой обобщенный круг бесконечного радиуса.
Надпись или описание других фигур
В каждый треугольник можно вписать уникальную окружность, называемую вписанной , так, чтобы она касалась каждой из трех сторон треугольника. [18]
Циклический многоугольник — это любой выпуклый многоугольник, вокруг которого можно описать окружность , проходящую через каждую вершину. Хорошо изученный пример — вписанный четырехугольник. Каждый правильный многоугольник и каждый треугольник является вписанным многоугольником. Многоугольник, который является одновременно циклическим и касательным, называется бицентрическим многоугольником .
Гипоциклоида — это кривая, которая вписывается в данную окружность путем отслеживания фиксированной точки на меньшей окружности, которая катится внутри данной окружности и касается ее.
Предельный случай других цифр
Круг можно рассматривать как предельный случай различных других фигур:
Декартов овал — это набор точек, взвешенная сумма расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек (фокусов) является постоянной. Эллипс — это случай , когда веса равны. Круг представляет собой эллипс с нулевым эксцентриситетом, что означает, что два фокуса совпадают друг с другом как центр круга. Круг также является частным случаем декартова овала, в котором один из весов равен нулю.
Суперэллипс имеет уравнение вида для положительных a , b и n . Суперкруг имеет b = a . Круг — это частный случай суперкруга, в котором n = 2 .
Овал Кассини — это набор точек, произведение расстояний от любой из его точек до двух фиксированных точек является постоянным. Когда две фиксированные точки совпадают, получается круг.
Кривая постоянной ширины — это фигура, ширина которой, определяемая как расстояние по перпендикуляру между двумя отдельными параллельными линиями, каждая из которых пересекает ее границу в одной точке, одинакова независимо от направления этих двух параллельных линий. Круг — простейший пример фигуры такого типа.
Локус постоянной суммы
Рассмотрим конечное множество точек на плоскости. Геометрическое место точек, у которых сумма квадратов расстояний до данных точек постоянна, представляет собой окружность, центр которой находится в центроиде данных точек. [21]
Обобщение для высших степеней расстояний получается, если под точками взять вершины правильного многоугольника . [22] Геометрическое место точек, у которых сумма расстояний в -й степени до вершин данного правильного многоугольника с радиусом описанной окружности постоянна, является окружностью, если
В случае равностороннего треугольника местами постоянных сумм второй и четвертой степеней являются круги, тогда как для квадрата местами постоянных сумм второй, четвертой и шестой степеней являются круги. Для правильного пятиугольника будет складываться постоянная сумма восьмых степеней расстояний и так далее.
Квадратура круга
Квадратирование круга — это задача, предложенная древними геометрами , о построении квадрата той же площади, что и заданный круг, используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки .
Определив круг как набор точек на фиксированном расстоянии от точки, разные формы можно считать кругами при разных определениях расстояния. В p -норме расстояние определяется формулой
p
В геометрии такси p = 1. Круги такси представляют собой квадраты со сторонами, ориентированными под углом 45 ° к осям координат. Хотя каждая сторона будет иметь длину, используя евклидову метрику , где r — радиус круга, ее длина в геометрии такси равна 2 r . Таким образом, длина окружности равна 8 r . Таким образом, значение геометрического аналога в этой геометрии равно 4. Формула единичного круга в геометрии такси находится в декартовых координатах и
Окружность радиуса r для расстояния Чебышева ( метрика L ∞ ) на плоскости также представляет собой квадрат со стороной 2 r , параллельной осям координат, поэтому плоское расстояние Чебышева можно рассматривать как эквивалентное путем вращения и масштабирования плоскому расстоянию такси. Однако эта эквивалентность между метриками L 1 и L ∞ не распространяется на более высокие измерения.
В топологии круг ограничивается не геометрическим понятием, а всеми его гомеоморфизмами . Два топологических круга эквивалентны, если один можно преобразовать в другой путем деформации R 3 самого себя (известной как объемлющая изотопия ). [23]
^ krikos. Архивировано 6 ноября 2013 г. в Wayback Machine , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее.
^ Симек, Ян Ф.; Кресслер, Алан; Херрманн, Николас П.; Шервуд, Сара К. (1 июня 2013 г.). «Священные пейзажи юго-востока США: доисторическое наскальное и пещерное искусство в Теннесси». Античность . 87 (336): 430–446. дои : 10.1017/S0003598X00049048. ISSN 0003-598X. S2CID 130296519.
^ Хронология от 30000 до 500 г. до н.э. Архивировано 22 марта 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.
^ ОЛ 7227282М
^ Артур Кестлер , Лунатики : История изменения взглядов человека на Вселенную (1959)
^ Прокл , Шесть книг Прокла, преемника Платона, по теологии Платона. Архивировано 23 января 2017 г. в Wayback Machine Tr. Томас Тейлор (1816) Том. 2, гл. 2, «О Платоне»
↑ Квадратура круга. Архивировано 24 июня 2008 г. в Wayback Machine . History.mcs.st-andrews.ac.uk. Проверено 3 мая 2012 г.
^ «Круги в круге». Художественный музей Филадельфии . Проверено 28 декабря 2023 г.
↑ Лессо, Рози (15 июня 2022 г.). «Почему Василий Кандинский рисовал круги?». Коллектор . Проверено 28 декабря 2023 г.
↑ Абдуллахи, Яхья (29 октября 2019 г.). «Круг с Востока на Запад». В Шарнье, Жан-Франсуа (ред.). Лувр Абу-Даби: мировое видение искусства . Риццоли Интернэшнл Пабликейшнз, Инкорпорейтед. ISBN9782370741004.
^ Кац, Виктор Дж. (1998), История математики / Введение (2-е изд.), Аддисон Уэсли Лонгман, стр. 108, ISBN978-0-321-01618-8
^ Посаментье и Салкинд, «Сложные проблемы геометрии» , Дувр, 2-е издание, 1996: стр. 104–105, № 4–23.
^ Харкнесс, Джеймс (1898). «Введение в теорию аналитических функций». Природа . 59 (1530): 30. Бибкод : 1899Natur..59..386B. дои : 10.1038/059386a0. S2CID 4030420. Архивировано из оригинала 7 октября 2008 года.
^ Incircle - из Wolfram MathWorld, архивировано 21 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
^ Окружность - из Wolfram MathWorld, архивировано 20 января 2012 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
^ Тангенциальный многоугольник - из Wolfram MathWorld, архивировано 3 сентября 2013 г. в Wayback Machine . Mathworld.wolfram.com (26 апреля 2012 г.). Проверено 3 мая 2012 г.
^ Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.). Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 17 мая 2021 г.{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)