Плоский модуль

Algebraic structure in ring theory

В алгебре плоские модули включают свободные модули , проективные модули и , над областью главных идеалов , модули без кручения . Формально, модуль M над кольцом R является плоским, если взятие тензорного произведения над R с M сохраняет точные последовательности . Модуль является строго плоским , если взятие тензорного произведения с последовательностью дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна.

Плоскостность была введена Жан-Пьером Серром  (1956) в его статье « Алгебричная и аналитическая геометрия» .

Определение

Левый модуль M над кольцом R является плоским, если выполняется следующее условие: для любого инъективного линейного отображения правых R -модулей отображение ${\displaystyle \varphi :K\to L}$

${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M:K\otimes _{R}M\to L\otimes _{R}M}$

также инъективно, где отображение индуцируется ${\displaystyle \varphi \otimes _{R}M}$ ${\displaystyle k\otimes m\mapsto \varphi (k)\otimes m.}$

Для этого определения достаточно ограничить инъекции включениями конечно порожденных идеалов в R. ${\displaystyle \varphi }$

Эквивалентно, R -модуль M является плоским, если тензорное произведение с M является точным функтором ; то есть, если для каждой короткой точной последовательности R -модулей последовательность также является точной. (Это эквивалентное определение, поскольку тензорное произведение является правым точным функтором .) ${\displaystyle 0\rightarrow K\rightarrow L\rightarrow J\rightarrow 0,}$ ${\displaystyle 0\rightarrow K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M\rightarrow J\otimes _{R}M\rightarrow 0}$

Эти определения применимы также, если R — некоммутативное кольцо , а M — левый R -модуль; в этом случае K , L и J должны быть правыми R -модулями, а тензорные произведения не являются R -модулями в общем случае, а только абелевыми группами .

Характеристика

Плоскость также можно охарактеризовать следующим эквациональным условием, которое означает, что R - линейные отношения в M вытекают из линейных отношений в R.

Левый R -модуль M является плоским тогда и только тогда, когда для любого линейного отношения

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}x_{i}=0}$

при и существуют элементы и такие, что ^[1] ${\displaystyle r_{i}\in R}$ ${\displaystyle x_{i}\in M}$ ${\displaystyle y_{j}\in M}$ ${\displaystyle a_{i,j}\in R,}$

${\textstyle \sum _{i=1}^{m}r_{i}a_{i,j}=0\qquad }$для ${\displaystyle j=1,\ldots ,n,}$

и

${\textstyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad }$для ${\displaystyle i=1,\ldots ,m.}$

Это эквивалентно определению n элементов модуля и линейного отображения из в этот модуль, которое отображает стандартный базис в n элементов. Это позволяет переписать предыдущую характеристику в терминах гомоморфизмов следующим образом. ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{n}}$

R -модуль M является плоским тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие: для каждого отображения , где есть конечно порожденный свободный R -модуль, и для каждого конечно порожденного R -подмодуля отображения пропускается через отображение g в свободный R -модуль такой, что ${\displaystyle f:F\to M,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ker f,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g(K)=0:}$

Факторное свойство плоского модуля

Связь с другими свойствами модуля

Плоскость связана с различными другими свойствами модуля, такими как свобода, проективность или отсутствие кручения. В частности, каждый плоский модуль не имеет кручения , каждый проективный модуль плоский, а каждый свободный модуль проективен.

Существуют конечно порождённые модули , которые являются плоскими и не проективными. Однако конечно порождённые плоские модули все проективны над кольцами, которые чаще всего рассматриваются. Более того, конечно порождённый модуль является плоским тогда и только тогда, когда он локально свободен, что означает, что все локализации в простых идеалах являются свободными модулями.

Частично это отражено на следующем рисунке.

Свойства модуля в коммутативной алгебре

Модули без кручения

Каждый плоский модуль не имеет кручения . Это следует из вышеприведенной характеристики в терминах соотношений, если взять m = 1 .

