Упругое столкновение

Столкновение, при котором сохраняется кинетическая энергия.

Пока излучение черного тела (не показано) не выходит за пределы системы, атомы, находящиеся в тепловом возбуждении, подвергаются по существу упругим столкновениям. В среднем два атома отскакивают друг от друга с той же кинетической энергией, что и до столкновения. Пять атомов окрашены в красный цвет, чтобы легче было увидеть пути их движения.

В физике упругое столкновение — это столкновение ( столкновение ) двух тел , при котором полная кинетическая энергия двух тел остается неизменной. При идеальном, абсолютно упругом столкновении не происходит чистого преобразования кинетической энергии в другие формы, такие как тепло , шум или потенциальная энергия .

При столкновении малых объектов кинетическая энергия сначала преобразуется в потенциальную энергию, связанную с силой отталкивания или притяжения между частицами (когда частицы движутся против этой силы, т.е. угол между силой и относительной скоростью тупой), затем это потенциальная энергия преобразуется обратно в кинетическую энергию (когда частицы движутся под действием этой силы, т.е. угол между силой и относительной скоростью острый).

Столкновения атомов упругие, например резерфордовское обратное рассеяние .

Полезным частным случаем упругого столкновения является случай, когда два тела имеют одинаковую массу, и в этом случае они просто обменяются импульсами .

Молекулы газа или жидкости , в отличие от атомов, редко испытывают совершенно упругие столкновения, поскольку при каждом столкновении происходит обмен кинетической энергией между поступательным движением молекул и их внутренними степенями свободы . В любой момент половина столкновений в той или иной степени являются неупругими (пара обладает меньшей кинетической энергией в своих поступательных движениях после столкновения, чем до), а половину можно охарактеризовать как «сверхупругие» (обладающие большей кинетической энергией) . после столкновения, чем до). В среднем по всей выборке молекулярные столкновения можно считать по существу упругими, поскольку закон Планка запрещает уносить энергию фотонами черного тела.

В случае макроскопических тел идеально упругие столкновения — это идеал, который никогда полностью не реализуется, но аппроксимируется взаимодействиями таких объектов, как бильярдные шары .

При рассмотрении энергий также может играть роль возможная энергия вращения до и/или после столкновения.

Уравнения

Одномерный ньютоновский

Профессор Уолтер Левин объясняет одномерные упругие столкновения

При любом столкновении импульс сохраняется; но при упругом столкновении сохраняется и кинетическая энергия. ^[1] Рассмотрим частицы 1 и 2 с массами m ₁ , m ₂ и скоростями u ₁ , u ₂ до столкновения, v ₁ , v ₂ после столкновения. Сохранение импульса до и после столкновения выражается формулой: ^[1]

$${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\ =\ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.}$$

Аналогично, сохранение полной кинетической энергии выражается следующим образом: ^[1]

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}.}$$

Эти уравнения можно решить непосредственно, чтобы найти, когда они известны: ^[2] ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{1}&=&{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\\[.5em]v_{2}&=&{\dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}.\end{array}}}$$

Альтернативно конечная скорость частицы v (v ₁ или v ₂ ) выражается следующим образом:

${\displaystyle v=(1+e)v_{CoM}-eu,v_{CoM}={\dfrac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Где:

• e — коэффициент реституции .
• v _CoM — скорость центра масс системы двух частиц.
• u (u ₁ или u ₂ ) — начальная скорость частицы.

Если обе массы одинаковы, мы имеем тривиальное решение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&=u_{2}\\v_{2}&=u_{1}.\end{aligned}}}$$

^[2]

Как и следовало ожидать, решение инвариантно относительно добавления константы ко всем скоростям ( относительность Галилея ), что похоже на использование системы отсчета с постоянной поступательной скоростью. Действительно, чтобы вывести уравнения, можно сначала изменить систему отсчета так, чтобы одна из известных скоростей была равна нулю, определить неизвестные скорости в новой системе отсчета и преобразовать обратно в исходную систему отсчета.

Примеры

До столкновения

Шар 1: масса = 3 кг, скорость = 4 м/с.

Шар 2: масса = 5 кг, скорость = −6 м/с.

После столкновения

Шар 1: скорость = −8,5 м/с.

Шар 2: скорость = 1,5 м/с.

Другая ситуация:

Упругое столкновение неравных масс.

Нижеследующее иллюстрирует случай равной массы: . ${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$

Упругое столкновение равных масс

Упругое столкновение масс в системе с движущейся системой отсчета.

