Сюрреалистическое число

В математике система сюрреалистических чисел — это полностью упорядоченный собственный класс, содержащий не только действительные числа , но также бесконечные и бесконечно малые числа , соответственно большие или меньшие по абсолютной величине, чем любое положительное действительное число. Исследования эндшпиля Го Джоном Хортоном Конвеем привели к первоначальному определению и построению сюрреалистических чисел. Построение Конвея было представлено в книге Дональда Кнута 1974 года « Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье» .

Сюрреалы имеют много общих свойств с действительными числами, включая обычные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление); как таковые, они образуют упорядоченное поле . ^[a] Если сформулировать в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя , сюрреалистические числа являются универсальным упорядоченным полем в том смысле, что все другие упорядоченные поля, такие как рациональные числа, действительные числа, рациональные функции , поле Леви-Чивиты , суперреальные числа (включая гиперреальные числа ) могут быть реализованы как подполя сюрреалистов. ^[1] Сюрреалы также содержат все трансфинитные порядковые числа ; арифметика над ними задается естественными операциями . Также было показано (в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя), что гиперреальное поле максимального класса изоморфно сюрреальному полю максимального класса.

История концепции

Исследования эндшпиля Го Джоном Хортоном Конвеем привели к первоначальному определению и построению сюрреалистических чисел. ^[2] Конструкция Конвея была представлена в книге Дональда Кнута 1974 года «Сюрреалистические числа: как два бывших студента обратились к чистой математике и обрели полное счастье» . В своей книге, которая имеет форму диалога, Кнут ввел термин «сюрреалистические числа» для того, что Конвей называл просто числами . ^[3] Позднее Конвей принял термин Кнута и использовал сюрреалисты для анализа игр в своей книге 1976 года « О числах и играх» .

Отдельный путь к определению сюрреалистов начался в 1907 году, когда Ганс Хан ввел ряды Хана как обобщение формальных степенных рядов , а Феликс Хаусдорф ввел определенные упорядоченные множества, называемые $η α$ -множествами для ординалов $α,$ и спросил, возможно ли найти совместимую упорядоченную группу или структуру поля. В 1962 году Норман Аллинг использовал модифицированную форму рядов Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определенными ординалами α, а в 1987 году он показал, что взятие $α$ в качестве класса всех ординалов в его конструкции дает класс, который является упорядоченным полем, изоморфным сюрреальным числам. ^[4]

Если сюрреалисты рассматриваются как «просто» реальное замкнутое поле надлежащего класса, то в статье Аллинга 1962 года рассматривается случай строго недоступных кардиналов, которые естественным образом могут рассматриваться как надлежащие классы, отсекая кумулятивную иерархию вселенной на одну ступень выше кардинала, и, соответственно, Аллинг заслуживает большой заслуги за открытие/изобретение сюрреалистов в этом смысле. Однако существует важная дополнительная структура поля сюрреалистов, которая не видна через эту линзу, а именно понятие «дня рождения» и соответствующее естественное описание сюрреалистов как результат процесса заполнения разрезов вдоль их дней рождения, данное Конвеем. Эта дополнительная структура стала основополагающей для современного понимания сюрреалистических чисел, и Конвею, таким образом, приписывается заслуга открытия сюрреалистов, какими мы их знаем сегодня — сам Аллинг отдает должное Конвею в статье 1985 года, предшествовавшей его книге по этой теме. ^[5]

Описание

Обозначение

В контексте сюрреалистических чисел упорядоченная пара множеств $L$ и $R$ , которая во многих других математических контекстах записывается как $(L, R)$ , вместо этого записывается как ${L | R} ,$ включая дополнительный пробел рядом с каждой фигурной скобкой. Когда множество пустое, его часто просто опускают. Когда множество явно описывается его элементами, пара фигурных скобок, которая охватывает список элементов, часто опускается. Когда берется объединение множеств, оператором, который его представляет, часто является запятая. Например, вместо $(L 1 \cup L 2 \cup {0, 1, 2}, \emptyset)$ , что является общепринятым обозначением в других контекстах, мы обычно пишем ${L 1, L 2, 0, 1, 2 | }$ .

Схема строительства

В конструкции Конвея ^[6] сюрреалистические числа строятся поэтапно, вместе с упорядочением ≤ таким образом, что для любых двух сюрреалистических чисел a $и$ b $выполняется$ $условие a \leq b$ или $b \leq a$ . (Оба условия могут выполняться, в этом случае $a$ и $b$ эквивалентны и обозначают одно и то же число.) Каждое число формируется из упорядоченной пары подмножеств уже построенных чисел: если даны подмножества $L$ и $R$ чисел, такие, что все члены $L$ строго меньше всех членов $R$ , то пара ${L | R}$ представляет собой число, промежуточное по значению между всеми членами $L$ и всеми членами $R$ .

Различные подмножества могут в конечном итоге определять одно и то же число: ${L | R}$ и ${L' | R'}$ могут определять одно и то же число, даже если $L \neq L'$ и $R \neq R'$ . (Аналогичное явление происходит, когда рациональные числа определяются как частные целых чисел: ⁠1/2⁠ и ⁠2/4⁠ — это различные представления одного и того же рационального числа.) Поэтому, строго говоря, сюрреалистические числа — это классы эквивалентности представлений вида ${L | R}$ , которые обозначают одно и то же число.

На первом этапе построения нет ранее существовавших чисел, поэтому единственное представление должно использовать пустой набор: ${ | }$ . Это представление, где $L$ и $R$ оба пусты, называется 0. Последующие этапы дают формы вроде

{ 0 | } = 1

{ 1 | } = 2

{ 2 | } = 3

{ | 0 } = -1

{ | -1 } = -2

{ | -2 } = -3

Таким образом, целые числа содержатся в сюрреалистических числах. (Вышеуказанные тождества являются определениями в том смысле, что правая сторона является именем для левой стороны. То, что имена действительно уместны, станет очевидным, когда будут определены арифметические операции над сюрреалистическими числами, как в разделе ниже). Аналогично, такие представления, как

{ 0 | 1 } = ⁠ 1 / 2 ⁠

{ 0 | ⁠ 1 / 2 ⁠} = ⁠ 1 / 4 ⁠

{⁠ 1 / 2 ⁠ | 1 } = ⁠ 3 / 4 ⁠

возникают, так что двоичные рациональные числа (рациональные числа, знаменатели которых являются степенями 2) содержатся внутри сюрреалистических чисел.

После бесконечного числа этапов становятся доступными бесконечные подмножества, так что любое действительное число $a$ может быть представлено как ${L a | R a},$ где $L a$ — множество всех двоичных рациональных чисел, меньших $a$ , а $R a$ — множество всех двоичных рациональных чисел, больших $a$ (напоминает сечение Дедекинда ). Таким образом, действительные числа также встроены в сюрреалистические числа.

Существуют также такие представления, как

{ 0, 1, 2, 3, ... | } = ω

{ 0 | 1, ⁠ 1 / 2 ⁠, ⁠ 1 / 4 ⁠, ⁠ 1 / 8 ⁠, ... } = ε

где $ω$ — трансфинитное число, большее всех целых чисел, а ε — бесконечно малое число, большее 0, но меньшее любого положительного действительного числа. Более того, стандартные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) можно распространить на эти недействительные числа таким образом, что набор сюрреальных чисел превратится в упорядоченное поле, так что можно будет говорить о $2 ω$ или $ω - 1$ и т. д.

Строительство

Сюрреальные числа строятся индуктивно как классы эквивалентности пар множеств сюрреальных чисел, ограниченные условием, что каждый элемент первого множества меньше каждого элемента второго множества. Конструкция состоит из трех взаимозависимых частей: правила построения, правила сравнения и правила эквивалентности.

Формы

Форма — это пара наборов сюрреалистических чисел, называемых ее левым набором и ее правым набором . Форма с левым набором $L$ и правым набором $R$ записывается ${L | R}$ . Когда $L$ и $R$ заданы как списки элементов, фигурные скобки вокруг них опускаются.

Один или оба из левого и правого набора формы могут быть пустым набором. Форма ${ { } | { } }$ с пустыми левым и правым наборами также записывается как ${ | }$ .

Числовые формы и их классы эквивалентности

Правило построения

Форма

{L | R}

является числовой, если пересечение

L

R

является пустым множеством и каждый элемент

R

больше каждого элемента

L

, в соответствии с отношением порядка ≤, заданным правилом сравнения ниже.

Числовые формы помещаются в классы эквивалентности; каждый такой класс эквивалентности является сюрреальным числом . Элементы левого и правого множеств формы берутся из вселенной сюрреальных чисел (не форм , а их классов эквивалентности ).

Правило эквивалентности

Две числовые формы

x

y

являются формами одного и того же числа (лежат в одном классе эквивалентности) тогда и только тогда, когда оба

x \leq y

y \leq x

Отношение порядка должно быть антисимметричным , т. е. оно должно обладать свойством, что $x = y$ (т. е. $x \leq y$ и $y \leq x$ оба истинны) только тогда, когда $x$ и $y$ являются одним и тем же объектом. Это не относится к сюрреальным числовым формам , но верно по построению для сюрреальных чисел (классов эквивалентности).

