Керл (математика)

Плотность циркуляции в векторном поле

Изображение двумерного векторного поля с равномерным ротором.

В векторном исчислении ротор , также известный как ротор , является векторным оператором , описывающим бесконечно малую циркуляцию векторного поля в трехмерном евклидовом пространстве . Ротор в точке поля представлен вектором , длина и направление которого обозначают величину и ось максимальной циркуляции. ^{[1] Ротор поля} формально определяется как плотность циркуляции в каждой точке поля.

Векторные поля, ротор которых равен нулю, называются безвихревыми . Ротор — это форма дифференцирования векторных полей. Соответствующая форма основной теоремы исчисления — теорема Стокса , которая связывает поверхностный интеграл ротора векторного поля с линейным интегралом векторного поля вокруг граничной кривой.

Обозначение curl F более распространено в Северной Америке. В остальном мире, особенно в научной литературе 20-го века, традиционно используется альтернативное обозначение rot F , которое происходит от «скорости вращения», которую оно представляет. Чтобы избежать путаницы, современные авторы склонны использовать обозначение перекрестного произведения с оператором del (nabla), как в , ^[2] которое также раскрывает связь между операторами curl (rotor), дивергенцией и градиентом . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

В отличие от градиента и дивергенции , rot, как он сформулирован в векторном исчислении, не обобщается просто на другие измерения; некоторые обобщения возможны, но только в трех измерениях геометрически определенный rot векторного поля снова является векторным полем. Этот недостаток является прямым следствием ограничений векторного исчисления; с другой стороны, будучи выраженным как антисимметричное тензорное поле через оператор клина геометрического исчисления , rot обобщается на все измерения. Обстоятельство похоже на то, что сопровождает 3-мерное векторное произведение , и действительно связь отражена в обозначении для rot. ${\displaystyle \nabla \times }$

Название «локон» впервые предложил Джеймс Клерк Максвелл в 1871 году ^[3], но, по-видимому, впервые это понятие было использовано при построении теории оптического поля Джеймсом МакКуллахом в 1839 году. ^{[4] [5]}

Определение

Компоненты F в точке r , нормальные и касательные к замкнутой кривой C на плоскости, охватывающей плоскую векторную область . ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$

Правило правой руки

Ротор векторного поля F , обозначаемый как rot F , или , или rot F , является оператором, который отображает функции C k в R ³ в функции C ^{k −1} в R ³ , и в частности, он отображает непрерывно дифференцируемые функции R ³ → R ³ в непрерывные функции R ³ → R ³ . Его можно определить несколькими способами, которые будут упомянуты ниже: ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$

Один из способов определения ротора векторного поля в точке — неявное определение через его компоненты вдоль различных осей, проходящих через точку: если — любой единичный вектор, компонент ротора F вдоль направления может быть определен как предельное значение замкнутого линейного интеграла в плоскости, перпендикулярной к , деленного на охватываемую площадь, поскольку путь интегрирования бесконечно сужается вокруг точки. ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

Более конкретно, ротор определяется в точке p как ^{[6] [7]} , где линейный интеграл вычисляется вдоль границы C рассматриваемой области A , | A | — величина области. Это уравнение определяет компонент ротора F вдоль направления . Бесконечно малые поверхности, ограниченные C, имеют в качестве своей нормали . C ориентирована по правилу правой руки . $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p)\cdot \mathbf {\hat {u}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{A\to 0}{\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} }$

Вышеприведенная формула означает, что компонент ротора векторного поля вдоль определенной оси является бесконечно малой плотностью площади циркуляции поля в плоскости, перпендикулярной этой оси. Эта формула априори не определяет законное векторное поле, поскольку отдельные плотности циркуляции относительно различных осей априори не должны соотноситься друг с другом так же, как это делают компоненты вектора; то, что они действительно соотносятся друг с другом таким точным образом, должно быть доказано отдельно.

К этому определению естественным образом подходит теорема Кельвина–Стокса , как глобальная формула, соответствующая определению. Она приравнивает поверхностный интеграл ротора векторного поля к указанному выше линейному интегралу, взятому по границе поверхности.

Другой способ определения вектора ротора функции F в точке — это явное определение его как предельного значения векторного поверхностного интеграла вокруг оболочки, охватывающей точку p, деленного на охватываемый ею объем, поскольку оболочка неограниченно сжимается вокруг точки p .