Обратное утверждение справедливо для целых чисел и, в более общем смысле, для областей главных идеалов и колец Дедекинда .

Область целостности, над которой каждый модуль без кручения является плоским, называется областью Прюфера .

Свободные и проективные модули

Модуль M проективен тогда и только тогда, когда существуют свободный модуль G и два линейных отображения и такие, что В частности, каждый свободный модуль проективен (возьмем и ) . ${\displaystyle i:M\to G}$ ${\displaystyle p:G\to M}$ ${\displaystyle p\circ i=\mathrm {id} _{M}.}$ ${\displaystyle G=M}$ ${\displaystyle i=p=\mathrm {id} _{M}}$

Каждый проективный модуль плоский. Это можно доказать из приведенных выше характеристик плоскостности и проективности в терминах линейных отображений, взяв и ${\displaystyle g=i\circ f}$ ${\displaystyle h=p.}$

Наоборот, конечно порожденные плоские модули проективны при мягких условиях, которые обычно выполняются в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии . Это делает концепцию плоскостности полезной в основном для модулей, которые не являются конечно порожденными.

Конечно представленный модуль ( то есть фактор конечно порождённого свободного модуля по конечно порождённому подмодулю), который является плоским, всегда проективен. Это можно доказать, взяв f сюръективным и в приведенной выше характеристике плоскостности в терминах линейных отображений. Условие подразумевает существование линейного отображения такого, что и, таким образом , Поскольку f сюръективен, то и M проективен. ${\displaystyle K=\ker f}$ ${\displaystyle g(K)=0}$ ${\displaystyle i:M\to G}$ ${\displaystyle i\circ f=g,}$ ${\displaystyle h\circ i\circ f=h\circ g=f.}$ ${\displaystyle h\circ i=\mathrm {id} _{M},}$

Над нётеровым кольцом каждый конечно порождённый плоский модуль проективен, поскольку каждый конечно порождённый модуль конечно представлен. Тот же результат верен над областью целостности , даже если она не нётерова. ^[2]

На локальном кольце каждый конечно порождённый плоский модуль свободен. ^[3]

Конечно порождённый плоский модуль, который не является проективным, можно построить следующим образом. Пусть — множество бесконечных последовательностей , члены которых принадлежат фиксированному полю F . Это коммутативное кольцо со сложением и умножением, определёнными покомпонентно. Это кольцо абсолютно плоское (то есть каждый модуль плоский). Модуль , где I — идеал последовательностей с конечным числом ненулевых членов, таким образом, плоский и конечно порождён (только один генератор), но он не проективен. ${\displaystyle R=F^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R/I,}$

Не примеры

• Если I — идеал в нётеровом коммутативном кольце R , то не является плоским модулем, за исключением случая, когда I порождается идемпотентом ( то есть элементом, равным своему квадрату). В частности, если R — область целостности , является плоским только тогда, когда равно R или является нулевым идеалом . ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle I}$
• Над областью целостности плоский модуль свободен от кручения . Таким образом, модуль, содержащий ненулевые элементы кручения, не является плоским. В частности , и все поля положительных характеристик являются неплоскими -модулями, где - кольцо целых чисел, а - поле рациональных чисел. ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Прямые суммы, пределы и произведения

Прямая сумма модулей плоская тогда и только тогда, когда каждый из них плоский. ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Прямой предел плоского является плоским. В частности, прямой предел свободных модулей является плоским. Обратно, каждый плоский модуль может быть записан как прямой предел конечно-порожденных свободных модулей. ^[4]

Прямые произведения плоских модулей не обязаны быть плоскими в общем случае. Фактически, если задано кольцо R , каждое прямое произведение плоских R -модулей является плоским тогда и только тогда, когда R является когерентным кольцом (то есть каждый конечно порождённый идеал конечно представлен). ^[5]

Плоские удлинители колец

Кольцевой гомоморфизм является плоским, если S является плоским R -модулем для модульной структуры, индуцированной гомоморфизмом. Например, кольцо многочленов R [ t ] является плоским над R для любого кольца R . ${\displaystyle R\to S}$