Класс эквивалентности, содержащий ${ | }$ , помечен как 0; другими словами, ${ | }$ является формой сюрреалистического числа 0.

Заказ

Рекурсивное определение сюрреалистических чисел завершается определением сравнения:

Даны числовые формы $x = {X L | X R}$ и $y = {Y L | Y R}$ , $x \leq y$ тогда и только тогда, когда оба:

Не существует $x L \in X L$ такого, что $y \leq x L.$ То есть каждый элемент в левой части $x$ строго меньше $y$ .
Не существует $y R \in Y R$ такого, что $y R \leq x$ . То есть каждый элемент в правой части $y$ строго больше $x$ .

Сюрреалистические числа можно сравнивать друг с другом (или с числовыми формами), выбирая числовую форму из ее класса эквивалентности для представления каждого сюрреалистического числа.

Индукция

Эта группа определений является рекурсивной и требует некоторой формы математической индукции для определения вселенной объектов (форм и чисел), которые в них встречаются. Единственные сюрреалистические числа, достижимые посредством конечной индукции, — это двоичные дроби ; более широкая вселенная достижима при наличии некоторой формы трансфинитной индукции .

Правило индукции

Существует поколение $S 0 = { 0 }$ , в котором 0 состоит из единственной формы ${ | }$ .
Для любого порядкового числа $n$ генерация $S n$ представляет собой множество всех сюрреалистических чисел, которые генерируются правилом построения из подмножеств . ${\textstyle \bigcup _{i<n}S_{i}}$

Базовый случай на самом деле является частным случаем правила индукции, где 0 взят в качестве метки для «наименьших порядков». Поскольку не существует $S i$ с $i < 0$ , выражение представляет собой пустое множество; единственным подмножеством пустого множества является пустое множество, и поэтому $S$ $0$ состоит из одной сюрреалистической формы { | }, лежащей в одном классе эквивалентности 0. ${\textstyle \bigcup _{i<0}S_{i}}$

Для каждого конечного порядкового числа $n множество$ $S n$ вполне упорядочено с помощью порядка , индуцированного правилом сравнения сюрреалистических чисел.

Первая итерация правила индукции производит три числовые формы { | 0 } < { | } < { 0 | } (форма { 0 | 0 } не является числовой, поскольку $0 \leq 0$ ). Класс эквивалентности, содержащий { 0 | }, помечен как 1, а класс эквивалентности, содержащий { | 0 }, помечен как −1. Эти три метки имеют особое значение в аксиомах, определяющих кольцо ; это аддитивное тождество (0), мультипликативное тождество (1) и аддитивное обратное 1 (−1). Арифметические операции, определенные ниже, согласуются с этими метками.

Для каждого $i < n$ , поскольку каждая допустимая форма в $S i$ также является допустимой формой в $S n$ , все числа в $S i$ также появляются в $S n$ (как надмножества их представления в $S i$ ). (Выражение объединения множеств появляется в нашем правиле построения, а не более простая форма $S n -1$ , так что определение также имеет смысл, когда $n$ является предельным ординалом .) Числа в $S n$ , которые являются надмножеством некоторого числа в $S i ,$ называются унаследованными от поколения $i$ . Наименьшее значение α , для которого данное сюрреалистическое число появляется в $S α$ , называется его днем рождения . Например, день рождения 0 равен 0, а день рождения −1 равен 1.

Вторая итерация правила построения дает следующий порядок классов эквивалентности:

{ | -1 } = { | -1, 0 } = { | -1, 1 } = { | -1, 0, 1 }

< { | 0 } = { | 0, 1 }

< { -1 | 0 } = { -1 | 0, 1 }

< { | } = { -1 | } = { | 1 } = { -1 | 1 }

< { 0 | 1 } = { -1, 0 | 1 }

< { 0 | } = { -1, 0 | }

< { 1 | } = { 0, 1 | } = { -1, 1 | } = { -1, 0, 1 | }

Сравнение этих классов эквивалентности является последовательным, независимо от выбора формы. Далее следуют три наблюдения:

$S 2$ содержит четыре новых сюрреалистических числа. Два содержат экстремальные формы: { | −1, 0, 1 } содержит все числа из предыдущих поколений в своем правом множестве, а { −1, 0, 1 | } содержит все числа из предыдущих поколений в своем левом множестве. Остальные имеют форму, которая разбивает все числа из предыдущих поколений на два непустых множества.
Каждое сюрреалистическое число $x,$ существовавшее в предыдущем «поколении», существует также и в этом поколении и включает в себя по крайней мере одну новую форму: разбиение всех чисел, отличных от $x,$ из предыдущих поколений на левый набор (все числа меньше $x$ ) и правый набор (все числа больше $x$ ).
Класс эквивалентности числа зависит только от максимального элемента его левого множества и минимального элемента правого множества.

Неформальные интерпретации { 1 | } и { | −1 } — это «число сразу после 1» и «число сразу перед −1» соответственно; их классы эквивалентности обозначены 2 и −2. Неформальные интерпретации { 0 | 1 } и { −1 | 0 } — это «число на полпути между 0 и 1» и «число на полпути между −1 и 0» соответственно; их классы эквивалентности обозначены ⁠1/2⁠ и − ⁠1/2⁠ . Эти метки также будут оправданы правилами сюрреалистического сложения и умножения, приведенными ниже.

Классы эквивалентности на каждом этапе $n$ индукции можно охарактеризовать их $n$ - полными формами (каждая из которых содержит как можно больше элементов предыдущих поколений в своих левых и правых множествах). Либо эта полная форма содержит каждое число из предыдущих поколений в своем левом или правом множестве, в этом случае это первое поколение, в котором встречается это число; либо она содержит все числа из предыдущих поколений, кроме одного, в этом случае это новая форма этого одного числа. Мы сохраняем метки из предыдущего поколения для этих "старых" чисел и записываем указанный выше порядок, используя старые и новые метки:

−2 < −1 < − ⁠12⁠ < 0 < ⁠12⁠ < 1 < 2.

Третье наблюдение распространяется на все сюрреалистические числа с конечными левыми и правыми множествами. (Для бесконечных левых или правых множеств это справедливо в измененной форме, поскольку бесконечные множества могут не содержать максимального или минимального элемента.) Число {1, 2 | 5, 8}, следовательно, эквивалентно {2 | 5}; можно установить, что это формы числа 3, используя свойство дня рождения , которое является следствием приведенных выше правил.

День рождения собственности

Форма $x = {L | R},$ встречающаяся в поколении $n,$ представляет число, унаследованное от более раннего поколения $i < n , тогда и только тогда, когда в$ $S i$ есть некоторое число , которое больше всех элементов $L$ и меньше всех элементов R $.$ (Другими словами, если $L$ и $R$ уже разделены числом, созданным на более раннем этапе, то $x$ представляет не новое число, а уже построенное.) Если $x$ представляет число из любого поколения, более раннего, чем $n$ , существует наименьшее такое поколение $i$ , и ровно одно число $c$ с этим наименьшим $i$ в качестве дня рождения, которое лежит между $L$ и $R$ ; $x$ является формой этого $c$ . Другими словами, оно лежит в классе эквивалентности в $S n ,$ который является надмножеством представления $c$ в поколении $i$ .

Арифметика

Сложение, отрицание (аддитивное обратное) и умножение сюрреалистических числовых форм $x = {X L | X R}$ и $y = {Y L | Y R}$ определяются тремя рекурсивными формулами.

Отрицание

Отрицание заданного числа $x = {X L | X R}$ определяется следующим образом: отрицание множества чисел $S$ задается множеством отрицаемых элементов $S$ : $-x=-\{X_{L}\mid X_{R}\}=\{-X_{R}\mid -X_{L}\},$ $-S=\{-s:s\in S\}.$

Эта формула включает отрицание сюрреальных чисел, появляющихся в левом и правом наборах $x$ , что следует понимать как результат выбора формы числа, оценки отрицания этой формы и взятия класса эквивалентности результирующей формы. Это имеет смысл только в том случае, если результат тот же самый, независимо от выбора формы операнда. Это можно доказать индуктивно, используя тот факт, что числа, встречающиеся в $X L$ и $X R,$ взяты из поколений, более ранних, чем то, в котором впервые встречается форма $x$ , и наблюдая особый случай: $-0=-\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0.$

Добавление

Определение сложения также является рекурсивной формулой: где $x+y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}\mid X_{R}+y,x+Y_{R}\},$

$X+y=\{x'+y:x'\in X\},\quad x+Y=\{x+y':y'\in Y\}$ .

Эта формула включает в себя суммы одного из исходных операндов и сюрреалистического числа, взятого из левого или правого множества другого. Это может быть доказано индуктивно с помощью специальных случаев: Например: $0+0=\{{}\mid {}\}+\{{}\mid {}\}=\{{}\mid {}\}=0$ $x+0=x+\{{}\mid {}\}=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x$ $0+y=\{{}\mid {}\}+y=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y$

⁠ 1 / 2 ⁠ + ⁠ 1 / 2 ⁠ знак равно { 0 | 1 } + { 0 | 1 } = {⁠ 1 / 2 ⁠ | ⁠ 3 / 2 ⁠}

который по свойству дня рождения является формой 1. Это оправдывает обозначение, использованное в предыдущем разделе.