Более конкретно, ротор можно определить с помощью векторной формулы , где поверхностный интеграл вычисляется вдоль границы S объема V , где | V | — величина объема, и направлен наружу от поверхности S перпендикулярно в каждой точке S. $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )(p){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{{}={}}}\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} \times \mathbf {F} \ \mathrm {d} S}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

В этой формуле векторное произведение в подынтегральном выражении измеряет тангенциальную составляющую F в каждой точке поверхности S и указывает вдоль поверхности под прямым углом к ​​тангенциальной проекции F. Интегрирование этого векторного произведения по всей поверхности дает вектор, величина которого измеряет общую циркуляцию F вокруг S , а направление перпендикулярно этой циркуляции. Вышеприведенная формула говорит, что ротор векторного поля в точке является бесконечно малой объемной плотностью этого «вектора циркуляции» вокруг точки.

Этому определению естественным образом соответствует другая глобальная формула (похожая на теорему Кельвина-Стокса), которая приравнивает объемный интеграл ротора векторного поля указанному выше поверхностному интегралу, взятому по границе объема.

В то время как два приведенных выше определения ротора не зависят от координат, существует еще одно «легко запоминающееся» определение ротора в криволинейных ортогональных координатах , например, в декартовых координатах , сферических , цилиндрических или даже эллиптических или параболических координатах : $${\displaystyle {\begin{aligned}&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{1}={\frac {1}{h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{2}}}-{\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{3}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{2}={\frac {1}{h_{3}h_{1}}}\left({\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{3}}}-{\frac {\partial (h_{3}F_{3})}{\partial u_{1}}}\right),\\[5pt]&(\operatorname {curl} \mathbf {F} )_{3}={\frac {1}{h_{1}h_{2}}}\left({\frac {\partial (h_{2}F_{2})}{\partial u_{1}}}-{\frac {\partial (h_{1}F_{1})}{\partial u_{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Уравнение для каждого компонента (rot F ) _k можно получить, заменив каждое вхождение нижнего индекса 1, 2, 3 в циклической перестановке: 1 → 2, 2 → 3 и 3 → 1 (где нижние индексы представляют соответствующие индексы).

Если ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) — декартовы координаты , а ( u ₁ , u ₂ , u ₃ ) — ортогональные координаты, то — длина вектора координат, соответствующего u i . Оставшиеся два компонента rot получаются в результате циклической перестановки индексов : _3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1. $${\displaystyle h_{i}={\sqrt {\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{2}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial x_{3}}{\partial u_{i}}}\right)^{2}}}}$$

Использование

На практике два описанных выше определения без координат используются редко, поскольку практически во всех случаях оператор ротора можно применить с использованием некоторого набора криволинейных координат , для которых были получены более простые представления.

Обозначение ∇ × F берет свое начало в сходстве с 3-мерным векторным произведением и полезно как мнемоника в декартовых координатах , если ∇ рассматривается как векторный дифференциальный оператор del . Такое обозначение, включающее операторы, распространено в физике и алгебре .

Разложенное в 3-мерных декартовых координатах (см. Del в цилиндрических и сферических координатах для сферических и цилиндрических координатных представлений), ∇ × F равно, для F, составленного из [ F _x , F _y , F _z ] (где нижние индексы указывают на компоненты вектора, а не частные производные): где i , j , и k являются единичными векторами для осей x , y , и z соответственно. Это разлагается следующим образом: ^[8] $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}{\boldsymbol {\hat {\imath }}}&{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}&{\boldsymbol {\hat {k}}}\\[5mu]{\dfrac {\partial }{\partial x}}&{\dfrac {\partial }{\partial y}}&{\dfrac {\partial }{\partial z}}\\[5mu]F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\imath }}}-\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

Хотя результат выражен в координатах, он инвариантен относительно собственных вращений осей координат, но инвертируется при отражении.

