Причинно-следственная структура

Причинно-следственные связи между точками в многообразии

В математической физике причинная структура лоренцева многообразия описывает причинно-следственные связи между точками многообразия.

Введение

В современной физике (особенно в общей теории относительности ) пространство-время представлено лоренцевским многообразием . Причинно-следственные связи между точками многообразия интерпретируются как описание того, какие события в пространстве-времени могут влиять на какие другие события.

Причинная структура произвольного (возможно, искривленного) лоренцева многообразия усложняется наличием кривизны . Обсуждения причинной структуры для таких многообразий должны быть сформулированы в терминах гладких кривых, соединяющих пары точек. Условия на касательных векторах кривых затем определяют причинные связи.

Касательные векторы

Подразделение пространства-времени Минковского относительно точки на четыре непересекающихся множества. Световой конус , каузальное будущее , каузальное прошлое и в других местах . Терминология определена в этой статье.

Если — лоренцево многообразие (для метрики на многообразии ), то ненулевые касательные векторы в каждой точке многообразия можно разделить на три непересекающихся типа. Касательный вектор — это: ${\displaystyle \,(M,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

• времяподобный если ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$
• нулевой или светоподобный , если ${\displaystyle \,g(X,X)=0}$
• космически подобный если ${\displaystyle \,g(X,X)>0}$

Здесь мы используем метрическую сигнатуру . Мы говорим, что касательный вектор не является пространственноподобным, если он нулевой или времениподобный. ${\displaystyle (-,+,+,+,\cdots )}$

Каноническое лоренцево многообразие — это пространство-время Минковского , где и — плоская метрика Минковского . Названия для касательных векторов берут начало в физике этой модели. Причинно-следственные связи между точками в пространстве-времени Минковского принимают особенно простую форму, поскольку касательное пространство также является и, следовательно, касательные векторы могут быть отождествлены с точками в пространстве. Четырехмерный вектор классифицируется в соответствии со знаком , где — декартова координата в трехмерном пространстве, — константа, представляющая универсальный предел скорости, и — время. Классификация любого вектора в пространстве будет одинаковой во всех системах отсчета, которые связаны преобразованием Лоренца (но не общим преобразованием Пуанкаре , поскольку начало координат может быть смещено) из-за инвариантности метрики. ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle X=(t,r)}$ ${\displaystyle g(X,X)=-c^{2}t^{2}+\|r\|^{2}}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle t}$

Ориентируемость во времени

В каждой точке времениподобного касательного вектора в касательном пространстве точки можно разделить на два класса. Для этого сначала определим отношение эквивалентности на парах времениподобных касательных векторов. ${\displaystyle M}$

Если и являются двумя времениподобными касательными векторами в точке, мы говорим, что и эквивалентны (пишется ), если . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\sim Y}$ ${\displaystyle \,g(X,Y)<0}$

Тогда есть два класса эквивалентности , которые между собой содержат все времениподобные касательные векторы в точке. Мы можем (произвольно) назвать один из этих классов эквивалентности направленным в будущее , а другой — направленным в прошлое . Физически это обозначение двух классов времениподобных векторов, направленных в будущее и прошлое, соответствует выбору стрелы времени в точке. Обозначения, направленные в будущее и прошлое, могут быть расширены до нулевых векторов в точке по непрерывности.

Лоренцево многообразие является ориентированным во времени ^[1], если для всего многообразия можно сделать непрерывное обозначение направленных в будущее и направленных в прошлое векторов.

