Диадический рациональный

Дробь со знаменателем, являющимся степенью двойки

Двоичные рациональные числа в интервале от 0 до 1

В математике двоично-рациональное или двоично-рациональное число — это число, которое можно выразить дробью, знаменатель которой является степенью двойки . Например, 1/2, 3/2 и 3/8 являются двоично-рациональными числами, а 1/3 — нет. Эти числа важны в информатике , поскольку они единственные, имеющие конечное двоичное представление . Двоично-рациональные числа также применяются в мерах и весах, музыкальных размерах и раннем математическом образовании. Они могут точно приближать любое действительное число .

Сумма, разность или произведение любых двух двоично-рациональных чисел — это другое двоично-рациональное число, заданное простой формулой. Однако деление одного двоично-рационального числа на другое не всегда дает двоично-рациональный результат. Математически это означает, что двоично-рациональные числа образуют кольцо , лежащее между кольцом целых чисел и полем рациональных чисел . Это кольцо можно обозначить . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

В высшей математике двоично-рациональные числа играют центральную роль в конструкциях двоичного соленоида , функции вопросительного знака Минковского , вейвлетов Добеши , группы Томпсона , 2-группы Прюфера , сюрреальных чисел и сливаемых чисел . Эти числа изоморфны по порядку рациональным числам; они образуют подсистему 2-адических чисел , а также действительных чисел и могут представлять дробные части 2-адических чисел. Функции от натуральных чисел до двоично-рациональных чисел использовались для формализации математического анализа в обратной математике .

Приложения

В измерении

Многие традиционные системы мер и весов основаны на идее повторного деления пополам, что приводит к двоичным рациональным числам при измерении дробных количеств единиц. Дюйм обычно подразделяется на двоичные рациональные числа, а не на десятичное подразделение. ^[1] Привычные деления галлона на полгаллона, кварты , пинты и чашки также являются двоичными. ^[2] Древние египтяне использовали двоичные рациональные числа при измерении со знаменателем до 64. ^[3] Аналогично, системы весов цивилизации долины Инда по большей части основаны на повторном делении пополам; антрополог Хизер М.-Л. Миллер пишет, что «деление пополам — относительно простая операция с рычажными весами, поэтому, вероятно, так много весовых систем этого периода использовали двоичные системы». ^[4]

В вычислительной технике

Двоичные рациональные числа являются центральными в информатике как тип дробных чисел, которым многие компьютеры могут манипулировать напрямую. ^[5] В частности, как тип данных, используемый компьютерами, числа с плавающей точкой часто определяются как целые числа, умноженные на положительные или отрицательные степени двойки. Числа, которые могут быть точно представлены в формате с плавающей точкой, такие как типы данных с плавающей точкой IEEE , называются его представимыми числами. Для большинства представлений с плавающей точкой представимые числа являются подмножеством двоичных рациональных чисел. ^[6] То же самое верно и для типов данных с фиксированной точкой , которые также неявно используют степени двойки в большинстве случаев. ^[7] Из-за простоты вычислений с двоичными рациональными числами они также используются для точных действительных вычислений с использованием интервальной арифметики , ^[8] и являются центральными для некоторых теоретических моделей вычислимых чисел . ^{[9] [10] [11]}

Генерация случайной величины из случайных битов за фиксированное время возможна только тогда, когда переменная имеет конечное число результатов, вероятности которых являются двоично-рациональными числами. Для случайных величин, вероятности которых не являются двоичными, необходимо либо аппроксимировать их вероятности двоично-рациональными числами, либо использовать процесс случайной генерации, время которого само по себе случайно и неограниченно. ^[12]

В музыке

Пять тактов из «Весны священной » Игоря Стравинского с указанием размера.
³
₁₆,²
₁₆,³
₁₆, и²
₈

Тактовые размеры в западной музыкальной нотации традиционно записываются в форме, напоминающей дроби (например:²
₂,⁴
₄, или⁶
₈), ^[13] хотя горизонтальная линия нотного стана, которая разделяет верхнюю и нижнюю цифры, обычно опускается при написании подписи отдельно от ее нотного стана. Как дроби они, как правило, являются диадическими, ^[14] хотя недиадические тактовые размеры также использовались. ^[15] Числовое значение подписи, интерпретируемое как дробь, описывает длину такта как долю целой ноты . Его числитель описывает количество долей в такте, а знаменатель описывает длину каждой доли. ^{[13] [14]}

