Классическая группа

В математике классические группы определяются как специальные линейные группы над вещественными числами R , комплексными числами C и кватернионами H вместе со специальными ^[1] группами автоморфизмов симметричных или кососимметричных билинейных форм и эрмитовых или косоэрмитовых полуторалинейных форм. определенные на вещественных, комплексных и кватернионных конечномерных векторных пространствах. ^[2] Из них комплексные классические группы Ли представляют собой четыре бесконечных семейства групп Ли , которые вместе с исключительными группами исчерпывают классификацию простых групп Ли . Компактные классические группы являются компактными вещественными формами комплексных классических групп. Конечными аналогами классических групп являются классические группы лиева типа . Термин «классическая группа» был придуман Германом Вейлем и является названием его монографии 1939 года «Классические группы» . ^[3]

Классические группы составляют самую глубокую и полезную часть предмета линейных групп Ли. ^[4] Большинство типов классических групп находят применение в классической и современной физике. Вот несколько примеров. Группа вращения SO(3) — это симметрия евклидова пространства и всех фундаментальных законов физики, группа Лоренца O(3,1) — это группа симметрии пространства-времени специальной теории относительности . Специальная унитарная группа SU(3) является группой симметрии квантовой хромодинамики , а симплектическая группа Sp( m ) находит применение в гамильтоновой механике и ее квантовомеханических версиях.

Классические группы

Классические группы — это в точности общие линейные группы над R , C и H вместе с группами автоморфизмов невырожденных форм, обсуждаемыми ниже. ^[5] Эти группы обычно дополнительно ограничиваются подгруппами, элементы которых имеют определитель 1, так что их центры дискретны. Классические группы с условием определителя 1 перечислены в таблице ниже. В дальнейшем условие определителя 1 не используется последовательно в интересах большей общности.

Комплексные классические группы — это SL( n , C ) , SO( n , C ) и Sp( n , C ) . Группа является комплексной в зависимости от того, комплексна ли ее алгебра Ли. Настоящие классические группы относятся ко всем классическим группам, поскольку любая алгебра Ли является реальной алгеброй. Компактные классические группы — это компактные вещественные формы комплексных классических групп. Это, в свою очередь, SU( n ) , SO( n ) и Sp( n ) . Одна из характеристик компактной вещественной формы дается в терминах алгебры Ли g . Если g = u + i u , комплексификация u , и если связная группа K , порожденная {exp( X ): X ∈ u }, компактна, то K является компактной вещественной формой. ^[6]

Классические группы можно равномерно охарактеризовать по-другому, используя вещественные формы . Классические группы (здесь с условием определителя 1, но это не обязательно) следующие:

Комплексные линейные алгебраические группы SL( n , C ), SO( n , C ) и Sp( n , C ) вместе с их действительными формами . ^[7]

Например, SO ^∗ (2n ) — это действительная форма SO(2n , C ) , SU ( p , q ) — действительная форма SL( n , C ) , а SL( n , H ) — действительная форма. форма SL(2 n , C ) . Без условия определителя 1 замените в характеристике специальные линейные группы соответствующими общими линейными группами. Рассматриваемые алгебраические группы являются группами Ли, но для получения правильного понятия «реальной формы» необходим «алгебраический» квалификатор.

Билинейные и полуторалинейные формы

Классические группы определяются в терминах форм, определенных ^{на Rn} , Cn и Hn , где R и C — поля действительных и комплексных ^чисел . Кватернионы H не образуют поля, поскольку умножение не коммутирует ; они образуют тело , или тело , или некоммутативное поле . Однако все еще возможно определить матричные кватернионные группы. По этой причине векторное пространство V разрешено определять над R , C , а также над H ниже. В случае H V является правым векторным пространством , что делает возможным представление действия группы как умножение матриц слева , так же, как для R и C. ^[8]

Форма φ : V × V → F в некотором конечномерном правом векторном пространстве над F = R , C или H является билинейной, если

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )=\alpha \varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$и если

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Оно называется полуторалинейным, если

${\displaystyle \varphi (x\alpha ,y\beta )={\bar {\alpha }}\varphi (x,y)\beta ,\quad \forall x,y\in V,\forall \alpha ,\beta \in F.}$и если

${\displaystyle \varphi (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=\varphi (x_{1},y_{1})+\varphi (x_{1},y_{2})+\varphi (x_{2},y_{1})+\varphi (x_{2},y_{2}),\quad \forall x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}\in V.}$

Эти соглашения выбраны потому, что они работают во всех рассматриваемых случаях. Автоморфизм ф — это отображение А множества линейных операторов на V такое , что

Множество всех автоморфизмов φ образует группу, она называется группой автоморфизмов φ и обозначается Aut( φ ) . Это приводит к предварительному определению классической группы:

Классическая группа — это группа , которая сохраняет билинейную или полуторалинейную форму в конечномерных векторных пространствах над R , C или H.

