Комплексное многообразие

Коллектор

Голоморфные Карты

В дифференциальной геометрии и комплексной геометрии комплексное многообразие — это многообразие со сложной структурой , то есть атлас карт открытого единичного круга ^[1] в комплексном координатном пространстве , такой, что отображения перехода являются голоморфными . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Термин «комплексное многообразие» по-разному используется для обозначения комплексного многообразия в указанном выше смысле (которое может быть определено как интегрируемое комплексное многообразие) или почти комплексного многообразия .

Последствия сложной структуры

Поскольку голоморфные функции гораздо более жесткие, чем гладкие функции , теории гладких и комплексных многообразий имеют совершенно разные особенности: компактные комплексные многообразия гораздо ближе к алгебраическим многообразиям , чем к дифференцируемым многообразиям.

Например, теорема Уитни о вложении гласит, что каждое гладкое n -мерное многообразие может быть вложено как гладкое подмногообразие R ^{2 n} , тогда как для комплексного многообразия голоморфное вложение в C ⁿ является «редким» явлением . Рассмотрим, например, любое компактное связное комплексное многообразие M : любая голоморфная функция на нем постоянна по принципу максимума модуля . Теперь, если бы у нас было голоморфное вложение M в C ⁿ , то координатные функции C ⁿ ограничились бы непостоянными голоморфными функциями на M , что противоречит компактности, за исключением случая, когда M — просто точка. Комплексные многообразия, которые могут быть вложены в C ^{n ,} называются многообразиями Штейна и образуют очень специальный класс многообразий, включающий, например, гладкие комплексные аффинные алгебраические многообразия.

Классификация комплексных многообразий гораздо более тонкая, чем у дифференцируемых многообразий. Например, в то время как в размерностях, отличных от четырех, данное топологическое многообразие имеет не более конечного числа гладких структур , топологическое многообразие, поддерживающее комплексную структуру, может и часто поддерживает несчетное число комплексных структур. Римановы поверхности , двумерные многообразия, снабженные комплексной структурой, которые топологически классифицируются по роду , являются важным примером этого явления. Множество комплексных структур на данной ориентируемой поверхности, по модулю биголоморфной эквивалентности, само по себе образует комплексное алгебраическое многообразие, называемое пространством модулей , структура которого остается областью активных исследований.

Поскольку отображения перехода между картами являются биголоморфными, комплексные многообразия, в частности, являются гладкими и канонически ориентированными (а не просто ориентируемыми : биголоморфное отображение в (подмножество) C ⁿ задает ориентацию, поскольку биголоморфные отображения сохраняют ориентацию).

Примеры комплексных многообразий

• Римановы поверхности .
• Многообразия Калаби–Яу .
• Декартово произведение двух комплексных многообразий.
• Обратный образ любого некритического значения голоморфного отображения.

Гладкие комплексные алгебраические многообразия

Гладкие комплексные алгебраические многообразия — это комплексные многообразия, в том числе:

• Комплексные векторные пространства.
• Комплексные проективные пространства , ^[2] P ⁿ ( C ).
• Сложные грассманианы .
• Комплексные группы Ли , такие как GL( n , C ) или Sp( n , C ).

Просто подключено

Односвязные одномерные комплексные многообразия изоморфны либо:

• Δ, единичный круг в C
• C , комплексная плоскость
• Ĉ , сфера Римана

Обратите внимание, что между ними существуют включения, такие как Δ ⊆ C ⊆ Ĉ , но в другом направлении нет непостоянных голоморфных отображений по теореме Лиувилля .

Диск против пространства против полидиска

Следующие пространства отличаются как комплексные многообразия, демонстрируя более жесткий геометрический характер комплексных многообразий (по сравнению с гладкими многообразиями):

• сложное пространство . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• единичный диск или открытый шар

${\displaystyle \left\{z\in \mathbb {C} ^{n}:\|z\|<1\right\}.}$

• полидиск​

${\displaystyle \left\{z=(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n}:\vert z_{j}\vert <1\ \forall j=1,\dots ,n\right\}.}$

Почти сложные структуры

Почти комплексная структура на вещественном 2n-многообразии является GL( n , C )-структурой (в смысле G-структур ), то есть касательное расслоение снабжено линейной комплексной структурой .

