Гипердействительное число

В математике гипердействительные числа являются расширением действительных чисел, включающим некоторые классы бесконечных и бесконечно малых чисел. ^[1] Гипердействительное число называется конечным тогда и только тогда, когда для некоторого целого числа . ^[1]^[2] называется бесконечно малым тогда и только тогда, когда для всех положительных целых чисел . ^[1]^[2] Термин «гипердействительный» был введен Эдвином Хьюиттом в 1948 году. ^[3] $x$ $|x|<n$ $n$ $x$ $|x|<1/n$ $n$

Гипердействительные числа удовлетворяют принципу переноса , строгой версии эвристического закона непрерывности Лейбница . Принцип переноса гласит, что истинные утверждения первого порядка относительно R справедливы также и для * R. [ ^4] Например, коммутативный закон сложения, x + y = y + x , справедлив для гипердействительных чисел так же, как и для действительных; поскольку R является действительным замкнутым полем , то и * R также является таковым . Поскольку для всех целых чисел n , для всех гиперцелых чисел также справедливо . Принцип переноса для сверхстепеней является следствием теоремы Лося 1955 года. $\sin({\pi n})=0$ $\sin({\pi H})=0$ $H$

Опасения по поводу обоснованности аргументов, включающих бесконечно малые, восходят к древнегреческой математике, когда Архимед заменил такие доказательства на те, которые использовали другие методы, такие как метод исчерпывания . ^[5] В 1960-х годах Авраам Робинсон доказал, что гиперреальные числа логически непротиворечивы тогда и только тогда, когда таковыми являются действительные числа. Это развеяло опасения, что любое доказательство, включающее бесконечно малые числа, может быть необоснованным, при условии, что они будут манипулироваться в соответствии с логическими правилами, которые описал Робинсон.

Применение гипердействительных чисел и, в частности, принципа переноса к задачам анализа называется нестандартным анализом . Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл , прямым способом, без прохождения через логические осложнения множественных кванторов. Таким образом, производная f ( x ) становится для бесконечно малого , где st(⋅) обозначает стандартную часть функции , которая «округляет» каждое конечное гипердействительное до ближайшего действительного. Аналогично, интеграл определяется как стандартная часть подходящей бесконечной суммы . $f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)$ $\Delta x$

Принцип передачи

Идея гиперреальной системы заключается в расширении действительных чисел R для формирования системы * R , которая включает бесконечно малые и бесконечные числа, но без изменения каких-либо элементарных аксиом алгебры. Любое утверждение вида «для любого числа x ...», которое верно для действительных чисел, также верно и для гиперреальных чисел. Например, аксиома, которая гласит «для любого числа x , x + 0 = x », по-прежнему применима. То же самое верно для квантификации по нескольким числам, например, «для любых чисел x и y , xy = yx ». Эта способность переносить утверждения из действительных чисел в гиперреальные числа называется принципом переноса . Однако утверждения вида «для любого набора чисел S ...» могут не переноситься. Единственными свойствами, которые различаются между действительными числами и гиперреальными числами, являются те, которые опираются на квантификацию по множествам или другим структурам более высокого уровня, таким как функции и отношения, которые обычно строятся из множеств. Каждое реальное множество, функция и отношение имеют свое естественное гиперреальное расширение, удовлетворяющее тем же свойствам первого порядка. Виды логических предложений, которые подчиняются этому ограничению квантификации, называются утверждениями в логике первого порядка .

Однако принцип переноса не означает, что R и * R ведут себя одинаково. Например, в * R существует элемент ω такой, что

1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .

но такого числа в R нет . (Другими словами, * R не является архимедовым .) Это возможно, поскольку несуществование ω не может быть выражено как утверждение первого порядка.

Использование в анализе

Неформальные обозначения недействительных величин исторически появлялись в исчислении в двух контекстах: как бесконечно малые величины, такие как dx , и как символ ∞, используемый, например, в пределах интегрирования несобственных интегралов .

