Симметрия (физика)

Симметрия физической системы — это физическая или математическая характеристика системы (наблюдаемая или внутренняя), которая сохраняется или остается неизменной при некотором преобразовании .

Семейство частных преобразований может быть непрерывным (например, вращение окружности) или дискретным (например, отражение двусторонне симметричной фигуры или вращение правильного многоугольника). Непрерывные и дискретные преобразования порождают соответствующие типы симметрий. Непрерывные симметрии могут быть описаны группами Ли , тогда как дискретные симметрии описываются конечными группами (см. Группа симметрии ).

Эти два понятия, Ли и конечные группы, являются основой фундаментальных теорий современной физики. Симметрии часто поддаются математическим формулировкам, таким как групповые представления , и могут, кроме того, использоваться для упрощения многих проблем.

Вероятно, наиболее важным примером симметрии в физике является то, что скорость света имеет одинаковое значение во всех системах отсчета, что описывается в специальной теории относительности группой преобразований пространства -времени, известной как группа Пуанкаре . Другим важным примером является инвариантность формы физических законов при произвольных дифференцируемых преобразованиях координат, что является важной идеей в общей теории относительности .

Как своего рода инвариантность

Инвариантность математически определяется преобразованиями, которые оставляют некоторое свойство (например, количество) неизменным. Эта идея может применяться к базовым наблюдениям реального мира. Например, температура может быть однородной по всей комнате. Поскольку температура не зависит от положения наблюдателя в комнате, мы говорим, что температура инвариантна при сдвиге положения наблюдателя в комнате.

Аналогично, однородная сфера, вращаемая вокруг своего центра, будет выглядеть точно так же, как и до вращения. Говорят, что сфера проявляет сферическую симметрию . Вращение вокруг любой оси сферы сохранит то, как сфера «выглядит».

Инвариантность силы

Вышеизложенные идеи приводят к полезной идее инвариантности при обсуждении наблюдаемой физической симметрии; ее можно применить и к симметрии в силах.

Например, говорят, что электрическое поле, вызванное электрически заряженным проводом бесконечной длины, проявляет цилиндрическую симметрию , поскольку напряженность электрического поля на заданном расстоянии r от провода будет иметь одинаковую величину в каждой точке на поверхности цилиндра (осью которого является провод) с радиусом r . Вращение провода вокруг его собственной оси не меняет его положения или плотности заряда, следовательно, оно сохраняет поле. Напряженность поля в повернутом положении та же самая. Это неверно в общем случае для произвольной системы зарядов.

В теории механики Ньютона, если два тела, каждое массой m , исходят из начала координат и движутся вдоль оси x в противоположных направлениях, одно со скоростью v ₁ , а другое со скоростью v _{2 ,} то полная кинетическая энергия системы (рассчитанная от наблюдателя в начале координат) равна ⁠1/2⁠ m ( v ₁² + v ₂² ) и остается той же, если скорости поменять местами. Полная кинетическая энергия сохраняется при отражении относительно оси y .

Последний пример выше иллюстрирует другой способ выражения симметрий, а именно через уравнения, которые описывают некоторые аспекты физической системы. Вышеприведенный пример показывает, что полная кинетическая энергия будет такой же, если v ₁ и v ₂ поменять местами.

Локальный и глобальный

Симметрии можно в целом классифицировать как глобальные или локальные . Глобальная симметрия — это симметрия, которая сохраняет свойство инвариантным для преобразования, которое применяется одновременно во всех точках пространства-времени , тогда как локальная симметрия — это симметрия, которая сохраняет свойство инвариантным, когда возможно различное преобразование симметрии применяется в каждой точке пространства-времени ; в частности, локальное преобразование симметрии параметризуется пространственно-временными координатами, тогда как глобальная симметрия — нет. Это подразумевает, что глобальная симметрия также является локальной симметрией. Локальные симметрии играют важную роль в физике, поскольку они формируют основу калибровочных теорий .

