Экспоненциальное отображение (риманова геометрия)

В римановой геометрии экспоненциальное отображение — это отображение из подмножества касательного пространства T _p M риманова многообразия ( или псевдориманова многообразия ) M в само M. (Псевдо)риманова метрика определяет каноническую аффинную связность, а экспоненциальное отображение (псевдо)риманова многообразия задается экспоненциальным отображением этой связности.

Определение

Пусть $M$ — дифференцируемое многообразие , а $p$ — точка $M.$ Аффинная связность на $M$ позволяет определить понятие прямой линии, проходящей через точку $p$ . ^[1]

Пусть $v \in T p M$ — касательный вектор к многообразию в точке $p$ . Тогда существует единственная геодезическая $γ v$ :[0,1] → $M ,$ удовлетворяющая $γ v (0) = p$ с начальным касательным вектором $γ' v (0) = v$ . Соответствующее экспоненциальное отображение определяется как $exp p (v) = γ v (1)$ . В общем случае экспоненциальное отображение определено только локально , то есть оно переводит только небольшую окрестность начала координат в точке $T p M$ в окрестность точки $p$ в многообразии. Это связано с тем, что оно опирается на теорему существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений , которая носит локальный характер. Аффинная связность называется полной, если экспоненциальное отображение корректно определено в каждой точке касательного расслоения .

Характеристики

Интуитивно говоря, экспоненциальное отображение берет заданный касательный вектор к многообразию, пробегает по геодезической, начинающейся в этой точке, и идет в этом направлении за одну единицу времени. Поскольку v соответствует вектору скорости геодезической, фактическое (риманово) пройденное расстояние будет зависеть от этого. Мы также можем перепараметризовать геодезические так, чтобы они были единичной скоростью, поэтому эквивалентно мы можем определить exp _p ( v ) = β(| v |), где β — геодезическая с единичной скоростью (геодезическая, параметризованная длиной дуги), идущая в направлении v . По мере того, как мы изменяем касательный вектор v , мы получим, применяя exp _p , различные точки на M , которые находятся на некотором расстоянии от базовой точки p — это, возможно, один из самых конкретных способов продемонстрировать, что касательное пространство к многообразию является своего рода «линеаризацией» многообразия.

Теорема Хопфа –Ринова утверждает, что возможно определить экспоненциальное отображение на всем касательном пространстве тогда и только тогда, когда многообразие полно как метрическое пространство (что оправдывает обычный термин геодезически полное для многообразия, имеющего экспоненциальное отображение с этим свойством). В частности, компактные многообразия геодезически полны. Однако даже если exp _p определен на всем касательном пространстве, он в общем случае не будет глобальным диффеоморфизмом . Однако его дифференциал в начале координат касательного пространства является тождественным отображением , и поэтому по теореме об обратной функции мы можем найти окрестность начала координат T _p M, на которой экспоненциальное отображение является вложением (т. е . экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом). Радиус наибольшего шара вокруг начала координат в T _p M, который может быть отображен диффеоморфно с помощью exp _{p ,} называется радиусом инъективности M в точке p . Грубо говоря, точка разреза экспоненциального отображения — это множество всех точек, в которых экспоненциальное отображение не имеет уникального минимума.

Важным свойством экспоненциального отображения является следующая лемма Гаусса (еще одна лемма Гаусса ): если задан любой касательный вектор v в области определения exp _p и другой вектор w, основанный на кончике v (следовательно, w фактически находится в двойном касательном пространстве T _v (T _p M )) и ортогонален v , w остается ортогональным v при перемещении вперед посредством экспоненциального отображения. Это означает, в частности, что граничная сфера малого шара вокруг начала координат в T _p M ортогональна геодезическим линиям в M, определяемым этими векторами (т. е. геодезические являются радиальными ). Это мотивирует определение геодезических нормальных координат на римановом многообразии.

Экспоненциальное отображение также полезно для связывания абстрактного определения кривизны с более конкретной ее реализацией, изначально задуманной самим Риманом — секционная кривизна интуитивно определяется как гауссова кривизна некоторой поверхности (т. е. срез многообразия двумерным подмногообразием) через рассматриваемую точку p . С помощью экспоненциального отображения ее теперь можно точно определить как гауссову кривизну поверхности через p, определяемую образом под exp _p двумерного подпространства T _p M .

Отношения к экспоненциальным отображениям в теории Ли

В случае групп Ли с биинвариантной метрикой — псевдоримановой метрикой, инвариантной как относительно левого, так и относительно правого переноса — экспоненциальные отображения псевдоримановой структуры совпадают с экспоненциальными отображениями группы Ли . В общем случае группы Ли не имеют биинвариантной метрики, хотя все связные полупростые (или редуктивные) группы Ли имеют. Существование биинвариантной римановой метрики сильнее, чем существование псевдоримановой метрики, и подразумевает, что алгебра Ли является алгеброй Ли компактной группы Ли; наоборот, любая компактная (или абелева) группа Ли имеет такую риманову метрику.

Возьмем пример, который дает «честное» экспоненциальное отображение. Рассмотрим положительные действительные числа R ⁺ , группу Ли при обычном умножении. Тогда каждое касательное пространство — это просто R . На каждой копии R в точке y мы вводим модифицированное скалярное произведение, умножая их как обычные действительные числа, но масштабируя на y ² (это то, что делает метрику левоинвариантной, поскольку левое умножение на множитель просто вытащит скалярное произведение, дважды — сокращая квадрат в знаменателе). $\langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}$

Рассмотрим точку 1 ∈ R ⁺ , а x ∈ R — элемент касательного пространства в точке 1. Обычная прямая линия, выходящая из точки 1, а именно y ( t ) = 1 + xt, покрывает тот же путь, что и геодезическая, конечно, за исключением того, что нам нужно перепараметризовать так, чтобы получить кривую с постоянной скоростью («постоянная скорость», помните, не будет обычной постоянной скоростью, потому что мы используем эту забавную метрику). Для этого мы перепараметризуем по длине дуги (интегралу длины касательного вектора в норме, индуцированной измененной метрикой): $|\cdot |_{y}$ $s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|$

и после инвертирования функции для получения $t$ как функции $s$ , мы подставляем и получаем $y(s)=e^{sx/|x|}$

Теперь, используя определение единичной скорости, мы имеем ожидаемое значение e ^x . $\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),$

Риманово расстояние, определяемое этим, просто $\operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.$

Смотрите также

Список экспоненциальных тем

Примечания

^ Источником для этого раздела является работа Кобаяши и Номидзу (1996, §III.6), в которой используется термин «линейная связность», тогда как мы вместо него используем «аффинную связность».

Ссылки

Чигер, Джефф; Эбин, Дэвид Г. (1975), Теоремы сравнения в римановой геометрии , Elsevier. См. Главу 1, Разделы 2 и 3.
ду Карму, Манфредо П. (1992), Риманова геометрия , Биркхойзер, ISBN 0-8176-3490-8. См. Главу 3.
«Экспоненциальное отображение», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Хельгасон, Сигурдур (2001), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Graduate Studies in Mathematics , т. 34, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2848-9, г-н 1834454.
Кобаяси, Сёсичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.