Кривые

Путь в — это непрерывное отображение , где — невырожденный интервал (т. е. связное множество, содержащее более одной точки) в . Гладкий путь дифференцируем соответствующее число раз (обычно ), а регулярный путь имеет неисчезающую производную. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu :\Sigma \to M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C^{\infty }}$

Кривая в — это образ пути или, точнее, класс эквивалентности образов путей, связанных повторной параметризацией, т. е. гомеоморфизмами или диффеоморфизмами . Когда является ориентируемым по времени, кривая ориентирована, если требуется, чтобы изменение параметра было монотонным . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$

Гладкие регулярные кривые (или пути) в можно классифицировать в зависимости от их касательных векторов. Такая кривая ${\displaystyle M}$

• хронологический (или времениподобный ), если касательный вектор времениподобен во всех точках кривой. Также называется мировой линией . ^[2]
• null , если касательный вектор равен нулю во всех точках кривой.
• пространственноподобным , если касательный вектор пространственноподобен во всех точках кривой.
• причинно-следственная (или непространственноподобная ), если касательный вектор времениподобен или равен нулю во всех точках кривой.

Требования регулярности и невырожденности гарантируют, что замкнутые причинные кривые (например, состоящие из одной точки) не допускаются автоматически всеми пространствами-временами. ${\displaystyle \Sigma }$

Если многообразие является ориентированным во времени, то непространственноподобные кривые можно дополнительно классифицировать в зависимости от их ориентации относительно времени.

Хронологическая, нулевая или причинно-следственная кривая ${\displaystyle M}$

• направлена ​​в будущее , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в будущее.
• направленным в прошлое , если для каждой точки кривой касательный вектор направлен в прошлое.

Эти определения применимы только к причинным (хронологическим или нулевым) кривым, поскольку только времениподобным или нулевым касательным векторам можно присвоить ориентацию относительно времени.

• Замкнутая времениподобная кривая — это замкнутая кривая, которая всюду направлена ​​в будущее (или всюду направлена ​​в прошлое).
• Замкнутая нулевая кривая — это замкнутая кривая, которая всюду имеет нулевую точку, направленную в будущее (или всюду имеет нулевую точку, направленную в прошлое).
• Голономия отношения скорости изменения аффинного параметра вокруг замкнутой нулевой геодезической — это фактор красного смещения .

Причинно-следственные связи

Между точками и в многообразии существует несколько причинно-следственных связей . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle x}$ хронологически предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее хронологическая (временная) кривая от до . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,x\ll y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ строго причинно предшествует (часто обозначается ), если существует направленная в будущее причинная (непространственноподобная) кривая от до . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• ${\displaystyle x}$ причинно предшествует (часто обозначается или ), если строго причинно предшествует или . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle x}$ horismos ^[3] (часто обозначается или ), если или существует направленная в будущее нулевая кривая от до ^[4] (или, что эквивалентно, и ). ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\to y}$ ${\displaystyle x\nearrow y}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\not \ll y}$

Эти отношения удовлетворяют следующим свойствам:

• ${\displaystyle x\ll y}$подразумевает (это тривиально следует из определения) ^[5] ${\displaystyle x\prec y}$
• ${\displaystyle x\ll y}$, подразумевает ^[5] ${\displaystyle y\prec z}$ ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle x\prec y}$, подразумевает ^[5] ${\displaystyle y\ll z}$ ${\displaystyle x\ll z}$
• ${\displaystyle \ll }$, , являются транзитивными . ^[5] не является транзитивным. ^[6] ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \prec }$ ${\displaystyle \to }$
• ${\displaystyle \prec }$, являются рефлексивными ^[4] ${\displaystyle \to }$

Для точки в многообразии мы определяем ^[5] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее обозначается как множество всех точек в , которые хронологически предшествуют : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,I^{+}(x)=\{y\in M|x\ll y\}}$

• Хронологическое прошлое обозначается как множество всех точек в , которые хронологически предшествуют : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{-}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,I^{-}(x)=\{y\in M|y\ll x\}}$

Мы аналогично определяем

• Причинное будущее (также называемое абсолютным будущим ) , обозначаемое как множество всех точек в , которые причинно предшествуют : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \,J^{+}(x)=\{y\in M|x\prec y\}}$

• Причинное прошлое (также называемое абсолютным прошлым ) обозначается как множество всех точек в , которые причинно предшествуют : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,J^{-}(x)=\{y\in M|y\prec x\}}$

