Алгебра

Элементарная алгебра интересуется полиномиальными уравнениями и пытается выяснить, какие значения их решают (верхнее изображение). Абстрактная алгебра изучает алгебраические структуры , такие как кольцо целых чисел , заданное набором целых чисел ( ) вместе с операциями сложения ( ) и умножения ( ) (нижнее изображение).

\mathbb {Z}

+

\times

Алгебра — это раздел математики , изучающий алгебраические системы и работу с уравнениями в этих системах. Это обобщение арифметики , включающее переменные, помимо обычных чисел, и алгебраические операции , отличные от стандартных арифметических операций, таких как сложение и умножение .

Элементарная алгебра — это основная форма алгебры, преподаваемая в школе, в которой исследуются математические утверждения с использованием переменных для неуказанных значений. Он стремится определить, для каких ценностей утверждения верны. Для этого он использует различные методы преобразования уравнений для изоляции переменных . Линейная алгебра — это тесно связанная область исследования переменных, которые появляются в нескольких линейных уравнениях , так называемых системах линейных уравнений . Он пытается найти значения, которые решают все уравнения одновременно.

Абстрактная алгебра изучает алгебраические структуры , которые состоят из набора математических объектов вместе с одной или несколькими бинарными операциями, определенными на этом наборе. Это обобщение элементарной и линейной алгебры, поскольку оно допускает математические объекты, отличные от чисел и неарифметических операций. Он различает различные типы алгебраических структур, таких как группы , кольца и поля , на основе количества операций, которые они используют, и законов, которым они следуют . Универсальная алгебра представляет собой дальнейший уровень обобщения, который не ограничивается бинарными операциями и исследует более абстрактные закономерности, характеризующие алгебраические структуры.

Алгебраические методы впервые изучались в древний период для решения конкретных задач в таких областях, как геометрия . Последующие математики исследовали общие методы решения уравнений независимо от их конкретных приложений. Они полагались на словесные описания задач и решений до 16-17 веков, когда был разработан строгий математический формализм. В середине 19 века сфера применения алгебры расширилась за пределы теории уравнений и охватила различные типы алгебраических операций и алгебраических структур.

Алгебра имеет отношение ко многим разделам математики, таким как геометрия, топология , теория чисел и исчисление , а также к другим областям исследований, таким как логика и эмпирические науки .

Определение и этимология

Алгебра — это раздел математики, изучающий алгебраические операции ^[а] и алгебраические структуры . ^[2] Алгебраическая структура — это непустой набор математических объектов , таких как действительные числа , вместе с алгебраическими операциями, определенными на этом наборе, такими как сложение и умножение . ^[3] Алгебра исследует законы, общие характеристики и типы алгебраических структур. В рамках определенных алгебраических структур он изучает использование переменных в уравнениях и способы манипулирования этими уравнениями. ^[4]

Алгебру часто понимают как обобщение арифметики . ^[5] Арифметика изучает арифметические операции, такие как сложение, вычитание , умножение и деление , в определенной области чисел, например, действительных чисел. ^[6] Элементарная алгебра представляет собой первый уровень абстракции. Как и арифметика, она ограничивается определенными типами чисел и операций. Он обобщает эти операции, допуская неопределенные величины в виде переменных в дополнение к числам. ^[7] Более высокий уровень абстракции достигается в абстрактной алгебре, которая не ограничивается конкретной областью и изучает различные классы алгебраических структур, таких как группы и кольца . Эти алгебраические структуры не ограничиваются типичными арифметическими операциями и помимо них охватывают и другие бинарные операции. ^[8] Универсальная алгебра еще более абстрактна, поскольку она не ограничивается бинарными операциями и не интересуется конкретными классами алгебраических структур, а исследует характеристики алгебраических структур в целом. ^[9]