Вычитание

Вычитание определяется сложением и отрицанием: $x-y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{-Y_{R}\mid -Y_{L}\}=\{X_{L}-y,x-Y_{R}\mid X_{R}-y,x-Y_{L}\}\,.$

Умножение

Умножение можно определить рекурсивно, начиная с особых случаев, включающих 0, мультипликативное тождество 1 и его аддитивное обратное −1: Формула содержит арифметические выражения, включающие операнды и их левые и правые наборы, такие как выражение , которое появляется в левом наборе произведения $x$ и $y$ . Это понимается как , набор чисел, сгенерированный путем выбора всех возможных комбинаций членов и , и подстановки их в выражение. ${\begin{aligned}xy&=\{X_{L}\mid X_{R}\}\{Y_{L}\mid Y_{R}\}\\&=\left\{X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}\mid X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{aligned}}$ ${\textstyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}}$ ${\textstyle \left\{x'y+xy'-x'y':x'\in X_{R},~y'\in Y_{R}\right\}}$ ${\textstyle X_{R}}$ ${\textstyle Y_{R}}$

Например, чтобы показать, что квадрат ⁠1/2⁠ есть ⁠1/4⁠ :

⁠ 1 / 2 ⁠ \cdot ⁠ 1 / 2 ⁠ знак равно { 0 | 1 } \cdot { 0 | 1 } = { 0 | ⁠ 1 / 2 ⁠} = ⁠ 1 / 4 ⁠

Разделение

Определение деления дается через обратную величину и умножение:

${\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}$

где ^[6]^{: 21}

${\frac {1}{y}}=\left\{\left.0,{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+\left(y_{L}-y\right)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{L}}}\,\,\right|\,\,{\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{R}}}\right\}$

для положительного $y$ . В формуле разрешены только положительные $y L$ $, любые неположительные члены игнорируются (и y R$ всегда положительны). Эта формула включает в себя не только рекурсию в плане возможности деления на числа из левого и правого наборов $y$ , но также рекурсию в том, что члены левого и правого наборов $⁠$ $1 / у ⁠$ сам по себе. 0 всегда является членом левого множества $⁠$ $1 / у ⁠$ , и это можно использовать для нахождения большего количества терминов рекурсивным способом. Например, если $y = 3 = { 2 |$ }, то мы знаем левый термин ⁠1/3⁠ будет 0. Это в свою очередь означает $⁠$ $1 + (2 - 3)0 / 2 ⁠ = ⁠ 1 / 2 ⁠$ — правый термин. Это означает, что это левый термин. Это означает, что это будет правый термин. Продолжая, это дает ${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}$ ${\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}$ ${\frac {1}{3}}=\left\{\left.0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots \,\right|\,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \right\}$

Для отрицательного $y$ , $⁠$ $1 / у ⁠$ дается ${\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)$

Если $у = 0$ , то $⁠$ $1 / у ⁠$ не определено.

Последовательность

Можно показать, что определения отрицания, сложения и умножения являются согласованными в том смысле, что:

Сложение и отрицание определяются рекурсивно в терминах «более простых» шагов сложения и отрицания, так что операции над числами с днем рождения $n$ в конечном итоге будут полностью выражены в терминах операций над числами с днем рождения меньше $n$ ;
Умножение определяется рекурсивно в терминах сложений, отрицаний и «более простых» шагов умножения, так что произведение чисел с днем рождения $n$ в конечном итоге будет выражено исключительно в терминах сумм и разностей произведений чисел с днем рождения меньше $n$ ;
Пока операнды представляют собой четко определенные сюрреалистические числовые формы (каждый элемент левого множества меньше каждого элемента правого множества), результаты снова представляют собой четко определенные сюрреалистические числовые формы;
Операции могут быть распространены на числа (классы эквивалентности форм): результат отрицания $x$ или сложения или умножения $x$ и $y$ будет представлять одно и то же число независимо от выбора формы $x$ и $y$ ; и
Эти операции подчиняются аксиомам ассоциативности, коммутативности, аддитивной инверсии и дистрибутивности в определении поля с аддитивным тождеством $0 = { | }$ и мультипликативным тождеством $1 = { 0 | }$ .

С этими правилами теперь можно проверить, что числа, найденные в первых нескольких поколениях, были правильно помечены. Правило построения повторяется, чтобы получить больше поколений сюрреалистов:

С 0 = { 0 }

С 1 = { -1 < 0 < 1 }

С 2 = { -2 < -1 < - ⁠ 1 / 2 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 2 ⁠ < 1 < 2 }

С 3 = { -3 < -2 < - ⁠ 3 / 2 ⁠ < -1 < - ⁠ 3 / 4 ⁠ < - ⁠ 1 / 2 ⁠ < - ⁠ 1 / 4 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 4 ⁠ < ⁠ 1 / 2 ⁠ < ⁠ 3 / 4 ⁠ < 1 < ⁠ 3 / 2 ⁠ < 2 < 3 }

С 4 = { -4 < -3 < ... < - ⁠ 1 / 8 ⁠ < 0 < ⁠ 1 / 8 ⁠ < ⁠ 1 / 4 ⁠ < ⁠ 3 / 8 ⁠ < ⁠ 1 / 2 ⁠ < ⁠ 5 / 8 ⁠ < ⁠ 3 / 4 ⁠ < ⁠ 7 / 8 ⁠ < 1 < ⁠ 5 / 4 ⁠ < ⁠ 3 / 2 ⁠ < ⁠ 7 / 4 ⁠ < 2 < ⁠ 5 / 2 ⁠ < 3 < 4 }

Арифметическое замыкание

Для каждого натурального числа (конечного порядкового числа) $n$ все числа, сгенерированные в $S n ,$ являются двоичными дробями , т.е. могут быть записаны в виде несократимой дроби $⁠$ $а / 2 б ⁠$ , где $a$ и $b$ — целые числа и $0 \leq b < n$ .

Множество всех сюрреалистических чисел, которые генерируются в некотором $S n$ для конечного $n,$ можно обозначить как . Можно образовать три класса , объединением которых является $S$ $*$ $. Ни одно индивидуальное S$ $n$ не замкнуто относительно сложения и умножения (кроме $S$ $0$ ), но $S$ $*$ замкнуто; это подкольцо рациональных чисел, состоящее из всех двоичных дробей. ${\textstyle S_{*}=\bigcup _{n\in N}S_{n}}$ ${\begin{aligned}S_{0}&=\{0\}\\S_{+}&=\{x\in S_{*}:x>0\}\\S_{-}&=\{x\in S_{*}:x<0\}\end{aligned}}$

Существуют бесконечные порядковые числа β, для которых множество сюрреальных чисел с днем рождения, меньшим β, замкнуто относительно различных арифметических операций. ^[7] Для любого порядкового числа α множество сюрреальных чисел с днем рождения, меньшим $β = ω α$ (используя степени ω), замкнуто относительно сложения и образует группу; для дня рождения, меньшего ω ^{ω ^α,} оно замкнуто относительно умножения и образует кольцо; ^[b] а для дня рождения, меньшего (порядкового) числа эпсилон ε _α, оно замкнуто относительно мультипликативной обратной функции и образует поле. Последние множества также замкнуты относительно экспоненциальной функции, как определено Крускалом и Гоншором. ^[7]^[8]^{: гл. 10}^[7]

Однако всегда возможно построить сюрреалистическое число, которое больше любого члена множества сюрреалистов (включив множество в левую часть конструктора), и, таким образом, совокупность сюрреалистических чисел является собственным классом . С их упорядочением и алгебраическими операциями они образуют упорядоченное поле , с той оговоркой, что они не образуют множество . Фактически, это самое большое упорядоченное поле, поскольку каждое упорядоченное поле является подполем сюрреалистических чисел. ^[1] Класс всех сюрреалистических чисел обозначается символом . ${\textstyle \mathbb {No} }$

Бесконечность

Определим $S ω$ как множество всех сюрреалистических чисел, сгенерированных правилом построения из подмножеств $S *$ . (Это тот же самый индуктивный шаг, что и раньше, поскольку порядковое число ω является наименьшим порядковым числом, которое больше всех натуральных чисел; однако объединение множеств, появляющееся в индуктивном шаге, теперь является бесконечным объединением конечных множеств, и поэтому этот шаг может быть выполнен только в теории множеств, которая допускает такое объединение.) Уникальное бесконечно большое положительное число встречается в $S ω$ : $S$ $ω$ также содержит объекты, которые можно идентифицировать как рациональные числа . Например, ω-полная форма дроби ⁠ $\omega =\{S_{*}\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots \mid {}\}.$ 1/3⁠ определяется как: Произведение этой формы ⁠ ${\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}:3y<1\mid y\in S_{*}:3y>1\}.$ 1/3⁠ с любой формой числа 3 — это форма, левый набор которой содержит только числа меньше 1, а правый набор содержит только числа больше 1; свойство дня рождения подразумевает, что это произведение является формой числа 1.