В математическом образовании

В теориях развития концепции дроби в детстве, основанных на работе Жана Пиаже , дробные числа, возникающие из деления пополам и повторного деления пополам, являются одними из самых ранних форм дробей, которые развивались. ^[16] Этот этап развития концепции дробей был назван «алгоритмическим делением пополам». ^[17] Сложение и вычитание этих чисел можно выполнять шагами, которые включают только удвоение, деление пополам, добавление и вычитание целых чисел. Напротив, сложение и вычитание более общих дробей включает целочисленное умножение и факторизацию для достижения общего знаменателя. Поэтому для учащихся может быть проще вычислять двоичные дроби, чем более общие дроби. ^[18]

Определения и арифметика

Двоичные числа — это рациональные числа , которые получаются в результате деления целого числа на степень двойки . ^[9] Рациональное число в простейшем смысле — это двоично-рациональное число, когда — степень двойки. ^[19] Другой эквивалентный способ определения двоично-рациональных чисел заключается в том, что они являются действительными числами , имеющими конечное двоичное представление . ^[9] ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle q}$

Сложение , вычитание и умножение любых двух двоичных рациональных чисел дает еще одно двоичное рациональное число согласно следующим формулам: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}$

Однако результат деления одного двоично-рационального числа на другое не обязательно является двоично-рациональным числом. ^[21] Например, 1 и 3 являются двоично-рациональными числами, но 1/3 — нет.

Дополнительные свойства

Двоичные рациональные приближения к квадратному корню из 2 ( ), найденные округлением до ближайшего меньшего целого числа, кратного для Высота розовой области над каждым приближением является его ошибкой. ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dots }$

Действительные числа без необычно точных диадических рациональных приближений. Красные круги окружают числа, которые приближены в пределах ошибки на . Для чисел во фрактальном множестве Кантора за пределами кругов все диадические рациональные приближения имеют большие ошибки. ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}/2^{i}}$ ${\displaystyle n/2^{i}}$

Каждое целое число и каждое полуцелое число являются двоично-рациональными числами. ^[22] Они оба соответствуют определению целого числа, деленного на степень двойки: каждое целое число является целым числом, деленным на единицу (нулевая степень двойки), а каждое полуцелое число является целым числом, деленным на два.

Каждое действительное число может быть произвольно близко аппроксимировано двоичными рациональными числами. В частности, для действительного числа рассмотрим двоичные рациональные числа вида , где может быть любым целым числом и обозначает функцию пола , которая округляет свой аргумент до целого числа. Эти числа аппроксимируются снизу с точностью до погрешности , которую можно сделать произвольно малой, выбрав произвольно большую. Для фрактального подмножества действительных чисел эта граница погрешности находится в пределах постоянного множителя оптимального: для этих чисел не существует приближения с погрешностью, меньшей, чем константа, умноженная на . ^{[23] [24]} Существование точных двоичных приближений можно выразить, сказав, что множество всех двоичных рациональных чисел плотно на действительной прямой . ^[22] Более строго, это множество равномерно плотно в том смысле, что двоичные рациональные числа со знаменателем равномерно распределены на действительной прямой. ^[9] ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \lfloor \dots \rfloor }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n/2^{i}}$ ${\displaystyle 1/2^{i}}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

Двоичные рациональные числа — это именно те числа, которые обладают конечными двоичными разложениями . ^[9] Их двоичные разложения не являются уникальными; существует одно конечное и одно бесконечное представление каждого двоичного рационального числа, отличного от 0 (игнорируя терминальные нули). Например, 0,11 ₂ = 0,10111... ₂ , что дает два различных представления для 3/4. ^{[9] [25]} Двоичные рациональные числа — это единственные числа, двоичные разложения которых не являются уникальными. ^[9]

В высшей математике

Алгебраическая структура

Поскольку они замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения, но не деления, двоичные рациональные числа являются кольцом , но не полем . ^[26] Кольцо двоичных рациональных чисел можно обозначить , что означает, что его можно сгенерировать путем вычисления многочленов с целыми коэффициентами при аргументе 1/2. ^[27] Как кольцо, двоичные рациональные числа являются подкольцом рациональных чисел и верхним кольцом целых чисел. ^[28] Алгебраически это кольцо является локализацией целых чисел относительно множества степеней двойки . ^[29] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$