В общей системе координат ротор задается как ^[1] ​​где ε обозначает тензор Леви-Чивиты , ∇ — ковариантную производную , — определитель метрического тензора , а соглашение Эйнштейна о суммировании подразумевает, что повторяющиеся индексы суммируются по. Из-за симметрии символов Кристоффеля, участвующих в ковариантной производной, это выражение сводится к частной производной: где R _k — локальные базисные векторы. Эквивалентно, используя внешнюю производную , ротор можно выразить как: $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )^{k}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\varepsilon ^{k\ell m}\nabla _{\ell }F_{m}}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )={\frac {1}{\sqrt {g}}}\mathbf {R} _{k}\varepsilon ^{k\ell m}\partial _{\ell }F_{m}}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\left(\star {\big (}{\mathrm {d} }\mathbf {F} ^{\flat }{\big )}\right)^{\sharp }}$$

Здесь ♭ и ♯ — музыкальные изоморфизмы , а ★ — оператор звезды Ходжа . Эта формула показывает, как вычислить ротор F в любой системе координат и как расширить ротор на любое ориентированное трехмерное риманово многообразие. Поскольку это зависит от выбора ориентации, ротор является хиральной операцией. Другими словами, если ориентация меняется на противоположную, то направление ротора также меняется на противоположное.

Примеры

Пример 1

Предположим, что векторное поле описывает поле скорости потока жидкости ( например, большой резервуар с жидкостью или газом ), а внутри жидкости или газа находится небольшой шарик (центр шарика зафиксирован в определенной точке). Если шарик имеет шероховатую поверхность, то протекающая мимо него жидкость заставит его вращаться. Ось вращения (ориентированная по правилу правой руки) указывает в направлении завитка поля в центре шарика, а угловая скорость вращения составляет половину величины завитка в этой точке. ^[9] Завиток векторного поля в любой точке задается вращением бесконечно малой области в плоскости xy (для компонента завитка по оси z ), плоскости zx (для компонента завитка по оси y ) и плоскости yz (для компонента вектора завитка по оси x ). Это можно увидеть в примерах ниже.

Пример 2

Вектор поля F ( x , y )=[ y ,− x ] (слева) и его ротор (справа).

Вектор поля можно разложить следующим образом: $${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=y{\boldsymbol {\hat {\imath }}}-x{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$ $${\displaystyle F_{x}=y,F_{y}=-x,F_{z}=0.}$$

При визуальном осмотре поле можно описать как «вращающееся». Если бы векторы поля представляли линейную силу, действующую на объекты, находящиеся в этой точке, и объект был бы помещен внутрь поля, то объект начал бы вращаться по часовой стрелке вокруг себя. Это справедливо независимо от того, где находится объект.

Расчет завитка: $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\left({\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2{\boldsymbol {\hat {k}}}}$$

Результирующее векторное поле, описывающее завиток, во всех точках будет указывать в отрицательном направлении z . Результаты этого уравнения совпадают с тем, что можно было бы предсказать с помощью правила правой руки, используя правую систему координат . Будучи однородным векторным полем, описанный ранее объект имел бы одинаковую интенсивность вращения независимо от того, где он был бы помещен.

Пример 3

Вектор поля F ( x , y ) = [0, − x ² ] (слева) и его ротор (справа).

Для векторного поля $${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=-x^{2}{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}$$

завиток не так очевиден из графика. Однако, взяв объект из предыдущего примера и поместив его в любое место на линии x = 3 , сила, приложенная с правой стороны, будет немного больше силы, приложенной с левой стороны, заставляя его вращаться по часовой стрелке. Используя правило правой руки, можно предсказать, что полученный завиток будет прямым в отрицательном направлении z . И наоборот, если поместить на x = −3 , объект будет вращаться против часовой стрелки, а правило правой руки приведет к положительному направлению z .

Расчет завитка: $${\displaystyle {\nabla }\times \mathbf {F} =0{\boldsymbol {\hat {\imath }}}+0{\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-x^{2}\right){\boldsymbol {\hat {k}}}=-2x{\boldsymbol {\hat {k}}}.}$$

Ротор указывает в отрицательном направлении z, когда x положительный, и наоборот. В этом поле интенсивность вращения будет больше, когда объект удаляется от плоскости x = 0 .

Дополнительные примеры

• В векторном поле, описывающем линейные скорости каждой части вращающегося диска в равномерном круговом движении , ротор имеет одинаковое значение во всех точках, и это значение оказывается ровно в два раза больше векторной угловой скорости диска (ориентированной, как обычно, по правилу правой руки ). В более общем смысле, для любой текущей массы векторное поле линейной скорости в каждой точке потока массы имеет ротор (завихренность потока в этой точке), равный ровно в два раза больше локальной векторной угловой скорости массы вокруг точки.
• Для любого твердого объекта, подверженного воздействию внешней физической силы (такой как гравитация или электромагнитная сила), можно рассмотреть векторное поле, представляющее бесконечно малые вклады силы на единицу объема, действующие в каждой из точек объекта. Это силовое поле может создавать чистый крутящий момент на объекте относительно его центра масс, и этот крутящий момент оказывается прямо пропорциональным и векторно параллельным (векторно-значному) интегралу ротора силового поля по всему объему.
• Из четырех уравнений Максвелла два — закон Фарадея и закон Ампера — можно компактно выразить с помощью ротора. Закон Фарадея гласит, что ротор электрического поля равен противоположной величине скорости изменения магнитного поля во времени, в то время как закон Ампера связывает ротор магнитного поля с током и скоростью изменения электрического поля во времени.