Не только все остальные рациональные числа появляются в $S ω$ ; остальные конечные действительные числа тоже. Например, $\pi =\left\{3,{\tfrac {25}{8}},{\tfrac {201}{64}},\ldots \mid 4,{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {13}{4}},{\tfrac {51}{16}},\ldots \right\}.$

Единственными бесконечностями в $S ω$ являются $ω$ и $- ω$ ; но среди действительных чисел в $S ω$ есть и другие недействительные числа . Рассмотрим наименьшее положительное число в $S ω$ : . Это число больше нуля, но меньше всех положительных двоичных дробей. Поэтому это бесконечно малое число, часто обозначаемое $ε$ . $ω$ -полная форма $ε$ (соответственно − $ε$ ) совпадает с $ω$ -полной формой 0, за исключением того, что 0 включен в левый (соответственно правый) набор. Единственными «чистыми» бесконечно малыми числами в $S$ $ω$ являются $ε$ и его аддитивная обратная − $ε$ ; добавление их к любой двоичной дроби $y$ дает числа $y$ $\pm$ $ε$ , которые также лежат в $S$ $ω$ . $\varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}\mid S_{+}\}=\left\{0\mid 1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},\ldots \right\}=\{0\mid y\in S_{*}:y>0\}$

Можно определить связь между ω и ε, перемножив их частные формы и получив:

ω \cdot ε знак равно {ε \cdot S + | ω \cdot S + + S * + ε \cdot S *}

Это выражение хорошо определено только в теории множеств, которая допускает трансфинитную индукцию до $S ω 2$ . В такой системе можно показать, что все элементы левого множества $ωS ω \cdot S ω ε$ являются положительными бесконечно малыми, а все элементы правого множества являются положительными бесконечно малыми, и, следовательно, $ωS ω \cdot S ω ε$ является самым старым положительным конечным числом, 1. Следовательно, $⁠$ $1 / ε ⁠ = ω$ . Некоторые авторы систематически используют $ω -1$ вместо символа $ε$ .

СодержаниеСω

Для любого $x = {L | R}$ в $S ω$ верно ровно одно из следующих утверждений:

$L$ и $R$ оба пусты, в этом случае $x = 0$ ;
$R$ пусто, и некоторое целое число $n \geq 0$ больше, чем каждый элемент $L$ , и в этом случае $x$ равен наименьшему такому целому числу $n$ ;
$R$ пусто, и ни одно целое число $n$ не больше любого элемента $L$ , в этом случае $x$ равен $+ ω$ ;
$L$ пусто, и некоторое целое число $n \leq 0$ меньше каждого элемента $R$ , и в этом случае $x$ равен наибольшему такому целому числу $n$ ;
$L$ пусто, и ни одно целое число $n$ не меньше любого элемента $R$ , в этом случае $x$ равно $- ω$ ;
L и R оба непустые, и:
- Некоторая двоичная дробь $y$ находится «строго между» $L$ и $R$ (больше всех элементов $L$ и меньше всех элементов $R$ ), и в этом случае $x$ равен самой старой такой двоичной дроби $y$ ;
- Ни одна двоичная дробь $y$ не лежит строго между $L$ и $R$ , но некоторая двоичная дробь больше или равна всем элементам $L$ и меньше всех элементов $R$ , и в этом случае $x$ равен $y$ $+$ $ε$ ; ${\textstyle y\in L}$
- Ни одна двоичная дробь $y$ не лежит строго между $L$ и $R$ , но некоторая двоичная дробь больше всех элементов $L$ и меньше или равна всем элементам $R$ , и в этом случае $x$ равен $y$ $-$ $ε$ ; ${\textstyle y\in R}$
- Каждая двоичная дробь либо больше некоторого элемента $R$ , либо меньше некоторого элемента $L$ , и в этом случае $x$ — некоторое действительное число, не имеющее представления в виде двоичной дроби.

$S ω$ не является алгебраическим полем, поскольку оно не замкнуто относительно арифметических операций; рассмотрим ω+1, форма которого не лежит ни в одном числе из $S$ $ω$ . Максимальное подмножество $S$ $ω$ , замкнутое относительно (конечной серии) арифметических операций, — это поле действительных чисел, полученное путем исключения бесконечностей $\pm$ $ω$ , бесконечно малых $\pm$ $ε$ и бесконечно малых соседей $y$ $\pm$ $ε$ каждой ненулевой двоичной дроби $y$ . $\omega +1=\{1,2,3,4,...\mid {}\}+\{0\mid {}\}=\{1,2,3,4,\ldots ,\omega \mid {}\}$

Эта конструкция действительных чисел отличается от сечений Дедекинда стандартного анализа тем, что она начинается с двоичных дробей, а не с общих рациональных чисел, и естественным образом отождествляет каждую двоичную дробь в $S ω$ с ее формами в предыдущих поколениях. (ω-полные формы действительных элементов $S ω$ находятся во взаимно однозначном соответствии с действительными числами, полученными с помощью сечений Дедекинда, при условии, что действительные числа Дедекинда, соответствующие рациональным числам, представлены формой, в которой точка сечения опущена как из левого, так и из правого множеств.) Рациональные числа не являются идентифицируемым этапом в сюрреалистической конструкции; они являются просто подмножеством $Q$ из $S ω,$ содержащим все элементы $x$ такие, что $x b = a$ для некоторого $a$ и некоторого ненулевого $b$ , оба взятых из $S *$ . Демонстрируя, что $Q$ замкнуто относительно отдельных повторений сюрреалистических арифметических операций, можно показать, что это поле; и показав, что каждый элемент $Q$ достижим из $S *$ с помощью конечной серии (на самом деле не более двух) арифметических операций, включая мультипликативную инверсию , можно показать, что $Q$ строго меньше подмножества $S ω,$ отождествленного с действительными числами.

Множество $S ω$ имеет ту же мощность , что и действительные числа $R$ . Это можно продемонстрировать, показав сюръективные отображения из $S ω$ в замкнутый единичный интервал $I$ множества $R$ и наоборот. Отображение $S ω$ на $I$ является рутинным; отобразите числа, меньшие или равные $ε$ (включая $- ω$ ), в 0, числа, большие или равные $1 - ε$ (включая $ω$ ), в 1, а числа между ε и $1 - ε$ в их эквивалент в $I$ (отображая бесконечно малых соседей $y \pm ε$ каждой двоичной дроби $y$ , вместе с самим $y$ , в $y$ ). Чтобы отобразить $I$ на $S ω$ , отобразите (открытую) центральную треть ( ⁠1/3⁠ , ⁠2/3⁠ ) $I$ на ${ | } = 0$ ; центральная треть ( ⁠7/9⁠ , ⁠8/9⁠ ) верхней трети в ${ 0 } = 1$ ; и так далее. Это отображает непустой открытый интервал $I$ на каждый элемент $S *$ , монотонно. Остаток $I$ состоит из множества Кантора $2 ω$ , каждая точка которого однозначно идентифицируется разбиением интервалов центральной трети на левые и правые множества, соответствующие в точности форме ${L | R}$ в $S ω$ . Это ставит множество Кантора во взаимно-однозначное соответствие с множеством сюрреалистических чисел с днем рождения $ω$ .

Трансфинитная индукция

Продолжение выполнения трансфинитной индукции за пределами $S ω$ производит больше порядковых чисел $α$ , каждое из которых представлено как наибольшее сюрреалистическое число, имеющее день рождения $α$ . (Это по сути определение порядковых чисел, полученных в результате трансфинитной индукции.) Первым таким порядковым числом является $ω +1 = {ω | }$ . Существует еще одно положительное бесконечное число в поколении $ω +1$ :

ω - 1 знак равно { 0, 1, 2, 3, 4, ... | ω}

Сюрреальное число $ω - 1$ не является ординалом; ординал ω не является последователем какого-либо ординала. Это сюрреальное число с днем рождения ω +1, которое помечено как $ω - 1$ на том основании, что оно совпадает с суммой $ω = { 0, 1, 2, 3, 4, ... | }$ и $-1 = { | 0 } . Аналогично, в поколении$ $ω + 1$ есть два новых бесконечно малых числа :

2 ε знак равно ε + ε знак равно { ε | 1 + ε , ⁠12⁠ + ε , ⁠14⁠ + ε , ⁠18⁠ + ε , ... } и

⁠ ε / 2 ⁠ = ε \cdot ⁠ 1 / 2 ⁠ = { 0 | ε}

На более позднем этапе трансфинитной индукции существует число, большее, чем $ω + k$ для всех натуральных чисел k :

2 ω знак равно ω + ω знак равно { ω +1, ω +2, ω +3, ω +4, ... | }

Это число может быть обозначено как $ω + ω$ , поскольку его день рождения — $ω + ω$ (первое порядковое число, не достигаемое из ω операцией следования), а также потому, что оно совпадает с сюрреалистической суммой ω и ω ; его также можно обозначить как 2 ω , поскольку оно совпадает с произведением $ω = { 1, 2, 3, 4, ... | }$ и $2 = { 1 | }$ . Это второй предельный порядковый номер; достижение его из ω через шаг построения требует трансфинитной индукции по Это включает в себя бесконечное объединение бесконечных множеств, что является «более сильной» теоретико-множественной операцией, чем предыдущая требуемая трансфинитная индукция. $\bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k}$

Обратите внимание, что обычное сложение и умножение ординалов не всегда совпадает с этими операциями над их сюрреалистическими представлениями. Сумма ординалов $1 + ω$ равна ω , но сюрреалистическая сумма коммутативна и дает $1 + ω = ω + 1 > ω$ . Сложение и умножение сюрреалистических чисел, связанных с ординалами, совпадает с натуральной суммой и натуральным произведением ординалов.