В качестве примера принципа переноса можно привести утверждение, что для любого ненулевого числа x , 2x ≠ x , верно для действительных чисел, и оно находится в форме, требуемой принципом переноса, поэтому оно также верно для гипердействительных чисел. Это показывает, что невозможно использовать общий символ, такой как ∞, для всех бесконечных величин в гипердействительной системе; бесконечные величины отличаются по величине от других бесконечных величин, а бесконечно малые — от других бесконечно малых.

Аналогично, случайное использование 1/0 = ∞ недействительно, поскольку принцип переноса применим к утверждению, что ноль не имеет мультипликативной инверсии. Строгим аналогом такого расчета было бы то, что если ε является ненулевой бесконечно малой величиной, то 1/ε является бесконечностью.

Для любого конечного гипердействительного числа x стандартная часть , st( x ), определяется как единственное ближайшее действительное число к x ; оно обязательно отличается от x только на бесконечно малую величину. Функция стандартной части также может быть определена для бесконечных гипердействительных чисел следующим образом: если x — положительное бесконечное гипердействительное число, установите st( x ) равным расширенному действительному числу , и аналогично, если x — отрицательное бесконечное гипердействительное число, установите st( x ) равным (идея состоит в том, что бесконечное гипердействительное число должно быть меньше «истинной» абсолютной бесконечности, но ближе к ней, чем любое действительное число). $+\infty$ $-\infty$

Дифференциация

Одним из ключевых применений гипердействительной системы чисел является придание точного значения дифференциальному оператору d, который Лейбниц использовал для определения производной и интеграла.

Для любой действительной функции дифференциал определяется как отображение, которое переводит каждую упорядоченную пару (где — действительная, а — ненулевая бесконечно малая) в бесконечно малую $f,$ $df$ $(x,dx)$ $x$ $dx$

df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.

Обратите внимание, что само обозначение « », используемое для обозначения любой бесконечно малой величины, согласуется с приведенным выше определением оператора , поскольку если интерпретировать (как это обычно делается) как функцию, то для каждой величины дифференциал будет равен бесконечно малой величине . $dx$ $d,$ $x$ $f(x)=x,$ $(x,dx)$ $d(x)$ $dx$

Действительная функция называется дифференцируемой в точке, если частное $f$ $x$

{\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)

одинакова для всех ненулевых бесконечно малых величин. Если это так, то это частное называется производной от . $dx.$ $f$ $x$

Например, чтобы найти производную функции , пусть будет ненулевой бесконечно малой величиной. Тогда , $f(x)=x^{2}$ $dx$

Использование стандартной части в определении производной является строгой альтернативой традиционной практике пренебрежения квадратом ^{[ требуется ссылка ]} бесконечно малой величины. Двойственные числа — это числовая система, основанная на этой идее. После третьей строки дифференциации выше типичным методом от Ньютона до 19 века было бы просто отбрасывание члена dx ² . В гиперреальной системе dx ² ≠ 0, поскольку dx не равно нулю, и принцип переноса может быть применен к утверждению, что квадрат любого ненулевого числа не равен нулю. Однако величина dx ² бесконечно мала по сравнению с dx ; то есть гиперреальная система содержит иерархию бесконечно малых величин.

Использование гиперреальных чисел для дифференциации позволяет использовать более алгебраически манипулируемый подход к производным. В стандартной дифференциации частные дифференциалы и дифференциалы более высокого порядка не являются независимо манипулируемыми посредством алгебраических методов. Однако, используя гиперреальные числа, можно установить систему для этого, хотя это приводит к несколько иной нотации . ^[6]

Интеграция

Другим ключевым применением гипердействительной системы чисел является придание точного значения знаку интеграла ∫, использованному Лейбницем для определения определенного интеграла.