Термин «алгебра» иногда используется в более узком смысле для обозначения только элементарной алгебры или только абстрактной алгебры. ^[11] При использовании в качестве исчисляемого существительного алгебра представляет собой особый тип алгебраической структуры , которая включает в себя векторное пространство , оснащенное определенным типом бинарной операции . ^[12] В зависимости от контекста «алгебра» может также относиться к другим алгебраическим структурам, таким как алгебра Ли или ассоциативная алгебра . ^[13]

Слово алгебра происходит от арабского термина الجبر ( аль-джабр ) и первоначально относилось к хирургическому лечению вживления кости . В IX веке термин получил математическое значение в работе « Сборник вычислений путем завершения и балансировки» , в которой персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми использовал его для описания метода решения уравнений. Это слово вошло в английский язык в 16 веке из итальянского, испанского и средневековой латыни. ^[14] Первоначально значение этого термина ограничивалось теорией уравнений , то есть искусством манипулирования полиномиальными уравнениями с целью их решения. Ситуация изменилась в течение XIX века ^[b] , когда сфера применения алгебры расширилась и стала охватывать изучение различных типов алгебраических операций и алгебраических структур вместе с лежащими в их основе аксиомами. ^[17]

Основные отрасли

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра, также называемая школьной алгеброй, студенческой алгеброй и классической алгеброй, ^[18] является старейшей и самой базовой формой алгебры. Это обобщение арифметики , основанное на использовании переменных и исследующее, как можно преобразовать формулы . ^[19]

Арифметика изучает числовые операции и исследует, как числа комбинируются и преобразуются с помощью арифметических операций, таких как сложение , вычитание , умножение и деление . Например, операция сложения объединяет два числа, называемые слагаемыми, в третье число, называемое суммой, как в . ^[6] $2+5=7$

Элементарная алгебра опирается на те же операции, но допускает переменные в дополнение к обычным числам. Переменные — это символы неуказанных или неизвестных величин. Они позволяют устанавливать отношения, точные значения которых неизвестны, и выражать общие законы, которые верны независимо от того, какие числа используются. Например, уравнение относится к арифметике и выражает равенство только для этих конкретных чисел. Заменив числа переменными, можно выразить общий закон, применимый к любым возможным комбинациям чисел, как в уравнении . ^[19] $2\times 3=3\times 2$ $a\times b=b\times a$

Элементарная алгебра интересуется алгебраическими выражениями , которые образуются с помощью арифметических операций по объединению переменных и чисел. Например, выражение представляет собой алгебраическое выражение, созданное путем умножения числа 5 на переменную x и добавления к результату числа 3. Другими примерами алгебраических уравнений являются и . ^[20] $5x+3$ $32xyz$ $64x^{2}+7y-13$

Алгебраические выражения используются для создания операторов, которые связывают два выражения друг с другом. Уравнение — это утверждение, образованное путем сравнения двух выражений со знаком равенства (=), например . Неравенства образуются с помощью таких символов, как знак меньше (<) и знак больше (>). В отличие от простых выражений, утверждения могут быть истинными или ложными, и их значение истинности обычно зависит от значений переменных. Например, утверждение истинно, если x равно 2 или -2, и ложно в противном случае. ^[21] $5x^{2}+6x=3y+4$ $x^{2}=4$

Основная цель элементарной алгебры — определить, для каких значений утверждение верно. Для достижения этой цели он использует различные методы, используемые для преобразования операторов и манипулирования ими. Ключевой принцип, лежащий в основе этого процесса, заключается в том, что все, что делается с одной стороны уравнения, должно быть сделано и с другой стороной уравнения. Например, если вычесть 5 из левой части уравнения, необходимо также вычесть 5 из правой части уравнения, чтобы сбалансировать обе части. Цель этих шагов обычно состоит в том, чтобы изолировать интересующую вас переменную с одной стороны. Этот процесс известен как решение уравнения для этой переменной. Например, уравнение можно решить относительно x , добавив 7 к обеим его частям, что изолирует x в левой части и приведет к уравнению . ^[22] $x-7=4$ $x=11$