Так же, как 2 ω больше, чем $ω + n$ для любого натурального числа n , существует сюрреалистическое число ⁠ω/2⁠ которая бесконечна, но меньше $ω - n$ для любого натурального числа n . То есть, ⁠ω/2⁠ определяется как

⁠ ω / 2 ⁠ знак равно {S * | ω - S *}

где в правой части обозначение x − Y используется для обозначения ${x - y : y \in Y}$ . Его можно определить как произведение ω и формы { 0 | 1 } ⁠1/2⁠ . День рождения ⁠ω/2⁠ — предельный ординал ω 2.

Степени ω и нормальная форма Конвея

Чтобы классифицировать «порядки» бесконечных и бесконечно малых сюрреалистических чисел, также известных как архимедовы классы, Конвей связал с каждым сюрреалистическим числом x сюрреалистическое число

ω ^Икс знак равно { 0, р ω ^{Икс _L} | s ω ^{x _R} },

где r и s ранжируются по положительным действительным числам. Если x < y, то ω ^y "бесконечно больше", чем ω ^x , в том смысле, что оно больше, чем r ω ^x для всех действительных чисел r . Степени ω также удовлетворяют условиям

ω ^x ω ^y = ω ^{x + y} ,
ω ^{− х} = ⁠1/ω ^х⁠ ,

поэтому они ведут себя так, как и следовало бы ожидать от властей.

Каждая степень ω также имеет искупительное свойство быть простейшим сюрреалистическим числом в своем архимедовом классе; наоборот, каждый архимедов класс в пределах сюрреалистических чисел содержит уникальный простейший член. Таким образом, для каждого положительного сюрреалистического числа x всегда будет существовать некоторое положительное действительное число r и некоторое сюрреалистическое число y, так что $x - rω y$ «бесконечно меньше», чем x . Показатель y — это «логарифм по основанию ω» числа x , определенный на положительных сюрреалистических числах; можно продемонстрировать, что log _ω отображает положительные сюрреалистические числа на сюрреалистические числа и что

журнал _ω ( xy ) = журнал _ω ( x ) + журнал _ω ( y ).

Это расширяется с помощью трансфинитной индукции, так что каждое сюрреальное число имеет «нормальную форму», аналогичную нормальной форме Кантора для порядковых чисел. Это нормальная форма Конвея: Каждое сюрреальное число x может быть однозначно записано как

x = r ₀ ω ^{y ₀} + r ₁ ω ^{y ₁} + ...,

где каждое r _α является ненулевым действительным числом, а y _α образуют строго убывающую последовательность сюрреалистических чисел. Однако эта «сумма» может иметь бесконечно много членов и в общем случае имеет длину произвольного порядкового числа. (Ноль, конечно, соответствует случаю пустой последовательности и является единственным сюрреалистическим числом без ведущего показателя степени.)

Рассматриваемые таким образом, сюрреалистические числа напоминают поле степенного ряда , за исключением того, что убывающие последовательности показателей должны быть ограничены по длине ординалом и не могут быть такими же длинными, как класс ординалов. Это является основой для формулировки сюрреалистических чисел как ряда Хана.

Пробелы и преемственность

В отличие от действительных чисел, (собственное) подмножество сюрреалистических чисел не имеет наименьшей верхней (или нижней) границы, если только оно не имеет максимального (минимального) элемента. Конвей определяет ^[6] зазор как ${L | R},$ такой, что каждый элемент L меньше каждого элемента R , и ; это не число, потому что по крайней мере одна из сторон является собственным классом. Хотя зазоры похожи, они не совсем то же самое, что и сечения Дедекинда , ^[c] но мы все равно можем говорить о завершении сюрреалистических чисел с естественным порядком, который является (собственным размером класса) линейным континуумом . ^[9] ${\textstyle L\cup R=\mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {No} _{\mathfrak {D}}}$

Например, не существует наименьшего положительного бесконечного сюрреализма, но разрыв

$\{x:\exists n\in \mathbb {N} :x<n\mid x:\forall n\in \mathbb {N} :x>n\}$

больше всех действительных чисел и меньше всех положительных бесконечных сюрреалистических чисел, и, таким образом, является наименьшей верхней границей действительных чисел в . Аналогично зазор больше всех сюрреалистических чисел. (Это эзотерический каламбур : в общей конструкции ординалов α «является» множеством ординалов, меньших α, и мы можем использовать эту эквивалентность, чтобы записать α = { α | } в сюрреалах; обозначает класс ординальных чисел, и поскольку является конфинальным в , то по расширению мы имеем .) ${\textstyle \mathbb {No} _{\mathfrak {D}}}$ ${\textstyle \mathbb {On} =\{\mathbb {No} \mid {}\}}$ ${\textstyle \mathbb {On} }$ ${\textstyle \mathbb {On} }$ ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \{\mathbb {No} \mid {}\}=\{\mathbb {On} \mid {}\}=\mathbb {On} }$

Приложив немного теоретико-множественной осторожности, ^[d] можно снабдить топологией, в которой открытые множества являются объединениями открытых интервалов (индексированных собственными множествами), и можно определить непрерывные функции. ^[9] Также можно определить эквивалент последовательностей Коши , хотя они должны быть индексированы классом ординалов; они всегда будут сходиться, но пределом может быть либо число, либо зазор, который можно выразить как с α _, уменьшающимся и не имеющим нижней границы в . (Все такие зазоры можно понимать как сами последовательности Коши, но есть и другие типы зазоров, которые не являются пределами, такие как ∞ и ). ^[9] ${\textstyle \mathbb {No} }$ $\sum _{\alpha \in \mathbb {No} }r_{\alpha }\omega ^{a_{\alpha }}$ ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {On} }$

Экспоненциальная функция

На основе неопубликованной работы Крускала , конструкция (по трансфинитной индукции), которая расширяет действительную показательную функцию exp( x ) (с основанием e ) до сюрреалистов, была осуществлена Гоншором. ^[8]^{: гл. 10}

Другие экспоненты

Функция степеней ω также является показательной функцией, но не обладает свойствами, требуемыми для расширения функции на действительные числа. Однако она понадобится при разработке показательной функции с основанием e , и именно эта функция подразумевается всякий раз, когда в дальнейшем используется обозначение ω ^{x .}

Когда y — двоичная дробь, степенная функция x $\mapsto$ $x$ $y$ $может$ быть составлена из умножения, мультипликативной обратной функции и квадратного корня, все из которых могут быть определены индуктивно. Ее значения полностью определяются основным соотношением $x$ $y$ $+$ $z$ $=$ $x$ $y$ $\cdot$ $x$ $z$ , и там, где она определена, она обязательно согласуется с любым другим возведением в степень , которое может существовать. ${\textstyle x\in \mathbb {No} }$

Базовая индукция

Шаги индукции для сюрреалистической экспоненты основаны на разложении ряда для действительной экспоненты, а точнее, тех частичных сумм, которые, как можно показать с помощью базовой алгебры, положительны, но меньше всех последующих. Для положительного x они обозначаются [ x ] _n и включают все частичные суммы; для отрицательного, но конечного x [ x ] ₂_n₊₁ обозначает нечетные шаги в ряду, начиная с первого с положительной действительной частью (которая всегда существует). Для отрицательного бесконечного x нечетные частичные суммы строго убывают, а обозначение [ x ] ₂_n₊₁ обозначает пустое множество, но оказывается, что соответствующие элементы не нужны в индукции. $\exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}$

Тогда соотношения, которые справедливы для действительных x < y, следующие:

ехр х · [ у – х ] _n < ехр у

ехр у · [ х – у ] _{2 n + 1} < ехр х ,

и это можно распространить на сюрреалистическое с определением

$\exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}.$

Это хорошо определено для всех сюрреалистических аргументов (значение существует и не зависит от выбора z _L и z _R ).

