Додекагон

Многоугольник с 12 ребрами

В геометрии двенадцатиугольником , или 12 -угольником , называется любой двенадцатигранный многоугольник .

Правильный двенадцатиугольник

Три квадрата со сторонами R можно разрезать и перестроить в двенадцатиугольник радиуса описанной окружности R , что дает безсловное доказательство того, что его площадь равна 3 R ²

Правильный двенадцатиугольник — это фигура, у которой стороны одинаковой длины и внутренние углы одинакового размера. Он имеет двенадцать линий отражательной симметрии и вращательной симметрии порядка 12. Правильный двенадцатиугольник представлен символом Шлефли {12} и может быть построен как усеченный шестиугольник t{6} или дважды усеченный треугольник tt{3 }. Внутренний угол при каждой вершине правильного двенадцатиугольника равен 150°.

Область

Площадь правильного двенадцатиугольника со стороной a определяется выражением:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}$

А с точки зрения апофемы r (см. также вписанный рисунок ) площадь равна:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}$

С точки зрения радиуса окружности R площадь составляет: ^[1]

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$

Размах S двенадцатиугольника равен расстоянию между двумя параллельными сторонами и равен удвоенной апофеме. Простая формула площади (с учетом длины стороны и размаха):

${\displaystyle A=3aS}$

Это можно проверить с помощью тригонометрического соотношения:

${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$

Периметр

Периметр правильного двенадцатиугольника через радиус описанной окружности равен: [ ^2]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246\,R\end{aligned}}}$

Периметр с точки зрения апофемы равен:

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835\,r\end{aligned}}}$

Этот коэффициент вдвое превышает коэффициент, найденный в апофеме уравнения площади. ^[3]

Строительство додекагона

Поскольку 12 = 2 ² × 3, правильный двенадцатиугольник можно построить с помощью конструкции циркуля и линейки :

Диссекция

Изотоксальный додекагон

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного двенадцатиугольника m =6 , и его можно разделить на 15 частей: 3 квадрата, 6 широких ромбов по 30° и 6 узких ромбов по 15°. Это разложение основано на многоугольной проекции Петри 6-куба с 15 из 240 граней. Последовательность OEIS A006245 определяет количество решений как 908, включая до 12-кратных вращений и киральные формы при отражении.

Один из способов использования блоков математических манипулятивных шаблонов заключается в создании ряда различных додекагонов. ^[5] Они относятся к ромбическим расчленениям, в которых 3 ромба по 60° слиты в шестиугольники, полушестиугольные трапеции или разделены на 2 равносторонних треугольника.

Симметрия

Симметрии правильного двенадцатиугольника показаны цветами ребер и вершин. Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, и порядок симметрии следует за буквой. Он дает d (диагональ, диасимметрия) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через края (перпендикуляр, персимметрия) , i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через края (изосимметрия), и g для вращения (гиросимметрия). А1 обозначает асимметрию. Эти более низкие симметрии допускают степень свободы в определении неправильных додекагонов. ^[6]

Правильный додекагон имеет симметрию Dih ₁₂ , порядок 24. Существует 15 различных подгрупп диэдральных и циклических симметрий. Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g12 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Вхождение

Укладка плитки

Правильный додекагон может заполнить вершину плоскости другими правильными многоугольниками четырьмя способами:

Вот три примера периодических плоских мозаик , в которых используются правильные додекагоны, определяемые конфигурацией их вершин :

Наклон додекагона

Правильный косой додекагон, видимый как зигзагообразные края шестиугольной антипризмы .

Косой додекагон — это косой многоугольник с 12 вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренность такого двенадцатиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный додекагон имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой додекагон вершинно -транзитивен с равными длинами ребер. В трехмерном измерении это будет зигзагообразный косой додекагон, который можно увидеть в вершинах и боковых краях шестиугольной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ ,10] порядка 20. Додекаграммная антипризма s{ 2,24/5} и додекаграммная скрещенная антипризма s{2,24/7} также имеют правильные косые додекагоны.