Есть много других методов, используемых для решения уравнений. Упрощение используется для замены сложного выражения эквивалентным, более простым. Например, выражение можно заменить выражением . ^[23]Факторизация используется для перезаписи выражения как произведения нескольких факторов. Этот метод является обычным для полиномов , чтобы определить, для каких значений выражение равно нулю . Например, полином можно факторизовать как . Полином в целом равен нулю, если один из его факторов равен нулю, т. е. если x равен -2 или 5. ^[24] Для операторов с несколькими переменными подстановка является распространенным методом замены одной переменной эквивалентным выражением, которое выполняет не используйте эту переменную. Например, если знать это, то можно упростить выражение и получить . ^[25] Другие методы основаны на коммутативных , распределительных и ассоциативных свойствах . ^[26] $7x-3x$ $4x$ $x^{2}-3x-10$ $(x+2)(x-5)$ $y=3x$ $7xy$ $21x^{2}$

Элементарная алгебра находит применение во многих областях математики, естественных наук, бизнеса и повседневной жизни. ^[27] Важным применением в области геометрии является использование алгебраических уравнений для описания геометрических фигур в виде графика . Для этого различные переменные в уравнении интерпретируются как координаты , а значения, которые решают уравнение, интерпретируются как точки графика. Например, если в уравнении x установлен равным нулю, то для того, чтобы уравнение было верным, y должно быть равно -1. Это означает, что пара xy (0, −1) является частью графика уравнения. Пара xy (0, 7), напротив, не решает уравнение и поэтому не является частью графика. Граф охватывает совокупность всех пар xy, которые решают уравнение. ^[28] $y=0.5x-1$

Линейная алгебра

Линейная алгебра использует методы элементарной алгебры для изучения систем линейных уравнений . ^[29] Уравнение является линейным, если ни одна переменная не умножается на другую переменную и к переменным не применяются такие операции, как возведение в степень , извлечение корней и логарифм . Например, уравнения и являются линейными , а уравнения и нелинейными . Несколько уравнений образуют систему уравнений, если все они основаны на одном и том же наборе переменных. ^[30] $0.25x-4=y$ $x_{1}-7x_{2}+3x_{3}=0$ $x^{2}=y$ $3x_{1}x_{2}+15=0$

Системы линейных уравнений часто выражаются через матрицы ^[c] и векторы ^[d] , чтобы представить всю систему в одном уравнении. Это можно сделать, переместив переменные в левую часть каждого уравнения и переместив постоянные члены в правую часть. Затем система выражается путем формулирования матрицы, содержащей все коэффициенты уравнений, и умножения ее на вектор, состоящий из переменных. ^[31] Например, система уравнений

$9x_{1}+3x_{2}-13x_{3}=0$
$2.3x_{1}+7x_{3}=9$
$-5x_{1}-17x_{2}=-3$

можно записать как

{\begin{bmatrix}9&3&-13\\2.3&0&7\\-5&-17&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\9\\-3\end{bmatrix}}

Как и элементарная алгебра, линейная алгебра занимается манипулированием и преобразованием уравнений для их решения. Он выходит за рамки элементарной алгебры, поскольку имеет дело с несколькими уравнениями одновременно и ищет значения, для которых все уравнения верны одновременно. Например, если система состоит из двух уравнений , а затем используются значения 1 и 3 для и не решает систему уравнений, потому что она решает только первое, но не второе уравнение. ^[32] $3x_{1}-x_{2}=0$ $x_{1}+x_{2}=8$ $x_{1}$ $x_{2}$

Два центральных вопроса линейной алгебры: имеет ли система уравнений какие-либо решения и, если да, то имеет ли она единственное решение. Система уравнений, имеющая решения, называется совместной . Это тот случай, когда уравнения не противоречат друг другу. Если два и более уравнений противоречат друг другу, то система уравнений несовместна и не имеет решений. Например, уравнения и противоречат друг другу, поскольку не существует значений и , решающих оба уравнения одновременно. ^[33] $x_{1}-3x_{2}=0$ $x_{1}-3x_{2}=7$ $x_{1}$ $x_{2}$