Для любой бесконечно малой функции можно определить интеграл как отображение, переводящее любую упорядоченную тройку (где и являются действительными, а является бесконечно малой того же знака, что и ) в значение $\ \varepsilon (x),\$ $\int (\varepsilon )\$ $(a,b,dx)$ $\ a\$ $\ b\$ $\ dx\$ $\,b-a$

\int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right),

где любое гиперцелое число удовлетворяет $\ N\$ $\ \operatorname {st} (N\ dx)=b-a.$

Действительная функция называется интегрируемой на замкнутом интервале , если для любой ненулевой бесконечно малой величины интеграл $f$ $\ [a,b]\$ $\ dx,\$

\int _{a}^{b}(f\ dx,dx)

не зависит от выбора Если это так, то этот интеграл называется определенным интегралом (или первообразной) от $\ dx.$ $f$ $\ [a,b].$

Это показывает, что при использовании гипердействительных чисел обозначение Лейбница для определенного интеграла на самом деле можно интерпретировать как осмысленное алгебраическое выражение (так же, как производную можно интерпретировать как осмысленное частное). ^[7]

Характеристики

Гиперреальные числа * R образуют упорядоченное поле, содержащее в качестве подполя действительные числа R. В отличие от действительных чисел, гиперреальные числа не образуют стандартного метрического пространства , но в силу своего порядка они несут топологию порядка .

Использование определенного артикля the во фразе the hyperreal numbers несколько вводит в заблуждение, поскольку не существует уникального упорядоченного поля, о котором говорится в большинстве трактовок. Однако в статье 2003 года Владимира Кановея и Сахарона Шелаха ^[8] показано, что существует определимое, счетно насыщенное (то есть ω-насыщенное , но не счетное ) элементарное расширение вещественных чисел, которое, следовательно, имеет все основания претендовать на звание гипервещественных чисел. Более того, поле, полученное с помощью ультрастепенной конструкции из пространства всех вещественных последовательностей, является уникальным с точностью до изоморфизма, если принять гипотезу континуума .

Условие быть гиперреальным полем сильнее, чем условие быть реальным замкнутым полем, строго содержащим R. Оно также сильнее, чем условие быть сверхреальным полем в смысле Дейлса и Вудина . ^[9]

Разработка

Гиперреальные числа могут быть разработаны либо аксиоматически, либо более конструктивно ориентированными методами. Суть аксиоматического подхода заключается в утверждении (1) существования по крайней мере одного бесконечно малого числа и (2) справедливости принципа переноса. В следующем подразделе мы дадим подробное описание более конструктивного подхода. Этот метод позволяет построить гиперреальные числа, если задан теоретико-множественный объект, называемый ультрафильтром , но сам ультрафильтр не может быть явно построен.

От Лейбница до Робинсона

Когда Ньютон и (более явно) Лейбниц ввели дифференциалы, они использовали бесконечно малые величины, и они по-прежнему считались полезными более поздними математиками, такими как Эйлер и Коши . Тем не менее, эти концепции с самого начала рассматривались как подозрительные, особенно Джорджем Беркли . Критика Беркли была сосредоточена на предполагаемом сдвиге в гипотезе в определении производной в терминах бесконечно малых величин (или флюксий), где dx предполагается ненулевым в начале вычисления и исчезающим в его завершении ( подробнее см. Призраки ушедших величин ). Когда в 1800-х годах исчисление было поставлено на прочную основу благодаря разработке (ε, δ ) -определения предела Больцано , Коши, Вейерштрассом и другими, бесконечно малые величины были в значительной степени заброшены, хотя исследования в неархимедовых областях продолжались (Эрлих 2006).

Однако в 1960-х годах Абрахам Робинсон показал, как бесконечно большие и бесконечно малые числа могут быть строго определены и использованы для разработки области нестандартного анализа . ^[10] Робинсон разработал свою теорию неконструктивно , используя теорию моделей ; однако можно продолжить, используя только алгебру и топологию , и доказать принцип переноса как следствие определений. Другими словами, гиперреальные числа сами по себе , помимо их использования в нестандартном анализе, не имеют необходимой связи с теорией моделей или логикой первого порядка, хотя они были открыты путем применения методов теории моделей из логики. Гиперреальные поля были фактически первоначально введены Хьюиттом ( 1948) чисто алгебраическими методами, используя конструкцию ультрастепени.