• Будущий нулевой конус как множество всех точек в таких, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x\to y}$
• Прошлый нулевой конус как множество всех точек в таких, что . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle y\to x}$
• Световой конус как нулевые конусы будущего и прошлого вместе. ^[7] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• в других местах как точки, не находящиеся в световом конусе, каузальном будущем или каузальном прошлом. ^[7]

Точки, содержащиеся в , например, могут быть достигнуты из с помощью направленной в будущее времениподобной кривой. Точка может быть достигнута, например, из точек, содержащихся в с помощью направленной в будущее непространственноподобной кривой. ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{-}(x)}$

В пространстве-времени Минковского множество — это внутренняя часть будущего светового конуса в . Множество — это полный будущий световой конус в , включая сам конус. ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,J^{+}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Эти множества, определенные для всех в , в совокупности называются причинной структурой . ${\displaystyle \,I^{+}(x),I^{-}(x),J^{+}(x),J^{-}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Для подмножества мы определяем [ ⁵ ] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle I^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}I^{\pm }(x)}$

${\displaystyle J^{\pm }[S]=\bigcup _{x\in S}J^{\pm }(x)}$

Для двух подмножеств мы определяем ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle M}$

• Хронологическое будущее относительно ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ , ​​, является хронологическим будущим рассматриваемым как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно иная концепция, нежели , которая дает множество точек, в которых могут быть достигнуты направленные в будущее времениподобные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать в , во втором случае они этого не делают. См. Хокинга и Эллиса. ${\displaystyle I^{+}[S;T]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle I^{+}[S]\cap T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
• Причинное будущее относительно ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ , ​​, является причинным будущим , рассматриваемым как подмногообразие . Обратите внимание, что это совершенно иная концепция, нежели , которая дает множество точек, в которых могут быть достигнуты направленные в будущее причинные кривые, начиная с . В первом случае кривые должны лежать в , во втором случае они этого не делают. См. Хокинга и Эллиса. ${\displaystyle J^{+}[S;T]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle J^{+}[S]\cap T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
• Множество будущего — это множество, замкнутое относительно хронологического будущего.
• Множество прошедших событий — это множество, закрытое относительно хронологического прошлого.
• Неразложимое прошедшее множество (IP) — это прошедшее множество, которое не является объединением двух различных открытых прошлых собственных подмножеств.
• IP, который не совпадает с прошлым какой-либо точки, называется терминальным неразложимым прошлым множеством (TIP). ${\displaystyle M}$
• Правильное неразложимое прошедшее множество (PIP) — это IP, которое не является TIP. — правильное неразложимое прошедшее множество (PIP). ${\displaystyle I^{-}(x)}$
• Будущее развитие Коши , это множество всех точек , для которых каждая направленная в прошлое нерасширяемая причинная кривая через пересекается по крайней мере один раз. Аналогично для прошлого развития Коши. Развитие Коши является объединением будущего и прошлого развития Коши. Развертки Коши важны для изучения детерминизма . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D^{+}(S)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$
• Подмножество является ахрональным, если не существует такого, что , или, что эквивалентно, если не пересекается с . ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle q,r\in S}$ ${\displaystyle r\in I^{+}(q)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I^{+}[S]}$

Причинный алмаз

• Поверхность Коши — это замкнутое ахрональное множество, развертка Коши которого имеет вид . ${\displaystyle M}$
• Метрика является глобально гиперболической , если ее можно разбить на поверхности Коши.
• Множество , нарушающее хронологию, представляет собой множество точек, через которые проходят замкнутые времениподобные кривые.
• Множество , нарушающее причинность, — это множество точек, через которые проходят замкнутые причинно-следственные кривые.
• Граница множества, нарушающего причинность, — это горизонт Коши . Если горизонт Коши генерируется замкнутыми нулевыми геодезическими, то с каждой из них связан фактор красного смещения.
• Для каузальной кривой каузальный ромб (здесь мы используем более свободное определение «кривой», где это просто набор точек) является точкой в ​​каузальном прошлом . Другими словами: каузальный ромб мировой линии частицы — это набор всех событий, которые лежат как в прошлом некоторой точки в , так и в будущем некоторой точки в . В дискретной версии каузальный ромб — это набор всех каузальных путей, которые соединяются с . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle J^{+}(\gamma (t_{1}))\cap J^{-}(\gamma (t_{2}))}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$ ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t_{2})}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})}$

Характеристики

См. Пенроуз (1972), стр. 13.

