Обобщенная обратная

Алгебраический элемент, удовлетворяющий некоторым критериям обратного

В математике , и в частности, в алгебре , обобщенная обратная матрица (или g-обратная матрица ) элемента x — это элемент y , обладающий некоторыми свойствами обратного элемента, но не обязательно всеми из них. Целью построения обобщенной обратной матрицы является получение матрицы, которая может служить обратной в некотором смысле для более широкого класса матриц, чем обратимые матрицы . Обобщенные обратные матрицы могут быть определены в любой математической структуре , которая включает ассоциативное умножение, то есть в полугруппе . В этой статье описываются обобщенные обратные матрицы . ${\displaystyle A}$

Матрица является обобщенной обратной матрицей, если ^{[1] [2] [3]} Обобщенная обратная матрица существует для произвольной матрицы, и когда матрица имеет регулярную обратную матрицу, эта обратная матрица является ее единственной обобщенной обратной матрицей. ^[1] ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$

Мотивация

Рассмотрим линейную систему

${\displaystyle Ax=y}$

где — матрица, а пространство столбцов — . Если и невырождено , то будет решением системы. Обратите внимание, что если невырождено, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x=A^{-1}y}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

Теперь предположим, что является прямоугольным ( ), или квадратным и сингулярным. Тогда нам нужен правильный кандидат порядка такой, что для всех ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\neq n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {C}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^[4]

То есть, является решением линейной системы . Эквивалентно, нам нужна матрица порядка такая, что ${\displaystyle x=Gy}$ ${\displaystyle Ax=y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n\times m}$

${\displaystyle AGA=A.}$

Следовательно, мы можем определить обобщенную обратную матрицу следующим образом: Для данной матрицы , матрица называется обобщенной обратной матрицей , если ‍ [ ^{1] [2] [3]} Некоторые авторы называют матрицу регулярной обратной матрицей . ^[5] ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AGA=A.}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$

Типы

Важные типы обобщенной обратной величины включают в себя:

• Односторонняя инверсия (правая инверсия или левая инверсия)
  • Правая обратная матрица: Если матрица имеет размеры и , то существует матрица, называемая правой обратной матрицей , такая, что , где — единичная матрица . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{m}}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle m\times m}$
  • Левая обратная: Если матрица имеет размеры и , то существует матрица, называемая левой обратной матрицей , такая , что , где — единичная матрица. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$
• Обратное уравнение Ботта–Даффина
• Обратный Дразин
• Обратное уравнение Мура-Пенроуза

Некоторые обобщенные обратные величины определяются и классифицируются на основе условий Пенроуза:

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

где обозначает сопряженное транспонирование. Если удовлетворяет первому условию, то это обобщенная обратная матрица . Если он удовлетворяет первым двум условиям, то это рефлексивная обобщенная обратная матрица . Если он удовлетворяет всем четырем условиям, то это псевдообратная матрица , которая обозначается и также известна как обратная матрица Мура–Пенроуза , в честь пионерских работ Э. Х. Мура и Роджера Пенроуза . ^{[2] [7] [8] [9] [10] [11]} Удобно определить -обратную матрицу как обратную матрицу, которая удовлетворяет подмножеству условий Пенроуза, перечисленных выше. Отношения, такие как , могут быть установлены между этими различными классами -обратных матриц. ^[1] ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$ ${\displaystyle I}$

Когда не является единичным, любая обобщенная обратная матрица и, следовательно, является уникальной. Для единичного , некоторые обобщенные обратные матрицы, такие как обратная матрица Дрейзина и обратная матрица Мура–Пенроуза, являются уникальными, в то время как другие не обязательно однозначно определены. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$

Примеры

Рефлексивное обобщенное обратное

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Так как , является сингулярным и не имеет регулярного обратного. Однако и удовлетворяют условиям Пенроуза (1) и (2), но не (3) или (4). Следовательно, является рефлексивным обобщенным обратным к . ${\displaystyle \det(A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

Одностороннее обратное

Позволять

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

Так как не является квадратным, то не имеет регулярной обратной матрицы. Однако является правой обратной матрицей . Матрица не имеет левой обратной матрицы. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Обратные к другим полугруппам (или кольцам)

Элемент b является обобщенным обратным к элементу a тогда и только тогда , когда в любой полугруппе (или кольце , поскольку функция умножения в любом кольце является полугруппой). ${\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}$

Обобщенными обратными элементами элемента 3 в кольце являются 3, 7 и 11, поскольку в кольце : ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

Обобщенными обратными элементами элемента 4 в кольце являются 1, 4, 7 и 10, поскольку в кольце : ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

Если элемент a в полугруппе (или кольце) имеет обратный элемент, то обратный элемент должен быть единственным обобщенным обратным элементом этого элемента, как элементы 1, 5, 7 и 11 в кольце . ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

В кольце любой элемент является обобщенным обратным к 0, однако 2 не имеет обобщенного обратного, поскольку в нет такого b , что . ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$

Строительство

Следующие характеристики легко проверить:

