Матрица плотности

Матрица, описывающая квантовую систему в чистом или смешанном состоянии.

В квантовой механике матрица плотности (или оператор плотности ) — это матрица , описывающая квантовое состояние физической системы . Это позволяет рассчитывать вероятности результатов любого измерения , выполненного в этой системе, используя правило Борна . Это обобщение более обычных векторов состояния или волновых функций : хотя они могут представлять только чистые состояния , матрицы плотности также могут представлять смешанные состояния . Смешанные состояния возникают в квантовой механике в двух разных ситуациях:

1. когда препарат системы полностью не известен и поэтому приходится иметь дело со статистическим ансамблем возможных препаратов, и
2. когда хотят описать физическую систему, запутанную с другой, не описывая их совместное состояние; этот случай типичен для системы, взаимодействующей с некоторой средой (например, декогеренция ).

Таким образом, матрицы плотности являются важнейшими инструментами в областях квантовой механики, которые имеют дело со смешанными состояниями, таких как квантовая статистическая механика , открытые квантовые системы и квантовая информация .

Определение и мотивация

Матрица плотности представляет собой представление линейного оператора, называемого оператором плотности . Матрица плотности получается из оператора плотности путем выбора ортонормированного базиса в базисе. На практике термины « матрица плотности» и «оператор плотности» часто используются как взаимозаменяемые.

Выберите базис с состояниями в двумерном гильбертовом пространстве , тогда оператор плотности будет представлен матрицей ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$

$${\displaystyle (\rho _{ij})=\left({\begin{matrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}p_{0}&\rho _{01}\\\rho _{01}^{*}&p_{1}\end{matrix}}\right)}$$

где диагональные элементы представляют собой действительные числа , сумма которых равна единице (также называемая населением двух штатов , ). Недиагональные элементы являются комплексно сопряженными друг с другом (также называемыми когерентностями); они ограничены по величине требованием, чтобы они были положительными полуопределенными , см. ниже. ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle (\rho _{ij})}$

На языке операторов оператор плотности системы — это положительно полуопределенный эрмитов оператор следа один , действующий в гильбертовом пространстве системы. ^{[1] [2] [3]} Это определение можно мотивировать, рассматривая ситуацию, когда каждое чистое состояние готовится с вероятностью , описывающей ансамбль чистых состояний. Вероятность получения результата проекционного измерения при использовании проекторов равна ^{[4] : 99} ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$

$${\displaystyle p(m)=\sum _{j}p_{j}\left\langle \psi _{j}\right|\Pi _{m}\left|\psi _{j}\right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|\right)\right],}$$

оператор плотности

$${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|,}$$

И наоборот, из спектральной теоремы^{[5] [4] : 102}теорема Шрёдингера–ХЮВ ${\textstyle \sum _{j}p_{j}\left|\psi _{j}\right\rangle \left\langle \psi _{j}\right|}$ ${\displaystyle \left|\psi _{j}\right\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

Другая мотивация для определения операторов плотности связана с рассмотрением локальных измерений запутанных состояний. Пусть – чистое запутанное состояние в составном гильбертовом пространстве . Вероятность получения результата измерения при измерении проекторов только в гильбертовом пространстве равна ^{[4] : ​​107} ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\otimes {\mathcal {H}}_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$

$${\displaystyle p(m)=\left\langle \Psi \right|\left(\Pi _{m}\otimes I\right)\left|\Psi \right\rangle =\operatorname {tr} \left[\Pi _{m}\left(\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|\right)\right],}$$

частичный след ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}}$

$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$$

приведенная матрица плотноститеорема Шрёдингера-ХЮВ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{2}\left|\Psi \right\rangle \left\langle \Psi \right|}$ ${\displaystyle \left|\Psi \right\rangle }$

Чистые и смешанные состояния.