Сверхмощная конструкция

Мы собираемся построить гиперреальное поле с помощью последовательностей действительных чисел. ^[11] Фактически мы можем складывать и умножать последовательности покомпонентно, например:

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )

и аналогично для умножения. Это превращает множество таких последовательностей в коммутативное кольцо , которое на самом деле является действительной алгеброй A. Мы имеем естественное вложение R в A путем отождествления действительного числа r с последовательностью ( r , r , r , …), и это отождествление сохраняет соответствующие алгебраические операции действительных чисел. Интуитивная мотивация состоит, например, в том, чтобы представить бесконечно малое число с помощью последовательности, которая стремится к нулю. Обратная к такой последовательности будет представлять бесконечное число. Как мы увидим ниже, трудности возникают из-за необходимости определить правила для сравнения таких последовательностей таким образом, который, хотя и неизбежно несколько произволен, должен быть самосогласованным и хорошо определенным. Например, у нас могут быть две последовательности, которые различаются своими первыми n членами, но равны после этого; такие последовательности следует явно рассматривать как представляющие одно и то же гипердействительное число. Аналогично, большинство последовательностей колеблются случайным образом вечно, и мы должны найти какой-то способ взять такую последовательность и интерпретировать ее, скажем, как , где — определенное бесконечно малое число. $7+\epsilon$ $\epsilon$

Сравнение последовательностей, таким образом, является деликатным делом. Мы могли бы, например, попытаться определить отношение между последовательностями покомпонентным образом:

(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots

но здесь мы сталкиваемся с проблемой, поскольку некоторые записи первой последовательности могут быть больше соответствующих записей второй последовательности, а некоторые другие могут быть меньше. Из этого следует, что отношение, определенное таким образом, является лишь частичным порядком . Чтобы обойти это, мы должны указать, какие позиции имеют значение. Поскольку индексов бесконечно много, мы не хотим, чтобы конечные наборы индексов имели значение. Последовательный выбор наборов индексов, которые имеют значение, задается любым свободным ультрафильтром U на натуральных числах ; их можно охарактеризовать как ультрафильтры, которые не содержат никаких конечных наборов. (Хорошая новость заключается в том, что лемма Цорна гарантирует существование многих таких U ; плохая новость заключается в том, что их нельзя явно построить.) Мы думаем, что U выделяет те наборы индексов, которые «имеют значение»: мы пишем ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ...) тогда и только тогда, когда множество натуральных чисел { n : a _n ≤ b _n } принадлежит U .

Это полный предпорядок , и он превращается в полный порядок , если мы согласимся не различать две последовательности a и b , если a ≤ b и b ≤ a . С помощью этой идентификации строится упорядоченное поле *R гиперреальных чисел. С алгебраической точки зрения U позволяет нам определить соответствующий максимальный идеал I в коммутативном кольце A (а именно, множество последовательностей, которые обращаются в нуль в некотором элементе U ), а затем определить *R как A / I ; как фактор коммутативного кольца по максимальному идеалу, *R является полем. Это также обозначается как A / U , непосредственно в терминах свободного ультрафильтра U ; эти два выражения эквивалентны. Максимальность I следует из возможности, учитывая последовательность a , построить последовательность b , инвертируя ненулевые элементы a и не изменяя ее нулевые элементы. Если множество, на котором a обращается в нуль, не принадлежит U , то произведение ab отождествляется с числом 1, и любой идеал, содержащий 1, должен быть A. В полученном поле эти a и b являются обратными.