• Точка находится в тогда и только тогда, когда находится в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \,I^{-}(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \,I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{-}(x)\subset I^{-}(y)}$
• ${\displaystyle x\prec y\implies I^{+}(y)\subset I^{+}(x)}$
• ${\displaystyle I^{+}[S]=I^{+}[I^{+}[S]]\subset J^{+}[S]=J^{+}[J^{+}[S]]}$
• ${\displaystyle I^{-}[S]=I^{-}[I^{-}[S]]\subset J^{-}[S]=J^{-}[J^{-}[S]]}$
• Горизм генерируется нулевыми геодезическими конгруэнциями.

Топологические свойства:

• ${\displaystyle I^{\pm }(x)}$открыт для всех точек в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]}$открыт для всех подмножеств . ${\displaystyle S\subset M}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]=I^{\pm }[{\overline {S}}]}$для всех подмножеств . Вот замыкание подмножества . ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle I^{\pm }[S]\subset {\overline {J^{\pm }[S]}}}$

Конформная геометрия

Две метрики и конформно связаны [ ^8], если для некоторой действительной функции, называемой конформным множителем . (См. конформное отображение ). ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle {\hat {g}}=\Omega ^{2}g}$ ${\displaystyle \Omega }$

Рассматривая определения того, какие касательные векторы являются времениподобными, нулевыми и пространственноподобными, мы видим, что они остаются неизменными, если мы используем или . В качестве примера предположим, что является времениподобным касательным вектором относительно метрики . Это означает, что . Тогда мы имеем, что является времениподобным касательным вектором относительно тоже. ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,g}$ ${\displaystyle \,g(X,X)<0}$ ${\displaystyle {\hat {g}}(X,X)=\Omega ^{2}g(X,X)<0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\hat {g}}}$

Из этого следует, что причинная структура лоренцева многообразия не изменяется при конформном преобразовании .

Нулевая геодезическая остается нулевой геодезической при конформном масштабировании.

Конформная бесконечность

Бесконечная метрика допускает геодезические бесконечной длины/собственного времени. Однако иногда мы можем сделать конформное масштабирование метрики с конформным множителем, который достаточно быстро уменьшается до 0 по мере приближения к бесконечности, чтобы получить конформную границу многообразия. Топологическая структура конформной границы зависит от причинной структуры.

• Направленные в будущее временные геодезические линии заканчиваются на будущей временной бесконечности . ${\displaystyle i^{+}}$
• Направленные в прошлое времениподобные геодезические линии заканчиваются на прошлой времениподобной бесконечности . ${\displaystyle i^{-}}$
• Нулевые геодезические, направленные в будущее, заканчиваются на ℐ ⁺ , будущей нулевой бесконечности .
• Нулевые геодезические, направленные в прошлое, заканчиваются на ℐ ⁻ , прошлой нулевой бесконечности .
• Пространственноподобные геодезические заканчиваются на пространственноподобной бесконечности .

В различных пространствах:

• Пространство Минковского : точки, ℐ ^± — нулевые листы, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 2. ${\displaystyle i^{\pm }}$
• Антидеситтеровское пространство : не существует времениподобной или нулевой бесконечности, а пространственноподобная бесконечность имеет коразмерность 1.
• Пространство де Ситтера : будущая и прошлая временная бесконечность имеет коразмерность 1.

Гравитационная сингулярность

Если геодезическая заканчивается после конечного аффинного параметра и невозможно расширить многообразие, чтобы продолжить геодезическую, то мы имеем сингулярность .

• Для черных дыр будущая временная граница заканчивается в некоторых местах сингулярностью .
• Для Большого взрыва прошедшая временная граница также является сингулярностью.