Помимо формирования подкольца действительных чисел , двоично-рациональные числа образуют подкольцо 2-адических чисел , системы чисел, которая может быть определена из двоичных представлений, которые конечны справа от двоичной точки, но могут простираться бесконечно далеко влево. 2-адические числа включают все рациональные числа, а не только двоично-рациональные. Вложение двоично-рациональных чисел в 2-адические числа не меняет арифметику двоично-рациональных чисел, но придает им иную топологическую структуру, чем они имеют в качестве подкольца действительных чисел. Как и в действительных числах, двоично-рациональные числа образуют плотное подмножество 2-адических чисел ^[30] и являются множеством 2-адических чисел с конечными двоичными расширениями. Каждое 2-адическое число можно разложить на сумму 2-адического целого числа и двоично-рационального числа; В этом смысле двоичные рациональные числа могут представлять дробные части 2-адических чисел, но это разложение не является единственным. ^[31]

Сложение двоично-рациональных чисел по модулю 1 ( фактор-группа двоично-рациональных чисел по целым числам) образует 2-группу Прюфера . ^[32] ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$

Двойной соленоид

Рассмотрение только операций сложения и вычитания двоично-рациональных чисел дает им структуру аддитивной абелевой группы . Двойственность Понтрягина — это метод понимания абелевых групп путем построения дуальных групп, элементы которых являются характерами исходной группы, групповых гомоморфизмов в мультипликативную группу комплексных чисел , с поточечным умножением в качестве дуальной групповой операции. Дуальная группа аддитивных двоично-рациональных чисел, построенная таким образом, также может рассматриваться как топологическая группа . Она называется двоичным соленоидом и изоморфна топологическому произведению действительных чисел и 2-адических чисел, профакторизованных по диагональному вложению двоично-рациональных чисел в это произведение. ^[30] Это пример протора , соленоида и неразложимого континуума . ^[33]

Функции с двоично-рациональными числами в качестве выделенных точек

Поскольку они являются плотным подмножеством действительных чисел, двоичные рациональные числа с их числовым порядком образуют плотный порядок . Как и в случае с любыми двумя неограниченными счетными плотными линейными порядками, по теореме Кантора об изоморфизме ^[34] двоичные рациональные числа порядково изоморфны рациональным числам. В этом случае функция вопросительного знака Минковского обеспечивает сохраняющую порядок биекцию между множеством всех рациональных чисел и множеством двоичных рациональных чисел. ^[35]

Двоичные рациональные числа играют ключевую роль в анализе вейвлетов Добеши , как набор точек, где масштабирующая функция этих вейвлетов не является гладкой. ^[26] Аналогично, двуличные рациональные числа параметризуют разрывы на границе между устойчивыми и неустойчивыми точками в пространстве параметров отображения Хенона . ^[36]

Множество кусочно-линейных гомеоморфизмов из единичного интервала в себя, которые имеют наклоны степени 2 и двоично-рациональные точки разрыва, образует группу под действием композиции функций . Это группа Томпсона , первый известный пример бесконечной, но конечно представленной простой группы . ^[37] Та же группа может быть также представлена ​​действием на корневых бинарных деревьях, ^[38] или действием на двоично-рациональные числа внутри единичного интервала. ^[32]

Другие родственные конструкции

В обратной математике один из способов построения действительных чисел — это представление их в виде функций от унарных чисел до двоичных рациональных чисел, где значение одной из этих функций для аргумента — двоичное рациональное число со знаменателем , который приближает данное действительное число. Определение действительных чисел таким образом позволяет доказать многие из основных результатов математического анализа в рамках ограниченной теории арифметики второго порядка, называемой «выполнимым анализом» (BTFA). ^[39] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 2^{i}}$

Сюрреалистические числа генерируются с помощью принципа итерационного построения, который начинается с генерации всех конечных двоичных рациональных чисел, а затем переходит к созданию новых и странных видов бесконечных, бесконечно малых и других чисел. ^[40] Эта числовая система является основополагающей для теории комбинаторных игр , и двоичные рациональные числа естественным образом возникают в этой теории как набор значений определенных комбинаторных игр. ^{[41] [42] [19]}

Плавкие числа являются подмножеством двоичных рациональных чисел, замыканием множества под действием операции , ограниченного парами с . Они хорошо упорядочены , с типом порядка , равным числу эпсилон . Для каждого целого числа наименьшее плавкое число, которое больше, чем имеет вид . Существование для каждого не может быть доказано в арифметике Пеано , ^[43] и растет так быстро как функция от , что для оно (в обозначении Кнута со стрелкой вверх для больших чисел) уже больше, чем . ^[44] ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle |x-y|<1}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1/2^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$

Обычное доказательство леммы Урысона использует двоичные дроби для построения разделяющей функции из леммы.