Это определение имеет некоторую избыточность. В случае F = R билинейный эквивалентен полуторалинейному. В случае F = H ненулевых билинейных форм не существует. ^[9]

Симметричная, кососимметричная, эрмитова и косоэрмитова формы.

Форма симметрична , если

${\displaystyle \varphi (x,y)=\varphi (y,x).}$

Оно кососимметрично, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=-\varphi (y,x).}$

Оно эрмитово , если

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {\varphi (y,x)}}}$

Наконец, оно косоэрмитово, если

${\displaystyle \varphi (x,y)=-{\overline {\varphi (y,x)}}.}$

Билинейная форма φ представляет собой единственную сумму симметричной и кососимметричной форм. Преобразование, сохраняющее φ, сохраняет обе части по отдельности. Таким образом, группы, сохраняющие симметричные и кососимметричные формы, можно изучать отдельно. То же самое относится, mutatis mutandis, к эрмитовым и косоэрмитовым формам. По этой причине для целей классификации рассматривают только чисто симметричные, кососимметричные, эрмитовы или косоэрмитовы формы. Нормальные формы форм соответствуют конкретному подходящему выбору оснований. Это базы, дающие в координатах следующие нормальные формы:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }\xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\pm \cdots \pm \xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {R} )\\{\text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{2}\eta _{2}+\cdots +\xi _{n}\eta _{n},&&(\mathbf {C} )\\{\text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:}}\quad \varphi (x,y)={}&\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}+\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}\\&-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}-\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},&&(\mathbf {R} ,\mathbf {C} )\\{\text{Sesquilinear Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\pm }{\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\pm \cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n},&&(\mathbf {C} ,\mathbf {H} )\\{\text{Sesquilinear skew-Hermitian:}}\quad \varphi (x,y)={}&{\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}+\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},&&(\mathbf {H} )\end{aligned}}}$

J в косоэрмитовой форме является третьим базисным элементом в базисе ( 1 , i , j , k ) для H . Доказательство существования этих базисов и закона инерции Сильвестра , независимости количества знаков плюс и минус p и q в симметричной и эрмитовой формах, а также наличия или отсутствия полей в каждом выражении, можно найти у Россманна (2002) или Гудмана и Уоллаха (2009). Пара ( p , q ) , а иногда и p − q , называется сигнатурой формы.

Объяснение появления полей R , C , H : Над H не существует нетривиальных билинейных форм . В симметричном билинейном случае сигнатуру имеют только формы над R. Другими словами, сложную билинейную форму с «сигнатурой» ( p , q ) можно путем смены базиса привести к форме, где все знаки равны « + » в приведенном выше выражении, тогда как в реальном случае это невозможно. , в котором p − q не зависит от базиса, если его представить в этой форме. Однако эрмитовы формы имеют независимую от базиса подпись как в комплексном, так и в кватернионном случае. (Реальный случай сводится к симметричному случаю.) Косоэрмитова форма в комплексном векторном пространстве становится эрмитовой путем умножения на i , поэтому в этом случае интересен только H.

Группы автоморфизмов

Герман Вейль , автор «Классических групп» . Вейль внес существенный вклад в теорию представлений классических групп.

В первом разделе представлены общие рамки. В других разделах исчерпываются качественно различные случаи, возникающие как группы автоморфизмов билинейных и полуторалинейных форм на конечномерных векторных пространствах над R , C и H .

Aut( φ ) – группа автоморфизмов

Предположим, что φ — невырожденная форма в конечномерном векторном пространстве V над R , C или H. Группа автоморфизмов определяется на основании условия ( 1 ) как

${\displaystyle \mathrm {Aut} (\varphi )=\{A\in \mathrm {GL} (V):\varphi (Ax,Ay)=\varphi (x,y),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Каждый A ∈ Mn ( V ) _имеет сопряженный Aφ относительно φ ^, определяемый формулой

Используя это определение в условии ( 1 ), видно, что группа автоморфизмов задается формулой

Зафиксируйте основу для V . В соответствии с этим основанием положим

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum \xi _{i}\varphi _{ij}\eta _{j}}$

где ξ _i , η _j — компоненты x , y . Это подходит для билинейных форм. Полуторные формы имеют схожие выражения и позже рассматриваются отдельно. В матричной записи находится

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{\mathrm {T} }\Phi y}$

и

из ( 2 ) где Φ – матрица ( φ _ij ) . Условие невырожденности означает именно то, что Φ обратима, поэтому сопряженное всегда существует. Aut( φ ) , выраженный таким образом, становится

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\left\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{\mathrm {T} }\Phi A=1\right\}.}$