Непрерывный

Два примера вращательной симметрии, описанные выше — сферическая и цилиндрическая — являются примерами непрерывной симметрии . Они характеризуются инвариантностью после непрерывного изменения геометрии системы. Например, провод можно повернуть на любой угол вокруг своей оси, и напряженность поля будет одинаковой на данном цилиндре. Математически непрерывные симметрии описываются преобразованиями, которые непрерывно изменяются в зависимости от их параметризации. Важным подклассом непрерывных симметрий в физике являются симметрии пространства-времени.

Пространство-время

Непрерывные симметрии пространства-времени — это симметрии, включающие преобразования пространства и времени . Их можно далее классифицировать как пространственные симметрии , включающие только пространственную геометрию, связанную с физической системой; временные симметрии , включающие только изменения во времени; или пространственно-временные симметрии , включающие изменения как в пространстве, так и во времени.

Перевод во времени : Физическая система может иметь те же характеристики в течение определенного интервала времени Δ t ; это выражается математически как инвариантность относительно преобразования t → t + a для любых действительных параметров t и t + a в этом интервале. Например, в классической механике частица, на которую действует только гравитация, будет иметь гравитационную потенциальную энергию mgh , когда она подвешена на высоте h над поверхностью Земли. Предполагая, что высота частицы не меняется, это будет полная гравитационная потенциальная энергия частицы в любое время. Другими словами, рассматривая состояние частицы в некоторый момент времени t ₀ , а также в момент времени t ₀ + a , полная гравитационная потенциальная энергия частицы будет сохранена.
Пространственный перевод : Эти пространственные симметрии представлены преобразованиями вида r → → r → + a → и описывают те ситуации, когда свойство системы не меняется при непрерывном изменении местоположения. Например, температура в комнате может не зависеть от того, где в комнате расположен термометр.
Пространственное вращение : Эти пространственные симметрии классифицируются как правильные вращения и неправильные вращения . Первые являются просто «обычными» вращениями; математически они представлены квадратными матрицами с единичным определителем . Последние представлены квадратными матрицами с определителем −1 и состоят из правильного вращения, объединенного с пространственным отражением ( инверсией ). Например, сфера имеет правильную вращательную симметрию. Другие типы пространственных вращений описаны в статье Симметрия вращения .
Преобразования Пуанкаре : Это пространственно-временные симметрии, которые сохраняют расстояния в пространстве-времени Минковского , т.е. они являются изометриями пространства Минковского. Они изучаются в основном в специальной теории относительности . Те изометрии, которые оставляют начало координат фиксированным, называются преобразованиями Лоренца и приводят к симметрии, известной как ковариантность Лоренца .
Проективные симметрии : Это пространственно-временные симметрии, которые сохраняют геодезическую структуру пространства-времени . Они могут быть определены на любом гладком многообразии, но находят множество применений в изучении точных решений в общей теории относительности .
Преобразования инверсии : Это пространственно-временные симметрии, которые обобщают преобразования Пуанкаре, чтобы включить другие конформные преобразования один к одному в координатах пространства-времени. Длины не являются инвариантными при преобразованиях инверсии , но есть перекрестное отношение в четырех точках, которое является инвариантным.

Математически симметрии пространства-времени обычно описываются гладкими векторными полями на гладком многообразии . Базовые локальные диффеоморфизмы, связанные с векторными полями, более непосредственно соответствуют физическим симметриям, но сами векторные поля чаще используются при классификации симметрий физической системы.

Некоторые из наиболее важных векторных полей — это векторные поля Киллинга , которые являются пространственно-временными симметриями, сохраняющими базовую метрическую структуру многообразия. Грубо говоря, векторные поля Киллинга сохраняют расстояние между любыми двумя точками многообразия и часто называются изометриями .

Дискретный

Дискретная симметрия — это симметрия, описывающая прерывистые изменения в системе. Например, квадрат обладает дискретной вращательной симметрией, поскольку только повороты на углы, кратные прямым, сохранят первоначальный вид квадрата. Дискретные симметрии иногда включают в себя некоторый тип «обмена», эти обмены обычно называются отражениями или взаимообменами .

