Пространство конвергенции

Обобщение понятия сходимости, встречающегося в общей топологии.

В математике пространство сходимости , также называемое обобщенной сходимостью , представляет собой множество вместе с отношением, называемым сходимостью , которое удовлетворяет определенным свойствам, связывающим элементы X с семейством фильтров на X. Пространства сходимости обобщают понятия сходимости , которые встречаются в топологии точечных множеств , включая метрическую сходимость и равномерную сходимость . Каждое топологическое пространство порождает каноническую сходимость, но существуют сходимости, известные как нетопологические схождения , которые не возникают из какого-либо топологического пространства. ^[1] Примером сходимости, которая в общем случае нетопологическая, является сходимость почти всюду . Многие топологические свойства имеют обобщения на пространства сходимости.

Помимо своей способности описывать понятия сходимости, которые топологии не могут описать, категория пространств сходимости имеет важное категориальное свойство, которого нет в категории топологических пространств . Категория топологических пространств не является экспоненциальной категорией (или, что эквивалентно, она не является декартово замкнутой ), хотя она содержится в экспоненциальной категории псевдотопологических пространств, которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории пространств сходимости. ^[2]

Определение и обозначения

Предварительные сведения и обозначения

Обозначим множество мощности множества через Замыкание вверх или изотонизация в ^[3] семейства подмножеств определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\left\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\left\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\right\}}$

и аналогично закрытие вниз есть Если (соответственно ) , то говорят, что закрыто вверх (соответственно закрыто вниз ) в ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\left\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\right\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Для любых семей и заявляем, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$тогда и только тогда, когда для каждого существует такое , что ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle F\subseteq C}$

или эквивалентно, если то тогда и только тогда Отношение определяет предпорядок на Если что по определению означает то называется подчиненным и тоньше чем и называется грубее чем Отношение называется подчинением . Два семейства и называются эквивалентными ( относительно подчинения ), если и ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}.}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \,\geq \,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {C}}.}$

Фильтр на множестве — ${\displaystyle X}$ это непустое подмножество , которое замкнуто вверх в замкнуто относительно конечных пересечений и не имеет пустого множества в качестве элемента (т.е. ). Предфильтр — это любое семейство множеств, которое эквивалентно (относительно подчинения) некоторому фильтру или, что эквивалентно, это любое семейство множеств, замыкание вверх которого является фильтром. Семейство является предфильтром, также называемым базой фильтра , тогда и только тогда, когда и для любого существует некоторое такое, что Подбаза фильтра — это любое непустое семейство множеств со свойством конечного пересечения ; что эквивалентно, это любое непустое семейство , которое содержится как подмножество некоторого фильтра (или предфильтра), в этом случае наименьший (относительно или ) фильтр, содержащий называется фильтром ( на ), порожденным . Множество всех фильтров (соответственно предфильтров , подбаз фильтров, ультрафильтров ) на будет обозначаться (соответственно ). Главный или дискретный фильтр на в точке — это фильтр ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B\cap C.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {FilterSubbases} (X),}$ ${\displaystyle \operatorname {UltraFilters} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$

Определение пространств (пред)конвергенции

Для любого если то определить ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\left\{x\in X~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

и если тогда определить ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }^{-1}(x):=\left\{{\mathcal {F}}\subseteq \wp (X)~:~\left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi \right\}}$

поэтому если тогда и только тогда, когда Множество называется базовым множеством и обозначается как ^[1] ${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in X\times \wp (\wp (X))}$ ${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \left(x,{\mathcal {F}}\right)\in \xi .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \left|\xi \right|:=X.}$

Предсходимость ^{[1] [2] [4]} на непустом множестве — это бинарное отношение со следующим свойством: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$

1. Изотон : еслитогдаподразумевается ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}}$
   • На словах любая предельная точка обязательно является предельной точкой любого более тонкого/подчиненного семейства. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\geq {\mathcal {F}}.}$

и если в дополнение к этому он также обладает следующим свойством:

2. Центрировано : если то ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)}$
   • Другими словами, для каждого основного/дискретного ультрафильтра сходится к ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

тогда предсходимость называется сходимостью ^[1] на Обобщенная сходимость или пространство сходимости (соответственно пространство предсходимости ) — это пара, состоящая из множества вместе со сходимостью (соответственно предсходимостью) на ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Предварительная сходимость может быть канонически расширена до отношения на также обозначаемого как , определяя ^[1] ${\displaystyle \xi \subseteq X\times \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle X\times \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle \xi ,}$

${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}:=\lim {}_{\xi }\left({\mathcal {F}}^{\uparrow X}\right)}$

для всех Эта расширенная предварительная конвергенция будет изотонной в том смысле, что если то подразумевает ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Prefilters} (X).}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {G}}\in \operatorname {Prefilters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\leq {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}\subseteq \lim {}_{\xi }{\mathcal {G}}.}$