Имеет ли непротиворечивая система уравнений единственное решение, зависит от количества переменных и числа независимых уравнений . Некоторые уравнения являются независимыми друг от друга, если они не предоставляют одинаковую информацию и не могут быть выведены друг из друга. Единственное решение существует, если количество переменных равно количеству независимых уравнений. Недоопределенные системы , напротив, имеют больше переменных, чем уравнения, и имеют бесконечное количество решений, если они непротиворечивы. ^[34]

Многие методы, используемые в элементарной алгебре для решения уравнений, также применяются в линейной алгебре. Метод замены начинается с одного уравнения и изолирует в нем одну переменную. Он переходит к следующему уравнению и заменяет изолированную переменную найденным выражением, тем самым уменьшая количество неизвестных переменных на одну. Он снова применяет тот же процесс к этому и остальным уравнениям, пока не будут определены значения всех переменных. ^[35] Метод исключения создает новое уравнение путем добавления одного уравнения к другому уравнению. Таким образом, можно исключить одну переменную, которая присутствует в обоих уравнениях. Для системы, которая содержит уравнения и , можно исключить y , добавив первое ко второму уравнению, тем самым обнаруживая, что x равно 13. ^[e]^[36] Многие продвинутые методы реализуют алгоритмы, основанные на матричных вычислениях, такие как алгоритм Крамера. правило , исключение Гаусса–Жордана и LU-разложение . ^[37] $-x+7y=3$ $2x-7y=10$

На геометрическом уровне системы уравнений можно интерпретировать как геометрические фигуры. Для систем с двумя переменными каждое уравнение представляет собой линию в двумерном пространстве . Точка пересечения двух линий и есть решение. В несовместимых системах две линии идут параллельно, а это означает, что решения нет, поскольку они никогда не пересекаются. Если два уравнения не являются независимыми, то они описывают одну и ту же линию, а это означает, что каждое решение одного уравнения является также решением другого уравнения. Эти соотношения позволяют графически искать решения, строя уравнения и определяя места их пересечения. ^[38] Те же принципы применимы и к системам уравнений с большим количеством переменных, с той разницей, что уравнения описывают не линии, а фигуры более высокой размерности. Например, уравнения с тремя переменными соответствуют плоскостям в трехмерном пространстве , а точки пересечения всех плоскостей решают систему уравнений. ^[39]

Абстрактная алгебра

Абстрактная алгебра, также называемая современной алгеброй, ^[40] изучает различные типы алгебраических структур . Алгебраическая структура — это основа для понимания операций над математическими объектами , таких как сложение чисел. В то время как элементарная алгебра и линейная алгебра работают в рамках конкретных алгебраических структур, абстрактная алгебра использует более общий подход, который сравнивает, чем алгебраические структуры отличаются друг от друга и какие типы алгебраических структур существуют, такие как группы , кольца и поля . ^[41]

На формальном уровне алгебраическая структура представляет собой набор ^[f] математических объектов, называемый базовым набором, вместе с одной или несколькими операциями. ^[g] Абстрактная алгебра обычно ограничивается бинарными операциями , которые берут любые два объекта из базового набора в качестве входных данных и сопоставляют их с другим объектом из этого набора в качестве выходных данных. ^[44] Например, алгебраическая структура имеет в качестве основного набора натуральные числа . Сложение — это двоичная операция, которая принимает на вход два числа для получения одного числа в виде суммы на выходе. ^[43] Базовый набор может содержать математические объекты, отличные от чисел, и операции не ограничиваются обычными арифметическими операциями. ^[45] $\langle \mathbb {N} ,+\rangle$

