В геометрии куб [а] — это трехмерный твердый объект , ограниченный шестью квадратными гранями, гранями или сторонами, по три из которых встречаются в каждой вершине . Если смотреть под углом, это шестиугольник , а его сетка обычно изображается в виде креста . [1]
Куб — единственный правильный шестигранник и одно из пяти Платоновых тел . У него 6 граней, 12 ребер и 8 вершин.
Куб также является квадратным параллелепипедом , равносторонним кубоидом , прямым ромбоэдром и 3 - зоноэдром . Это правильная квадратная призма в трёх ориентациях и трёхугольный трапецоэдр в четырёх ориентациях.
Куб двойственен октаэдру . Он имеет кубическую или октаэдрическую симметрию и является единственным выпуклым многогранником , все грани которого представляют собой квадраты . Его обобщение для пространств более высокой размерности называется гиперкубом .
Куб имеет четыре специальные ортогональные проекции , центрированные по вершине, ребрам, грани и нормали к фигуре вершины . Первая и третья соответствуют плоскостям Кокстера А2 и В2 .
Куб также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость посредством стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
Для куба с центром в начале координат, краями, параллельными осям, и длиной ребра, равной 2, декартовы координаты вершин равны
а внутренняя часть состоит из всех точек ( x 0 , x 1 , x 2 ) с −1 < x i < 1 для всех i .
Эта матрица конфигурации представляет куб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам и граням. Диагональные числа показывают, сколько элементов каждого элемента встречается во всем кубе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. [2] Например, цифра 2 в первом столбце средней строки означает, что на каждом ребре (т. е. на крайних точках) имеется по 2 вершины; цифра 3 в среднем столбце первой строки означает, что в каждой вершине сходятся 3 ребра.
В аналитической геометрии поверхность куба с центром ( x 0 , y 0 , z 0 ) и длиной ребра 2a является местом всех точек ( x , y , z ) таких, что
Куб также можно рассматривать как предельный случай трехмерного суперэллипсоида, поскольку все три показателя стремятся к бесконечности.
Для куба с длиной ребра :
Поскольку объем куба равен третьей степени его сторон , третьи степени называются кубами по аналогии с квадратами и вторыми степенями.
Куб имеет самый большой объём среди кубоидов (прямоугольных коробок) с заданной площадью поверхности . Кроме того, куб имеет самый большой объем среди кубоидов с одинаковым общим линейным размером (длина+ширина+высота).
Для куба, описывающая сферу которого имеет радиус R , и для данной точки в его трехмерном пространстве с расстояниями d i от восьми вершин куба, мы имеем: [3]
Удвоение куба , или Делосская проблема , — это задача, поставленная древнегреческими математиками : они, используя только циркуль и линейку, начали с длины ребра данного куба и построили длину ребра куба с удвоенной длиной ребра. объем исходного куба. Им не удалось решить эту задачу, что в 1837 году Пьер Ванцель доказал невозможностью, поскольку кубический корень из 2 не является конструктивным числом .
Куб имеет три однородные раскраски, названные по уникальным цветам квадратных граней вокруг каждой вершины: 111, 112, 123.
Куб имеет четыре класса симметрии, которые можно представить вершинно-транзитивной раскраской граней. Высшая октаэдрическая симметрия Oh имеет все грани одного цвета. Двугранная симметрия D 4h возникает из-за того, что куб представляет собой твердое тело, все шесть сторон которого имеют разные цвета. Призматическое подмножество D 2d имеет ту же окраску, что и предыдущее, а D 2h имеет чередующиеся цвета сторон, всего три цвета, спаренные противоположными сторонами. Каждая форма симметрии имеет свой символ Витхоффа .
Куб имеет одиннадцать сеток : то есть существует одиннадцать способов сплющить полый куб, обрезав семь ребер. [4] Чтобы раскрасить куб так, чтобы никакие две соседние грани не имели одинаковый цвет, потребуется как минимум три цвета.