Примеры

Сходимость, индуцированная топологическим пространством

Пусть — топологическое пространство с Если тогда говорят, что сходится к точке в , записанной в , если где обозначает фильтр окрестности в . Множество всех таких, что в , обозначается через или просто , а элементы этого множества называются предельными точками в . ( Каноническая ) сходимость, связанная с или индуцированная ею, — это сходимость на , обозначенная через , определенная для всех и всех следующим образом: ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing .}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {N}}(x),}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {}_{X}{\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \lim {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \xi _{\tau },}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}}$тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Эквивалентно, это определяется как для всех ${\displaystyle \lim {}_{\xi _{\tau }}{\mathcal {F}}:=\lim {}_{(X,\tau )}{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$

(Пред)конвергенция, которая индуцируется некоторой топологией на, называется топологической (пред)конвергенцией ; в противном случае она называется нетопологической (пред)конвергенцией . ${\displaystyle X}$

Власть

Пусть и будут топологическими пространствами, а пусть обозначает множество непрерывных отображений Мощность относительно и является самой грубой топологией на , которая превращает естественное сопряжение в непрерывное отображение ^[2] Задача нахождения мощности не имеет решения, если только не является локально компактной . Однако, если искать сходимость вместо топологии, то всегда существует сходимость, которая решает эту проблему (даже без локальной компактности). ^[2] Другими словами, категория топологических пространств не является экспоненциальной категорией (т.е. или, что эквивалентно, она не является декартово замкнутой ), хотя она содержится в экспоненциальной категории псевдотопологий, которая сама по себе является подкатегорией (также экспоненциальной) категории сходимостей. ^[2] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (Z,\sigma )}$ ${\displaystyle C:=C\left((X,\tau );(Z,\sigma )\right)}$ ${\displaystyle f:(X,\tau )\to (Z,\sigma ).}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \left\langle x,f\right\rangle =f(x)}$ ${\displaystyle (X,\tau )\times \left(C,\theta \right)\to (Z,\sigma ).}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$

Другие названные примеры

Стандартная сходимость на ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Стандартная сходимость на действительной прямой ${\displaystyle X:=\mathbb {R} }$ — это сходимость на , определяемая для всех и всех ^[1] формулой: ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\nu }{\mathcal {F}}}$если и только если ${\displaystyle {\mathcal {F}}~\geq ~\left\{\left(x-{\frac {1}{n}},x+{\frac {1}{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Дискретная сходимость

Дискретная предсходимость на непустом множестве определяется для всех и всех ^[1] следующим образом: ${\displaystyle \iota _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$

${\displaystyle x\in \lim {}_{\iota _{X}}{\mathcal {F}}}$если и только если ${\displaystyle {\mathcal {F}}~=~\{x\}^{\uparrow X}.}$

Предварительная сходимость является сходимостью тогда и только тогда, когда ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \xi \leq \iota _{X}.}$

Пустая конвергенция

Пустая предсходимость на непустом множестве определяется для всех ^[1] следующим образом: ${\displaystyle \varnothing _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \lim {}_{\varnothing _{X}}{\mathcal {F}}:=\emptyset .}$

Хотя это и предсходимость на , это не схождение на Пустая предсходимость на является нетопологической предсходимостью, поскольку для каждой топологии на фильтр окрестности в любой заданной точке обязательно сходится к на ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\tau ).}$

Хаотическая конвергенция

Хаотическая предсходимость на непустом множестве определяется для всех ^[1] следующим образом: Хаотическая предсходимость на равна канонической сходимости, индуцированной при наделении недискретной топологией . ${\displaystyle o_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \lim {}_{o_{X}}{\mathcal {F}}:=X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

Предварительная сходимость на непустом множестве называется Хаусдорфовой или T _{2 ,} если является одноэлементным множеством для всех ^[1]. Она называется T _{1 ,} если для всех и называется T _{0 ,} если для всех различных ^[1] . Каждая предварительная сходимость T ₁ на конечном множестве является Хаусдорфовой. ^[1] Каждая сходимость T ₁ на конечном множестве является дискретной. ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$ ${\displaystyle \lim {}_{\xi }\left(\{x\}^{\uparrow X}\right)\subseteq \{x\}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(x)\neq \operatorname {lim} ^{-1}{}_{\xi }(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$

Хотя категория топологических пространств не является экспоненциальной (т.е. декартово замкнутой ), ее можно расширить до экспоненциальной категории посредством использования подкатегории пространств сходимости. ^[2]

Смотрите также

• Пространство Коши  – Понятие в общей топологии и анализе
• Характеристика категории топологических пространств
• Конвергентный фильтр  – использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Пространство близости  – структура, описывающая понятие «близости» между подмножествами.
• Топологическое пространство  – Математическое пространство с понятием близости.

Цитаты

1. Dolecki & Mynard 2016, стр. 55–77.
2. Долецки 2009, стр. 1–51
3. Долецки и Майнард 2016, стр. 27–29.
4. Долецки и Майнард 2014, стр. 1–25

Ссылки

• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations Of Topology . Нью-Джерси: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917.
• Dolecki, Szymon (2009). Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott (ред.). "An initiation into convergence theory" (PDF) . Beyond Topology . Contemporary Mathematics Series AMS 486 : 115–162 . Получено 14 января 2021 г. .
• Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2014). «Единая теория функциональных пространств и гиперпространств: локальные свойства» (PDF) . Houston J. Math . 40 (1): 285–318 . Получено 14 января 2021 г. .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.