Поле A / U является ультрастепенью R. Поскольку это поле содержит R , оно имеет мощность не меньше мощности континуума . Поскольку A имеет мощность

(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},

он также не больше, чем , и, следовательно, имеет ту же мощность, что и R . $2^{\aleph _{0}}$

Один из вопросов, который мы могли бы задать, заключается в том, будет ли поле факторизации A / U изоморфным как упорядоченное поле A / V , если бы мы выбрали другой свободный ультрафильтр V . Этот вопрос оказывается эквивалентным гипотезе континуума ; в ZFC с гипотезой континуума мы можем доказать, что это поле уникально с точностью до изоморфизма порядка , а в ZFC с отрицанием гипотезы континуума мы можем доказать, что существуют неизоморфные по порядку пары полей, которые оба являются счетно индексированными ультрастепенями действительных чисел. ^[12]

Более подробную информацию об этом методе строительства см. в разделе ultraproduct .

Интуитивный подход к сверхмощному строительству

Ниже представлен интуитивный способ понимания гиперреальных чисел. Принятый здесь подход очень близок к подходу в книге Голдблатта . ^[13] Напомним, что последовательности, сходящиеся к нулю, иногда называют бесконечно малыми. Это почти бесконечно малые в некотором смысле; истинные бесконечно малые включают в себя определенные классы последовательностей, которые содержат последовательность, сходящуюся к нулю.

Давайте посмотрим, откуда взялись эти классы. Рассмотрим сначала последовательности действительных чисел. Они образуют кольцо , то есть их можно умножать, складывать и вычитать, но не обязательно делить на ненулевой элемент. Действительные числа рассматриваются как постоянные последовательности, последовательность равна нулю, если она тождественно равна нулю, то есть a _n = 0 для всех n .

В нашем кольце последовательностей можно получить ab = 0, не имея ни a = 0, ни b = 0. Таким образом, если для двух последовательностей ab = 0, по крайней мере одна из них должна быть объявлена нулем. Как ни удивительно, существует последовательный способ сделать это. В результате классы эквивалентности последовательностей, которые отличаются некоторой последовательностью, объявленной нулем, образуют поле, которое называется гиперреальным полем . Оно будет содержать бесконечно малые числа в дополнение к обычным действительным числам, а также бесконечно большие числа (обратные бесконечно малым числам, включая числа, представленные последовательностями, расходящимися к бесконечности). Также каждое гиперреально, которое не является бесконечно большим, будет бесконечно близко к обычному действительному числу, другими словами, оно будет суммой обычного действительного числа и бесконечно малого. $a,b$

Это построение параллельно построению вещественных чисел из рациональных чисел, данному Кантором . Он начал с кольца последовательностей Коши рациональных чисел и объявил все последовательности, которые сходятся к нулю, нулевыми. Результатом являются вещественные числа. Чтобы продолжить построение гипервещественных чисел, рассмотрим нулевые множества наших последовательностей, то есть , то есть множество индексов, для которых . Ясно, что если , то объединение и равно N (множеству всех натуральных чисел), поэтому: $z(a)=\{i:a_{i}=0\}$ $z(a)$ $i$ $a_{i}=0$ $ab=0$ $z(a)$ $z(b)$

Одну из последовательностей, обращающихся в нуль на двух дополнительных множествах, следует объявить нулевой.
Если объявлено нулем, то должно быть объявлено и нулем, независимо от того, что это такое. $a$ $ab$ $b$
Если и объявлены нулевыми, то также следует объявить нулевыми. $a$ $b$ $a+b$

Теперь идея состоит в том, чтобы выделить группу U подмножеств X из N и объявить, что тогда и только тогда, когда принадлежит U. Из приведенных выше условий можно увидеть, что: $a=0$ $z(a)$

Из двух дополнительных множеств одно принадлежит U.
Любое множество , имеющее подмножество, принадлежащее U , также принадлежит U.
Пересечение любых двух множеств, принадлежащих U , принадлежит U.
Наконец, мы не хотим, чтобы пустое множество принадлежало U , потому что тогда все принадлежало бы U , поскольку каждое множество имеет пустое множество в качестве подмножества.