Ссылки

1. Рудман, Питер С. (2009), Как возникла математика: первые 50 000 лет, Prometheus Books, стр. 148, ISBN 978-1-61592-176-8
2. Барнс, Джон (2016), Хорошие цифры, Springer International Publishing, doi : 10.1007/978-3-319-46831-0, ISBN 978-3-319-46830-3, Обратите внимание, что бинарные меры (2, 4, 8, 16) действительно очень распространены. Это особенно очевидно в случае с объемами.
3. Кертис, Лоренцо Дж. (1978), «Концепция экспоненциального закона до 1900 года», American Journal of Physics , 46 (9): 896–906, Bibcode : 1978AmJPh..46..896C, doi : 10.1119/1.11512
4. Миллер, Хизер М.-Л. (2013), «Веские вопросы: доказательства единства и регионального разнообразия из весов цивилизации Инда», в Авраам, Шину Анна; Гуллапалли, Правина; Рачек, Тереза ​​П.; Ризви, Узма З. (ред.), Связи и сложность: новые подходы к археологии Южной Азии , Left Coast Press, стр. 161–177, doi :10.4324/9781315431857, ISBN 978-1-59874-686-0; см. в частности стр. 166
5. Резникофф, Говард Л.; Уэллс , Рэймонд О. младший (1998), "2.2.1: Цифровые компьютеры и измерения", Вейвлет-анализ: масштабируемая структура информации , Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 17–18, doi :10.1007/978-1-4612-0593-7, ISBN 0-387-98383-X, г-н  1712468
6. Кирк, Дэвид Б .; Хву, Вэньмэй В. (2013), «7.2 Представимые числа», Программирование массивно-параллельных процессоров: практический подход (2-е изд.), Морган Кауфманн, стр. 155–159, ISBN 978-0-12-391418-7
7. Кнойзель, Рональд Т. (2017), «Глава 6: Числа с фиксированной точкой», Числа и компьютеры (2-е изд.), Springer International Publishing, стр. 183–214, doi :10.1007/978-3-319-50508-4_6
8. Ван дер Хувен, Йорис (2006), «Вычисления с эффективными действительными числами», Теоретическая информатика , 351 (1): 52–60, doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.060 , MR  2201092
9. Ko, Ker-I (1991), Теория сложности действительных функций, Progress in Theoretical Computer Science, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc., стр. 41–43, doi :10.1007/978-1-4684-6802-1, ISBN 0-8176-3586-6, MR  1137517, S2CID  11758381
10. Чжэн, Сичжун; Реттингер, Роберт (2004), «Слабая вычислимость и представление действительных чисел», Mathematical Logic Quarterly , 50 (4–5): 431–442, doi :10.1002/malq.200310110, MR  2090389, S2CID  15815720
11. Амбос-Шпис, Клаус; Чжэн, Сичжун (2019), «О разностях и суммах сильно вычислимо перечислимых действительных чисел», в Manea, Флорин; Мартин, Барнаби; Паулусма, Даниэль; Примьеро, Джузеппе (ред.), Вычисления с предвидением и промышленностью: 15-я конференция по вычислимости в Европе, CiE 2019, Дарем, Великобритания, 15–19 июля 2019 г., Труды , Заметки лекций по информатике, т. 11558, Cham: Springer, стр. 310–322, doi : 10.1007/978-3-030-22996-2_27, MR  3981892, S2CID  195795492
12. Джеррум, Марк Р .; Валиант, Лесли Г .; Вазирани, Виджай В. (1986), «Случайная генерация комбинаторных структур из равномерного распределения», Теоретическая информатика , 43 (2–3): 169–188, doi : 10.1016/0304-3975(86)90174-X , MR  0855970
13. Jones, Shelly M. ; Pearson, Dunn (май 2013 г.), «Музыка: высокоактивные студенты связывают музыку с математикой», General Music Today , 27 (1): 18–23, doi : 10.1177/1048371313486478, S2CID  220604326
14. Libbey, Theodore (2006), «Time signature», The NPR Listener's Encyclopedia of Classical Music , Workman Publishing, стр. 873, ISBN 978-0-7611-2072-8
15. Янакиев, Иван К. (2020), «Математические приемы в помощь теории музыки, композиции и исполнению», в Божиковой, Милене (ред.), Музыка между онтологией и идеологией , Cambridge Scholars Publishing, стр. 35–62, ISBN 978-1-5275-4758-2; см. в частности стр. 37.
