_regarding_the_discovery_of_Quaternions_multiplication_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg/1280px-Inscription_on_Broom_Bridge_(Dublin)_regarding_the_discovery_of_Quaternions_multiplication_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg)
Здесь, 16 октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон, проходя мимо, в озарении гениальности открыл фундаментальную формулу для умножения кватернионов.я 2 = j 2 = к 2 = ijk = −1и высеки его на камне этого моста.
В математике кватернионы — это некоммутативная числовая система , которая расширяет комплексные числа . Кватернионы и их применение к вращениям были впервые описаны в печати Олиндой Родригес в 1840 году [1], но независимо открыты ирландским математиком сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году и применены к механике в трехмерном пространстве. Они находят применение как в теоретической, так и в прикладной математике, в частности, для вычислений, связанных с трехмерными вращениями.
В 1843 году Гамильтон знал, что комплексные числа можно рассматривать как точки на плоскости и что их можно складывать и умножать друг на друга, используя определенные геометрические операции. Гамильтон стремился найти способ сделать то же самое для точек в пространстве . Точки в пространстве можно представить их координатами, которые являются тройками чисел и имеют очевидное сложение, но Гамильтону было трудно определить соответствующее умножение.
Согласно письму, которое Гамильтон позже написал своему сыну Арчибальду:
Каждое утро в начале октября 1843 года, когда я спускался к завтраку, твой брат Уильям Эдвин и ты обычно спрашивали меня: «Ну, папа, ты умеешь умножать тройки?» На что я всегда был вынужден отвечать, грустно покачав головой: «Нет, я умею только складывать и вычитать их».
16 октября 1843 года Гамильтон и его жена прогулялись вдоль Королевского канала в Дублине . Пока они шли по мосту Брухэм (ныне мост Брум ), ему внезапно пришло в голову решение. Хотя он не мог «умножать тройки», он увидел способ сделать это для четверок . Используя три числа в четверке как точки координаты в пространстве, Гамильтон мог представлять точки в пространстве с помощью своей новой системы чисел. Затем он вырезал на мосту основные правила умножения:
Гамильтон назвал четверку с этими правилами умножения кватернионом и посвятил остаток своей жизни их изучению и преподаванию. С 1844 по 1850 год Philosophical Magazine опубликовал изложение кватернионов Гамильтоном. [2] В 1853 году он выпустил Lectures on Quaternions , всеобъемлющий трактат, в котором также описывались бикватернионы . Легкость алгебры в выражении геометрических отношений привела к широкому принятию метода, нескольким сочинениям других авторов и стимуляции прикладной алгебры в целом. Поскольку с тех пор математическая терминология разрослась, а использование некоторых терминов изменилось, традиционные выражения называются классическими гамильтоновыми кватернионами .
Инновация Гамильтона состояла в выражении кватернионов как алгебры над R. Формулы для умножения кватернионов неявно содержатся в формуле четырех квадратов, разработанной Леонардом Эйлером в 1748 году; Олинда Родригес применила эту формулу для представления вращений в 1840 году. [3] : 9
Специальные требования кватернионов как алгебры четырехмерного пространства были оспорены Джеймсом Коклем с его экспонатами в 1848 и 1849 годах тессаринов и кокватернионов как альтернатив. Тем не менее, эти новые алгебры Кокла фактически можно было найти внутри бикватернионов Гамильтона . Из Италии в 1858 году Джусто Беллавитис ответил [4], связав векторную теорию Гамильтона с его теорией равносильностей направленных отрезков.
Жюль Уэль возглавил ответ из Франции в 1874 году с учебником по элементам кватернионов. Чтобы облегчить изучение версоров , он ввел «бирадиалы» для обозначения дуг большого круга на сфере. Затем кватернионная алгебра обеспечила основу для сферической тригонометрии, представленной в главе 9. Уэль заменил базисные векторы Гамильтона i , j , k на i 1 , i 2 и i 3 .
Разнообразие доступных шрифтов привело Хоуэля к еще одному нововведению в обозначениях: A обозначает точку, a и a являются алгебраическими величинами, а в уравнении для кватерниона
A — вектор, а α — угол. Этот стиль изложения кватернионов был увековечен Шарлем-Анжем Лейсаном [5] и Александром Макфарлейном . [6]
Уильям К. Клиффорд расширил типы бикватернионов и исследовал эллиптическое пространство , геометрию, в которой точки можно рассматривать как версоры. Увлечение кватернионами началось до того, как стали доступны язык теории множеств и математические структуры . Фактически, до Formulario mathematico существовало мало математических обозначений . Кватернионы стимулировали эти достижения: Например, идея векторного пространства заимствовала термин Гамильтона, но изменила его значение. Согласно современному пониманию, любой кватернион является вектором в четырехмерном пространстве. (Векторы Гамильтона лежат в подпространстве со скалярной частью, равной нулю.)