Алгебру Ли aut ( φ ) групп автоморфизмов можно выписать сразу. Абстрактно, X ∈ aut ( φ ) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle (e^{tX})^{\varphi }e^{tX}=1}$

для всех t , что соответствует условию ( 3 ) при экспоненциальном отображении алгебр Ли, так что

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\left\{X\in M_{n}(V):X^{\varphi }=-X\right\},}$

или в основе

как видно из разложения экспоненциального отображения в степенной ряд и линейности задействованных операций. Обратно, предположим, что X ∈ aut ( φ ) . Тогда, используя приведенный выше результат, φ ( Xx , y ) = φ( x , X ^φ y ) = −φ( x , Xy ) . Таким образом, алгебру Ли можно охарактеризовать безотносительно к базису или сопряженному элементу как

${\displaystyle {\mathfrak {aut}}(\varphi )=\{X\in M_{n}(V):\varphi (Xx,y)=-\varphi (x,Xy),\quad \forall x,y\in V\}.}$

Нормальная форма для φ будет указана для каждой классической группы ниже. Из этой нормальной формы матрицу Φ можно прочитать напрямую. Следовательно, выражения для сопряженной и алгебры Ли можно получить с помощью формул ( 4 ) и ( 5 ). Ниже это продемонстрировано в большинстве нетривиальных случаев.

Билинейный случай

Когда форма симметрична, Aut( φ ) называется O( φ ) . Если он кососимметричен, то Aut( φ ) называется Sp( φ ) . Это касается реальных и сложных случаев. Кватернионный случай пуст, поскольку в кватернионных векторных пространствах не существует ненулевых билинейных форм. ^[12]

Реальный случай

Реальный случай распадается на два случая: симметричную и антисимметричную формы, которые следует рассматривать отдельно.

O( p , q ) и O( n ) – ортогональные группы

Если φ симметричен и векторное пространство вещественно, базис можно выбрать так, чтобы

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm \xi _{1}\eta _{1}\pm \xi _{2}\eta _{2}\cdots \pm \xi _{n}\eta _{n}.}$

Количество знаков плюс и минус не зависит от конкретного базиса. ^[13] В случае V = Rn пишут ^O ( φ ) = O( p , q ) , где p — количество знаков плюс, а q — количество знаков минус, p + q = n . Если q = 0, используется обозначение O( n ) . Матрица Φ в этом случае

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\equiv I_{p,q}}$

после переупорядочения базы при необходимости. Тогда сопряженная операция ( 4 ) принимает вид

${\displaystyle A^{\varphi }=\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}A_{11}&\cdots \\\cdots &A_{nn}\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{matrix}}\right),}$

что сводится к обычному транспонированию, когда p или q равно 0. Алгебра Ли находится с помощью уравнения ( 5 ) и подходящего анзаца (для случая Sp( m , R ) это подробно описано ниже),

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Y_{p\times q}\\Y^{\mathrm {T} }&W_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad W^{\mathrm {T} }=-W\right\},}$

а группа согласно ( 3 ) имеет вид

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm {T} }I_{p,q}g=I\}.}$

Группы O( p , q ) и O( q , p ) изоморфны через отображение

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)\rightarrow \mathrm {O} (q,p),\quad g\rightarrow \sigma g\sigma ^{-1},\quad \sigma =\left[{\begin{smallmatrix}0&0&\cdots &1\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&1&\cdots &0\\1&0&\cdots &0\end{smallmatrix}}\right].}$

Например, алгебру Ли группы Лоренца можно записать как

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)=\mathrm {span} \left\{\left({\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0\end{smallmatrix}}\right),\left({\begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{smallmatrix}}\right)\right\}.}$

Естественно, можно переставить так, чтобы q -блок был левым верхним (или любым другим блоком). Здесь «временная составляющая» оказывается четвертой координатой в физической интерпретации, а не первой, как это может быть более распространено.

Sp( m , R) – действительная симплектическая группа

Если φ кососимметричен и векторное пространство вещественно, существует базис, дающий

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

где п = 2 м . Для Aut( φ ) пишут Sp( φ ) = Sp( V ). В случае V = R ⁿ = R ^{2 m} пишут Sp( m , R ) или Sp(2 m , R ) . Из нормальной формы считывают

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=J_{m}.}$

Делая анзац

${\displaystyle V=\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right),}$

где X , Y , Z , W — m -мерные матрицы и учитывая ( 5 ),

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0_{m}&-I_{m}\\I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)^{\mathrm {T} }\left({\begin{matrix}0_{m}&I_{m}\\-I_{m}&0_{m}\end{matrix}}\right)=-\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&W\end{matrix}}\right)}$

находится алгебра Ли Sp( m , R ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {R} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {R} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

и группа задается

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {R} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {R} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Сложный случай

Как и в реальном случае, есть два случая: симметричный и антисимметричный, каждый из которых дает семейство классических групп.