Абсолютный горизонт событий — это прошлый нулевой конус будущей времениподобной бесконечности. Он генерируется нулевыми геодезическими, которые подчиняются оптическому уравнению Райчаудхури .

Смотрите также

• Причинно-следственная динамическая триангуляция (CDT)
• Условия причинности
• Причинно-следственные множества
• Поверхность Коши
• Замкнутая кривая времени
• Гипотеза космической цензуры
• Глобально гиперболическое многообразие
• Пространство-время Маламента–Хогарта
• Нулевая бесконечность
• Диаграмма Пенроуза
• Теоремы Пенроуза–Хокинга о сингулярностях
• Пространство-время

Примечания

1. Хокинг и Израиль 1979, стр. 255
2. Гэллоуэй, Грегори Дж. «Заметки о лоренцевой причинности» (PDF) . Летняя школа ESI-EMS-IAMP по математической теории относительности . Университет Майами. стр. 4 . Получено 2 июля 2021 г. .
3. Пенроуз 1972, стр. 15
4. Papadopoulos, Kyriakos; Acharjee, Santanu; Papadopoulos, Basil K. (май 2018 г.). «Порядок на световом конусе и его индуцированная топология». International Journal of Geometric Methods in Modern Physics . 15 (5): 1850069–1851572. arXiv : 1710.05177 . Bibcode : 2018IJGMM..1550069P. doi : 10.1142/S021988781850069X. S2CID  119120311.
5. Пенроуз 1972, стр. 12
6. Stoica, OC (25 мая 2016 г.). «Пространственно-временная причинная структура и измерение из горизонтотической связи». Journal of Gravity . 2016 : 1–6. arXiv : 1504.03265 . doi : 10.1155/2016/6151726 .
7. Sard 1970, стр. 78
8. Хокинг и Эллис 1973, стр. 42

Ссылки

• Хокинг, SW ; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени , Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 0-521-20016-4
• Хокинг, SW ; Израэль, W. (1979), Общая теория относительности, обзор столетия Эйнштейна , Cambridge University Press, ISBN 0-521-22285-0
• Пенроуз, Р. (1972), Методы дифференциальной топологии в теории относительности , SIAM, ISBN 0898710057
• Сард, РД (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.

Дальнейшее чтение

• GW Gibbons , SN Solodukhin; Геометрия малых причинных ромбов arXiv:hep-th/0703098 (Причинные интервалы)
• SW Hawking , AR King, PJ McCarthy; Новая топология для искривленного пространства-времени, которая включает в себя причинные, дифференциальные и конформные структуры ; J. Math. Phys. 17 2:174-181 (1976); (Геометрия, причинная структура )
• А. В. Левичев; Задание конформной геометрии лоренцева многообразия с помощью его причинной структуры ; Докл. АН СССР. 35:452-455, (1987); (Геометрия, Причинная структура )
• Д. Маламент ; Класс непрерывных времениподобных кривых определяет топологию пространства-времени ; J. Math. Phys. 18 7:1399-1404 (1977); (Геометрия, Каузальная структура )
• AA Robb ; Теория времени и пространства ; Cambridge University Press, 1914; (Геометрия, Каузальная структура )
• AA Robb ; Абсолютные отношения времени и пространства ; Cambridge University Press, 1921; (Геометрия, Каузальная структура )
• AA Робб ; Геометрия времени и пространства ; Издательство Кембриджского университета, 1936; (Геометрия, Каузальная структура )
• RD Sorkin , E. Woolgar; Каузальный порядок для пространств-времен с лоренцевскими метриками C^0: доказательство компактности пространства причинных кривых ; Classical & Quantum Gravity 13: 1971-1994 (1996); arXiv:gr-qc/9508018 ( Каузальная структура )

Внешние ссылки

• Причинно-следственные сети машины Тьюринга Энрике Зелени, проект Wolfram Demonstrations
• Вайсштейн, Эрик В. «Причинная сеть». MathWorld .