В предельном случае, когда намного больше, чем , например, когда ракетка для пинг-понга ударяется о мячик для пинг-понга или внедорожник ударяется о мусорный бак, более тяжелая масса почти не меняет скорость, в то время как более легкая масса отскакивает, изменяя свою скорость на обратную плюс примерно в два раза больше, чем у тяжелого. ^[3] ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

В случае большого значения мало, если массы примерно одинаковы: попадание в гораздо более легкую частицу не сильно меняет скорость, попадание в гораздо более тяжелую частицу заставляет быструю частицу отскакивать назад с большой скоростью. Вот почему замедлитель нейтронов (среда, которая замедляет быстрые нейтроны , превращая их тем самым в тепловые нейтроны , способные поддерживать цепную реакцию ) представляет собой материал, полный атомов с легкими ядрами, которые нелегко поглощают нейтроны: самые легкие ядра имеют примерно той же массы, что и нейтрон . ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle v_{1}}$

Вывод решения

Чтобы вывести приведенные выше уравнения для перестановки уравнений кинетической энергии и импульса: ${\displaystyle v_{1},v_{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})&=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})\\m_{1}(v_{1}-u_{1})&=m_{2}(u_{2}-v_{2})\end{aligned}}}$$

Разделив каждую сторону верхнего уравнения на каждую сторону нижнего уравнения и используя, получим: ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b,}$

$${\displaystyle v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}\quad \Rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}.}$$

То есть относительная скорость одной частицы по отношению к другой меняется на противоположную в результате столкновения.

Теперь приведенные выше формулы следуют из решения системы линейных уравнений, рассматриваемых как константы: ${\displaystyle v_{1},v_{2},}$ ${\displaystyle m_{1},m_{2},u_{1},u_{2}}$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}}\right.}$$

${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

Центр масс кадра

По отношению к центру масс обе скорости меняются местами при столкновении: тяжелая частица медленно движется к центру масс и отскакивает назад с такой же малой скоростью, а легкая частица быстро движется к центру масс и отскакивает. обратно с такой же высокой скоростью.

Скорость центра масс при столкновении не меняется. Чтобы увидеть это, рассмотрим центр масс во время до столкновения и время после столкновения: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}.\end{aligned}}}$$

Следовательно, скорости центра масс до и после столкновения равны:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.\end{aligned}}}$$

Числители и представляют собой суммарные импульсы до и после столкновения. Поскольку импульс сохраняется, имеем ${\displaystyle v_{\bar {x}}}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}'}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'\,.}$

Одномерный релятивистский

Согласно специальной теории относительности ,

$${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

pvc

В центре системы импульсов , где полный импульс равен нулю,

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

Здесь представлены массы покоя двух сталкивающихся тел, представлены их скорости до столкновения, их скорости после столкновения, их импульсы, это скорость света в вакууме и обозначает полную энергию, сумму масс покоя и кинетических энергий двух тела. ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

Поскольку полная энергия и импульс системы сохраняются, а их массы покоя не изменяются, показано, что импульс сталкивающегося тела определяется массами покоя сталкивающихся тел, полной энергией и полным импульсом. Относительно центра системы импульса импульс каждого сталкивающегося тела не меняет величину после столкновения, но меняет направление движения.

По сравнению с классической механикой , которая дает точные результаты, имея дело с макроскопическими объектами, движущимися намного медленнее скорости света , общий импульс двух сталкивающихся тел зависит от системы отсчета. В центре системы импульсов , согласно классической механике,

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

Это согласуется с релятивистскими расчетами , несмотря на другие различия. ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$

Один из постулатов специальной теории относительности гласит, что законы физики, такие как сохранение импульса, должны быть инвариантными во всех инерциальных системах отсчета. В общей инерциальной системе отсчета, где полный импульс может быть произвольным,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$

${\displaystyle p_{T},}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}}$

$${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$

${\displaystyle u_{1}'}$ ${\displaystyle u_{2}'}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

Когда и ${\displaystyle u_{1}\ll c}$ ${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

Поэтому классический расчет справедлив, когда скорость обоих сталкивающихся тел намного ниже скорости света (~300 000 километров в секунду).

Релятивистский вывод с использованием гиперболических функций

Используя так называемый параметр скорости (обычно называемый быстротой ), ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$

$${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

Релятивистская энергия и импульс выражаются следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

Уравнения суммы энергии и импульса сталкивающихся масс и (скорости соответствуют параметрам скорости ) после деления на соответствующую мощность имеют следующий вид: ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

и зависимое уравнение, сумма приведенных выше уравнений:

$${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

вычтем квадраты обеих сторон уравнения «импульс» из «энергии» и воспользуемся тождеством, после упрощения получим: ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$

$${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$$

для ненулевой массы, используя гиперболическое тригонометрическое тождество, получаем: ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),}$

$${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

поскольку функции четные, мы получаем два решения: ${\displaystyle \cosh(s)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle e^{s_{1}}}$ ${\displaystyle e^{s_{2}},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

Это решение проблемы, но выраженное параметрами скорости. Возвратная замена для получения решения для скоростей:

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

Подставляем предыдущие решения и заменяем: и после долгих преобразований с заменой: получаем: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Двумерный

В случае двух невращающихся сталкивающихся тел в двух измерениях движение тел определяется тремя законами сохранения импульса, кинетической энергии и углового момента. Общую скорость каждого тела необходимо разбить на две перпендикулярные скорости: одну по касательной к общим нормальным поверхностям сталкивающихся тел в точке контакта, другую по линии столкновения. Поскольку при столкновении сила передается только вдоль линии столкновения, скорости, касательные к точке столкновения, не изменяются. Тогда скорости вдоль линии столкновения можно использовать в тех же уравнениях, что и при одномерном столкновении. Конечные скорости затем можно рассчитать на основе скоростей двух новых компонентов, и они будут зависеть от точки столкновения. Исследования двумерных столкновений проводятся для многих тел в рамках двумерного газа .