Полигоны Петри

Правильный додекагон — это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, рассматриваемый как ортогональные проекции на плоскости Кокстера . Примерами в 4-х измерениях являются 24-ячеечная , курносая 24-ячеечная , дуопризма 6-6 , дуопирамида 6-6 . В 6 измерениях 6-куб , 6-ортоплекс , 2 21 , 1 22 . Это также многоугольник Петри для великого 120-ячеечного и великого звездчатого 120-ячеечного .

Связанные цифры

Додекаграмма — это 12-сторонний звездчатый многоугольник, обозначенный символом {12/n}. Существует один правильный звездчатый многоугольник : {12/5}, использующий те же вершины, но соединяющий каждую пятую точку. Также есть три соединения: {12/2} сокращается до 2{6} как два шестиугольника , а {12/3} сокращается до 3{4} как три квадрата , {12/4} сокращается до 4{3 } как четыре треугольника, а {12/6} сокращается до 6{2} как шесть вырожденных двуугольников .

Более глубокие усечения правильного додекагона и додекаграмм могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных звездчатых многоугольников с равными интервалами между вершинами и двумя длинами ребер. Усеченный шестиугольник — это додекагон, t{6}={12}. Квазиусеченный шестиугольник, перевернутый как {6/5}, представляет собой додекаграмму: t{6/5}={12/5}. ^[7]

Примеры использования

В заглавных буквах буквы E , H и X (и I в шрифте с засечками ) имеют двенадцатиугольные контуры. Крест — это двенадцатиугольник, как и логотип автомобильного подразделения Chevrolet .

Церковь Вера Крус в Сеговии

Правильный двенадцатиугольник занимает видное место во многих зданиях. Торре -дель-Оро — двенадцатиугольная военная сторожевая башня в Севилье , на юге Испании , построенная династией Альмохадов . Церковь Вера-Крус начала тринадцатого века в Сеговии , Испания, имеет двенадцатиугольную форму. Другим примером являются Порта ди Венере (Ворота Венеры) в Спелло , Италия , построенные в I веке до нашей эры и имеющие две двенадцатиугольные башни, называемые «Башнями Проперция».

Британские трехпенсовики 1942 года выпуска, реверс.

К обычным двенадцатиугольным монетам относятся:

• Британская трехпенсовая монета с 1937 по 1971 год, когда она перестала быть законным платежным средством.
• Британская монета в один фунт , выпущенная в обращение в 2017 году.
• Австралийская монета номиналом 50 центов
• Фиджийские 50 центов
• Тонга 50-сенити , с 1974 г.
• Соломоновы Острова 50 центов
• Хорватские 25 кун
• Румынские 5000 леев , 2001–2005 гг.
• Канадский пенни , 1982–1996 гг.
• Южновьетнамский 20 донгов , 1968–1975 гг.
• Замбийский 50 нгви , 1969–1992 гг.
• Малавийская 50 тамбала , 1986–1995 гг.
• Мексиканские 20 сентаво , 1992-2009 гг.

Смотрите также

• Двенадцатиугольное число
• Додекаэдр – любой многогранник с 12 гранями.
• Додекаграмма

Примечания

1. См. также геометрическое доказательство Куршака в демонстрационном проекте Вольфрама.
2. Плоская геометрия: эксперимент, классификация, открытие, применение Кларенса Аддисона Уиллиса Б., (1922) Blakiston's Son & Company, стр. 249 [1]
3. Элементы геометрии Джона Плейфэра , Уильяма Уоллеса, Джона Дэвидсона, (1814) Bell & Bradfute, p. 243 [2]
4. Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
5. "Doin' Da' Dodeca'" на mathforum.org
6. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN  978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278)
7. Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по занимательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Додекагон». Математический мир .
• Плитка и теорема Кюршака
• Определение и свойства двенадцатиугольника С интерактивной анимацией
• Обычный двенадцатиугольник в классе с использованием блоков-шаблонов.