Конкретно, это эндоморфизм касательного расслоения , квадрат которого равен − I ; этот эндоморфизм аналогичен умножению на мнимое число i и обозначается J (чтобы избежать путаницы с единичной матрицей I ). Почти комплексное многообразие обязательно четномерно.

Почти комплексная структура слабее комплексной структуры: любое комплексное многообразие имеет почти комплексную структуру, но не каждая почти комплексная структура происходит из комплексной структуры. Обратите внимание, что каждое четномерное вещественное многообразие имеет почти комплексную структуру, определенную локально из локальной координатной карты. Вопрос в том, может ли эта почти комплексная структура быть определена глобально. Почти комплексная структура, которая происходит из комплексной структуры, называется интегрируемой , и когда кто-то хочет указать комплексную структуру в отличие от почти комплексной структуры, говорят об интегрируемой комплексной структуре. Для интегрируемых комплексных структур так называемый тензор Нийенхейса равен нулю. Этот тензор определяется на парах векторных полей X , Y следующим образом:

${\displaystyle N_{J}(X,Y)=[X,Y]+J[JX,Y]+J[X,JY]-[JX,JY]\ .}$

Например, 6-мерная сфера S ⁶ имеет естественную почти комплексную структуру, возникающую из того факта, что она является ортогональным дополнением i в единичной сфере октонионов , но это не комплексная структура. (Вопрос о том, имеет ли она комплексную структуру, известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа . ^[3] ) Используя почти комплексную структуру, мы можем понять голоморфные отображения и спросить о существовании голоморфных координат на многообразии. Существование голоморфных координат эквивалентно утверждению , что многообразие является комплексным (что и говорится в определении карты).

Тензорируя касательное расслоение с комплексными числами, мы получаем комплексифицированное касательное расслоение, на котором умножение на комплексные числа имеет смысл (даже если мы начали с вещественного многообразия). Собственные значения почти комплексной структуры равны ± i , а собственные пространства образуют подрасслоения, обозначаемые T ^0,1 M и T ^1,0 M . Теорема Ньюлендера–Ниренберга показывает, что почти комплексная структура на самом деле является комплексной структурой именно тогда, когда эти подрасслоения инволютивны , т. е. замкнуты относительно скобки Ли векторных полей, и такая почти комплексная структура называется интегрируемой .

Многообразия Кэлера и Калаби–Яу

Можно определить аналог римановой метрики для комплексных многообразий, называемый эрмитовой метрикой . Подобно римановой метрике, эрмитова метрика состоит из плавно меняющегося, положительно определенного внутреннего произведения на касательном расслоении, которое является эрмитовым относительно комплексной структуры на касательном пространстве в каждой точке. Как и в римановом случае, такие метрики всегда существуют в изобилии на любом комплексном многообразии. Если кососимметричная часть такой метрики является симплектической , т. е. замкнутой и невырожденной, то метрика называется кэлеровой . Кэлеровы структуры гораздо сложнее найти, и они гораздо более жесткие.

Примерами кэлеровых многообразий являются гладкие проективные многообразия и, в более общем смысле, любое комплексное подмногообразие кэлерова многообразия. Многообразия Хопфа являются примерами комплексных многообразий, которые не являются кэлеровыми. Чтобы построить одно, возьмите комплексное векторное пространство за вычетом начала координат и рассмотрите действие группы целых чисел на этом пространстве путем умножения на exp( n ). Фактор — это комплексное многообразие, первое число Бетти которого равно единице, поэтому по теории Ходжа оно не может быть кэлеровым.

Многообразие Калаби –Яу можно определить как компактное Риччи-плоское кэлерово многообразие или, что эквивалентно, многообразие, первый класс Черна которого равен нулю.

Смотрите также

• Комплексное измерение
• Комплексное аналитическое разнообразие
• Кватернионное многообразие
• Действительно-комплексное многообразие

Сноски

1. В качестве модельного пространства необходимо использовать открытый единичный круг вместо , поскольку они не изоморфны, в отличие от реальных многообразий. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
2. Это означает, что все комплексные проективные пространства являются ориентируемыми , в отличие от вещественного случая.
3. Агрикола, Илка ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «Об истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и её приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi : 10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID  119297359.

Ссылки

• Кодаира, Кунихико (17 ноября 2004 г.). Комплексные многообразия и деформация комплексных структур. Классика математики. Springer. ISBN 3-540-22614-1.