Результаты

Используя это определение, справедливо следующее: ^[e]

exp — строго возрастающая положительная функция, $x < y \Rightarrow 0 < exp x < exp y$
exp удовлетворяет $exp(x + y) = exp x \cdot exp y$
exp является сюръекцией (на ) и имеет четко определенную обратную функцию, $log = exp$ $-1$ ${\textstyle \mathbb {No} _{+}}$
exp совпадает с обычной экспоненциальной функцией от действительных чисел (и, таким образом $, exp 0 = 1, exp 1 = e$ )
Для бесконечно малых x значение формального степенного ряда ( разложение Тейлора ) exp хорошо определено и совпадает с индуктивным определением
- Когда x задан в нормальной форме Конвея, набор показателей в результате хорошо упорядочен, а коэффициенты представляют собой конечные суммы, что напрямую дает нормальную форму результата (с ведущей единицей).
- Аналогично, для x, бесконечно близкого к 1, log x определяется путем разложения в степенной ряд $x - 1$
Для положительного бесконечного x , exp x также бесконечен
- Если x имеет вид ω ^α ( α > 0), exp x имеет вид ω ^{ω ^β} , где β — строго возрастающая функция α . Фактически существует индуктивно определенная биекция , обратная которой также может быть определена индуктивно ${\textstyle g:\mathbb {No} _{+}\to \mathbb {No} :\alpha \mapsto \beta }$
- Если x «чисто бесконечен» с нормальной формой $x = Σ α < β r α ω a α$ где все $a α > 0$ , то $exp x = ω Σ α < β r α ω g (a α)$
- Аналогично, для $x = ω Σ α < β r α ω b α$ обратное выражение определяется выражением $log x = Σ α < β r α ω g -1 (b α)$
Любое сюрреалистическое число можно записать в виде суммы чистой бесконечности, действительной и бесконечно малой части, а показатель степени является произведением частных результатов, приведенных выше.
- Нормальную форму можно записать, умножив бесконечную часть (одну степень ω) и действительную экспоненту в степенной ряд, полученный из бесконечно малой
- Наоборот, деление ведущего члена нормальной формы приведет любое сюрреалистическое число к виду ( ω ^{Σ _{γ < δ} t _γ ω ^{b _γ}} )· r ·(1 + Σ _{α < β} s _α ω ^{a _α} ) , для a _α < 0 , где каждый множитель имеет форму, для которой способ вычисления логарифма был дан выше; сумма тогда будет общим логарифмом
  - Хотя общего индуктивного определения log (в отличие от exp) не существует, частичные результаты даются в терминах таких определений. Таким образом, логарифм может быть вычислен явно, без ссылки на тот факт, что он является обратной экспонентой.
Экспоненциальная функция намного больше любой конечной степени
- Для любого положительного бесконечного x и любого конечного n exp( x )/ x ⁿ бесконечно
- Для любого целого числа n и сюрреалистического x > n ² , exp( x ) > x ⁿ . Это более сильное ограничение является одной из аксиом Рессейра для действительного экспоненциального поля ^[7]
exp удовлетворяет всем аксиомам Рессейра для действительного экспоненциального поля ^[7]
- Сюрреалистическое с экспоненциальным полем является элементарным расширением реального экспоненциального поля.
- Для ε _{β —} порядкового эпсилон-числа множество сюрреалистических чисел с днем рождения, меньшим ε _β, образует поле, замкнутое относительно экспонент, и также является элементарным расширением действительного экспоненциального поля.

Примеры

Сюрреалистическая экспонента по существу задается ее поведением на положительных степенях ω, т. е. функцией ⁠ ⁠ $g(a)$ , в сочетании с хорошо известным поведением на конечных числах. Будут приведены только примеры первой. Кроме того, ⁠ ⁠ $g(a)=a$ выполняется для большой части своего диапазона, например, для любого конечного числа с положительной действительной частью и любого бесконечного числа, которое меньше некоторой итерированной степени ω ( $ω ω \cdot \cdot ω$ для некоторого количества уровней).

ехр ω = ω ^ω
exp ω ^{1/ ω} = ω и log ω = ω ^{1/ ω}
exp ( ω · журнал ω ) знак равно exp ( ω · ω ^{1/ ω} ) знак равно ω ^{ω ^{(1 + 1/ ω )}}
- Это показывает, что функция «степень ω » несовместима с exp, поскольку совместимость потребовала бы здесь значения ω ^ω
ехр ε ₀ = ω ^{ω ^{ε ₀ + 1}}
log ε ₀ = ε ₀ / ω

Возведение в степень

Общую экспоненту можно определить как x ^y = exp( y · log x ) , что дает интерпретацию выражениям типа 2 ^ω = exp(ω · log 2) = ω ^{log 2 · ω} . Опять же, важно отличать это определение от функции «степени ω», особенно если ω может встречаться в качестве основания.

Сверхкомплексные числа

Суркомплексное число — это число вида $a + b i$ , где a и b — сюрреальные числа, а $i$ — квадратный корень из $-1$ . ^[10]^[11] Суркомплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле (за исключением того, что являются собственным классом), изоморфное алгебраическому замыканию поля, порожденного расширением рациональных чисел собственным классом алгебраически независимых трансцендентных элементов. С точностью до изоморфизма полей этот факт характеризует поле суркомплексных чисел в пределах любой теории фиксированных множеств. ^[6]^{: Th.27}

Игры

Определение сюрреалистических чисел содержало одно ограничение: каждый элемент L должен быть строго меньше каждого элемента R. Если это ограничение убрать, то можно сгенерировать более общий класс, известный как игры . Все игры строятся по этому правилу:

Правило построения: Если L и R — два набора игр, то { L | R } — игра.

Сложение, отрицание и сравнение определяются одинаково как для сюрреалистических чисел, так и для игр.

Каждое сюрреалистическое число является игрой, но не все игры являются сюрреалистическими числами, например, игра { 0 | 0 } не является сюрреалистическим числом. Класс игр более общий, чем сюрреалисты, и имеет более простое определение, но не имеет некоторых из лучших свойств сюрреалистов. Класс сюрреалистов образует поле , но класс игр — нет. Сюрреалисты имеют общий порядок : если даны любые два сюрреалиста, они либо равны, либо один больше другого. Игры имеют только частичный порядок : существуют пары игр, которые не равны, не больше и не меньше друг друга. Каждое сюрреалистическое число либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю. Каждая игра либо положительна, либо отрицательна, равна нулю , либо нечетка (несравнима с нулем, например, ${1 | -1}$ ).

Ход в игре подразумевает, что игрок, чей ход это, выбирает игру из доступных в L (для левого игрока) или R (для правого игрока) и затем передает эту выбранную игру другому игроку. Игрок, который не может сделать ход, потому что выбор из пустого набора, проиграл. Положительная игра представляет собой победу для левого игрока, отрицательная игра для правого игрока, нулевая игра для второго игрока, который ходит, и нечеткая игра для первого игрока, который ходит.

Если x , y , и z являются сюрреалистами, и $x = y$ , то $x z = y z$ . Однако если x , y , и z являются играми, и $x = y$ , то не всегда верно, что $x z = y z$ . Обратите внимание, что "=" здесь означает равенство, а не тождество.

Применение к комбинаторной теории игр

Сюрреалистические числа изначально были мотивированы исследованиями игры Го , ^[2] и существует множество связей между популярными играми и сюрреалистами. В этом разделе мы будем использовать заглавную букву Игра для математического объекта ${L | R}$ и строчную букву Игра для развлекательных игр, таких как Шахматы или Го .

Мы рассматриваем игры со следующими свойствами:

Два игрока (называемые Левый и Правый )
Детерминированный (игра на каждом этапе будет полностью зависеть от выбора игроков, а не от случайного фактора)
Никакой скрытой информации (например, карт или плиток, которые игрок скрывает)
Игроки ходят по очереди (игра может допускать или не допускать несколько ходов за ход)
Каждая игра должна заканчиваться конечным числом ходов.
Как только у игрока не остается разрешенных ходов, игра заканчивается, и этот игрок проигрывает.

Для большинства игр начальная позиция на доске не дает большого преимущества ни одному из игроков. По мере того, как игра прогрессирует и один из игроков начинает выигрывать, будут возникать позиции на доске, в которых этот игрок имеет явное преимущество. Для анализа игр полезно связать игру с каждой позицией на доске. Значением данной позиции будет Игра {L|R}, где L — набор значений всех позиций, которых можно достичь за один ход слева. Аналогично, R — набор значений всех позиций, которых можно достичь за один ход справа.

Нулевая игра (называемая 0) — это игра, в которой L и R пусты, поэтому игрок, который ходит следующим (L или R), немедленно проигрывает. Сумма двух игр G = { L1 | R1 } и H = { L2 | R2 } определяется как игра G + H = { L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2 }, где игрок, который ходит, выбирает, в какую из игр играть на каждом этапе, а проигравшим по-прежнему является игрок, у которого в итоге нет законного хода. Можно представить себе две шахматные доски между двумя игроками, на которых игроки делают ходы поочередно, но с полной свободой в отношении того, на какой доске играть. Если G — это игра {L | R}, −G — это игра {−R | −L}, т. е. с обратными ролями двух игроков. Легко показать, что G – G = 0 для всех игр G (где G – H определяется как G + (–H)).

Этот простой способ связать Игры с играми дает очень интересный результат. Предположим, что два идеальных игрока играют в игру, начиная с заданной позиции, ассоциированная Игра которой — x . Мы можем классифицировать все Игры на четыре класса следующим образом:

Если x > 0, то победит Левый, независимо от того, кто ходит первым.
Если x < 0, то победит «Правый», независимо от того, кто ходит первым.
Если x = 0, то победит игрок, ходящий вторым.
Если x || 0, то победит игрок, ходящий первым.