O( n , C) – комплексная ортогональная группа

Если случай φ симметричен и векторное пространство комплексное, базис

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{1}+\xi _{1}\eta _{1}\cdots +\xi _{n}\eta _{n}}$

можно использовать только знаки плюс. Группа автоморфизмов в случае V = C ⁿ называется O(n, C ) . Алгебра Ли — это просто частный случай алгебры Ли для o ( p , q ) ,

${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )=\{X|X^{\mathrm {T} }=-X\},}$

и группа задается

${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )=\{g|g^{\mathrm {T} }g=I_{n}\}.}$

С точки зрения классификации простых алгебр Ли , so ( n ) делятся на два класса: с n нечетным с корневой системой B _n и n с четным с корневой системой D _n .

Sp( m , C) – комплексная симплектическая группа

Для кососимметричного φ и комплекса векторного пространства используется одна и та же формула:

${\displaystyle \varphi (x,y)=\xi _{1}\eta _{m+1}+\xi _{2}\eta _{m+2}\cdots +\xi _{m}\eta _{2m=n}-\xi _{m+1}\eta _{1}-\xi _{m+2}\eta _{2}\cdots -\xi _{2m=n}\eta _{m},}$

применяется так же, как и в реальном случае. Для Aut( φ ) пишут Sp( φ ) = Sp( V ) . В этом случае пишут Sp( m , ) или Sp(2 m , ) . Алгебра Ли параллельна алгебре sp ( m , ) , ${\displaystyle V=\mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{2m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(m,\mathbb {C} )=\{X\in M_{n}(\mathbb {C} ):J_{m}X+X^{\mathrm {T} }J_{m}=0\}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&Y\\Z&-X^{\mathrm {T} }\end{matrix}}\right)\right|Y^{\mathrm {T} }=Y,Z^{\mathrm {T} }=Z\right\},}$

и группа задается

${\displaystyle \mathrm {Sp} (m,\mathbb {C} )=\{g\in M_{n}(\mathbb {C} )|g^{\mathrm {T} }J_{m}g=J_{m}\}.}$

Полуторалинейный случай

В полуторалинейном случае к форме применяется несколько иной подход с точки зрения базиса:

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sum {\bar {\xi }}_{i}\varphi _{ij}\eta _{j}.}$

Другие выражения, которые изменяются:

${\displaystyle \varphi (x,y)=x^{*}\Phi y,\qquad A^{\varphi }=\Phi ^{-1}A^{*}\Phi ,}$^[14]

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\varphi )=\{A\in \operatorname {GL} (V):\Phi ^{-1}A^{*}\Phi A=1\},}$

Реальный случай, конечно, не дает ничего нового. Комплексный и кватернионный случай будут рассмотрены ниже.

Сложный случай

С качественной точки зрения рассмотрение косоэрмитовых форм (с точностью до изоморфизма) не дает новых групп; умножение на i превращает косоэрмитовую форму в эрмитовую, и наоборот. Таким образом, необходимо рассматривать только эрмитовский случай.

U( p , q ) и U( n ) – унитарные группы

Невырожденная эрмитова форма имеет нормальную форму

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}.}$

Как и в билинейном случае, сигнатура ( p , q ) не зависит от базиса. Группа автоморфизмов обозначается U( V ) или, в случае V = C ⁿ , U( p , q ) . Если q = 0, используется обозначение U( n ) . В этом случае Φ принимает вид

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{matrix}1_{p}&0\\0&-1_{q}\end{matrix}}\right)=I_{p,q},}$

а алгебра Ли имеет вид

${\displaystyle {\mathfrak {u}}(p,q)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X_{p\times p}&Z_{p\times q}\\{\overline {Z_{p\times q}}}^{\mathrm {T} }&Y_{q\times q}\end{matrix}}\right)\right|{\overline {X}}^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=-Y\right\}.}$

Группу дает

${\displaystyle \mathrm {U} (p,q)=\{g|I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I\}.}$

где g — общая комплексная матрица размера nxn, определяемая как сопряженная транспонированная матрица g, которую физики называют . ${\displaystyle g^{*}}$ ${\displaystyle g^{\dagger }}$

Для сравнения: унитарная матрица U(n) определяется как

${\displaystyle \mathrm {U} (n)=\{g|g^{*}g=I\}.}$

Заметим, что это то же самое, что и ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (n,0)}$

Кватернионный случай

Пространство H ⁿ рассматривается как правое векторное пространство над H . Таким образом, A ( vh ) = ( Av ) h для кватерниона h , вектор-столбца кватерниона v и матрицы кватернионов A . Если бы H ⁿ было левым векторным пространством над H , то для сохранения линейности потребовалось бы умножение матриц справа на векторы-строки. Это не соответствует обычной линейной операции группы в векторном пространстве, когда задан базис, который представляет собой умножение матриц слева на вектор-столбцы. Таким образом, V отныне является правым векторным пространством над H . Несмотря на это, необходимо соблюдать осторожность из-за некоммутативной природы H . Детали (в основном очевидные) опускаются, поскольку будут использоваться сложные представления.