Для любого мультипликативного подмножества коммутативного кольца локализация является плоской R - алгеброй (она проективна только в исключительных случаях). Например, является плоской и не проективной над ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Если — идеал нётерова коммутативного кольца, то пополнение относительно является плоским. ^[6] Оно является строго плоским тогда и только тогда, когда содержится в радикале Джекобсона (См. также кольцо Зариского .) ^[7] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A.}$

Местная собственность

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо . Если - простой идеал R , локализация в , как обычно, обозначается как индекс. То есть, и, если M - R -модуль, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}R,}$ ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}=(R\setminus {\mathfrak {p}})^{-1}M=R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}M.}$

Если M является R -модулем, то три следующих условия эквивалентны:

• ${\displaystyle M}$- плоский модуль; ${\displaystyle R}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$является плоским -модулем для каждого простого идеала ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}};}$
• ${\displaystyle M_{\mathfrak {m}}}$является плоским -модулем для каждого максимального идеала ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$

Это свойство является фундаментальным в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии, поскольку оно сводит изучение плоскостности к случаю локальных колец . Их часто выражают, говоря, что плоскостность является локальным свойством .

Плоские морфизмы схем

Определение плоского морфизма схем непосредственно вытекает из локального свойства плоскостности.

Морфизм схем является плоским морфизмом , если индуцированное отображение на локальных кольцах ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

является плоским кольцевым гомоморфизмом для любой точки x из X.

Таким образом, свойства плоских (или строго плоских) кольцевых гомоморфизмов естественным образом распространяются на геометрические свойства плоских морфизмов в алгебраической геометрии.

Например, рассмотрим плоскую -алгебру (см. ниже). Включение индуцирует плоский морфизм ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]\hookrightarrow R}$

${\displaystyle \pi :\operatorname {Spec} (R)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t]).}$

Каждое (геометрическое) волокно представляет собой кривую уравнения (см. также плоское вырождение и деформацию к нормальному конусу ). ${\displaystyle \pi ^{-1}(t)}$ ${\displaystyle xy=t.}$

Пусть будет кольцом многочленов над коммутативным нётеровым кольцом и неделителем нуля. Тогда является плоским над тогда и только тогда, когда является примитивным (коэффициенты порождают единичный идеал). ^[8] Примером является ^[9] , которое является плоским (и даже свободным) над (см. также ниже геометрическое значение). Такие плоские расширения могут быть использованы для получения примеров плоских модулей, которые не являются свободными и не являются результатом локализации. ${\displaystyle S=R[x_{1},\dots ,x_{r}]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f\in S}$ ${\displaystyle S/fS}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t,x,y]/(xy-t),}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$

Верная плоскость

Модуль является строго плоским, если взятие тензорного произведения с последовательностью дает точную последовательность тогда и только тогда, когда исходная последовательность точна. Хотя эта концепция определена для модулей над необязательным коммутативным кольцом, она используется в основном для коммутативных алгебр . Таким образом, это единственный случай, который здесь рассматривается, даже если некоторые результаты можно обобщить на случай модулей над некоммутативным кольцом.

В этом разделе — кольцевой гомоморфизм коммутативных колец, который дает структуры -алгебры и -модуля. Если — -модуль плоский (или строго плоский), обычно говорят, что он плоский (или строго плоский) над и что он плоский (или строго плоский). ${\displaystyle f\colon R\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle f}$

Если плоскость ровная, то следующие условия эквивалентны. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R,}$

• ${\displaystyle S}$абсолютно плоский.
• Для каждого максимального идеала , имеем ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}S\neq S.}$
• Если - ненулевой -модуль, то ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S\neq 0.}$
• Для каждого простого идеала существует простой идеал такой , что Другими словами, отображение, индуцированное на спектрах, является сюръективным. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=f^{-1}({\mathfrak {P}}).}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f,}$является инъективным и является чистым подкольцом , то есть является инъективным для каждого -модуля . ^[a] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S;}$ ${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Второе условие подразумевает, что плоский локальный гомоморфизм локальных колец является строго плоским. Из последнего условия следует, что для любого идеала ( возьмем ). В частности, если — нётерово кольцо, то — также нётерово. ${\displaystyle I=IS\cap R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M=R/I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