Чистое квантовое состояние — это состояние, которое нельзя записать как вероятностную смесь или выпуклую комбинацию других квантовых состояний. ^[3] Существует несколько эквивалентных характеристик чистых состояний на языке операторов плотности. ^{[6] : 73} Оператор плотности представляет чистое состояние тогда и только тогда, когда:

• его можно записать как внешнее произведение вектора состояния на самого себя, то есть ${\displaystyle |\psi \rangle }$
  $${\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |.}$$
• это проекция , в частности, первого ранга .
• оно идемпотентно , то есть
  $${\displaystyle \rho =\rho ^{2}.}$$
• у него чистота одна, то есть,
  $${\displaystyle \operatorname {tr} (\rho ^{2})=1.}$$

Важно подчеркнуть разницу между вероятностной смесью квантовых состояний и их суперпозицией . Если физическая система готова находиться либо в состоянии , либо с равной вероятностью, ее можно описать смешанным состоянием ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

где и для простоты предполагаются ортогональными и имеют размерность 2. С другой стороны, квантовая суперпозиция этих двух состояний с равными амплитудами вероятности приводит к чистому состоянию с матрицей плотности ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle =(|\psi _{1}\rangle +|\psi _{2}\rangle )/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}.}$

В отличие от вероятностной смеси, эта суперпозиция может проявлять квантовую интерференцию . ^{[4] : 81}

В представлении кубита в сфере Блоха каждая точка единичной сферы обозначает чистое состояние. Все остальные матрицы плотности соответствуют точкам внутри.

Геометрически набор операторов плотности представляет собой выпуклое множество , а чистые состояния являются экстремальными точками этого набора. Простейшим случаем является двумерное гильбертово пространство, известное как кубит . Произвольное смешанное состояние кубита можно записать как линейную комбинацию матриц Паули , которые вместе с единичной матрицей обеспечивают основу для самосопряженных матриц : ^{[7] : 126} ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left(I+r_{x}\sigma _{x}+r_{y}\sigma _{y}+r_{z}\sigma _{z}\right),}$

где действительные числа — это координаты точки внутри единичного шара , а ${\displaystyle (r_{x},r_{y},r_{z})}$

${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Точки с представляют собой чистые состояния, а смешанные состояния представляются точками внутри. Это известно как картина сферы Блоха пространства состояний кубита. ${\displaystyle r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{2}=1}$

Пример: поляризация света

Лампа накаливания  (1) излучает совершенно случайные поляризованные фотоны  (2) со смешанной матрицей плотности состояний:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{bmatrix}}}$.

После прохождения через поляризатор вертикальной плоскости  (3) все оставшиеся фотоны вертикально поляризованы  (4) и имеют матрицу плотности в чистом состоянии:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}}$.

Примером чистых и смешанных состояний является поляризация света . Отдельный фотон может быть описан как имеющий правую или левую круговую поляризацию , описываемую ортогональными квантовыми состояниями или суперпозицией двух: он может находиться в любом состоянии ( с ), соответствующем линейной , круговой или эллиптической поляризации . Рассмотрим теперь вертикально поляризованный фотон, описываемый состоянием . Если мы пропустим его через круговой поляризатор , пропускающий либо только поляризованный свет, либо только поляризованный свет, в обоих случаях половина фотонов поглотится. Может показаться , что половина фотонов находится в состоянии , а другая половина — в состоянии , но это неверно: если мы проходим через линейный поляризатор, поглощения не происходит вообще, но если мы проходим либо состояние , либо половину фотонов поглощаются. ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle =(|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle (|\mathrm {R} \rangle +|\mathrm {L} \rangle )/{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$

Неполяризованный свет (например, свет лампы накаливания ) не может быть описан как какое-либо состояние формы (линейная, круговая или эллиптическая поляризация). В отличие от поляризованного света, он проходит через поляризатор с потерей интенсивности на 50% независимо от ориентации поляризатора; и его нельзя сделать поляризованным, пропустив его через какую-либо волновую пластинку . Однако неполяризованный свет можно описать как статистический ансамбль, например, как каждый фотон, имеющий либо поляризацию, либо поляризацию с вероятностью 1/2. То же самое произошло бы, если бы каждый фотон имел либо вертикальную , либо горизонтальную поляризацию с вероятностью 1/2. Эти два ансамбля экспериментально совершенно неразличимы, и поэтому их считают одним и тем же смешанным состоянием. Для этого примера неполяризованного света оператор плотности равен ^{[6] : 75} ${\displaystyle \alpha |\mathrm {R} \rangle +\beta |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {R} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {L} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {V} \rangle }$ ${\displaystyle |\mathrm {H} \rangle }$