Идентичности

В общих криволинейных координатах (не только в декартовых координатах) можно показать , что ротор векторного произведения векторных полей v и F равен $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v\times F} \right)={\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot F} \right)+\mathbf {F\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {v} -{\Big (}\left(\mathbf {\nabla \cdot v} \right)+\mathbf {v\cdot \nabla } {\Big )}\mathbf {F} \ .}$$

Меняя местами векторное поле v и оператор ∇ , мы приходим к векторному произведению векторного поля с ротором векторного поля: где ∇ _F — это индексная нотация Фейнмана, которая учитывает только изменение, обусловленное векторным полем F (т.е. в этом случае v рассматривается как постоянное в пространстве). $${\displaystyle \mathbf {v\ \times } \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\nabla _{\mathbf {F} }\left(\mathbf {v\cdot F} \right)-\left(\mathbf {v\cdot \nabla } \right)\mathbf {F} \ ,}$$

Другим примером является ротор ротора векторного поля. Можно показать, что в общих координатах и ​​это тождество определяет векторный лапласиан F , обозначаемый как ∇ ² F . $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {\nabla \times F} \right)=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla \cdot F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} \ ,}$$

Ротор градиента любого скалярного поля φ всегда является нулевым векторным полем , что следует из антисимметрии в определении ротора и симметрии вторых производных . $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )={\boldsymbol {0}}}$$

Дивергенция ротора любого векторного поля равна нулю : $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$$

Если φ — скалярная функция, а F — векторное поле, то $${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} }$$

Обобщения

Векторные операции исчисления grad , curl и div проще всего обобщаются в контексте дифференциальных форм, что включает ряд шагов. Короче говоря, они соответствуют производным 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно. Геометрическая интерпретация curl как вращения соответствует идентификации бивекторов (2-векторов) в 3 измерениях со специальной ортогональной алгеброй Ли бесконечно малых вращений (в координатах кососимметричных матриц 3 × 3), тогда как представление вращений векторами соответствует идентификации 1-векторов (эквивалентно 2-векторов) и , все они являются 3-мерными пространствами. ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$

Дифференциальные формы

В 3 измерениях дифференциальная 0-форма — это вещественная функция f ( x , y , z ) ; дифференциальная 1-форма — это следующее выражение, где коэффициенты — это функции: дифференциальная 2-форма — это формальная сумма, снова с функциональными коэффициентами: а дифференциальная 3-форма определяется одним членом с одной функцией в качестве коэффициента: (Здесь a -коэффициенты — это вещественные функции трех переменных; «клиновые произведения», например, dx ∧ dy , можно интерпретировать как своего рода ориентированные элементы площади, dx ∧ dy = − dy ∧ dx и т. д.) $${\displaystyle a_{1}\,dx+a_{2}\,dy+a_{3}\,dz;}$$ $${\displaystyle a_{12}\,dx\wedge dy+a_{13}\,dx\wedge dz+a_{23}\,dy\wedge dz;}$$ $${\displaystyle a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.}$$

Внешняя производная k -формы в R ³ определяется как ( k + 1) -форма сверху — и в R ^{n ,} если, например, то внешняя производная d приводит к $${\displaystyle \omega ^{(k)}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}},}$$ $${\displaystyle d\omega ^{(k)}=\sum _{\scriptstyle {j=1} \atop \scriptstyle {i_{1}<\cdots <i_{k}}}^{n}{\frac {\partial a_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{j}}}\,dx_{j}\wedge dx_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx_{i_{k}}.}$$

Внешняя производная 1-формы, следовательно, является 2-формой, а 2-формы — 3-формой. С другой стороны, из-за взаимозаменяемости смешанных производных и антисимметрии, $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}},}$$ $${\displaystyle dx_{i}\wedge dx_{j}=-dx_{j}\wedge dx_{i}}$$