Абстрактная алгебра классифицирует алгебраические структуры на основе законов или аксиом , которым подчиняются ее операции, и количества используемых операций. Одним из самых основных типов является группа, которая имеет одну операцию и требует, чтобы эта операция была ассоциативной и имела единичный элемент и обратные элементы . Операция ^[h] является ассоциативной, если порядок нескольких применений не имеет значения, т. е. если она такая же, как для всех элементов. Операция имеет идентификационный элемент или нейтральный элемент, если существует один элемент e , который не меняет значения любого другого элемента, т. е. если . Операция допускает обратные элементы, если для любого элемента существует обратный элемент , который меняет ее действие. Если элемент связан с обратным ему, то результатом является нейтральный элемент e , формально выраженный как . Любая алгебраическая структура, удовлетворяющая этим требованиям, является группой. ^[46] Например, это группа, образованная набором целых чисел вместе с операцией сложения. Нейтральным элементом является 0, а обратным элементом любого числа является . ^[47] Натуральные числа, напротив, не образуют группу, поскольку они содержат только положительные числа и, следовательно, не имеют обратных элементов. ^[48]Теория групп — это раздел абстрактной алгебры, изучающий группы. ^[49] $(a\circ b)\circ c$ $a\circ (b\circ c)$ $a\circ e=e\circ a=a$ $a$ $a^{-1}$ $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$ $\langle \mathbb {Z} ,+\rangle$ $a$ $-a$

Кольцо — это алгебраическая структура с двумя операциями ( и ), которые работают аналогично сложению и умножению. Все требования групп распространяются и на первую операцию: она ассоциативна, имеет единичный элемент и обратные элементы. Кроме того, он коммутативен, то есть справедлив для всех элементов. Аксиома дистрибутивности определяет, как две операции взаимодействуют друг с другом. Там указано, что и . ^[i]^[51] Кольцо целых чисел — это кольцо вида . ^[52] Кольцо становится полем, если обе операции следуют аксиомам ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности и если обе операции имеют единичный элемент и обратные элементы. ^[j]^[54] Кольцо целых чисел не образует поля, поскольку у него нет мультипликативных обратных значений. Например, мультипликативное обратное число есть , которое не является частью целых чисел. Рациональные числа , действительные числа и комплексные числа образуют поле. ^[55] $\circ$ $\star$ $a\circ b=b\circ a$ $a\star (b\circ c)=(a\star b)\circ (a\star c)$ $(b\circ c)\star a=(b\star a)\circ (c\star a)$ $\langle \mathbb {Z} ,+,\times \rangle$ $7$ ${\tfrac {1}{7}}$

Помимо групп, колец и полей, существует множество других алгебраических структур, изучаемых абстрактной алгеброй. К ним относятся магмы , полугруппы , моноиды , абелевы группы , коммутативные кольца , модули , решетки , векторные пространства и алгебры над полем . Они отличаются друг от друга типами описываемых объектов и требованиями, которым соответствуют их операции. Многие из них связаны друг с другом тем, что базовую структуру можно превратить в более совершенную, добавив дополнительные требования. ^[56] Например, магма становится полугруппой, если ее действие ассоциативно. ^[57]

Универсальная алгебра

Универсальная алгебра — это изучение алгебраических структур в целом. Это обобщение абстрактной алгебры, которое не ограничивается бинарными операциями и допускает операции с большим количеством входных данных, например троичные операции . Универсальная алгебра не интересуется конкретными элементами, составляющими базовые множества, а вместо этого исследует, какие структурные особенности имеют общие алгебраические структуры. ^[58] Одна из этих структурных особенностей касается тождеств , которые верны в различных алгебраических структурах. В этом контексте тождество — это универсальное уравнение или уравнение, верное для всех элементов базового набора. Например, коммутативность — это универсальное уравнение, которое утверждает, что оно одинаково для всех элементов. ^[59] Говорят, что две алгебраические структуры, имеющие все свои тождества, принадлежат к одному и тому же многообразию . ^[60] Например, кольцо целых чисел и кольцо многочленов являются частью одного и того же многообразия, поскольку они имеют одинаковые тождества, такие как коммутативность и ассоциативность. Поле рациональных чисел, напротив, не принадлежит к этому многообразию, поскольку имеет дополнительные тождества, такие как существование мультипликативных обратных чисел. ^[61] $a\circ b$ $b\circ a$