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}|\mathrm {R} \rangle \langle \mathrm {R} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {L} \rangle \langle \mathrm {L} |={\frac {1}{2}}|\mathrm {H} \rangle \langle \mathrm {H} |+{\frac {1}{2}}|\mathrm {V} \rangle \langle \mathrm {V} |={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Есть и другие способы генерации неполяризованного света: одна из возможностей — внести неопределенность в подготовку фотона, например, пропуская его через двулучепреломляющий кристалл с шероховатой поверхностью, чтобы несколько разные части светового луча приобретали разную поляризацию. Другая возможность — использование запутанных состояний: радиоактивный распад может испустить два фотона, движущихся в противоположных направлениях, в квантовом состоянии . Совместное состояние двух фотонов чистое, но матрица плотности для каждого фотона в отдельности, найденная путем взятия частичного следа совместной матрицы плотности, полностью смешана. ^{[4] : 106} ${\displaystyle (|\mathrm {R} ,\mathrm {L} \rangle +|\mathrm {L} ,\mathrm {R} \rangle )/{\sqrt {2}}}$

Эквивалентные ансамбли и очистки

Данный оператор плотности не определяет однозначно, какой ансамбль чистых состояний его порождает; вообще существует бесконечно много различных ансамблей, генерирующих одну и ту же матрицу плотности. ^[8] Их невозможно отличить никакими измерениями. ^[9] Эквивалентные ансамбли можно полностью охарактеризовать: пусть это ансамбль. Тогда для любой комплексной матрицы такой, что ( частичная изометрия ) ансамбль, определяемый формулой ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$ ${\displaystyle \{q_{i},|\varphi _{i}\rangle \}}$

${\displaystyle {\sqrt {q_{i}}}\left|\varphi _{i}\right\rangle =\sum _{j}U_{ij}{\sqrt {p_{j}}}\left|\psi _{j}\right\rangle }$

будет порождать один и тот же оператор плотности, и все эквивалентные ансамбли имеют этот вид.

Тесно связанный с этим факт заключается в том, что данный оператор плотности имеет бесконечно много различных очисток , которые представляют собой чистые состояния, генерирующие оператор плотности при взятии частичного следа. Позволять

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|}$

быть оператором плотности, порожденным ансамблем с состояниями, не обязательно ортогональными. Тогда для всех частичных изометрий имеем это ${\displaystyle \{p_{j},|\psi _{j}\rangle \}}$ ${\displaystyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{j}{\sqrt {p_{j}}}|\psi _{j}\rangle U|a_{j}\rangle }$

является очисткой , где – ортогональный базис, и, кроме того, все очистки имеют этот вид. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle |a_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \rho }$

Измерение

Пусть – наблюдаемая системы, и предположим, что ансамбль находится в смешанном состоянии, так что каждое из чистых состояний возникает с вероятностью . Тогда соответствующий оператор плотности равен ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \textstyle |\psi _{j}\rangle }$ ${\displaystyle p_{j}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|.}$

Ожидаемое значение измерения можно рассчитать , исходя из случая чистых состояний:

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{j}p_{j}\langle \psi _{j}|A|\psi _{j}\rangle =\sum _{j}p_{j}\operatorname {tr} \left(|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} \left(\sum _{j}p_{j}|\psi _{j}\rangle \langle \psi _{j}|A\right)=\operatorname {tr} (\rho A),}$

где обозначает след . Таким образом, привычное выражение для чистых состояний заменяется на ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ ${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle A\rangle =\operatorname {tr} (\rho A)}$

для смешанных государств. ^{[6] : 73}

Более того, если имеет спектральное разрешение ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=\sum _{i}a_{i}P_{i},}$

где – оператор проецирования в собственное пространство , соответствующее собственному значению , оператор плотности после измерения определяется формулой ^{[10] [11]} ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \rho _{i}'={\frac {P_{i}\rho P_{i}}{\operatorname {tr} \left[\rho P_{i}\right]}}}$

когда результат i получен. В случае, когда результат измерения неизвестен, ансамбль описывается выражением