двукратное применение внешней производной дает (нулевую -форму). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k+2}$

Таким образом, обозначая пространство k -форм через Ω ^k ( R ³ ) , а внешнюю производную через d, получаем последовательность: $${\displaystyle 0\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\;\Omega ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)\,{\overset {d}{\longrightarrow }}\,0.}$$

Здесь Ω ^k ( R ⁿ ) — пространство сечений внешнего алгебры Λ ^k ( R ⁿ ) векторного расслоения над R ⁿ , размерность которого равна биномиальному коэффициенту (^н
_к) ; обратите внимание, чтоΩ ^k ( R ³ ) = 0для k > 3или k < 0.Записывая только размеры, получаем строкутреугольника Паскаля:

0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

1-мерные волокна соответствуют скалярным полям, а 3-мерные волокна — векторным полям, как описано ниже. По модулю подходящих идентификаций три нетривиальных вхождения внешней производной соответствуют grad, curl и div.

Дифференциальные формы и дифференциал могут быть определены на любом евклидовом пространстве или, в действительности, на любом многообразии без какого-либо понятия римановой метрики. На римановом многообразии или, в более общем смысле, псевдоримановом многообразии k -формы могут быть отождествлены с k -векторными полями ( k -формы являются k -ковекторными полями, а псевдориманова метрика дает изоморфизм между векторами и ковекторами), а на ориентированном векторном пространстве с невырожденной формой (изоморфизм между векторами и ковекторами) существует изоморфизм между k -векторами и ( n − k ) -векторами; в частности, на (касательном пространстве) ориентированного псевдориманова многообразия. Таким образом, на ориентированном псевдоримановом многообразии можно поменять местами k -формы, k -векторные поля, ( n − k ) -формы и ( n − k ) -векторные поля; это известно как двойственность Ходжа . Конкретно, на R ³ это задается как:

• 1-формы и 1-векторные поля: 1-форма a _x dx + a _y dy + a _z dz соответствует векторному полю ( a _x , a _y , a _z ) .
• 1-формы и 2-формы: заменяем dx на дуальную величину dy ∧ dz (т. е. опускаем dx ), и аналогично, учитывая ориентацию: dy соответствует dz ∧ dx = − dx ∧ dz , а dz соответствует dx ∧ dy . Таким образом, форма a _x dx + a _y dy + a _z dz соответствует "дуальной форме" a _z dx ∧ dy + a _y dz ∧ dx + a _x dy ∧ dz .

Таким образом, отождествляя 0-формы и 3-формы со скалярными полями, а 1-формы и 2-формы с векторными полями:

• grad преобразует скалярное поле (0-форму) в векторное поле (1-форму);
• curl преобразует векторное поле (1-форму) в псевдовекторное поле (2-форму);
• div преобразует псевдовекторное поле (2-форма) в псевдоскалярное поле (3-форма)

С другой стороны, тот факт, что d ² = 0, соответствует тождествам для любого скалярного поля f и для любого векторного поля v . $${\displaystyle \nabla \times (\nabla f)=\mathbf {0} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {v} )=0}$$

Grad и div обобщаются на все ориентированные псевдоримановы многообразия с той же геометрической интерпретацией, поскольку пространства 0-форм и n -форм в каждой точке всегда одномерны и могут быть отождествлены со скалярными полями, в то время как пространства 1-форм и ( n − 1) -форм всегда послойно n -мерны и могут быть отождествлены с векторными полями.

Curl не обобщается таким образом до 4 или более измерений (или до 2 или менее измерений); в 4 измерениях измерения

0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

так что rot 1-векторного поля (послойно 4-мерного) является 2-векторным полем , которое в каждой точке принадлежит 6-мерному векторному пространству, и поэтому есть что дает сумму шести независимых членов, и не может быть отождествлено с 1-векторным полем. Также нельзя осмысленно перейти от 1-векторного поля к 2-векторному полю и к 3-векторному полю (4 → 6 → 4), поскольку взятие дифференциала дважды дает ноль ( d ² = 0 ). Таким образом, не существует функции rot от векторных полей к векторным полям в других измерениях, возникающих таким образом. $${\displaystyle \omega ^{(2)}=\sum _{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_{i}\wedge dx_{k},}$$

Однако можно определить ротор векторного поля как 2-векторное поле в общем случае, как описано ниже.

