Цилиндрическая система координат — это трехмерная система координат , которая определяет положения точек по расстоянию от выбранной базовой оси (ось L на изображении напротив) , направлению от оси относительно выбранного исходного направления (ось A) и расстояние от выбранной базовой плоскости, перпендикулярной оси (плоскость, содержащая фиолетовую секцию) . Последнее расстояние задается как положительное или отрицательное число в зависимости от того, какая сторона базовой плоскости обращена к точке.
Началом системы является точка, в которой все три координаты могут быть заданы как ноль . Это пересечение базовой плоскости и оси. Ось по-разному называют цилиндрической или продольной осью, чтобы отличить ее от полярной оси , которая представляет собой луч , лежащий в базовой плоскости, начинающийся в начале координат и указывающий в исходном направлении. Другие направления, перпендикулярные продольной оси, называются радиальными линиями .
Расстояние от оси можно назвать радиальным расстоянием или радиусом , а угловую координату иногда называют угловым положением или азимутом . Радиус и азимут вместе называются полярными координатами , поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельную базовой плоскости. Третью координату можно назвать высотой или высотой (если базовая плоскость считается горизонтальной), продольным положением [1] или осевым положением . [2]
Цилиндрические координаты полезны в связи с объектами и явлениями, имеющими некоторую вращательную симметрию относительно продольной оси, например, поток воды в прямой трубе круглого сечения, распределение тепла в металлическом цилиндре , электромагнитные поля, создаваемые электрическим током в длинный прямой провод, аккреционные диски в астрономии и так далее.
Их иногда называют «цилиндрическими полярными координатами» [3] и «полярными цилиндрическими координатами» [4] и иногда используют для определения положения звезд в галактике («галактоцентрические цилиндрические полярные координаты»). [5]
Определение
Три координаты ( ρ , φ , z ) точки P определяются как:
Азимут φ — это угол между опорным направлением на выбранной плоскости и линией от начала координат до проекции P на плоскость.
Осевая координата или высота z — это расстояние со знаком от выбранной плоскости до точки P.
Уникальные цилиндрические координаты
Как и в полярных координатах, одна и та же точка с цилиндрическими координатами ( ρ , φ , z ) имеет бесконечно много эквивалентных координат, а именно ( ρ , φ ± n ×360°, z ) и (− ρ , φ ± (2 n + 1) ×180°, z ), где n — любое целое число. Более того, если радиус ρ равен нулю, азимут произволен.
В ситуациях, когда кому-то нужен уникальный набор координат для каждой точки, можно ограничить радиус неотрицательным ( ρ ≥ 0 ), а азимут φ лежать в определенном интервале , охватывающем 360 °, например [−180 °, +180°] или [0,360°] .
Конвенции
Обозначения цилиндрических координат неоднородны. Стандарт ISO 31-11 рекомендует ( ρ , φ , z ) , где ρ — радиальная координата, φ — азимут , а z — высота. Однако радиус также часто обозначается r или s , азимут — θ или t , а третья координата — h или (если цилиндрическая ось считается горизонтальной) x или любой буквой, зависящей от контекста.
В конкретных ситуациях и во многих математических иллюстрациях положительная угловая координата измеряется против часовой стрелки , если смотреть из любой точки с положительной высотой.
Преобразования системы координат
Цилиндрическая система координат — одна из многих трехмерных систем координат. Для преобразования между ними можно использовать следующие формулы.
Декартовы координаты
Для преобразования цилиндрических и декартовых координат удобно предположить, что опорной плоскостью первой является декартова плоскость xy (с уравнением z = 0 ), а цилиндрической осью является декартова ось z . Тогда координата z одинакова в обеих системах, а соответствие между цилиндрическими ( ρ , φ , z ) и декартовыми ( x , y , z ) такими же, как и для полярных координат, а именно
Используя функцию арктангенса , которая также возвращает угол в диапазоне [-π/2, +π/2] = [−90°, +90°] можно также вычислить без предварительного вычисления
Многие современные языки программирования предоставляют функцию, которая вычисляет правильный азимут φ в диапазоне (−π, π) по заданным x и y без необходимости выполнять анализ случая, как указано выше. Например, эта функция вызывается atan2 ( y , x ) на языке программирования C и (atan y x ) в Common Lisp .
Сферические координаты
Сферические координаты (радиус r , высота или наклон θ , азимут φ ) могут быть преобразованы в цилиндрические координаты или из них, в зависимости от того, представляет ли θ высоту или наклон, следующим образом:
Элементы линии и объема
Во многих задачах, связанных с цилиндрическими полярными координатами, полезно знать элементы линии и объема; они используются при интеграции для решения проблем, связанных с путями и объемами.
^ Крафт, К.; Волокитин А.С. (1 января 2002 г.). «Резонансное взаимодействие электронного пучка с несколькими низшими гибридными волнами». Физика плазмы . 9 (6): 2786–2797. Бибкод : 2002PhPl....9.2786K. дои : 10.1063/1.1465420. ISSN 1089-7674. Архивировано из оригинала 14 апреля 2013 года . Проверено 9 февраля 2013 г. ...в цилиндрических координатах ( r , θ , z ) ... и Z = v bz t — продольное положение...
^ Гройсман, Александр; Стейнберг, Виктор (1997). «Пары одиночных вихрей в вязкоупругом течении Куэтта». Письма о физических отзывах . 78 (8): 1460–1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Бибкод : 1997PhRvL..78.1460G. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.1460. S2CID 54814721. ...где r , θ и z — цилиндрические координаты... как функция осевого положения...
^ Шимански, Дж. Э. (1989). Базовая математика для инженеров-электронщиков: модели и приложения. Учебные пособия по электронной технике (№ 16). Тейлор и Фрэнсис. п. 170. ИСБН978-0-278-00068-1.
^ Нанн, Роберт Х. (1989). Промежуточная механика жидкости. Тейлор и Фрэнсис. п. 3. ISBN978-0-89116-647-4.
^ Спарк, Линда Шивон ; Галлахер, Джон Силл (2007). Галактики во Вселенной: Введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 37. ИСБН978-0-521-85593-8.
^ Аб Тейлор, Джон Р. (2005). Классическая механика . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. п. 29.
Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п. 178. ИСБН 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486.
Мун, П.; Спенсер, Делавэр (1988). «Координаты кругового цилиндра (r, ψ, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 12–17, табл. 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.