Обращение времени : многие законы физики описывают реальные явления, когда направление времени меняется на противоположное. Математически это представлено преобразованием,. Например, второй закон движения Ньютона остается в силе, если в уравнениизаменить на), а затем воспроизведя его. Объект будет следовать по той же параболической траектории в воздухе, независимо от того, воспроизводится ли запись в обычном или обратном порядке. Таким образом, положение симметрично относительно момента, когда объект находится на максимальной высоте. $t\,\rightarrow -t$ $F\,=m{\ddot {r}}$ $t$ $-t$
Пространственная инверсия : Они представлены преобразованиями формыи указывают на свойство инвариантности системы, когда координаты «инвертированы». Другими словами, это симметрии между определенным объектом и его зеркальным изображением . ${\vec {r}}\,\rightarrow -{\vec {r}}$
Скользящие отражения : Они представлены композицией трансляции и отражения. Эти симметрии встречаются в некоторых кристаллах и в некоторых плоских симметриях, известных как симметрии обоев .

С, П и Т

Стандартная модель физики элементарных частиц имеет три связанных естественных почти-симметрии. Они утверждают, что вселенная, в которой мы живем, должна быть неотличима от той, в которой вводится определенный тип изменений.

С-симметрия (симметрия заряда), вселенная, в которой каждая частица заменена своей античастицей .
P-симметрия (симметрия четности), вселенная, где все зеркально отображено вдоль трех физических осей. Это исключает слабые взаимодействия, как продемонстрировал Цзянь-Шюн У.

T-симметрия (симметрия обращения времени), вселенная, в которой направление времени обращено. T-симметрия противоречит здравому смыслу (будущее и прошлое не симметричны), но объясняется тем, что Стандартная модель описывает локальные свойства, а не глобальные, такие как энтропия . Чтобы правильно обратить направление времени, нужно было бы поместить Большой взрыв и полученное в результате состояние с низкой энтропией в «будущее». Поскольку мы воспринимаем «прошлое» («будущее») как имеющее более низкую (более высокую) энтропию, чем настоящее, обитатели этой гипотетической вселенной с обращенным временем воспринимали бы будущее так же, как мы воспринимаем прошлое, и наоборот.

Эти симметрии являются почти симметриями, поскольку каждая из них нарушена в современной Вселенной. Однако Стандартная модель предсказывает, что комбинация этих трех (то есть одновременное применение всех трех преобразований) должна быть симметрией, называемой CPT-симметрией . Нарушение CP , нарушение комбинации C- и P-симметрии, необходимо для присутствия значительных количеств барионной материи во Вселенной. Нарушение CP является плодотворной областью современных исследований в области физики элементарных частиц .

Суперсимметрия

Тип симметрии, известный как суперсимметрия, использовался для попытки добиться теоретических успехов в Стандартной модели. Суперсимметрия основана на идее, что существует другая физическая симметрия, помимо тех, которые уже были разработаны в Стандартной модели, в частности, симметрия между бозонами и фермионами . Суперсимметрия утверждает, что каждый тип бозона имеет в качестве суперсимметричного партнера фермион, называемый суперпартнером, и наоборот. Суперсимметрия еще не была экспериментально подтверждена: ни одна известная частица не обладает правильными свойствами, чтобы быть суперпартнером любой другой известной частицы. В настоящее время LHC готовится к запуску, который проверит суперсимметрию.

Обобщенные симметрии

Обобщенные симметрии охватывают ряд недавно признанных обобщений концепции глобальной симметрии. Они включают в себя симметрии высших форм, симметрии высших групп, необратимые симметрии и симметрии подсистем. ^[1]

Математика физической симметрии

Преобразования, описывающие физические симметрии, обычно образуют математическую группу . Теория групп является важной областью математики для физиков.