Предпоследнее условие можно сформулировать в следующей усиленной форме: является субмерсивным , что означает, что топология Зарисского является фактор-топологией топологии ( это частный случай того факта, что строго плоский квазикомпактный морфизм схем обладает этим свойством. ^[10] ). См. также Плоский морфизм § Свойства плоских морфизмов . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (S)}$

Примеры

• Кольцевой гомоморфизм , такой что является ненулевым свободным R -модулем, является строго плоским. Например: ${\displaystyle R\to S}$ ${\displaystyle S}$
  • Каждое расширение поля является строго плоским. Это свойство неявно лежит в основе использования комплексификации для доказательства результатов на реальных векторных пространствах.
  • Кольцо многочленов является строго плоским расширением своего кольца коэффициентов.
  • Если — монический многочлен , то включение строго плоское. ${\displaystyle p\in R[x]}$ ${\displaystyle R\hookrightarrow R[t]/\langle p\rangle }$
• Пусть Прямое произведение локализаций в является строго плоским над тогда и только тогда, когда порождает единичный идеал ( то есть, если является линейной комбинацией ) . ^[11] ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}\in R.}$ ${\displaystyle \textstyle \prod _{i}R[t_{i}^{-1}]}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle t_{i}}$
• Прямая сумма локализаций всех его простых идеалов представляет собой строго плоский модуль, который не является алгеброй, за исключением случая, когда имеется конечное число простых идеалов. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R}$

Два последних примера неявно лежат в основе широкого использования локализации в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

• Для данного гомоморфизма колец существует связанный комплекс, называемый комплексом Амицура : ^[12] ${\displaystyle f:A\to B,}$

$${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {\delta ^{0}}{\to }}B\otimes _{A}B{\overset {\delta ^{1}}{\to }}B\otimes _{A}B\otimes _{A}B\to \cdots }$$где кограничные операторы являются знакопеременными суммами отображений, полученных путем вставки 1 в каждую точку; например, . Тогда (Гротендик) этот комплекс является точным, если является строго плоским. ${\displaystyle \delta ^{n}}$ ${\displaystyle \delta ^{0}(b)=b\otimes 1-1\otimes b}$ ${\displaystyle f}$

Точно плоские локальные гомоморфизмы

Вот одна характеристика верно плоского гомоморфизма для не обязательно плоского гомоморфизма. При наличии инъективного локального гомоморфизма, такого что является - первичным идеалом , гомоморфизм верно плоский тогда и только тогда, когда для него выполняется теорема перехода ; то есть для каждого - первичного идеала из , ^[13] ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})\hookrightarrow (S,{\mathfrak {n}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle S\to B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {q}}S)=\operatorname {length} _{S}(S/{\mathfrak {m}}S)\operatorname {length} _{R}(R/{\mathfrak {q}}).}$

Гомологическая характеристика с использованием функторов Tor

Плоскость может быть также выражена с помощью функторов Tor , левых производных функторов тензорного произведения. Левый -модуль является плоским тогда и только тогда, когда ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(X,M)=0}$для всех и всех правых -модулей ). ^[б] ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$

На самом деле, достаточно проверить, что первый член Tor равен нулю, т.е. M является плоским тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(N,M)=0}$

для любого -модуля или, еще более ограничительно, когда и является любым конечно порожденным идеалом. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=R/I}$ ${\displaystyle I\subset R}$

Используя длинные точные последовательности функтора Tor , можно затем легко доказать факты о короткой точной последовательности

${\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\longrightarrow }}B{\overset {g}{\longrightarrow }}C\to 0}$

Если и плоские, то и . Также, если и плоские, то и . Если и плоские, то не обязательно должны быть плоскими в общем случае. Однако, если является чистым в и плоские, то и плоские. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