Любое семейство множеств, удовлетворяющее (2–4), называется фильтром ( пример: дополнения к конечным множествам, оно называется фильтром Фреше и используется в обычной теории пределов). Если (1) также выполняется, U называется ультрафильтром (потому что вы не можете добавить к нему больше множеств, не нарушив его). Единственный явно известный пример ультрафильтра — это семейство множеств, содержащих заданный элемент (в нашем случае, скажем, число 10). Такие ультрафильтры называются тривиальными, и если мы используем его в нашей конструкции, мы возвращаемся к обычным действительным числам. Любой ультрафильтр, содержащий конечное множество, является тривиальным. Известно, что любой фильтр можно расширить до ультрафильтра, но доказательство использует аксиому выбора . Существование нетривиального ультрафильтра ( лемма об ультрафильтре ) можно добавить как дополнительную аксиому, так как она слабее аксиомы выбора.

Теперь, если мы возьмем нетривиальный ультрафильтр (являющийся расширением фильтра Фреше) и выполним нашу конструкцию, то в результате получим гипердействительные числа.

Если — действительная функция действительной переменной , то естественным образом расширяется до гипердействительной функции гипердействительной переменной посредством композиции: $f$ $x$ $f$

f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}

где означает «класс эквивалентности последовательности относительно нашего ультрафильтра», причем две последовательности находятся в одном и том же классе тогда и только тогда, когда нулевое множество их разности принадлежит нашему ультрафильтру. $\{\dots \}$ $\dots$

Все арифметические выражения и формулы имеют смысл для гиперреальных чисел и остаются верными, если они верны для обычных действительных чисел. Оказывается, что любое конечное (то есть такое, что для некоторого обычного действительного ) гиперреально будет иметь вид , где — обычное (называемое стандартным) действительное число, а — бесконечно малое. Это можно доказать методом деления пополам, использованным при доказательстве теоремы Больцано-Вейерштрасса, свойство (1) ультрафильтров оказывается решающим. $|x|<a$ $a$ $x$ $y+d$ $y$ $d$

Свойства бесконечно малых и бесконечных чисел

Конечные элементы F из *R образуют локальное кольцо , и фактически кольцо оценки , с единственным максимальным идеалом S, являющимся бесконечно малыми числами; частное F / S изоморфно действительным числам. Следовательно, у нас есть гомоморфное отображение st( x ) из F в R , ядро которого состоит из бесконечно малых чисел и которое переводит каждый элемент x из F в уникальное действительное число, разность которого с x содержится в S ; то есть является бесконечно малым. Другими словами, каждое конечное нестандартное действительное число «очень близко» к уникальному действительному числу, в том смысле, что если x является конечным нестандартным действительным числом, то существует одно и только одно действительное число st( x ) такое, что x – st( x ) является бесконечно малым. Это число st( x ) называется стандартной частью x , концептуально то же самое, что и x до ближайшего действительного числа . Эта операция является гомоморфизмом, сохраняющим порядок, и, следовательно, хорошо себя ведет как алгебраически, так и с точки зрения теории порядка. Он сохраняет порядок, хотя и не изотоничен; т.е. подразумевает , но не подразумевает . $x\leq y$ $\operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)$ $x<y$ $\operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)$

Имеем, если и x , и y конечны, $\operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)$ $\operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)$
Если x конечен, а не бесконечно мал. $\operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)$
x является реальным тогда и только тогда, когда $\operatorname {st} (x)=x$

Отображение st непрерывно относительно топологии порядка на конечных гиперреальных числах; фактически оно локально постоянно .

Гиперреальные поля

Предположим, что X — тихоновское пространство , также называемое пространством T _3.5 , а C( X ) — алгебра непрерывных вещественных функций на X . Предположим, что M — максимальный идеал в C( X ). Тогда фактор-алгебра A = C( X )/ M — полностью упорядоченное поле F , содержащее вещественные числа. Если F строго содержит R, то M называется гипервещественным идеалом (терминология Хьюитта ( 1948)), а F — гипервещественным полем . Обратите внимание, что не делается никаких предположений о том, что мощность F больше R ; на самом деле она может иметь ту же мощность.