16. Хиберт, Джеймс; Тоннессен, Лоуэлл Х. (ноябрь 1978 г.), «Развитие концепции дроби в двух физических контекстах: разведывательное исследование», Журнал исследований в области математического образования , 9 (5): 374–378, doi :10.2307/748774, JSTOR  748774
17. Pothier, Yvonne ; Sawada, Daiyo (ноябрь 1983 г.), «Разбиение: возникновение идей о рациональных числах у маленьких детей», Журнал исследований в области математического образования , 14 (5): 307–317, doi :10.2307/748675, JSTOR  748675
18. Уэллс, Дэвид Грэм (2015), Мотивирующая математика: вовлекающие учителя и вовлеченные студенты, World Scientific, стр. 32–33, ISBN 978-1-78326-755-2
19. Uiterwijk, Jos WHM; Barton, Michael (2015), «Новые результаты для Domineering из баз данных конечных игр комбинаторной теории игр», Theoretical Computer Science , 592 : 72–86, arXiv : 1506.03949 , doi : 10.1016/j.tcs.2015.05.017, MR  3367582, S2CID  5899577
20. Эквивалентные им формулы, написанные на языке интерактивного доказательного устройства теорем Coq , приведены в работах Кребберса, Робберта; Спиттерса, Баса (2013), «Классы типов для эффективной точной вещественной арифметики в Coq», Логические методы в информатике , 9 (1): 1:01, 27, arXiv : 1106.3448 , doi : 10.2168/LMCS-9(1:1)2013, MR  3029087, S2CID  218627153
21. О'Коннор, Рассел (2007), «Монадическая функциональная реализация действительных чисел», Математические структуры в информатике , 17 (1): 129–159, arXiv : cs/0605058 , doi :10.1017/S0960129506005871, MR  2311089, S2CID  221168970
22. Sabin, Malcolm (2010), Анализ и проектирование одномерных схем подразделения, Геометрия и вычисления, т. 6, Springer, стр. 51, ISBN 9783642136481
23. Точнее, для малых положительных значений множество действительных чисел, не имеющих приближения с ошибкой, меньшей константы, умноженной на , образует множество Кантора , хаусдорфова размерность которого , как функция , стремится к единице при приближении к нулю. На рисунке показано это множество для . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n/2^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon /2^{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{6}}}$
24. Нильссон, Йохан (2009), «О числах, плохо приближаемых двоичными рациональными числами», Israel Journal of Mathematics , 171 : 93–110, doi : 10.1007/s11856-009-0042-9 , MR  2520103
25. Кац, Марк (1959), Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел , Carus Mathematical Monographs , т. 12, Нью-Йорк: John Wiley & Sons для Математической ассоциации Америки, стр. 2–3, MR  0110114
26. Поллен, Дэвид (1992), "Масштабирующая функция Добеши на [0,3]", Вейвлеты , Анализ вейвлетов и его приложения, т. 2, Бостон, Массачусетс: Academic Press, стр. 3–13, MR  1161245
27. Bajnok, Béla (2013), Приглашение к абстрактной математике , Undergraduate Texts in Mathematics, Нью-Йорк: Springer, стр. 186, doi :10.1007/978-1-4614-6636-9, ISBN 978-1-4614-6635-2
28. В обозначениях Эстеса и Ома для колец, которые являются как подкольцами , так и надкольцами , двоичные рациональные числа являются кольцом . См. раздел 7 Эстеса, Денниса; Ома, Джека (1967), "Стабильный диапазон в коммутативных кольцах" (PDF) , Журнал алгебры , 7 (3): 343–362, doi : 10.1016/0021-8693(67)90075-0 , MR  0217052 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\{2\}}}$
29. Люсишин-Райт, Рори BB (2018), «Выпуклые пространства, аффинные пространства и коммутанты для алгебраических теорий», Applied Categical Structures , 26 (2): 369–400, arXiv : 1603.03351 , doi : 10.1007/s10485-017-9496-9, MR  3770912, S2CID  3743682