При работе с кватернионными группами кватернионы удобно представлять с помощью комплексных матриц размера 2×2 :

При таком представлении кватернионное умножение становится матричным умножением, а кватернионное сопряжение становится эрмитовым сопряженным. Более того, если кватернион в соответствии с комплексной кодировкой q = x + j y задан как вектор-столбец ( x , y ) ^T , то умножение слева на матричное представление кватерниона дает новый вектор-столбец, представляющий правильный кватернион. . Это представление немного отличается от более распространенного представления, найденного в статье о кватернионах . Более распространенное соглашение заставляет умножать справа матрицу-строку для достижения того же результата.

Кстати, из приведенного выше представления становится ясно, что группа единичных кватернионов ( α α + β β = 1 = det Q ) изоморфна SU(2) .

Кватернионные n × n -матрицы, очевидно, могут быть представлены 2 n × 2 n блочными матрицами комплексных чисел. ^[16] Если кто-то согласен представить кватернионный вектор-столбец n × 1 вектор-столбцом 2 n × 1 с комплексными числами в соответствии с приведенной выше кодировкой, причем верхние n чисел представляют собой α _i , а нижние n — β _i , тогда кватернионная n × n -матрица становится комплексной 2 n × 2 n -матрицей точно такого же вида, как указано выше, но теперь с α и β n × n -матрицами. Более формально

Матрица T ∈ GL(2 n , C ) имеет вид, показанный в ( 8 ), тогда и только тогда, когда J _n T = TJ _n . Благодаря этим отождествлениям,

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\approx \mathbb {C} ^{2n},M_{n}(\mathbb {H} )\approx \left\{\left.T\in M_{2n}(\mathbb {C} )\right|J_{n}T={\overline {T}}J_{n},\quad J_{n}=\left({\begin{matrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{matrix}}\right)\right\}.}$

Пространство M _n ( H ) ⊂ M _{2 n} ( C ) является вещественной алгеброй, но не является комплексным подпространством M _{2 n} ( C ) . Умножение (слева) на i в M _n ( H ) с использованием поэлементного кватернионного умножения и последующее отображение на изображение в M _{2 n} ( C ) дает другой результат, чем поэлементное умножение на i непосредственно в M _{2 n} ( С ) . Правила кватернионного умножения дают i ( X + j Y ) = ( i X ) + j (− i Y ) , где новые X и Y находятся внутри круглых скобок.

Действие кватернионных матриц на кватернионные векторы теперь представляется комплексными величинами, но в остальном оно такое же, как и для «обычных» матриц и векторов. Таким образом, кватернионные группы вложены в M _{2 n} ( C ) , где n — размерность кватернионных матриц.

Определитель кватернионной матрицы определяется в этом представлении как обычный комплексный определитель ее представительной матрицы. Некоммутативная природа кватернионного умножения в кватернионном представлении матриц была бы неоднозначной. Способ вложения M _n ( H ) в M _{2 n} ( C ) не является единственным, но все такие вложения связаны через g ↦ AgA ⁻¹ , g ∈ GL(2 n , C ) для A ∈ O(2 n , C ) , оставляя определитель неизменным. ^[17] Имя SL( n , H ) в этом сложном виде — SU ^∗ (2 n ) .

В отличие от случая C , как эрмитовский, так и косоэрмитовый случай привносят что-то новое при рассмотрении H , поэтому эти случаи рассматриваются отдельно.

GL( n , H) и SL( n , H)

Согласно указанной выше идентификации,

${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )|Jg={\overline {g}}J,\mathrm {det} \quad g\neq 0\}\equiv \mathrm {U} ^{*}(2n).}$

Его алгебра Ли gl ( n , H ) представляет собой набор всех матриц в образе отображения M _n ( H ) ↔ M _{2 n} ( C ) выше,

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X,Y\in {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )\right\}\equiv {\mathfrak {u}}^{*}(2n).}$

Кватернионная специальная линейная группа имеет вид

${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {H} )=\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )|\mathrm {det} \ g=1\}\equiv \mathrm {SU} ^{*}(2n),}$

где определитель берется от матриц из C ^{2 n} . Альтернативно это можно определить как ядро ​​определителя Дьедонне . Алгебра Ли – это ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\rightarrow \mathbb {H} ^{*}/[\mathbb {H} ^{*},\mathbb {H} ^{*}]\simeq \mathbb {R} _{>0}^{*}}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {H} )=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|Re(\operatorname {Tr} X)=0\right\}\equiv {\mathfrak {su}}^{*}(2n).}$