Куб — это ячейка единственного правильного замощения трехмерного евклидова пространства . Оно также уникально среди платоновых тел тем, что имеет грани с четным числом сторон и, следовательно, является единственным членом этой группы, который является зоноэдром (каждая грань имеет точечную симметрию).
Куб можно разрезать на шесть одинаковых квадратных пирамид . Если эти квадратные пирамиды затем присоединить к граням второго куба, получится ромбдодекаэдр (с парами копланарных треугольников, объединенных в ромбические грани).
Кубы появляются в авраамических религиях . Кааба ( по-арабски «куб») в Мекке является одним из примеров. Кубики также фигурируют в иудаизме как тфилин , а Новый Иерусалим описывается в Новом Завете как куб. [5]
Аналог куба в четырехмерном евклидовом пространстве имеет особое название — тессеракт или гиперкуб . Точнее, гиперкуб (или n -мерный куб или просто n -куб) является аналогом куба в n -мерном евклидовом пространстве, а тессеракт — это гиперкуб четвертого порядка. Гиперкуб также называют многогранником меры .
Существуют аналоги куба и в более низких измерениях: точка в измерении 0, отрезок в одном измерении и квадрат в двух измерениях.
Фактор куба по антиподальному отображению дает проективный многогранник — полукуб .
Если исходный куб имеет длину ребра 1, его двойственный многогранник ( октаэдр ) имеет длину ребра .
Куб — частный случай в различных классах общих многогранников:
Вершины куба можно сгруппировать в две группы по четыре, каждая из которых образует правильный тетраэдр ; в более общем смысле это называется демикубом . Вместе они образуют правильное соединение — звезду октангулу . Пересечение этих двух форм образует правильный октаэдр. Симметрии правильного тетраэдра соответствуют симметрии куба, который отображает каждый тетраэдр сам в себя; другие симметрии куба отображают их друг на друга.
Один такой правильный тетраэдр имеет объем1/3того же куба. Оставшееся пространство состоит из четырех равных неправильных тетраэдров объемом1/6куба, каждый.
Выпрямленный куб — кубооктаэдр . Если срезать меньшие углы, то получится многогранник с шестью восьмиугольными гранями и восемью треугольными. В частности, мы можем получить правильные восьмиугольники ( усеченный куб ). Ромбокубооктаэдр получается путем срезания на нужную величину как углов, так и ребер .
Куб можно вписать в додекаэдр так, что каждая вершина куба является вершиной додекаэдра, а каждое ребро — диагональю одной из граней додекаэдра; взятие всех таких кубиков дает правильное соединение из пяти кубиков.
Если два противоположных угла куба усечь на глубину трёх непосредственно связанных с ними вершин, то получится неправильный октаэдр. Восемь таких неправильных октаэдров можно прикрепить к треугольным граням правильного октаэдра, чтобы получить кубооктаэдр.
Куб топологически связан с серией сферических многогранников и мозаик с вершинными фигурами третьего порядка .
Кубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.
Куб топологически связан как часть последовательности правильных мозаик, простирающихся в гиперболическую плоскость : {4,p}, p=3,4,5...
При двугранной симметрии Dih 4 куб топологически связан в ряд однородных многогранников и мозаик 4.2n.2n, простирающихся в гиперболическую плоскость:
Все эти фигуры обладают октаэдрической симметрией .
Куб является частью последовательности ромбических многогранников и мозаик с симметрией группы Кокстера [ n ,3] . Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, где ромбы — это квадраты.
Куб представляет собой квадратную призму :
Как тригональный трапецоэдр , куб относится к семейству гексагонально-диэдральной симметрии.
Это элемент 9 из 28 выпуклых однородных сот :
Это также элемент пяти четырехмерных однородных полихор :
Скелет куба (вершины и ребра) образует граф с 8 вершинами и 12 ребрами, называемый графом куба . Это частный случай графа гиперкуба . [6] Это один из 5 платоновых графов , каждый из которых представляет собой скелет своего Платонового тела .
Расширением является трехмерный k -ARY граф Хэмминга , который при k = 2 является графом-кубом. Графы такого типа встречаются в теории параллельной обработки на компьютерах.