Поскольку кватернионы требуют от своих читателей представления четырех измерений, в их вызове есть метафизический аспект. Кватернионы являются философским объектом . Постановка кватернионов перед студентами-первокурсниками инженерного факультета требует слишком многого. Однако полезность скалярных произведений и векторных произведений в трехмерном пространстве для иллюстрации процессов требует использования этих операций, которые вырезаются из произведения кватернионов. Таким образом, Уиллард Гиббс и Оливер Хевисайд сделали это приспособление, для прагматизма, чтобы избежать отвлекающей надстройки. [7]
Для математиков структура кватерниона стала привычной и потеряла свой статус чего-то математически интересного. Так, в Англии, когда Артур Бухгейм подготовил статью о бикватернионах, она была опубликована в American Journal of Mathematics, поскольку там сохранялась некоторая новизна в предмете. Исследования обратились к гиперкомплексным числам в более общем плане. Например, Томас Киркман и Артур Кэли рассмотрели количество уравнений между базисными векторами, которое было бы необходимо для определения уникальной системы. Широкий интерес, который кватернионы вызвали во всем мире, привел к созданию Quaternion Society . В современной математике разделительное кольцо кватернионов является примером алгебры над полем .
Октонионы были разработаны независимо Артуром Кейли в 1845 году [20] и Джоном Т. Грейвсом , другом Гамильтона. Грейвс заинтересовал Гамильтона алгеброй и ответил на его открытие кватернионов: «Если с помощью своей алхимии вы можете сделать три фунта золота [три мнимые единицы], почему вы должны останавливаться на этом?» [21]
Через два месяца после открытия Гамильтоном кватернионов Грейвс написал Гамильтону 26 декабря 1843 года, представив своего рода двойной кватернион, [22] который он назвал октавами , и показал, что они были тем, что мы сейчас называем нормированной алгеброй деления . [23] Гамильтон заметил в ответ, что они не были ассоциативными , что, возможно, было изобретением этой концепции. Он также обещал опубликовать работу Грейвса, но мало что сделал для этого. Гамильтону нужен был способ различать два разных типа двойных кватернионов, ассоциативные бикватернионы и октавы. Он рассказал о них Королевскому ирландскому обществу и отдал должное своему другу Грейвсу за открытие второго типа двойного кватерниона. [24] [25]
Кэли, работавший независимо от Грейвса, но вдохновленный публикацией Гамильтоном своей собственной работы, опубликовал октонионы в марте 1845 года — как приложение к статье на другую тему. Гамильтон был уязвлен, протестуя против приоритета Грейвса в открытии, если не в публикации; тем не менее, октонионы известны под названием, которое дал им Кэли, — или как числа Кэли .
Главным выводом из существования октонионов была теорема о восьми квадратах , которая следует непосредственно из правила произведения октонионов. Она также была ранее открыта как чисто алгебраическое тождество Карлом Фердинандом Дегеном в 1818 году. [26] Это тождество суммы квадратов характерно для композиционной алгебры , особенности комплексных чисел, кватернионов и октонионов.
Кватернионы продолжали оставаться хорошо изученной математической структурой в двадцатом веке, как третий член в конструкции Кэли-Диксона гиперкомплексных числовых систем над действительными числами, за которыми следовали октонионы , седенионы , тригинтадуионы ; они также являются полезным инструментом в теории чисел , в частности, при изучении представления чисел в виде сумм квадратов. Группа из восьми основных единичных кватернионов, положительных и отрицательных, группа кватернионов , также является простейшей некоммутативной группой Силова .
Изучение целочисленных кватернионов началось с Рудольфа Липшица в 1886 году, чья система была позже упрощена Леонардом Юджином Диксоном ; но современная система была опубликована Адольфом Гурвицем в 1919 году. Разница между ними состоит в том, какие кватернионы считаются целочисленными: Липшиц включил только те кватернионы с целочисленными координатами, но Гурвиц добавил те кватернионы, все четыре координаты которых являются полуцелыми числами . Обе системы замкнуты относительно вычитания и умножения и, следовательно, являются кольцами , но система Липшица не допускает однозначной факторизации, в то время как система Гурвица допускает. [27]
Кватернионы — это краткий метод представления автоморфизмов трех- и четырехмерных пространств. Они имеют техническое преимущество, заключающееся в том, что единичные кватернионы образуют односвязное покрытие пространства трехмерных вращений. [3] : ch 2
По этой причине кватернионы используются в компьютерной графике , [28] теории управления , робототехнике , [29] обработке сигналов , управлении ориентацией , физике , биоинформатике и орбитальной механике . Например, для систем управления ориентацией космических аппаратов обычно используется кватернионы. Tomb Raider (1996) часто упоминается как первая массовая компьютерная игра, в которой кватернионы использовались для достижения плавного трехмерного вращения. [30] Кватернионы получили еще один импульс от теории чисел из-за их связи с квадратичными формами .
С 1989 года математический факультет Национального университета Ирландии в Мейнуте организует паломничество, в ходе которого ученые (включая физиков Мюррея Гелл-Манна в 2002 году, Стивена Вайнберга в 2005 году, Фрэнка Вильчека в 2007 году и математика Эндрю Уайлса в 2003 году) совершают прогулку от обсерватории Дансинк до моста через Королевский канал, где, к сожалению, не сохранилось никаких следов резьбы Гамильтона. [31]