• Правая обратная матрица неквадратной матрицы задается формулой , при условии, что имеет полный ранг строки. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$ ${\displaystyle A}$
• Левая обратная матрица неквадратной матрицы определяется как , при условии, что имеет полный ранг столбца. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$ ${\displaystyle A}$
• Если — ранговая факторизация , то — g-обратный элемент для , где — правый обратный элемент для , а — левый обратный элемент для . ${\displaystyle A=BC}$ ${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle B}$
• Если для любых невырожденных матриц и , то является обобщенной обратной для для произвольных и . ${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle W}$
• Пусть имеет ранг . Без потери общности, пусть где — невырожденная подматрица . Тогда — обобщенная обратная матрица , если и только если . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle B_{r\times r}}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E=DB^{-1}C}$

Использует

Любое обобщенное обратное уравнение можно использовать для определения, имеет ли система линейных уравнений какие-либо решения, и если да, то для указания всех из них. Если существуют какие-либо решения для линейной системы n × m

${\displaystyle Ax=b}$,

с вектором неизвестных и вектором констант, все решения даются как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}$,

параметрический на произвольном векторе , где — любая обобщенная обратная матрица . Решения существуют тогда и только тогда, когда — решение, то есть тогда и только тогда, когда . Если A имеет полный ранг столбца, выражение в скобках в этом уравнении — нулевая матрица, и поэтому решение уникально. ^[12] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$ ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$

Обобщенные обратные матрицы

Обобщенные обратные матрицы можно охарактеризовать следующим образом. Пусть , и ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}$$

быть его сингулярным разложением . Тогда для любого обобщенного обратного существуют ^[1] матрицы , и такие, что ${\displaystyle A^{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

Наоборот, любой выбор , и для матрицы этого вида является обобщенной обратной матрицей . ^[1] -Обратные матрицы - это в точности те, для которых , -Обратные матрицы - это в точности те, для которых , и -Обратные матрицы - это в точности те, для которых . В частности, псевдообратная матрица задается как : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \{1,4\}}$ ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle X=Y=Z=0}$

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

Свойства согласованности преобразования

В практических приложениях необходимо определить класс матричных преобразований, которые должны сохраняться обобщенной обратной матрицей. Например, обратная матрица Мура–Пенроуза удовлетворяет следующему определению согласованности относительно преобразований, включающих унитарные матрицы U и V : ${\displaystyle A^{+},}$

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$.

Обратный матрица Дрейзина удовлетворяет следующему определению согласованности относительно преобразований подобия, включающих невырожденную матрицу S : ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$.

Единично-согласованная (UC) обратная матрица ^[13] удовлетворяет следующему определению согласованности относительно преобразований, включающих невырожденные диагональные матрицы D и E : ${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$.

Тот факт, что обратная матрица Мура-Пенроуза обеспечивает согласованность относительно вращений (которые являются ортонормальными преобразованиями), объясняет ее широкое использование в физике и других приложениях, в которых должны сохраняться евклидовы расстояния. Обратная матрица UC, напротив, применима, когда ожидается, что поведение системы будет инвариантным относительно выбора единиц измерения для различных переменных состояния, например, мили против километров.

Смотрите также

• Псевдообратная блочная матрица
• Регулярная полугруппа

Цитаты

1. Бен-Исраэль и Гревилл 2003, стр. 2, 7
2. Накамура 1991, стр. 41–42
3. Rao & Mitra 1971, стр. vii, 20
4. Рао и Митра 1971, стр. 24
5. Рао и Митра 1971, стр. 19–20.
6. Рао и Митра 1971, стр. 19
7. Рао и Митра 1971, стр. 20, 28, 50–51.
8. Бен-Исраэль и Гревилл 2003, стр. 7
9. Кэмпбелл и Мейер 1991, стр. 10
10. Джеймс 1978, стр. 114
11. Накамура 1991, стр. 42
12. Джеймс 1978, стр. 109–110.
13. Ульманн 2018

Источники

Учебник

• Бен-Исраэль, Ади ; Гревилл, Томас Налл Эден (2003). Обобщенные обратные: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/b97366. ISBN 978-0-387-00293-4.
• Кэмпбелл, Стивен Л.; Мейер, Карл Д. (1991). Обобщенные обратные линейные преобразования . Довер. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Ройял (1985). Матричный анализ . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-38632-6.
• Накамура, Ёсихико (1991). Advanced Robotics: Redundancy and Optimization . Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985.
• Рао, С. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее применение . Нью-Йорк: John Wiley & Sons. С. 240. ISBN 978-0-471-70821-6.

Публикация

• Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенная обратная матрица». The Mathematical Gazette . 62 (420): 109–114. doi :10.2307/3617665. JSTOR  3617665.
• Ульманн, Джеффри К. (2018). «Обобщенная обратная матрица, согласованная с диагональными преобразованиями» (PDF) . Журнал SIAM по анализу матриц и приложениям . 239 (2): 781–800. doi :10.1137/17M113890X.
• Чжэн, Бин; Бапат, Равиндра (2004). «Обобщенное обратное уравнение A(2)T,S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычисления . 155 (2): 407–415. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.