Побочный продукт

Теоретико-категорное построение

В теории категорий копроизведение , или категориальная сумма , представляет собой конструкцию, которая включает в себя в качестве примеров несвязное объединение множеств и топологических пространств , свободное произведение групп и прямую сумму модулей и векторных пространств . Копродукт семейства объектов по сути является «наименее конкретным» объектом, по отношению к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это теоретико-категориальное двойственное понятие к категориальному продукту , что означает, что определение такое же, как у продукта, но со всеми перевернутыми стрелками . Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение названия и обозначений, сопутствующие продукты могут и обычно существенно отличаются от продуктов.

Определение

Позвольте быть категорией и пусть и будут объектами объекта . Объект называется копроизведением и пишется или иногда просто , если существуют морфизмы и удовлетворяют следующему универсальному свойству : для любого объекта и любых морфизмов и существует уникальный морфизм такой, что и Это то есть следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$ ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$ ${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$ ${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

Единственная стрелка , заставляющая эту диаграмму коммутировать, может быть обозначена или Морфизмы и называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже моническими инъекциями . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$ ${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$

Определение копроизведения можно распространить на произвольное семейство объектов, индексированных набором. Копроизведение семейства — это объект вместе с набором морфизмов , такой что для любого объекта и любого набора морфизмов существует уникальный морфизм такой, что То есть следующая диаграмма коммутирует для каждого : ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$ ${\displaystyle j\in J}$

Копродукт семейства часто обозначается или ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

Иногда морфизм можно обозначить , чтобы указать на его зависимость от отдельных s. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Примеры

Копроизведение в категории множеств — это просто несвязное объединение карт i _j , являющихся картами включения . В отличие от прямых произведений , копродукции в других категориях не все очевидно основаны на понятии множеств, потому что объединения не ведут себя хорошо в отношении сохраняющих операций (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому копродукции в разных категории могут существенно отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое свободным произведением , довольно сложное. С другой стороны, в категории абелевых групп (а также для векторных пространств ) копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют только конечное число ненулевых членов. (Поэтому оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа факторов.)

Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. свободное произведение ассоциативных алгебр ).

В случае топологических пространств копродукции представляют собой непересекающиеся объединения со своими топологиями непересекающихся объединений . То есть это непересекающееся объединение лежащих в основе множеств, а открытые множества — это множества , открытые в каждом из пространств в довольно очевидном смысле. В категории точечных пространств , фундаментальной в теории гомотопий , копроизведение представляет собой клиновую сумму (которая представляет собой объединение набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).

В основе приведенных выше примеров тайно лежит концепция дизъюнктного объединения: прямая сумма абелевых групп - это группа, порожденная «почти» дизъюнктным объединением (дизъюнктным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим нулем), аналогично для векторных пространств: пространство натянуто «почти» непересекающимся союзом; бесплатный продукт для групп генерируется набором всех букв из аналогичного «почти непересекающегося» союза, в котором никаким двум элементам из разных наборов не разрешено коммутировать. Эта закономерность справедлива для любого многообразия в смысле универсальной алгебры .

Копродуктом в категории банаховых пространств с короткими отображениями является сумма l 1 , которую не так легко представить как «почти непересекающуюся» сумму, но она имеет единичный шар , почти дизъюнктно порожденный единичным шаром, являющимся сомножителями. ^[1]

Копродуктом категории ЧУМ является операция соединения .

Обсуждение

Приведенная выше конструкция копроизведения на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Копроизведение в категории можно определить как копредел любого функтора из дискретной категории в . Не каждое семейство вообще будет иметь копроизведение, но если оно есть, то копроизведение уникально в сильном смысле: если и являются двумя копроизведениями семейства , то (по определению копроизведений) существует единственный изоморфизм такой, что для каждый . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$ ${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$

Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Пусть – диагональный функтор , который ставит в соответствие каждому объекту упорядоченную пару , а каждому морфизму – пару . Тогда копроизведение в задается универсальным морфизмом функтора из объекта в . ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \left(f,f\right)}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ ${\displaystyle C\times C}$

Копродукт, индексированный пустым набором (то есть пустой копродукт ), совпадает с исходным объектом в . ${\displaystyle C}$

Если набор таков, что все копроизведения для семейств, индексированных с, существуют, то можно выбрать продукты совместимым образом, чтобы копроизведение превратилось в функтор . Копродукт семейства тогда часто обозначается через ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

и эти карты известны как естественные инъекции . ${\displaystyle i_{j}}$

Обозначая множество всех морфизмов из в в (т. е. hom-множество в ), мы имеем естественный изоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

задается биекцией , которая отображает каждый набор морфизмов

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(произведение в Set , категории множеств , которое является декартовым произведением , поэтому это кортеж морфизмов) на морфизм

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм является копроизведением набора ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, обусловливающей единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный hom-функтор превращает копродукции в произведения. Другими словами, hom-функтор, рассматриваемый как функтор из категории , противоположной Set , непрерывен; он сохраняет пределы (копродукт в является продуктом в ). ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

Если это конечное множество , скажем , то копроизведение объектов часто обозначается . Предположим , что все конечные копроизведения существуют в C , функторы копроизведения выбраны, как указано выше, а 0 обозначает начальный объект C , соответствующий пустому копроизведению. Тогда мы имеем естественные изоморфизмы ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Эти свойства формально подобны свойствам коммутативного моноида ; категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Если категория имеет нулевой объект , то мы имеем уникальный морфизм (поскольку он терминален ) и, следовательно, морфизм . Поскольку также является начальным, мы имеем канонический изоморфизм , как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы и , с помощью которых мы выводим канонический морфизм . Это можно расширить индукцией до канонического морфизма любого конечного копроизведения в соответствующее произведение. Этот морфизм вообще не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм , а в Set _* (категория точечных множеств ) — собственный мономорфизм . В любой преаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как побочное произведение . Категория, все бипродукты которой конечны, называется полуаддитивной категорией . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

Если все семейства объектов, индексированных с помощью, имеют копродукции в , то копроизведение содержит функтор . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор является ковариантным . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

Смотрите также

• Продукт
• Пределы и копределы
• Коэквалайзер
• Прямой лимит

Рекомендации

1. Цяочу Юань (23 июня 2012 г.). «Банаховые пространства (и метрики Ловера, и закрытые категории)». Раздражающая точность .

• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры копродукций в категории конечных множеств. Автор Джоселин Пейн.