Плоские разрешения

Плоское разрешение модуля — это разрешение вида ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{2}\to F_{1}\to F_{0}\to M\to 0,}$

где все являются плоскими модулями. Любая свободная или проективная резолюция обязательно является плоской резолюцией. Плоские резолюции могут быть использованы для вычисления функтора Tor . ${\displaystyle F_{i}}$

Длина конечной плоской резолюции — это первый индекс n такой, что не равен нулю и для . Если модуль допускает конечную плоскую резольвенту, минимальная длина среди всех конечных плоских резольвент называется его плоской размерностью ^[14] и обозначается . Если не допускает конечной плоской резолюции, то по соглашению плоская размерность называется бесконечной. В качестве примера рассмотрим модуль такой, что . В этой ситуации точность последовательности указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, и, следовательно, сама является плоской. ^[c] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{i}=0}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {fd} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {fd} (M)=0}$ ${\displaystyle 0\to F_{0}\to M\to 0}$ ${\displaystyle M}$

В некоторых областях теории модулей плоское разрешение должно удовлетворять дополнительному требованию, что каждое отображение является плоским предпокрытием ядра отображения справа. Для проективных разрешений это условие почти невидимо: проективное предпокрытие является просто эпиморфизмом из проективного модуля. Эти идеи вдохновлены работой Ауслендера по приближениям. Эти идеи также знакомы из более распространенного понятия минимальных проективных разрешений, где каждое отображение должно быть проективным покрытием ядра отображения справа. Однако проективные покрытия не обязательно должны существовать в общем случае, поэтому минимальные проективные разрешения имеют лишь ограниченное применение над кольцами, такими как целые числа.

Плоские крышки

Хотя проективные покрытия для модулей не всегда существуют, предполагалось, что для общих колец каждый модуль будет иметь плоское покрытие, то есть каждый модуль M будет эпиморфным образом плоского модуля F таким образом, что каждое отображение из плоского модуля на M пропускается через F , и любой эндоморфизм F над M является автоморфизмом. Эта гипотеза о плоском покрытии была впервые явно сформулирована в Enochs (1981, стр. 196). Гипотеза оказалась верной, решена положительно и доказана одновременно Л. Биканом, Р. Эль-Баширом и Э. Эноксом. ^[15] Этому предшествовали важные вклады П. Эклофа, Дж. Трлифая и Дж. Сюй.

Поскольку плоские покрытия существуют для всех модулей по всем кольцам, минимальные плоские разрешения могут занять место минимальных проективных разрешений во многих обстоятельствах. Измерение отклонения плоских разрешений от проективных разрешений называется относительной гомологической алгеброй и рассматривается в классических работах, таких как Mac Lane (1963), и в более поздних работах, посвященных плоским разрешениям, таких как Enochs и Jenda (2000).

В конструктивной математике

Плоские модули имеют повышенное значение в конструктивной математике , где проективные модули менее полезны. Например, то, что все свободные модули проективны, эквивалентно полной аксиоме выбора , поэтому теоремы о проективных модулях, даже если они доказаны конструктивно, не обязательно применимы к свободным модулям. Напротив, для доказательства того, что свободные модули плоские, не требуется никакого выбора, поэтому теоремы о плоских модулях все еще могут применяться. ^[16]

Смотрите также

• Общая плоскостность
• Плоский морфизм
• Регулярное кольцо фон Неймана – кольца, над которыми все модули плоские.
• Обычно плоское кольцо

Примечания

1. Доказательство: Предположим, что является строго плоским. Для R -модуля отображение проявляется как чистое подкольцо и поэтому является инъективным. Следовательно, является инъективным. Обратно, если является модулем над , то ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle S=R\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}S\to M\otimes _{R}(S\otimes S)\simeq (M\otimes _{R}S)\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle M\to M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle M\neq 0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 0\neq M\subset M\otimes _{R}S.}$
2. Аналогично, правый -модуль является плоским тогда и только тогда, когда для всех и всех левых -модулей . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{n}^{R}(M,X)=0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$
3. Модуль, изоморфный плоскому модулю, конечно же, плоский.