В более общем смысле мы можем определить G > H как G – H > 0, и аналогично для <, = и ||.

Обозначение G || H означает, что G и H несравнимы. G || H эквивалентно G − H || 0, т. е. G > H, G < H и G = H — все это ложно. Иногда говорят, что несравнимые игры путают друг с другом, потому что игрок может предпочесть одну или другую в зависимости от того, что к ней добавлено. Игра, спутанная с нулем, называется нечеткой , в отличие от положительной, отрицательной или нулевой . Примером нечеткой игры является звезда (*) .

Иногда, когда игра приближается к концу, она распадается на несколько меньших игр, которые не взаимодействуют, за исключением того, что ход каждого игрока позволяет ходить только в одной из них. Например, в го доска будет медленно заполняться фигурами, пока не останется всего несколько маленьких островков пустого пространства, куда игрок может ходить. Каждый остров похож на отдельную игру в го, сыгранную на очень маленькой доске. Было бы полезно, если бы можно было проанализировать каждую подигру отдельно, а затем объединить результаты, чтобы дать анализ всей игры. Это, похоже, нелегко сделать. Например, может быть две подигры, в которых выигрывает тот, кто ходит первым, но когда они объединяются в одну большую игру, выигрывает уже не первый игрок. К счастью, есть способ сделать такой анализ. Можно применить следующую теорему:

Если большая игра распадается на две меньшие игры, и малые игры имеют связанные Игры x и y , то большая игра будет иметь связанную Игру

x + y

Игра, состоящая из меньших игр, называется дизъюнктивной суммой этих меньших игр, и теорема утверждает, что определенный нами метод сложения эквивалентен взятию дизъюнктивной суммы слагаемых.

Исторически Конвей развивал теорию сюрреалистических чисел в обратном порядке тому, как она была представлена здесь. Он анализировал эндшпили Го и понял, что было бы полезно иметь какой-то способ объединить анализы невзаимодействующих подигр в анализ их дизъюнктивной суммы . Из этого он изобрел концепцию Игры и оператора сложения для нее. Оттуда он перешел к разработке определения отрицания и сравнения. Затем он заметил, что определенный класс Игр обладает интересными свойствами; этот класс стал сюрреалистическими числами. Наконец, он разработал оператор умножения и доказал, что сюрреалисты на самом деле являются полем, и что оно включает как действительные числа, так и порядковые числа.

Альтернативные реализации

Альтернативные подходы к сюрреалистическим числам дополняют изложение Конвея с точки зрения игр.

Расширение знака

Определения

В том, что сейчас называется знаковым расширением или знаковой последовательностью сюрреального числа, сюрреальным числом является функция , областью определения которой является порядковое число , а областью значений является {−1, +1}. ^[8]^{: гл. 2} Это эквивалентно последовательностям LR Конвея. ^[6]

Определим бинарный предикат «проще, чем» для чисел следующим образом: x проще, чем y , если x является собственным подмножеством y , т.е. если dom( x ) < dom( y ) и x (α) = y (α) для всех α < dom( x ).

Для сюрреалистических чисел определим бинарное отношение < как лексикографический порядок (с соглашением, что «неопределенные значения» больше −1 и меньше 1). Таким образом, x < y , если выполняется одно из следующих условий:

x проще, чем y и y (dom( x )) = +1;
y проще, чем x и x (dom( y )) = −1;
существует число z такое, что z проще, чем x , z проще, чем y , x (dom( z )) = − 1 и y (dom( z )) = +1.

Эквивалентно, пусть δ( x , y ) = min({ dom( x ), dom( y )} ∪ { α : α < dom( x ) ∧ α < dom( y ) ∧ x (α) ≠ y (α) }), так что x = y тогда и только тогда, когда δ( x , y ) = dom( x ) = dom( y ). Тогда для чисел x и y x < y тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:

δ( x , y ) = dom( x ) ∧ δ( x , y ) < dom( y ) ∧ y (δ( x , y )) = +1;
δ( x , y ) < dom( x ) ∧ δ( x , y ) = dom( y ) ∧ x (δ( x , y )) = -1;
δ( x , y ) < dom( x ) ∧ δ( x , y ) < dom( y ) ∧ x (δ( x , y )) = −1 ∧ y (δ( x , y )) = +1.

Для чисел x и y , x ≤ y тогда и только тогда, когда x < y ∨ x = y , и x > y тогда и только тогда, когда y < x . Также x ≥ y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Отношение < транзитивно , и для всех чисел x и y выполняется ровно одно из x < y , x = y , x > y (закон трихотомии ). Это означает, что < — линейный порядок (за исключением того, что < — собственный класс).

Для наборов чисел L и R таких, что ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x < y ), существует единственное число z такое, что

∀ x ∈ L ( x < z ) ∧ ∀ y ∈ R ( z < y ),
Для любого числа w такого, что ∀ x ∈ L ( x < w ) ∧ ∀ y ∈ R ( w < y ), w = z или z проще, чем w .

Более того, z конструируется из L и R посредством трансфинитной индукции. z — простейшее число между L и R. Пусть уникальное число z обозначается как σ( L , R ).

Для числа x определим его левое множество L ( x ) и правое множество R ( x ) следующим образом:

Л ( х ) = { х };
Р ( х ) = { х },

тогда σ( L ( x ), R ( x )) = x .

Одним из преимуществ этой альтернативной реализации является то, что равенство является тождеством, а не индуктивно определенным отношением. Однако, в отличие от реализации Конвея сюрреалистических чисел, знаковое расширение требует предварительного построения ординалов, тогда как в реализации Конвея ординалы строятся как частные случаи сюрреалистов.

Однако можно сделать похожие определения, которые устраняют необходимость в предварительном построении ординалов. Например, мы могли бы позволить сюрреалам быть (рекурсивно определенным) классом функций, область определения которых является подмножеством сюрреалов, удовлетворяющих правилу транзитивности ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f )) и областью значений которых является { −, + }. «Проще, чем» теперь определяется очень просто — x проще, чем y, если x ∈ dom y . Общий порядок определяется путем рассмотрения x и y как наборов упорядоченных пар (как обычно определяется функция): Либо x = y , либо сюрреальное число z = x ∩ y находится в области определения x или в области определения y (или в обеих, но в этом случае знаки должны не совпадать). Тогда мы имеем x < y , если x ( z ) = − или y ( z ) = + (или оба). Преобразование этих функций в последовательности знаков — простая задача; расположите элементы dom f в порядке простоты (т. е. включения), а затем запишите знаки, которые f назначает каждому из этих элементов по порядку. Затем порядковые числа возникают естественным образом как те сюрреалистические числа, диапазон которых { + }.

Сложение и умножение

Сумма x + y двух чисел, x и y , определяется индукцией по dom( x ) и dom( y ) по формуле x + y = σ( L , R ), где

$L = {u + y : u \in L (x) } \cup {x + v : v \in L (y) }$ ,
$R = {u + y : u \in R (x)} \cup {x + v : v \in R (y)}$ .

Аддитивное тождество задается числом 0 = { }, т. е. число 0 является уникальной функцией, областью определения которой является порядковый номер 0, а аддитивное обратное число числа x является числом − x , задаваемым формулой dom(− x ) = dom( x ), и для α < dom( x ), (− x )( α ) = −1, если x ( α ) = +1, и (− x )( α ) = +1, если x ( α ) = −1.

Отсюда следует, что число x положительно тогда и только тогда, когда 0 < dom( x ) и x ( 0) = +1, а x отрицательно тогда и только тогда, когда 0 < dom( x ) и x (0) = −1.

Произведение xy двух чисел x и y определяется индукцией по dom( x ) и dom( y ) по формуле xy = σ ( L , R ), где

$L = {uy + xv - uv : u \in L (x), v \in L (y) } \cup {uy + xv - uv : u \in R (x), v \in R (y) }$ ,
$R = {uy + xv - uv : u \in L (x), v \in R (y) } \cup {uy + xv - uv : u \in R (x), v \in L (y) }$ .

Мультипликативное тождество задается числом 1 = { (0,+1) }, т.е. число 1 имеет область определения, равную порядковому числу 1, и 1(0) = +1.

Переписка с реализацией Конвея

Отображение из реализации Конвея в знаковые разложения задается как f ({ L | R }) = σ( M , S ), где M = { f ( x ) : x ∈ L } и S = { f ( x ) : x ∈ R }.

Обратное отображение из альтернативной реализации в реализацию Конвея задается как g ( x ) = { L | R }, где L = { g ( y ) : y ∈ L ( x ) } и R = { g ( y ) : y ∈ R ( x ) }.

Аксиоматический подход

В другом подходе к сюрреалистам, данном Аллингом, ^[11] явное построение вообще обходит стороной. Вместо этого дается набор аксиом, которым должен удовлетворять любой конкретный подход к сюрреалистам. Подобно аксиоматическому подходу к реальным числам, эти аксиомы гарантируют уникальность с точностью до изоморфизма.