Sp( p , q ) – кватернионная унитарная группа

Как и выше, в сложном случае нормальная форма имеет вид

${\displaystyle \varphi (x,y)=\pm {\bar {\xi _{1}}}\eta _{1}\pm {\bar {\xi _{2}}}\eta _{2}\cdots \pm {\bar {\xi _{n}}}\eta _{n}}$

и количество знаков плюс не зависит от базиса. Когда V = H ⁿ в этой форме, Sp( φ ) = Sp( p , q ) . Причиной обозначений является то, что группу можно представить, используя приведенное выше предписание, как подгруппу Sp( n , C ) , сохраняющую комплексно-эрмитовую форму сигнатуры (2 p , 2 q ) ^[18] Если p или q = 0 группа обозначается U( n , H ) . Иногда ее называют гиперунитарной группой .

В кватернионной записи

${\displaystyle \Phi ={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}=I_{p,q}}$

это означает, что кватернионные матрицы вида

удовлетворит

${\displaystyle \Phi ^{-1}{\mathcal {Q}}^{*}\Phi =-{\mathcal {Q}},}$

см. раздел о u ( p , q ) . При работе с умножением кватернионных матриц необходимо проявлять осторожность, но здесь задействованы только I и - I , и они коммутируют с каждой матрицей кватернионов. Теперь примените рецепт ( 8 ) к каждому блоку,

${\displaystyle {\mathcal {X}}={\begin{pmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Y}}={\begin{pmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{pmatrix}},\quad {\mathcal {Z}}={\begin{pmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{pmatrix}},}$

и соотношения ( 9 ) будут выполняться, если

${\displaystyle X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}.}$

Алгебра Ли становится

${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(p,q)=\left\{\left.{\begin{pmatrix}{\begin{bmatrix}X_{1(p\times p)}&-{\overline {X}}_{2}\\X_{2}&{\overline {X}}_{1}\end{bmatrix}}&{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}Z_{1(p\times q)}&-{\overline {Z}}_{2}\\Z_{2}&{\overline {Z}}_{1}\end{bmatrix}}^{*}&{\begin{bmatrix}Y_{1(q\times q)}&-{\overline {Y}}_{2}\\Y_{2}&{\overline {Y}}_{1}\end{bmatrix}}\end{pmatrix}}\right|X_{1}^{*}=-X_{1},\quad Y_{1}^{*}=-Y_{1}\right\}.}$

Группу дает

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid I_{p,q}^{-1}g^{*}I_{p,q}g=I_{p+q}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid K_{p,q}^{-1}g^{*}K_{p,q}g=I_{2(p+q)},\quad K=\operatorname {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)\right\}.}$

Возвращаясь к нормальной форме φ ( w , z ) для Sp( p , q ) , сделайте замены w → u + jv и z → x + jy с u, v, x, y ^∈ Cn . Затем

${\displaystyle \varphi (w,z)={\begin{bmatrix}u^{*}&v^{*}\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}+j{\begin{bmatrix}u&-v\end{bmatrix}}K_{p,q}{\begin{bmatrix}y\\x\end{bmatrix}}=\varphi _{1}(w,z)+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z),\quad K_{p,q}=\mathrm {diag} \left(I_{p,q},I_{p,q}\right)}$

рассматривается как H -значная форма на C ^{2 n} . ^[19] Таким образом, элементы Sp( p , q ) , рассматриваемые как линейные преобразования C ^{2 n} , сохраняют как эрмитову форму сигнатуры (2 p , 2 q ) , так и невырожденную кососимметричную форму. Обе формы принимают чисто комплексные значения и благодаря префактору j второй формы сохраняются отдельно. Это значит, что

${\displaystyle \mathrm {Sp} (p,q)=\mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right)\cap \mathrm {Sp} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{2}\right)}$

и это объясняет как название группы, так и обозначения.

O ^∗ (2n ) = O( n ,H)- кватернионная ортогональная группа

Нормальная форма косоэрмитовой формы имеет вид

${\displaystyle \varphi (x,y)={\bar {\xi _{1}}}\mathbf {j} \eta _{1}+{\bar {\xi _{2}}}\mathbf {j} \eta _{2}\cdots +{\bar {\xi _{n}}}\mathbf {j} \eta _{n},}$

где j — третий базисный кватернион в упорядоченном списке ( 1 , i , j , k ) . В этом случае Aut( φ ) = O ^∗ (2 n ) может быть реализована с использованием описанного выше комплексного матричного кодирования как подгруппа O(2 n , C ) , которая сохраняет невырожденную комплексную косоэрмитову форму подпись ( п , п ) . ^[20] Из нормальной формы видно, что в кватернионной записи