Цитаты

1. Бурбаки, гл. I, § 2. Предложение 13, следствие 1
2. Картье 1958, Лемме 5, стр. 249
3. Мацумура 1986, Теорема 7.10
4. Лазар 1969
5. Чейз 1960
6. Мацумура 1970, Следствие 1 теоремы 55, стр. 170
7. Мацумура 1970, Теорема 56
8. Эйзенбуд 1995, Упражнение 6.4
9. Артин, стр. 3
10. SGA I, Exposé VIII., Corollay 4.3
11. Артин 1999, Упражнение (3) после Предложения III.5.2
12. "Комплекс Амицура". ncatlab.org .
13. Мацумура 1986, Гл. 8, Упражнение 22.1
14. Лэм 1999, стр. 183
15. Бикан, Эль Башир и Енохс 2001
16. Ричман 1997

Ссылки

• Артин. "Теория деформации" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 18 ноября 2019 г.
• Артин, Майкл (1999). «Некоммутативные кольца» (PDF) .
• Bican, L.; El Bashir, R.; Enochs, E. (2001), "Все модули имеют плоские крышки", Bull. London Math. Soc. , 33 (4): 385–390, doi :10.1017/S0024609301008104, ISSN  0024-6093, MR  1832549
• Картье, Пьер (1958). «Вопросы рациональности делителей в алгебраической геометрии». Бюллетень математического общества Франции (на французском языке). 86 : 177–251. дои : 10.24033/bsmf.1503 .
• Бурбаки, Николя . Коммутативная алгебра .
• Чейз, Стивен У. (1960), «Прямые произведения модулей», Труды Американского математического общества , 97 (3): 457–473, doi : 10.2307/1993382 , JSTOR  1993382, MR  0120260
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, г-н  1322960
• Энохс, Эдгар Э. (1981), «Инъективные и плоские покрытия, оболочки и резольвенты», Israel Journal of Mathematics , 39 (3): 189–209, doi : 10.1007/BF02760849 , ISSN  0021-2172, MR  0636889, S2CID  120567780
• Енохс, Эдгар Э.; Дженда, Овертаун М.Г. (2000), Относительная гомологическая алгебра , Изложения де Грюйтера по математике, том. 30, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, номер документа : 10.1515/9783110803662, ISBN. 978-3-11-016633-0, г-н  1753146
• Кунц, Эрнст (1969), «Характеристики регулярных локальных колец характеристики p », American Journal of Mathematics , 91 (3): 772–784, doi :10.2307/2373351, JSTOR  2373351, MR  0252389
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics № 189, т. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Лазар, Даниэль (1969), «Autour de la platitude», Bulletin de la Société Mathématique de France , 97 : 81–128, doi : 10.24033/bsmf.1675
• Мак Лейн, Сондерс (1963), Гомология , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 114, Бостон, Массачусетс: Academic Press , MR  0156879
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
• Мацумура, Хидеюки (1986). Коммутативная теория колец. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Том 8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. MR  0879273. Zbl  0603.13001.
• Мамфорд, Дэвид , Красная книга сортов и схем
• Норткотт, Д.Г. (1984), Полилинейная алгебра , Cambridge University Press , стр. 33, ISBN 978-0-521-26269-9
• Ричман, Фред (1997), «Плоская размерность, конструктивность и теорема Гильберта о сизигиях», Новозеландский математический журнал , 26 (2): 263–273, ISSN  1171-6096, MR  1601663
• SGA 1 , Exposé VIII – это основная ссылка (но она зависит от результата Жиро (1964), который заменил (в гораздо более общей форме) неопубликованную Exposé VII SGA1)
• Серр, Жан-Пьер (1956), «Алгебратическая и аналитическая геометрия», Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802/aif.59 , ISSN  0373-0956, MR  0082175