Геометрически завиток

2-векторы соответствуют внешней мощности Λ ² V ; при наличии внутреннего произведения в координатах это кососимметричные матрицы, которые геометрически рассматриваются как специальная ортогональная алгебра Ли ( V ) бесконечно малых вращений. Это имеет ( ${\displaystyle {\mathfrak {so}}}$^н
₂) = ⁠1/2⁠ n ( n − 1) измерений, и позволяет интерпретировать дифференциал 1-векторного поля как его бесконечно малые вращения. Только в 3 измерениях (или тривиально в 0 измерениях) мы имеем n = ⁠1/2⁠ n ( n − 1) , что является наиболее элегантным и распространенным случаем. В 2 измерениях ротор векторного поля не является векторным полем, а функцией, поскольку 2-мерные вращения задаются углом (скаляром — ориентация требуется для выбора, считать ли вращения по часовой стрелке или против часовой стрелки положительными); это не div, а скорее перпендикулярно ему. В 3 измерениях ротор векторного поля является векторным полем, как известно (в 1 и 0 измерениях ротор векторного поля равен 0, потому что нет нетривиальных 2-векторов), в то время как в 4 измерениях ротор векторного поля геометрически в каждой точке является элементом 6-мерной алгебры Ли . ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)}$

Ротор трехмерного векторного поля, зависящий только от двух координат (например, x и y ), представляет собой просто вертикальное векторное поле (в направлении z ), величина которого равна ротору двумерного векторного поля, как в примерах на этой странице.

Рассмотрение ротора как 2-векторного поля (антисимметричного 2-тензора) использовалось для обобщения векторного исчисления и связанной с ним физики на более высокие измерения. ^[10]

Обратный

В случае, когда дивергенция векторного поля V равна нулю, существует векторное поле W , такое что V = rot( W ) . ^{[ необходима ссылка ]} Вот почему магнитное поле , характеризующееся нулевой дивергенцией, можно выразить как ротор магнитного векторного потенциала .

Если W — векторное поле с curl( W ) = V , то добавление любого градиентного векторного поля grad( f ) к W приведет к другому векторному полю W + grad( f ) такому, что curl( W + grad( f )) = V. Это можно обобщить, сказав, что обратный ротор трехмерного векторного поля может быть получен с точностью до неизвестного безвихревого поля с помощью закона Био–Савара .

Смотрите также

• Разложение Гельмгольца
• Предварительный обуславливатель Хиптмайра–Сюй
• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Вихревость

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Керл». Математический мир .
2. Стандарт ISO/IEC 80000-2 Норма ISO/IEC 80000-2, пункт 2-17.16
3. Труды Лондонского математического общества, 9 марта 1871 г.
4. Собрание сочинений Джеймса МакКуллага. Дублин: Hodges. 1880.
5. Самые ранние известные случаи использования некоторых слов из математики tripod.com
6. Математические методы для физики и техники, К.Ф. Райли, М.П. Хобсон, С.Дж. Бенс, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3 
7. Векторный анализ (2-е издание), М. Р. Шпигель, С. Липшуц, Д. Спеллман, Очерки Шаума, McGraw Hill (США), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7 
8. Арфкен, Джордж Браун (2005). Математические методы для физиков . Вебер, Ганс-Юрген (6-е изд.). Бостон: Elsevier. стр. 43. ISBN 978-0-08-047069-6. OCLC  127114279.
9. Гиббс, Джозайя Уиллард ; Уилсон, Эдвин Бидвелл (1901), Векторный анализ, публикации к двухсотлетию Йельского университета, C. Scribner's Sons, hdl :2027/mdp.39015000962285
10. Макдэвид, AW; Макмуллен, CD (2006-10-30). «Обобщение перекрестных произведений и уравнений Максвелла для универсальных дополнительных измерений». arXiv : hep-ph/0609260 .

Дальнейшее чтение

• Корн, Гранино Артур и Тереза ​​М. Корн (январь 2000 г.). Математический справочник для ученых и инженеров: определения, теоремы и формулы для справки и обзора . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 157–160. ISBN 0-486-41147-8.
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению . Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-96997-5.

Внешние ссылки

• «Curl», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Многомерное исчисление». mathinsight.org . Получено 12 февраля 2022 г. .
• «Дивергенция и ротор: язык уравнений Максвелла, поток жидкости и многое другое». 21 июня 2018 г. Архивировано из оригинала 24.11.2021 г. – через YouTube .