Помимо тождеств, универсальную алгебру интересуют также структурные особенности, связанные с квазитождествами . Квазиидентичность — это идентичность, которая должна присутствовать только при определенных условиях. ^[k] Это обобщение тождества в том смысле, что всякое тождество является квазитождеством, но не всякое квазитождество является тождеством. Алгебраические структуры, которые разделяют все свои квазитождества, имеют определенные общие структурные характеристики, которые выражаются в утверждении, что они принадлежат к одному и тому же квазимногообразию . ^[62]

Гомоморфизмы — это инструмент универсальной алгебры для изучения структурных особенностей путем сравнения двух алгебраических структур. ^[63] Гомоморфизм — это функция, которая принимает элементы базового набора одной алгебраической структуры в качестве входных данных и имеет элементы базового набора другой алгебраической структуры в качестве выходных. Его особенностью является то, что он сохраняет некоторые структурные характеристики алгебраических структур. Если две алгебраические структуры используют бинарные операции и имеют вид и тогда функция является гомоморфизмом, если она удовлетворяет следующему требованию: . Существование гомоморфизма показывает, что операция во второй алгебраической структуре играет ту же роль, что и операция в первой алгебраической структуре. ^[64] $\langle A,\circ \rangle$ $\langle B,\star \rangle$ $h:A\to B$ $h(x\circ y)=h(x)\star h(y)$ $\star$ $\circ$

Другим инструментом сравнения является связь между алгебраической структурой и ее подалгеброй . ^[65] Если является подалгеброй, то множество A является подмножеством B. [ ^1] Подалгебра должна использовать те же операции, что и алгебраическая структура ^[m] , и они должны следовать тем же аксиомам. Это включает в себя требование, чтобы все операции в подалгебре были замкнуты в A, а это означает, что они производят только элементы, принадлежащие A. ^[65] Например, набор четных целых чисел вместе со сложением является подалгеброй полного набора целых чисел вместе. с доп. Это так, потому что сумма двух четных чисел снова является четным числом. Но набор нечетных целых чисел вместе со сложением не является подалгеброй, поскольку при сложении двух нечетных чисел получается четное число, которое не является частью выбранного подмножества. ^[66] $\langle A,\circ \rangle$ $\langle B,\circ \rangle$

История

Происхождение алгебры лежит в попытках решить математические задачи, связанные с арифметическими вычислениями, обычно в форме теории уравнений . Эти события происходили в древний период в различных регионах, таких как Вавилония , Египет , Греция , Китай и Индия . Одним из самых ранних документов является Папирус Ринда из Древнего Египта, который был написан около 1650 г. до н.э. ^[n] и обсуждает, как решать линейные уравнения , что выражается в таких задачах, как «Количество; к нему добавляется четверть. Оно становится пятнадцатью». Каково количество?» Вавилонские глиняные таблички примерно того же времени объясняют методы решения линейных и квадратных полиномиальных уравнений , такие как метод завершения квадрата . ^[67]

Многие из этих идей дошли до древних греков. Начиная с VI века до нашей эры, их основным интересом была геометрия, а не алгебра, но для решения геометрических задач они использовали алгебраические методы. Например, они изучали геометрические фигуры, принимая их длины и площади как неизвестные величины, подлежащие определению, как это показано в формулировке метода разности двух квадратов Пифагора , а затем в «Началах» Евклида . ^[68] В 3-м веке до нашей эры Диофант предоставил подробное описание того, как решать алгебраические уравнения, в серии книг под названием «Арифметика» . Он был первым, кто экспериментировал с символьной записью для выражения многочленов. ^[69] В древнем Китае в книге « Девять глав математического искусства» исследовались различные методы решения алгебраических уравнений, включая использование матричных конструкций. ^[70]