${\displaystyle \Phi =\left({\begin{smallmatrix}\mathbf {j} &0&\cdots &0\\0&\mathbf {j} &\cdots &\vdots \\\vdots &&\ddots &&\\0&\cdots &0&\mathbf {j} \end{smallmatrix}}\right)\equiv \mathrm {j} _{n}}$

а из ( 6 ) следует, что

для V ∈ о (2 п ) . Теперь поставь

${\displaystyle V=X+\mathbf {j} Y\leftrightarrow \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)}$

по рецепту ( 8 ). То же самое предписание дает для Φ ,

${\displaystyle \Phi \leftrightarrow \left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\equiv J_{n}.}$

Теперь последнее условие в ( 9 ) в комплексной записи имеет вид

${\displaystyle \left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)^{*}=\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&-I_{n}\\I_{n}&0\end{matrix}}\right)\Leftrightarrow X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y.}$

Алгебра Ли становится

${\displaystyle {\mathfrak {o}}^{*}(2n)=\left\{\left.\left({\begin{matrix}X&-{\overline {Y}}\\Y&{\overline {X}}\end{matrix}}\right)\right|X^{\mathrm {T} }=-X,\quad {\overline {Y}}^{\mathrm {T} }=Y\right\},}$

и группа задается

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {GL} (n,\mathbb {H} )\mid \mathrm {j} _{n}^{-1}g^{*}\mathrm {j} _{n}g=I_{n}\right\}=\left\{g\in \mathrm {GL} (2n,\mathbb {C} )\mid J_{n}^{-1}g^{*}J_{n}g=I_{2n}\right\}.}$

Группу SO ^∗ (2 n ) можно охарактеризовать как

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\left\{g\in \mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\mid \theta \left({\overline {g}}\right)=g\right\},}$^[21]

где отображение θ : GL(2 n , C ) → GL(2 n , C ) определяется формулой g ↦ − J _{2 n} gJ _{2 n} .

Также форму, определяющую группу, можно рассматривать как H -значную форму на C ^{2 n} . ^[22] Сделайте замены x → w ₁ + iw ₂ и y → z ₁ + iz ₂ в выражении формы. Затем

${\displaystyle \varphi (x,y)={\overline {w}}_{2}I_{n}z_{1}-{\overline {w}}_{1}I_{n}z_{2}+\mathbf {j} (w_{1}I_{n}z_{1}+w_{2}I_{n}z_{2})={\overline {\varphi _{1}(w,z)}}+\mathbf {j} \varphi _{2}(w,z).}$

Форма φ ₁ является эрмитовой (в то время как первая форма в левой части является косоэрмитовой) сигнатуры ( n , n ) . Подпись становится очевидной благодаря изменению базиса с ( e , f ) на (( e + i f )/ √ 2 , ( e − i f )/ √ 2 ) , где e , f - первые и последние n базисных векторов. соответственно. Вторая форма, φ2 _, является симметричной положительно определенной. Таким образом , благодаря множителю j O ^∗ (2 n ) сохраняется и то, и другое по отдельности, и можно заключить, что

${\displaystyle \mathrm {O} ^{*}(2n)=\mathrm {O} (2n,\mathbb {C} )\cap \mathrm {U} \left(\mathbb {C} ^{2n},\varphi _{1}\right),}$

и поясняется обозначение «О».

Классические группы над общими полями или алгебрами

Классические группы, более широко рассматриваемые в алгебре, представляют собой особенно интересные матричные группы . Когда поле  F коэффициентов группы матриц представляет собой либо действительное число, либо комплексное число, эти группы являются просто классическими группами Ли. Если основное поле является конечным полем , то классические группы являются группами лиева типа . Эти группы играют важную роль в классификации конечных простых групп . Также можно рассматривать классические группы над ассоциативной алгеброй с единицей  R над F ; где R  =  H (алгебра над действительными числами) представляет собой важный случай. Для общности в статье будут упоминаться группы над R , где R может быть самим основным полем  F.

Учитывая их абстрактную теорию групп, многие линейные группы имеют « специальную » подгруппу, обычно состоящую из элементов определителя 1 над основным полем, и большинству из них присущи « проективные » факторы, которые являются факторами по центру группы. . Для ортогональных групп в характеристике 2 «S» имеет другой смысл.

Слово « general » перед именем группы обычно означает, что группе разрешено умножать некоторую форму на константу, а не оставлять ее фиксированной. Индекс n обычно указывает на размерность модуля , на котором действует группа; это векторное пространство , если R  =  F. Предостережение: это обозначение несколько противоречит n диаграмм Дынкина, который является рангом.