Непрерывные симметрии математически задаются непрерывными группами (называемыми группами Ли ). Многие физические симметрии являются изометриями и задаются группами симметрии. Иногда этот термин используется для более общих типов симметрии. Набор всех собственных вращений (вокруг любого угла) через любую ось сферы образует группу Ли, называемую специальной ортогональной группой SO(3). («3» относится к трехмерному пространству обычной сферы.) Таким образом, группа симметрии сферы с собственными вращениями — это SO(3). Любое вращение сохраняет расстояния на поверхности шара. Набор всех преобразований Лоренца образует группу, называемую группой Лоренца (ее можно обобщить до группы Пуанкаре ).

Дискретные группы описывают дискретные симметрии. Например, симметрии равностороннего треугольника характеризуются симметрической группой S ₃ .

Тип физической теории, основанной на локальных симметриях, называется калибровочной теорией , а симметрии, естественные для такой теории, называются калибровочными симметриями . Калибровочные симметрии в Стандартной модели , используемые для описания трех фундаментальных взаимодействий , основаны на группе SU(3) × SU(2) × U(1) . (Грубо говоря, симметрии группы SU(3) описывают сильное взаимодействие , группа SU(2) описывает слабое взаимодействие , а группа U(1) описывает электромагнитное взаимодействие .)

Кроме того, редукция функционала энергии под действием группы посредством симметрии и спонтанное нарушение симметрии преобразований симметричных групп, по-видимому, проясняют некоторые темы в физике элементарных частиц (например, объединение электромагнетизма и слабого взаимодействия в физической космологии ).

Законы сохранения и симметрия

Свойства симметрии физической системы тесно связаны с законами сохранения, характеризующими эту систему. Теорема Нётер дает точное описание этого отношения. Теорема утверждает, что каждая непрерывная симметрия физической системы подразумевает, что некоторое физическое свойство этой системы сохраняется. И наоборот, каждая сохраняющаяся величина имеет соответствующую симметрию. Например, пространственная трансляционная симметрия (т. е. однородность пространства) приводит к сохранению (линейного) импульса , а временная трансляционная симметрия (т. е. однородность времени) приводит к сохранению энергии .

В следующей таблице обобщены некоторые фундаментальные симметрии и связанные с ними сохраняющиеся величины.

Математика

Непрерывные симметрии в физике сохраняют преобразования. Можно указать симметрию, показав, как очень малое преобразование влияет на различные поля частиц . Коммутатор двух этих бесконечно малых преобразований эквивалентен третьему бесконечно малому преобразованию того же рода, поэтому они образуют алгебру Ли .

Общее преобразование координат, описываемое как общее поле (также известное как диффеоморфизм ), оказывает бесконечно малое влияние на скалярное , спинорное или векторное поле , которое можно выразить (используя соглашение Эйнштейна о суммировании ): $h(x)$ $\phi (x)$ $\psi (x)$ $A(x)$

\delta \phi (x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\phi (x)

\delta \psi ^{\alpha }(x)=h^{\mu }(x)\partial _{\mu }\psi ^{\alpha }(x)+\partial _{\mu }h_{\nu }(x)\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)

\delta A_{\mu }(x)=h^{\nu }(x)\partial _{\nu }A_{\mu }(x)+A_{\nu }(x)\partial _{\mu }h^{\nu }(x)

Без гравитации сохраняются только симметрии Пуанкаре, которые ограничиваются формой: $h(x)$

h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }

где M — антисимметричная матрица (дающая симметрию Лоренца и вращательную симметрию), а P — общий вектор (дающий трансляционную симметрию). Другие симметрии одновременно влияют на несколько полей. Например, локальные калибровочные преобразования применяются как к векторному, так и к спинорному полю:

\delta \psi ^{\alpha }(x)=\lambda (x).\tau ^{\alpha \beta }\psi ^{\beta }(x)

\delta A_{\mu }(x)=\partial _{\mu }\lambda (x),

где — генераторы определенной группы Ли . До сих пор преобразования справа включали только поля одного типа. Суперсимметрии определяются в соответствии с тем, как смешиваются поля разных типов. $\tau$

Другая симметрия, которая является частью некоторых физических теорий и отсутствует в других, — это масштабная инвариантность, которая включает преобразования Вейля следующего вида:

\delta \phi (x)=\Omega (x)\phi (x)