Спорно, в какой степени эти ранние разработки следует считать частью собственно алгебры, а не предшественниками. Они предлагали решения алгебраических задач, но не рассматривали их в абстрактном и общем виде, а вместо этого сосредотачивались на конкретных случаях и приложениях. ^[71] Ситуация изменилась с появлением персидского математика аль-Хорезми , ^[o] который опубликовал свою «Сборную книгу по расчетам путем завершения и балансировки» в 825 году нашей эры. В нем представлено первое подробное рассмотрение общих методов, которые можно использовать для управления линейными и квадратными уравнениями путем «сокращения» и «балансировки» обеих сторон. ^[73] Другие влиятельные вклады в алгебру были внесены арабским математиком Табитом ибн Куррой в 9 веке и персидским математиком Омаром Хайямом в 11 и 12 веках. ^[74]

В Индии Брахмагупта исследовал, как решать квадратные уравнения и системы уравнений с несколькими переменными в 7 веке нашей эры. Среди других его нововведений было использование нуля и отрицательных чисел в алгебраических уравнениях. ^[75] Индийские математики Махавира в 9 веке и Бхаскара II в 12 веке еще больше усовершенствовали методы и концепции Брахмагупты. ^[76] В 1247 году китайский математик Цинь Цзюшао написал «Математический трактат в девяти разделах» , который включает в себя алгоритм численного вычисления многочленов , в том числе многочленов более высоких степеней. ^[77]

Франсуа Вьет и Рене Декарт изобрели символическую систему обозначений для выражения уравнений в виде математических формул.

Итальянский математик Фибоначчи принес идеи и методы аль-Хорезми в Европу в таких книгах, как его Liber Abaci . ^[78] В 1545 году итальянский эрудит Джероламо Кардано опубликовал свою книгу Ars Magna , которая охватывала многие темы алгебры и была первой, кто представил общие методы решения уравнений кубической и четвертой степени . ^[79] В 16 и 17 веках французские математики Франсуа Вьет и Рене Декарт ввели буквы и символы для обозначения переменных и операций, что позволило выразить уравнения в виде математических формул. Их предшественники полагались на словесное описание проблем и решений. ^[80] Некоторые историки рассматривают это развитие как ключевой поворотный момент в истории алгебры и считают то, что было до него, предысторией алгебры, поскольку ей не хватало абстрактной природы, основанной на символических манипуляциях. ^[81]

Многие попытки в 17 и 18 веках найти общие решения ^[р] многочленов пятой степени и выше не увенчались успехом. ^[84] В конце XVIII века немецкий математик Карл Фридрих Гаусс доказал фундаментальную теорему алгебры , которая описывает существование нулей многочленов любой степени, не давая общего решения. ^[15] В начале XIX века итальянский математик Паоло Руффини и норвежский математик Нильс Хенрик Абель смогли показать , что не существует общего решения для многочленов пятой степени и выше. ^[84] В ответ на их открытия и вскоре после них французский математик Эварист Галуа разработал то, что позже стало известно как теория Галуа , которая предложила более глубокий анализ решений полиномов, а также заложила основу теории групп . ^[16] Математики вскоре осознали значимость теории групп для других областей и применили ее к таким дисциплинам, как геометрия и теория чисел. ^[85]