30. Manners, Фредди (2015), «Решение проблемы с пижамой», Inventiones Mathematicae , 202 (1): 239–270, arXiv : 1305.1514 , Bibcode : 2015InMat.202..239M, doi : 10.1007/s00222-014 -0571-7, МР  3402799, S2CID  119148680; см. раздел 6.2.1, «Модельный случай: », стр. 255–257. ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} [1/2]}}}$
31. Роберт, Ален М. (2000), "5.4 Дробные и целые части -адических чисел", Курс -адического анализа , Graduate Texts in Mathematics , т. 198, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 40–43, doi :10.1007/978-1-4757-3254-2, ISBN ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ 0-387-98669-3, МР  1760253
32. de Cornulier, Yves; Guyot, Luc; Pitsch, Wolfgang (2007), «Об изолированных точках в пространстве групп» (PDF) , Journal of Algebra , 307 (1): 254–277, arXiv : math/0511714 , doi :10.1016/j.jalgebra.2006.02.012, MR  2278053, S2CID  11566447
33. Надлер, СБ младший (1973), «Неразложимость диадического соленоида», The American Mathematical Monthly , 80 (6): 677–679, doi :10.2307/2319174, JSTOR  2319174
34. Бхаттачарджи, Минакси; Макферсон, Дугалд; Мёллер, Рёгнвалдур Г.; Нойманн, Питер М. (1997), «Рациональные числа», Заметки о бесконечных группах перестановок , Тексты и материалы по математике, т. 12, Берлин: Springer-Verlag, стр. 77–86, doi :10.1007/978-93-80250-91-5_9, ISBN 81-85931-13-5, г-н  1632579
35. Girgensohn, Roland (1996), «Построение сингулярных функций с помощью дробей Фарея», Журнал математического анализа и приложений , 203 (1): 127–141, doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 , MR  1412484
36. Cvitanović, Predrag; Gunaratne, Gemunu H.; Procaccia, Itamar (1988), «Топологические и метрические свойства странных аттракторов типа Хенона», Physical Review A , Третья серия, 38 (3): 1503–1520, Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C, doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503, MR  0970237, PMID  9900529
37. Брин, Мэтью Г. (1999), «Вездесущность группы Томпсона F в группах кусочно-линейных гомеоморфизмов единичного интервала», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 60 (2): 449–460, arXiv : math/9705205 , doi :10.1112/S0024610799007905, MR  1724861, S2CID  14490692
38. Кэннон, Дж. У .; Флойд, У. Дж. (2011), «Что такое… группа Томпсона?» (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 (8): 1112–1113, MR  2856142
39. Фернандес, Антонио М.; Феррейра, Фернандо (2005), «Основные приложения слабой леммы Кёнига в возможном анализе» (PDF) , Reverse Mathematics 2001 , Lecture Notes in Logic, т. 21, Ла-Хойя, Калифорния: Ассоциация символической логики, стр. 175–188, MR  2185433
40. Конвей, Дж. Х. (2001), О числах и играх (второе издание), Натик, Массачусетс: AK Peters, ISBN 1-56881-127-6, МР  1803095; для двоичных рациональных чисел см. «Числа , , , , и т. д.», стр. 10–12 ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 1\,{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle 3}$
41. Молдон, Дж. Г. (1978), «Нум, вариант Ним без победы первого игрока», The American Mathematical Monthly , 85 (7): 575–578, doi : 10.2307/2320870, JSTOR  2320870, MR  0503877
42. Фланиган, JA (1982), «Полный анализ черно-белого Хакендота», Международный журнал теории игр , 11 (1): 21–25, doi :10.1007/BF01771244, MR  0665515, S2CID  119964871
43. Эриксон, Джефф; Ниваш, Габриэль; Сюй, Цзюньян (июнь 2021 г.), «Плавкие числа и арифметика Пеано», Труды 36-го ежегодного симпозиума ACM/IEEE по логике в информатике (LICS 2021) , IEEE, стр. 1–13, arXiv : 2003.14342 , doi : 10.1109 /lics52264.2021.9470703, S2CID  214727767
44. Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A188545», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS