Бесплатный модуль

В математике модуль, имеющий основу

В математике свободный модуль — это модуль , имеющий базис , то есть порождающий набор , состоящий из линейно независимых элементов. Каждое векторное пространство является свободным модулем ^[1] , но если кольцо коэффициентов не является телом (не полем в коммутативном случае), то существуют несвободные модули.

Для любого множества S и кольца R существует свободный R -модуль с базисом S , который называется свободным модулем на S или модулем формальных R - линейных комбинаций элементов S.

Свободная абелева группа — это в точности свободный модуль над кольцом целых чисел Z.

Определение

Для кольца и модуля набор является основой для if : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E\subseteq M}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle E}$является генераторной установкой для ; то есть каждый элемент представляет собой конечную сумму элементов из, умноженных на коэффициенты из ; и ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle E}$является линейно независимым, если для каждого из различных элементов следует, что (где – нулевой элемент и – нулевой элемент ). ${\displaystyle \{e_{1},\dots ,e_{n}\}\subset E}$ ${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$ ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0_{R}}$ ${\displaystyle R}$

Бесплатный модуль — это модуль, имеющий основу. ^[2]

Непосредственным следствием второй половины определения является то, что коэффициенты в первой половине уникальны для каждого элемента M .

Если имеет инвариантный базисный номер , то по определению любые два базиса имеют одинаковую мощность. Например, ненулевые коммутативные кольца имеют инвариантный базис. Мощность любого (а значит, и всякого) базиса называется рангом свободного модуля . Если эта мощность конечна, говорят, что свободный модуль свободен от конечного ранга или свободен от ранга n , если известно, что ранг равен n . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Примеры

Пусть R — кольцо.

• R — свободный модуль ранга один над собой (как левый, так и правый модуль); любой единичный элемент является основой.
• В более общем смысле, если R коммутативен, ненулевой идеал I из R свободен тогда и только тогда, когда он является главным идеалом, порожденным ненулевым делителем, с генератором, являющимся базисом. ^[3]
• В области главных идеалов (например, ) подмодуль свободного модуля свободен. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Если R коммутативно, то кольцо многочленов от неопределенного X представляет собой свободный модуль с возможным базисом 1, X , X2 ^, .... ${\displaystyle R[X]}$
• Пусть – кольцо многочленов над коммутативным кольцом A , f – там унитарный многочлен степени d и образ t в B. Тогда B содержит A как подкольцо и свободно как A -модуль с базисом . ${\displaystyle A[t]}$ ${\displaystyle B=A[t]/(f)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$
• Для любого неотрицательного целого числа n декартово произведение n копий R как левого R -модуля является свободным. Если R имеет инвариантный базисный номер , то его ранг равен n . ${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$
• Прямая сумма свободных модулей свободна, а бесконечное декартово произведение свободных модулей вообще не является свободным (ср. группу Бэра – Спекера ).
• Конечно порожденный модуль над коммутативным локальным кольцом свободен тогда и только тогда, когда он строго плоский. ^[4] Кроме того, теорема Капланского утверждает, что проективный модуль над (возможно, некоммутативным) локальным кольцом свободен.
• Иногда вопрос о том, свободен модуль или нет, неразрешим в теоретико-множественном смысле. Известным примером является проблема Уайтхеда , которая спрашивает, свободна группа Уайтхеда или нет. Как оказалось, проблема не зависит от ZFC.

Формальные линейные комбинации

Учитывая множество E и кольцо R , существует свободный R -модуль, имеющий E в качестве базиса: а именно, прямая сумма копий R , индексированных E

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _{e\in E}R}$.

Явно это подмодуль декартова произведения ( R рассматривается, скажем, как левый модуль), который состоит из элементов, которые имеют только конечное число ненулевых компонентов. Можно встроить E в R ^{( E )} как подмножество, отождествив элемент e с элементом R ^{( E )} , чей e -й компонент равен 1 (единица R ), а все остальные компоненты равны нулю. Тогда каждый элемент R ^{( E )} можно однозначно записать как ${\textstyle \prod _{E}R}$

${\displaystyle \sum _{e\in E}c_{e}e,}$

где только конечное число из них отличны от нуля. Его называют формальной линейной комбинацией элементов E . ${\displaystyle c_{e}}$

Аналогичный аргумент показывает, что каждый свободный левый (соответственно правый) R -модуль изоморфен прямой сумме копий R как левого (соответственно правого) модуля.

Еще одна конструкция

Свободный модуль R ^{( E )} также можно построить следующим эквивалентным способом.

Учитывая кольцо R и множество E , сначала в качестве множества положим

${\displaystyle R^{(E)}=\{f:E\to R\mid f(x)=0{\text{ for all but finitely many }}x\in E\}.}$

Мы снабдим его структурой левого модуля так, что сложение определяется следующим образом: для x в E ,

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

и скалярное умножение на: для r в R и x в E ,

${\displaystyle (rf)(x)=r(f(x))}$

Теперь, как R -значная функция на E , каждое f in можно однозначно записать как ${\displaystyle R^{(E)}}$

${\displaystyle f=\sum _{e\in E}c_{e}\delta _{e}}$

где находятся в R и только конечное число из них ненулевые и задаются как ${\displaystyle c_{e}}$ ${\displaystyle \delta _{e}}$

${\displaystyle \delta _{e}(x)={\begin{cases}1_{R}\quad {\mbox{if }}x=e\\0_{R}\quad {\mbox{if }}x\neq e\end{cases}}}$

(это вариант дельты Кронекера ). Вышеупомянутое означает, что подмножество является основой . Отображение является биекцией между E и этим базисом. Благодаря этой биекции – свободный модуль с базисом E. ${\displaystyle \{\delta _{e}\mid e\in E\}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$ ${\displaystyle e\mapsto \delta _{e}}$ ${\displaystyle R^{(E)}}$

Универсальная собственность

Определенное выше отображение включения является универсальным в следующем смысле. Для произвольной функции из множества E в левый R -модуль N существует единственный гомоморфизм модулей такой, что ; а именно, определяется по формуле: ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$ ${\displaystyle f:E\to N}$ ${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$ ${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$ ${\displaystyle {\overline {f}}}$

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

и говорят, что оно получено путем расширения по линейности. Единственность означает, что каждое R - линейное отображение однозначно определяется его ограничением на E. ${\displaystyle {\overline {f}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R^{(E)}\to N}$

Как обычно для универсальных свойств, это определяет R ^{( E )} с точностью до канонического изоморфизма . Также формирование для каждого множества E определяет функтор ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Set}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$,

из категории множеств в категорию левых R -модулей. Он называется свободным функтором и удовлетворяет естественному соотношению: для каждого множества E и левого модуля N

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

где - функтор забывчивости , смысл - левый сопряженный функтор забывчивости. ${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$ ${\displaystyle R^{(-)}}$

Обобщения

Многие утверждения, верные для свободных модулей, распространяются на некоторые более крупные классы модулей. Проективные модули являются прямыми слагаемыми свободных модулей. Плоские модули определяются тем свойством, что тензорирование с их помощью сохраняет точные последовательности. Модули без кручения образуют еще более широкий класс. Для конечно порожденного модуля над PID (например, Z ) свойства свободный, проективный, плоский и без кручения эквивалентны.

См. локальное кольцо , идеальное кольцо и кольцо Дедекинда .

Смотрите также

• Бесплатный объект
• Проективный объект
• бесплатная презентация
• свободное разрешение
• Теорема Квиллена – Суслина
• стабильно бесплатный модуль
• родовая свобода

Примечания

1. Киоун (1975). Введение в теорию представлений групп. п. 24.
2. Хазевинкель (1989). Энциклопедия математики, том 4. с. 110.
3. Доказательство: Предположим , свободен с базисом . Для , должно иметь уникальную линейную комбинацию с точки зрения и , что неверно. Таким образом, поскольку , существует только один базисный элемент, который должен быть ненулевым делителем. Обратное утверждение очевидно. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{x_{j}|j\}}$ ${\displaystyle j\neq k}$ ${\displaystyle x_{j}x_{k}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle I\neq 0}$ ${\displaystyle \square }$
4. Мацумура 1986, Теорема 7.10.

Рекомендации

Эта статья включает в себя материалы из свободного векторного пространства в наборе PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

• Адамсон, Иэн Т. (1972). Элементарные кольца и модули . Университетские математические тексты. Оливер и Бойд. стр. 65–66. ISBN 0-05-002192-3. МР  0345993.
• Киоун, Р. (1975). Введение в теорию представлений групп . Математика в науке и технике. Том. 116. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-404250-6. МР  0387387.
• Говоров, В.Е. (2001) [1994], «Свободный модуль», Математическая энциклопедия , EMS Press.
• Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец. Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 8. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-36764-6. МР  0879273. Збл  0603.13001.