Важным особым случаем является случай, когда топология на X является дискретной топологией ; в этом случае X можно отождествить с кардинальным числом κ, а C( X ) — с вещественной алгеброй R ^κ функций из κ в R. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями R и идентичны ультрастепеням , построенным с помощью свободных ультрафильтров в теории моделей.

Смотрите также

Конструктивный нестандартный анализ
Гиперцелое число — гипердействительное число, равное своей целой части.
Влияние нестандартного анализа
Нестандартное исчисление – Современное применение бесконечно малых величин
Действительное замкнутое поле – Не алгебраически замкнутое поле, расширение которого с помощью sqrt(–1) является алгебраически замкнутым.
Действительная линия – линия, образованная действительными числами.
Сюрреалистические числа – Обобщение действительных чисел – Сюрреалистические числа представляют собой гораздо более широкий класс чисел, включающий в себя гиперреальные числа, а также другие классы недействительных чисел.

Ссылки

^ abc Weisstein, Eric W. "Гипердействительное число". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-03-20 .
^ ab Robinson, Abraham (1979). Избранные статьи Авраама Робинсона. 2: Нестандартный анализ и философия . New Haven: Yale Univ. Press. стр. 67. ISBN 978-0-300-02072-4.
^ Хьюитт (1948), стр. 74, как сообщается в Кейслер (1994)
^ Добен, Джозеф Уоррен (1995). Авраам Робинсон: создание нестандартного анализа: личная и математическая одиссея . Библиотека наследия Принстона. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 474. ISBN 978-0-691-03745-5.
^ Болл, стр. 31
^ Файт, Изабель (2022). «Полные и частные дифференциалы как алгебраически манипулируемые сущности». arXiv : 2210.07958 .
^ Кейслер
^ Кановей, Владимир; Шелах, Сахарон (2004), «Определимая нестандартная модель вещественных чисел» (PDF) , Журнал символической логики , 69 : 159–164, arXiv : math/0311165 , doi :10.2178/jsl/1080938834, S2CID 15104702, заархивировано из оригинала (PDF) 2004-08-05 , извлечено 2004-10-13
^ Woodin, WH; Dales, HG (1996), Суперреальные поля: полностью упорядоченные поля с дополнительной структурой , Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
^ Робинсон, Абрахам (1996), Нестандартный анализ , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04490-3. Классическое введение в нестандартный анализ.
^ Лёб, Питер А. (2000), «Введение в нестандартный анализ», Нестандартный анализ для практикующего математика , Math. Appl., т. 510, Дордрехт: Kluwer Acad. Publ., стр. 1–95
^ Хэмкинс, Джоэл Дэвид (22 июля 2024 г.). «Как гипотеза континуума могла стать фундаментальной аксиомой». arXiv : 2407.02463 [math.LO].
^ Голдблатт, Роберт (1998), Лекции о гиперреальных числах: введение в нестандартный анализ , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98464-3

Дальнейшее чтение

Болл, У. В. Рауз (1960), Краткое изложение истории математики (4-е изд. [Переиздание. Оригинальная публикация: Лондон: Macmillan & Co., 1908] ред.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 50–62, ISBN 0-486-20630-0
Хэтчер, Уильям С. (1982) «Исчисление — это алгебра», American Mathematical Monthly 89: 362–370.
Хьюитт, Эдвин (1948) Кольца действительнозначных непрерывных функций. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
Джерисон, Мейер; Гиллман, Леонард (1976), Кольца непрерывных функций , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90198-5
Кейслер, Х. Джером (1994) Гиперреальная линия. Действительные числа, обобщения действительных чисел и теории континуумов, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Дордрехт.
Клейнберг, Юджин М.; Хенле, Джеймс М. (2003), Исчисление бесконечно малых величин , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-42886-4

Внешние ссылки

Кроуэлл, Краткое исчисление . Текст, использующий бесконечно малые величины.
Эрмосо, Нестандартный анализ и гиперреальности . Небольшое введение.
Кейслер, Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых . Включает аксиоматическую трактовку гиперреальных чисел и свободно распространяется по лицензии Creative Commons