Если поля обладают этой симметрией, то можно показать, что теория поля почти наверняка также конформно инвариантна. Это означает, что в отсутствие гравитации h(x) будет ограничена формой:

h^{\mu }(x)=M^{\mu \nu }x_{\nu }+P^{\mu }+Dx_{\mu }+K^{\mu }|x|^{2}-2K^{\nu }x_{\nu }x_{\mu },

с D, генерирующим масштабные преобразования, и K , генерирующим специальные конформные преобразования. Например, N = 4 супер - теория Янга–Миллса имеет эту симметрию, в то время как общая теория относительности не имеет, хотя другие теории гравитации, такие как конформная гравитация , имеют. «Действие» теории поля является инвариантом относительно всех симметрий теории. Большая часть современной теоретической физики связана с размышлениями о различных симметриях, которые может иметь Вселенная, и поиском инвариантов для построения теорий поля в качестве моделей.

В теории струн, поскольку струну можно разложить на бесконечное число полей частиц, симметрии на мировом листе струны эквивалентны специальным преобразованиям, которые смешивают бесконечное число полей.

Смотрите также

Ссылки

^ Кордова, Клей; Думитреску, Томас; Интрилигатор, Кеннет; Шао, Шу-Хэн (2022). «Белая книга Snowmass: обобщенные симметрии в квантовой теории поля и за ее пределами». arXiv : 2205.09545 [hep-th].

Обычные читатели

Ледерман, Л .; Хилл, CT (2011) [2005]. Симметрия и прекрасная вселенная. Книги Прометея. ISBN 9781615920419.
Шумм, Б. (2004). Глубокие вещи: захватывающая красота физики частиц. Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-7971-5.
Стенгер, В.Дж. (2000). Вневременная реальность: симметрия, простота и множественные вселенные . Книги Прометея. ISBN 9781573928595.Глава 12 представляет собой краткое введение в симметрию, инвариантность и законы сохранения.
Zee, A. (2007). Страшная симметрия: поиск красоты в современной физике (2-е изд.). Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00946-9.

Технические читатели

Брэдинг, К.; Кастеллани, Э. (2003). Симметрии в физике: философские размышления. Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-44202-2.
Брэдинг, К.; Кастеллани, Э. (2007). «Симметрии и инвариантности в классической физике». В Баттерфилде, Дж.; Эрман, Дж. (ред.). Философия физики, часть B. Северная Голландия. стр. 1331–68. ISBN 978-0-08-046665-1.
Дебс, Т.; Редхед, М. (2007). Объективность, инвариантность и условность: симметрия в физической науке. Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0-674-03413-6.
Эрман, Дж. (2002), Законы, симметрия и нарушение симметрии: инвариантность, принципы сохранения и объективность. (PDF)Выступление на заседании Ассоциации философии науки в 2002 году .
Майнцер, К. (1996). Симметрии природы: Справочник по философии природы и науки. де Грюйтер. ISBN 978-3-11-088693-1.
Mouchet, A. (2013). «Размышления о четырех гранях симметрии: как физика иллюстрирует рациональное мышление». European Physical Journal H. 38 ( 5): 661–702. arXiv : 1111.0658 . Bibcode : 2013EPJH...38..661M. CiteSeerX 10.1.1.400.2867 . doi : 10.1140/epjh/e2013-40018-4. S2CID 14475702.
Томпсон, Уильям Дж. (1994). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательным симметриям для физических систем . Wiley. ISBN 0-471-55264-X.
Ван Фраассен, Б. (1989). Законы и симметрия. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-151999-4.
Вигнер, Э. (1970) [1967]. Симметрии и отражения . MIT Press. ISBN 978-0-262-73021-1.

Внешние ссылки

Фейнмановские лекции по физике, том I, гл. 52: Симметрия в физических законах
Стэнфордская энциклопедия философии : «Симметрия» — К. Брэдинг и Э. Кастеллани.
Педагогические пособия по квантовой теории поля Щелкните ссылку на главу 6: Симметрия, инвариантность и сохранение, чтобы получить упрощенное пошаговое введение в симметрию в физике.