Двумерное упругое столкновение

В центре системы импульса в любой момент времени скорости двух тел направлены в противоположные стороны, причем их величины обратно пропорциональны массам. При упругом столкновении эти величины не изменяются. Направления могут меняться в зависимости от формы тел и места удара. Например, в случае сфер угол зависит от расстояния между (параллельными) путями центров двух тел. Возможно любое ненулевое изменение направления: если это расстояние равно нулю, скорости при столкновении меняются на противоположные; если оно близко к сумме радиусов сфер, два тела отклоняются лишь незначительно.

Полагая, что вторая частица перед столкновением покоится, углы отклонения двух частиц и связаны с углом отклонения в системе центра масс соотношением ^[4] ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Двумерное столкновение с двумя движущимися объектами

Конечные компоненты скоростей x и y первого шара можно рассчитать как: ^[5]

$${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$

v ₁v ₂m ₁m ₂θ ₁θ ₂φxy ${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

Это уравнение выведено из того факта, что взаимодействие между двумя телами легко рассчитывается по углу контакта, а это означает, что скорости объектов можно рассчитать в одном измерении, повернув оси x и y так, чтобы они были параллельны углу контакта. объектов, а затем повернул обратно в исходную ориентацию, чтобы получить истинные компоненты скорости x и y. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]}

В представлении без углов измененные скорости вычисляются с использованием центров x ₁ и x ₂ во время контакта как

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

внутреннее произведениескалярное произведение

Другие сохраняющиеся количества

В частном случае частиц, имеющих равные массы, прямым вычислением на основе приведенного выше результата можно проверить, что скалярное произведение скоростей до и после столкновения одинаково, т. е. хотя это произведение не является аддитивным инвариантом в одном и том же Поскольку импульс и кинетическая энергия являются для упругих столкновений, кажется, что сохранение этой величины, тем не менее, может быть использовано для вывода законов сохранения более высокого порядка. ^[12] ${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$

Смотрите также

• Столкновение
• Неупругое столкновение
• Коэффициент реституции

Рекомендации

1. Serway & Jewett 2014, стр. 257
2. Serway & Jewett 2014, стр. 258
3. Serway & Jewett 2014, стр. 258–259.
4. Ландау и Лифшиц 1976, с. 46
5. Крейвер, Уильям Э. (13 августа 2013 г.). «Упругие столкновения» . Проверено 4 марта 2023 г.^{[ самостоятельный источник ]}
6. Паркинсон, Стивен (1869) «Элементарный трактат по механике» (4-е изд.), с. 197. Лондон. Макмиллан
7. Лав, AEH (1897) «Принципы динамики» с. 262. Кембридж. Издательство Кембриджского университета
8. Раут, Эдвард Дж. (1898) «Трактат о динамике частицы» с. 39. Кембридж. Издательство Кембриджского университета
9. Глейзбрук, Ричард Т. (1911) «Динамика» (2-е изд.), с. 217. Кембридж. Издательство Кембриджского университета
10. Осгуд, Уильям Ф. (1949) «Механика» с. 272. Лондон. Макмиллан
11. Стивенсон, Реджинальд Дж. (1952) «Механика и свойства материи», с. 40. Нью-Йорк. Уайли
12. Хлямович, Г.; Маласпинас, О.; Шопард, Б. (2017). «Кинетическая теория за пределами Stosszahlansatz». Энтропия . 19 (8): 381. Бибкод : 2017Entrp..19..381C. дои : 10.3390/e19080381 .

Общие ссылки

• Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М. (1976). Механика (3-е изд.). Пергамон Пресс. ISBN 0-08-021022-8.
• Раймонд, Дэвид Дж. «10.4.1 Упругие столкновения». Радикально современный подход к вводной физике . Том. 1: Фундаментальные принципы. Сокорро, Нью-Мексико: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.
• Сервей, Раймонд А.; Джуэтт, Джон В. (2014). «9: Линейный импульс и столкновения». Физика для ученых и инженеров с современной физикой (9-е изд.). Бостон. ISBN 978-1-133-95405-7.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Внешние ссылки

• Разрешение столкновений твердых тел в трех измерениях, включая вывод с использованием законов сохранения.