Общие и специальные линейные группы

Общая линейная группа GL _n ( R ) — это группа всех R -линейных автоморфизмов R ⁿ . Существует подгруппа: специальная линейная группа SL _n ( R ) и их факторы: проективная общая линейная группа PGL _n ( R ) = GL _n ( R )/Z(GL _n ( R )) и проективная специальная линейная группа. PSL _n ( R ) = SL _n ( R )/Z (SL _n ( R )). Проективная специальная линейная группа PSL _n ( F ) над полем F проста для n  ≥ 2, за исключением двух случаев, когда n  = 2 и поле имеет порядок ^{[ необходимы пояснения ]} 2 или 3.

Унитарные группы

Унитарная группа Un ( R ) — это группа, сохраняющая _{полуторалинейную} форму на модуле. Существует подгруппа, специальная унитарная группа SU _n ( R ) и их факторы — проективная унитарная группа PU _n ( R ) = Un ( _R ) /Z(U _n ( R )) и проективная специальная унитарная группа PSU _n ( р ) = СУ _п ( р )/Z (СУ _п ( р ))

Симплектические группы

Симплектическая группа Sp _{2 n} ( R ) сохраняет кососимметрическую форму на модуле. Она имеет фактор — проективную симплектическую группу PSp _{2 n} ( R ). Общая симплектическая группа GSp _{2 n} ( R ) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего кососимметрическую форму на некоторый обратимый скаляр. Проективная симплектическая группа PSp _{2 n} ( F _q ) над конечным полем проста при n  ≥ 1, за исключением случаев PSp ₂ над полями из двух и трех элементов.

Ортогональные группы

Ортогональная группа O _n ( R ) сохраняет невырожденную квадратичную форму на модуле. Существует подгруппа, специальная ортогональная группа SO _n ( R ) и факторы, проективная ортогональная группа PO _n ( R ) и проективная специальная ортогональная группа PSO _n ( R ). В характеристике 2 определитель всегда равен 1, поэтому специальную ортогональную группу часто определяют как подгруппу элементов инварианта Диксона 1.

Существует безымянная группа, часто обозначаемая Ω _n ( R ), состоящая из элементов ортогональной группы элементов спинорной нормы 1 с соответствующими подгруппами и факторгруппами SΩ _n ( R ), PΩ _n ( R ), PSΩ _n ( R ). (Для положительно определенных квадратичных форм над вещественными числами группа Ω оказывается такой же, как ортогональная группа, но в общем случае она меньше.) Существует также двойное покрытие Ω _n ( R ), называемое группой выводов Pin _n ( R ), и у него есть подгруппа, называемая спиновой группой Spin _n ( R ). Общая ортогональная группа GO _n ( R ) состоит из автоморфизмов модуля, умножающего квадратичную форму на некоторый обратимый скаляр.

Соглашения об обозначениях

Контраст с исключительными группами Ли.

Контрастом классических групп Ли являются исключительные группы Ли G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ , E ₈ , которые имеют общие абстрактные свойства, но не знакомы. ^[23] Они были открыты только около 1890 года в классификации простых алгебр Ли над комплексными числами Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном .

Примечания

1. Здесь специальный означает подгруппу полной группы автоморфизмов, элементы которой имеют определитель 1.
2. Россманн 2002 с. 94.
3. Вейль 1939 г.
4. Россманн 2002 с. 91.
5. Россманн 2002 с. 94
6. Россманн 2002 с. 103
7. Гудман и Уоллах, 2009 г. См. Конец главы 1.
8. Россманн 2002p. 93.
9. Россманн 2002 с. 105
10. Россманн 2002 с. 91
11. Россманн 2002 с. 92
12. Россманн 2002 с. 105
13. Россманн 2002 с. 107.
14. Россманн 2002 с. 93
15. Россманн 2002 с. 95.
16. Россманн 2002 с. 94.
17. Гудман и Уоллах, 2009 г., упражнение 14, раздел 1.1.
18. Россманн 2002 с. 94.
19. Гудман и Уоллах, 2009 г., упражнение 11, глава 1.
20. Россманн 2002 с. 94.
21. Гудман и Уоллах, 2009, стр.11.
22. Гудман и Уоллах, 2009 г., Упражнение 12, Глава 1.
23. Уайборн, Б.Г. (1974). Классические группы для физиков , Wiley-Interscience. ISBN  0471965057 .

Рекомендации

• Э. Артин (1957) Геометрическая алгебра, главы III, IV и V из Интернет-архива.
• Дьедонне, Жан (1955), Геометрия классических групп , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (NF), Heft 5, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-05391-2, МР  0072144
• Гудман, Роу; Уоллах, Нолан Р. (2009), Симметрия, представления и инварианты , Тексты для аспирантов по математике, том. 255, Шпрингер-Верлаг , ISBN 978-0-387-79851-6
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4259-5.
• В.Л. Попов (2001) [1994], «Классическая группа», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Вейль, Герман (1939), Классические группы. Их инварианты и представления, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, МР  0000255