Тройка является сюрреалистической числовой системой тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: ${\textstyle \langle \mathbb {No} ,\mathrm {<} ,b\rangle }$

< — это общий порядок ${\textstyle \mathbb {No} }$
b — это функция из на класс всех ординалов ( b называется «функцией дня рождения» на ). ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {No} }$
Пусть A и B — подмножества , такие, что для всех $x$ $\in$ $A$ и $y$ $\in$ $B$ , x < y (используя терминологию Аллинга, 〈A , B〉 — «разрез Конвея» ). Тогда существует единственное такое, что b ( z ) минимально и для всех $x$ $\in$ $A$ и всех $y$ $\in$ $B$ , x < z < y . (Эту аксиому часто называют «теоремой простоты Конвея».) ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle \mathbb {No} }$ ${\textstyle z\in \mathbb {No} }$
Более того, если ординал α больше b ( x ) для всех x ∈ A , B , то b ( z ) ≤ α . (Эллинг называет систему, удовлетворяющую этой аксиоме, «полной сюрреалистической числовой системой».)

Этим аксиомам удовлетворяют как оригинальная конструкция Конвея, так и конструкция сюрреалистического произведения, основанная на расширении знаков.

Учитывая эти аксиомы, Аллинг ^[11] выводит оригинальное определение ≤, данное Конвеем, и разрабатывает сюрреалистическую арифметику.

Простота иерархии

Конструкция сюрреалистических чисел как максимального двоичного псевдодерева с простотой (предок) и отношениями порядка принадлежит Филиппу Эрлиху. ^[12] Отличие от обычного определения дерева заключается в том, что множество предков вершины вполне упорядочено, но может не иметь максимального элемента (непосредственного предшественника); другими словами, тип порядка этого множества является общим порядковым числом, а не просто натуральным числом. Эта конструкция также удовлетворяет аксиомам Аллинга и может быть легко отображена в представление знаковой последовательности.

Серия Хана

Alling ^[11]^{: th. 6.55, p. 246} также доказывает, что поле сюрреалистических чисел изоморфно (как упорядоченное поле) полю рядов Хана с действительными коэффициентами на группе значений самих сюрреалистических чисел (представление ряда, соответствующее нормальной форме сюрреалистического числа, как определено выше). Это обеспечивает связь между сюрреалистическими числами и более традиционными математическими подходами к упорядоченной теории полей.

Этот изоморфизм превращает сюрреальные числа в поле значений, где оценка является аддитивной инверсией показателя степени ведущего члена в нормальной форме Конвея, например, $ν (ω) = -1$ . Кольцо оценок тогда состоит из конечных сюрреальных чисел (чисел с действительной и/или бесконечно малой частью). Причина инверсии знака в том, что показатели в нормальной форме Конвея образуют обратное вполне упорядоченное множество, тогда как ряды Хана формулируются в терминах (необратимых) вполне упорядоченных подмножеств группы значений.

Отношение к гиперреальности

Филип Эрлих построил изоморфизм между максимальным сюрреальным числовым полем Конвея и максимальными гиперреальными числами в теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя . ^[12]

Смотрите также

Примечания

^ В оригинальной формулировке с использованием теории множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя сюрреалы образуют собственный класс, а не множество, поэтому термин поле не совсем корректен; там, где это различие важно, некоторые авторы используют Поле или ПОЛЕ для обозначения собственного класса, имеющего арифметические свойства поля. Можно получить истинное поле, ограничив конструкцию вселенной Гротендика , что даст множество с мощностью некоторого строго недостижимого кардинала , или используя форму теории множеств, в которой конструкции с помощью трансфинитной рекурсии останавливаются на некотором счетном ординале, таком как эпсилон ноль .
^ Множество двоичных дробей образует простейшую нетривиальную группу и кольцо такого рода; оно состоит из сюрреалистических чисел с днем рождения, меньшим ω = ω ¹ = ω ^{ω ⁰} .
^ Определение зазора не включает условия сечения Дедекинда, согласно которым L и R непусты и L не имеет наибольшего элемента, а также отождествление сечения с наименьшим элементом в R, если таковой существует.
^ Важно отметить, что нет никаких утверждений о том, что совокупность последовательностей Коши составляет класс в теории множеств NBG.
^ Даже самые тривиальные на вид из этих равенств могут включать трансфинитную индукцию и представлять собой отдельную теорему.

Ссылки

^ Аб Байнок, Бела (2013). Приглашение к абстрактной математике. ISBN 9781461466369Теорема 24.29. Сюрреалистическая числовая система — наибольшее упорядоченное поле
^ ab O'Connor, JJ; Robertson, EF, Conway Biography , получено 24.01.2008
^ Кнут, Дональд. «Сюрреалистические числа». Стэнфорд . Получено 25 мая 2020 г.
^ Alling, Norman L. (1962), "О существовании вещественно-замкнутых полей, которые являются $η$ $α$ -множествами мощности $ℵ$ $α$ .", Trans. Amer. Math. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR 0146089
↑ Alling, Norman (январь 1985), «Поле сюрреалистических чисел Конвея» (PDF) , Trans. Amer. Math. Soc. , 287 (1): 365–386, doi : 10.1090/s0002-9947-1985-0766225-7 , получено 05.03.2019
^ abcde Конвей, Джон Х. (2000-12-11) [1976]. О числах и играх (2-е изд.). CRC Press. ISBN 9781568811277.
^ abcde van den Dries, Lou; Ehrlich, Philip (январь 2001). «Поля сюрреалистических чисел и возведение в степень». Fundamenta Mathematicae . 167 (2). Варшава: Институт математики Польской академии наук: 173–188. doi : 10.4064/fm167-2-3 . ISSN 0016-2736.
^ abc Gonshor, Harry (1986). Введение в теорию сюрреалистических чисел . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 110. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511629143. ISBN 9780521312059.
^ abc Рубинштейн-Сальцедо, Саймон; Сваминатан, Эшвин (2015-05-19). «Анализ сюрреалистических чисел». arXiv : 1307.7392v3 [math.CA].
↑ Сюрреалистические векторы и игра Катблока, Джеймс Пропп, 22 августа 1994 г.
^ abcd Alling, Norman L. (1987). Основы анализа над сюрреальными числовыми полями . Mathematics Studies 141. North-Holland. ISBN 0-444-70226-1.
^ ab Филип Эрлих (2012). «Абсолютный арифметический континуум и объединение всех чисел, больших и малых» (PDF) . Бюллетень символической логики . 18 (1): 1–45. doi :10.2178/bsl/1327328438. S2CID 18683932. Архивировано из оригинала (PDF) 2017-10-07 . Получено 2017-06-08 .

Дальнейшее чтение

Оригинальное изложение Дональда Кнута : Сюрреалистические числа: как двое бывших студентов обратились к чистой математике и обрели полное счастье , 1974, ISBN 0-201-03812-9 . Более подробную информацию можно найти на официальной домашней странице книги (архив).
Обновленная версия классической книги 1976 года, определяющая сюрреалистические числа и исследующая их связь с играми: Джон Конвей, « О числах и играх» , 2-е изд., 2001 г., ISBN 1-56881-127-6 .
Обновленная версия первой части книги 1981 года, в которой были представлены сюрреалистические числа и анализ игр для более широкой аудитории: Берлекэмп, Конвей и Гай, « Выигрышные пути для ваших математических игр» , т. 1, 2-е изд., 2001, ISBN 1-56881-130-6 .
Мартин Гарднер , От плиток Пенроуза до шифров с секретом, WH Freeman & Co., 1989, ISBN 0-7167-1987-8 , Глава 4. Нетехнический обзор; перепечатка статьи из Scientific American 1976 года .
Полли Шульман, «Бесконечность плюс один и другие сюрреалистические числа», Discover , декабрь 1995 г.
Подробная трактовка сюрреалистических чисел: Норман Л. Аллинг, Основы анализа полей сюрреалистических чисел , 1987, ISBN 0-444-70226-1 .
Обработка сюрреалистических явлений, основанная на реализации знакового расширения: Гарри Гоншор, Введение в теорию сюрреалистических чисел , 1986, ISBN 0-521-31205-1 .
Подробная философская разработка концепции сюрреалистических чисел как наиболее общей концепции числа: Ален Бадью , Число и числа , Нью-Йорк: Polity Press, 2008, ISBN 0-7456-3879-1 (мягкая обложка), ISBN 0-7456-3878-3 (твердый переплет).
Программа унифицированных оснований (2013). Теория гомотопических типов: унифицированные основания математики. Принстон, Нью-Джерси: Институт перспективных исследований . MR 3204653.Сюрреалистические числа изучаются в контексте теории гомотопических типов в разделе 11.6.

Внешние ссылки

Викиверситет обсуждает сюрреалистические числа

В Wikibooks есть книга о сюрреалистических числах

Hackenstrings и 0.999... ?= 1 FAQ, автор AN Walker, архив исчезнувшего оригинала
Мягкое, но подробное введение Клауса Тёндеринга
Хорошая математика, плохая математика: сюрреалистические числа, серия статей о сюрреалистических числах и их вариациях
«Математика Конвея после Конвея», обзор достижений Конвея в AMS Notices, с разделом о сюрреалистических числах