${\displaystyle \;\rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i}.}$

Если предположить, что вероятности результатов измерений являются линейными функциями проекторов , то они должны быть заданы следом проектора с оператором плотности. Теорема Глисона показывает, что в гильбертовых пространствах размерности 3 или больше предположение о линейности можно заменить предположением о неконтекстуальности . ^[12] Это ограничение на размерность можно снять, допустив неконтекстуальность и для POVM , ^{[13] [14]} , но это подвергалось критике как физически немотивированное. ^[15] ${\displaystyle P_{i}}$

Энтропия

Энтропия фон Неймана смеси может быть выражена через собственные значения или через след и логарифм оператора плотности . Так как является положительно полуопределенным оператором, он имеет спектральное разложение такое, что , где – ортонормированные векторы, и . Тогда энтропия квантовой системы с матрицей плотности равна ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}|\varphi _{i}\rangle \langle \varphi _{i}|}$ ${\displaystyle |\varphi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \lambda _{i}\geq 0}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \lambda _{i}=1}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle S=-\sum _{i}\lambda _{i}\ln \lambda _{i}=-\operatorname {tr} (\rho \ln \rho ).}$

Из этого определения следует, что энтропия фон Неймана любого чистого состояния равна нулю. ^{[16] : 217} Если существуют состояния, имеющие опору на ортогональных подпространствах, то энтропия фон Неймана выпуклой комбинации этих состояний ${\displaystyle \rho _{i}}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i}p_{i}\rho _{i},}$

определяется энтропией фон Неймана состояний и энтропией Шеннона распределения вероятностей : ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle S(\rho )=H(p_{i})+\sum _{i}p_{i}S(\rho _{i}).}$

Когда состояния не имеют ортогональных носителей, сумма в правой части строго больше энтропии фон Неймана выпуклой комбинации . ^{[4] : 518} ${\displaystyle \rho _{i}}$ ${\displaystyle \rho }$

Учитывая оператор плотности и проективное измерение, как в предыдущем разделе, состояние, определяемое выпуклой комбинацией ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho '}$

${\displaystyle \rho '=\sum _{i}P_{i}\rho P_{i},}$

которое можно интерпретировать как состояние, возникающее в результате выполнения измерения, но не записи того, какой результат произошел, ^{[7] : 159} имеет энтропию фон Неймана больше, чем у , за исключением случая . Однако возможно, что результат обобщенного измерения , или POVM , будет иметь более низкую энтропию фон Неймана, чем . ^{[4] : 514} ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho =\rho '}$ ${\displaystyle \rho '}$ ${\displaystyle \rho }$

Уравнение фон Неймана для эволюции во времени

Подобно тому, как уравнение Шредингера описывает, как чистые состояния развиваются во времени, уравнение фон Неймана (также известное как уравнение Лиувилля – фон Неймана ) описывает, как оператор плотности развивается во времени. Уравнение фон Неймана показывает, что ^{[17] [18] [19]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=[H,\rho ]~,}$

где скобки обозначают коммутатор .

Это уравнение справедливо только тогда, когда оператор плотности принимается в картине Шрёдингера , хотя на первый взгляд кажется, что это уравнение имитирует уравнение движения Гейзенберга в картине Гейзенберга , с решающей разницей в знаках:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\operatorname {d} A^{(\mathrm {H} )}}{\operatorname {d} t}}=-\left[H,A^{(\mathrm {H} )}\right]~,}$

где – некоторый оператор изображения Гейзенберга ; но в этой картине матрица плотности не зависит от времени , а относительный знак гарантирует, что производная ожидаемого значения по времени получается такой же, как и в картине Шредингера . ^[3] ${\displaystyle A^{(\mathrm {H} )}(t)}$ ${\displaystyle \langle A\rangle }$

Если гамильтониан не зависит от времени, уравнение фон Неймана можно легко решить и получить

${\displaystyle \rho (t)=e^{-iHt/\hbar }\rho (0)e^{iHt/\hbar }.}$

Для более общего гамильтониана, если является распространителем волновой функции на некотором интервале, то временная эволюция матрицы плотности на этом же интервале определяется выражением ${\displaystyle G(t)}$

${\displaystyle \rho (t)=G(t)\rho (0)G(t)^{\dagger }.}$

Функции Вигнера и классические аналогии

Оператор матрицы плотности также может быть реализован в фазовом пространстве . Под картой Вигнера матрица плотности преобразуется в эквивалентную функцию Вигнера :

${\displaystyle W(x,p)\,\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \,{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy.}$

Уравнение временной эволюции функции Вигнера, известное как уравнение Мойала , представляет собой преобразование Вигнера приведенного выше уравнения фон Неймана:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

где – гамильтониан, – скобка Мойала , преобразование квантового коммутатора . ${\displaystyle H(x,p)}$ ${\displaystyle \{\{\cdot ,\cdot \}\}}$

Тогда уравнение эволюции функции Вигнера аналогично уравнению ее классического предела — уравнению Лиувилля классической физики . В пределе исчезновения постоянной Планка сводится к классической функции плотности вероятности Лиувилля в фазовом пространстве . ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle W(x,p,t)}$

Примеры приложений

Матрицы плотности являются основным инструментом квантовой механики и хотя бы иногда появляются практически в любом типе квантово-механических расчетов. Вот некоторые конкретные примеры, когда матрицы плотности особенно полезны и распространены:

• Статистическая механика использует матрицы плотности, прежде всего для выражения идеи о том, что система готовится при ненулевой температуре. Построение матрицы плотности с использованием канонического ансамбля дает результат вида , где – обратная температура , – гамильтониан системы. Условие нормализации, согласно которому след равен 1, определяет статистическую сумму как . Если число частиц, участвующих в системе, само по себе не определено, то можно применить большой канонический ансамбль , в котором состояния, суммируемые для создания матрицы плотности, взяты из пространства Фока . ^{[20] : 174} ${\displaystyle \rho =\exp(-\beta H)/Z(\beta )}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle (k_{\rm {B}}T)^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Z(\beta )=\mathrm {tr} \exp(-\beta H)}$
• Теория квантовой декогеренции обычно предполагает запутывание неизолированных квантовых систем с другими системами, включая измерительные приборы. Матрицы плотности значительно облегчают описание процесса и расчет его последствий. Квантовая декогеренция объясняет, почему система, взаимодействующая с окружающей средой, переходит из чистого состояния, демонстрирующего суперпозиции, в смешанное состояние — бессвязную комбинацию классических альтернатив. Этот переход принципиально обратим, поскольку совокупное состояние системы и окружающей среды по-прежнему чистое, но для всех практических целей необратим, поскольку окружающая среда представляет собой очень большую и сложную квантовую систему, и обратить вспять их взаимодействие невозможно. Таким образом, декогеренция очень важна для объяснения классического предела квантовой механики, но не может объяснить коллапс волновой функции, поскольку все классические альтернативы все еще присутствуют в смешанном состоянии, а коллапс волновой функции выбирает только одну из них. ^[21]
• Точно так же в квантовых вычислениях , квантовой теории информации , открытых квантовых системах и других областях, где подготовка состояний зашумлена и может произойти декогеренция, часто используются матрицы плотности. Шум часто моделируется через деполяризующий канал или канал амплитудного демпфирования . Квантовая томография — это процесс, с помощью которого на основе набора данных, представляющих результаты квантовых измерений, вычисляется матрица плотности, соответствующая результатам этих измерений. ^{[22] [23]}
• При анализе системы со многими электронами, такой как атом или молекула , несовершенным, но полезным первым приближением является рассмотрение электронов как некоррелированных или как каждый из которых имеет независимую одночастичную волновую функцию. Это обычная отправная точка при построении определителя Слейтера в методе Хартри – Фока . Если есть электроны, заполняющие одночастичные волновые функции , то совокупность электронов вместе можно охарактеризовать матрицей плотности . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{N}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$

C*-алгебраическая формулировка состояний

В настоящее время общепринято, что описание квантовой механики, в котором все самосопряженные операторы представляют собой наблюдаемые, несостоятельно. ^{[24] [25]} По этой причине наблюдаемые отождествляются с элементами абстрактной C*-алгебры A (то есть без выделенного представления в виде алгебры операторов), а состояния являются положительными линейными функционалами на A . Однако, используя конструкцию GNS , мы можем восстановить гильбертовы пространства, реализующие A как подалгебру операторов.

Геометрически чистое состояние C*-алгебры A — это состояние , которое является крайней точкой множества всех состояний A. По свойствам конструкции ГНС эти состояния соответствуют неприводимым представлениям A .

Состояния С*-алгебры компактных операторов К ( Н ) в точности соответствуют операторам плотности, и поэтому чистые состояния К ( Н ) являются в точности чистыми состояниями в смысле квантовой механики.

Можно видеть, что C*-алгебраическая формулировка включает как классические, так и квантовые системы. Когда система является классической, алгебра наблюдаемых становится абелевой C*-алгеброй. В этом случае состояния становятся вероятностными мерами.

История

Формализм операторов плотности и матриц был введен в 1927 году Джоном фон Нейманом ^[26] и независимо, но менее систематически, Львом Ландау ^[27] и позже, в 1946 году, Феликсом Блохом . ^[28] Фон Нейман ввел матрицу плотности для развития как квантовой статистической механики, так и теории квантовых измерений. Само название «Матрица плотности» связано с ее классическим соответствием вероятностной мере в фазовом пространстве (распределению вероятностей положения и импульса) в классической статистической механике , которая была введена Вигнером в 1932 году. ^[1]

Напротив, мотивацией, вдохновившей Ландау, была невозможность описать подсистему сложной квантовой системы вектором состояния. ^[27]

Смотрите также

• Атомный электронный переход
• Теория функционала плотности
• Отношения Грина-Кубо
• Функция Грина (теория многих тел)
• Уравнение Линдблада
• Квазивероятностное распределение Вигнера

Примечания и ссылки

1. Фано, У. (1957). «Описание состояний в квантовой механике с помощью матрицы плотности и операторных методов». Обзоры современной физики . 29 (1): 74–93. Бибкод : 1957RvMP...29...74F. doi : 10.1103/RevModPhys.29.74.
2. Холево, Александр С. (2001). Статистическая структура квантовой теории . Конспект лекций по физике. Спрингер. ISBN 3-540-42082-7. ОСЛК  318268606.
3. Hall, Брайан С. (2013). «Системы и подсистемы, множественные частицы». Квантовая теория для математиков . Тексты для аспирантов по математике. Том. 267. стр. 419–440. дои : 10.1007/978-1-4614-7116-5_19. ISBN 978-1-4614-7115-8.
4. Нильсен, Майкл; Чуанг, Исаак (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация , Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-63503-5.
5. Дэвидсон, Эрнест Рой (1976). Матрицы приведенной плотности в квантовой химии . Академическое издательство , Лондон.
6. Перес, Ашер (1995). Квантовая теория: концепции и методы . Клювер. ISBN 978-0-7923-3632-7. ОСЛК  901395752.
7. Уайльд, Марк М. (2017). Квантовая теория информации (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. arXiv : 1106.1445 . дои : 10.1017/9781316809976.001. ISBN 978-1-107-17616-4. OCLC  973404322. S2CID  2515538.
8. Киркпатрик, Калифорния (февраль 2006 г.). «Теорема Шрёдингера-ХЮВ». Основы физики письма . 19 (1): 95–102. arXiv : Quant-ph/0305068 . Бибкод : 2006FoPhL..19...95K. дои : 10.1007/s10702-006-1852-1. ISSN  0894-9875. S2CID  15995449.
9. Окс, Вильгельм (1 ноября 1981). «Некоторые комментарии к понятию состояния в квантовой механике». Эркеннтнис . 16 (3): 339–356. дои : 10.1007/BF00211375. ISSN  1572-8420. S2CID  119980948.
10. Людерс, Герхарт (1950). «Über die Zustandsänderung durch den Messprozeß». Аннален дер Физик . 443 (5–8): 322. Бибкод : 1950АнП...443..322Л. дои : 10.1002/andp.19504430510.Перевод К. А. Киркпатрика как Людерс, Герхарт (3 апреля 2006 г.). «Относительно изменения состояния в результате процесса измерения». Аннален дер Физик . 15 (9): 663–670. arXiv : Quant-ph/0403007 . Бибкод : 2006АнП...518..663Л. дои : 10.1002/andp.200610207. S2CID  119103479.
11. Буш, Пол ; Лахти, Пекка (2009), Гринбергер, Дэниел; Хентшель, Клаус; Вайнерт, Фридель (ред.), «Правило Людерса», Сборник квантовой физики , Springer Berlin Heidelberg, стр. 356–358, doi : 10.1007/978-3-540-70626-7_110, ISBN 978-3-540-70622-9
12. Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства». Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. дои : 10.1512/iumj.1957.6.56050 . МР  0096113.
13. Буш, Пол (2003). «Квантовые состояния и обобщенные наблюдаемые: простое доказательство теоремы Глисона». Письма о физических отзывах . 91 (12): 120403. arXiv : quant-ph/9909073 . Бибкод : 2003PhRvL..91l0403B. doi : 10.1103/PhysRevLett.91.120403. PMID  14525351. S2CID  2168715.
14. Кейвс, Карлтон М .; Фукс, Кристофер А.; Манн, Киран К.; Ренес, Джозеф М. (2004). «Выводы типа Глисона из правила квантовой вероятности для обобщенных измерений». Основы физики . 34 (2): 193–209. arXiv : Quant-ph/0306179 . Бибкод : 2004FoPh...34..193C. doi :10.1023/B:FOOP.0000019581.00318.a5. S2CID  18132256.
15. Анджей Грудка; Павел Куржинский (2008). «Есть ли контекстуальность для одного кубита?». Письма о физических отзывах . 100 (16): 160401. arXiv : 0705.0181 . Бибкод : 2008PhRvL.100p0401G. doi : 10.1103/PhysRevLett.100.160401. PMID  18518167. S2CID  13251108.
16. Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (04 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: краткое введение . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01506-6.
17. Брейер, Хайнц; Петруччионе, Франческо (2002), Теория открытых квантовых систем, Oxford University Press, стр. 110, ISBN 978-0-19-852063-4
18. Швабль, Франц (2002), Статистическая механика, Springer, стр. 16, ISBN 978-3-540-43163-3
19. Мюллер-Кирстен, Харальд Дж. В. (2008), Классическая механика и относительность , World Scientific, стр. 175–179, ISBN 978-981-283-251-1
20. Кардар, Мехран (2007). Статистическая физика частиц . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-87342-0. ОСЛК  860391091.
21. Шлоссауэр, М. (2019). «Квантовая декогеренция». Отчеты по физике . 831 : 1–57. arXiv : 1911.06282 . Бибкод : 2019PhR...831....1S. doi :10.1016/j.physrep.2019.10.001. S2CID  208006050.
22. Гранад, Кристофер; Комбс, Джошуа; Кори, генеральный директор (01 января 2016 г.). «Практическая байесовская томография». Новый журнал физики . 18 (3): 033024. arXiv : 1509.03770 . Бибкод : 2016NJPh...18c3024G. дои : 10.1088/1367-2630/18/3/033024. ISSN  1367-2630. S2CID  88521187.
23. Ардила, Луис; Привет, Маркус; Экардт, Андре (28 декабря 2018 г.). «Измерение одночастичной матрицы плотности фермионов и жестких бозонов в оптической решетке». Письма о физических отзывах . 121 (260401): 6. arXiv : 1806.08171 . Бибкод : 2018PhRvL.121z0401P. doi : 10.1103/PhysRevLett.121.260401. PMID  30636128. S2CID  51684413.
24. См. приложение, Макки, Джордж Уайтлоу (1963), Математические основы квантовой механики , Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-43517-6
25. Эмч, Джерард Г. (1972), Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля , Wiley-Interscience , ISBN 978-0-471-23900-0
26. фон Нейман, Джон (1927), «Wahrscheinlichkeitstheoretischer Aufbau der Quantenmechanik», Göttinger Nachrichten , 1 : 245–272
27. «Проблема затухания в волновой механике (1927)». Сборник статей Л.Д. Ландау . 1965. стр. 8–18. дои : 10.1016/B978-0-08-010586-4.50007-9. ISBN 978-0-08-010586-4.
28. Фано, Уго (1995). «Матрицы плотности как векторы поляризации». Рендиконти Линчеи . 6 (2): 123–130. дои : 10.1007/BF03001661. S2CID  128081459.