Начиная с середины 19 века, интерес к алгебре сместился от изучения многочленов, связанных с элементарной алгеброй, к более общему исследованию алгебраических структур, что ознаменовало появление абстрактной алгебры . Этот подход исследовал аксиоматическую основу произвольных алгебраических операций. ^[86] Это развитие сопровождалось изобретением новых алгебраических систем, основанных на различных операциях и элементах, таких как булева алгебра , векторная алгебра и матричная алгебра . ^[87] Влиятельные ранние разработки в абстрактной алгебре были сделаны немецкими математиками Давидом Гильбертом , Эрнстом Стейницем , Эмми Нётер и Эмилем Артином . Они исследовали различные формы алгебраических структур и разделили их на основе лежащих в их основе аксиом на типы, такие как группы, кольца и поля. ^[88] Основная идея еще более общего подхода, связанного с универсальной алгеброй, была впервые сформулирована английским математиком Альфредом Нортом Уайтхедом в его книге 1898 года «Трактат об универсальной алгебре ». Начиная с 1930-х годов американский математик Гаррет Биркгоф расширил эти идеи и разработал многие основополагающие концепции в этой области. ^[89] Тесно связанными событиями были формулировки теории моделей , теории категорий , топологической алгебры , гомологической алгебры , алгебр Ли , свободных алгебр и групп гомологии . ^[90]

В различных областях

Другие разделы математики

Алгебраизация математики — процесс применения алгебраических методов и принципов к другим разделам математики . Это предполагает использование символов в виде переменных для выражения математических идей на более общем уровне. Еще одним ключевым аспектом является применение структур для моделирования взаимодействия различных типов объектов без необходимости указывать природу этих объектов, помимо моделей их взаимодействия. ^[91] Это возможно, потому что абстрактные закономерности, изучаемые алгеброй, имеют множество конкретных приложений в таких областях, как геометрия , топология , теория чисел и исчисление . ^[92]

Геометрию интересуют геометрические фигуры, которые можно описать с помощью алгебраических утверждений. Например, уравнение описывает линию в двумерном пространстве, а уравнение соответствует сфере в трехмерном пространстве. Особый интерес для алгебраической геометрии представляют алгебраические многообразия , ^[q] которые являются решениями систем полиномиальных уравнений , которые можно использовать для описания более сложных геометрических фигур. ^[93] Топология изучает свойства геометрических фигур или топологических пространств , сохраняющиеся при операциях непрерывной деформации . Алгебраическая топология опирается на алгебраические теории, такие как теория групп , для классификации топологических пространств. Например, гомотопические группы классифицируют топологические пространства на основе существования в них петель или дыр . ^[94] Теория чисел занимается свойствами и отношениями между целыми числами. Алгебраическая теория чисел применяет алгебраические методы к этой области исследований, например, используя алгебраические выражения для описания законов, таких как Великая теорема Ферма , и анализируя, как числа образуют алгебраические структуры, такие как кольцо целых чисел . ^[95] Понимание алгебры также применимо к исчислению, которое использует математические выражения для изучения скорости изменения и накопления . Он опирается на алгебру, чтобы понять, как можно преобразовать эти выражения и какую роль в них играют переменные. ^[96] Благодаря своему присутствию в математике, влияние алгебры распространяется на многие науки и смежные области, включая физику , информатику и инженерное дело . ^[97] $y=3x-7$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$

Логика

Логика – это изучение правильных рассуждений. ^[98] Алгебраическая логика использует алгебраические методы для описания и анализа структур и закономерностей, лежащих в основе логических рассуждений . ^[99] Одна его часть заинтересована в понимании самих математических структур без учета конкретных последствий, которые они оказывают на деятельность по получению выводов . Другая часть исследует, как проблемы логики могут быть выражены на языке алгебры и как открытия, полученные с помощью алгебраического анализа, влияют на логику. ^[100]

Булева алгебра — влиятельный инструмент в алгебраической логике для описания логики высказываний . ^[101] Предложения – это утверждения, которые могут быть истинными или ложными. ^[102] Логика высказываний использует логические связки для объединения двух предложений в сложное предложение. Например, связка «если... то» может использоваться для объединения предложений «идет дождь» и «на улицах мокро» для образования сложного предложения «если идет дождь, то на улицах мокро». Пропозициональная логика интересуется тем, как истинностное значение сложного предложения зависит от истинностных значений его составляющих. ^[103] С помощью булевой алгебры эту проблему можно решить, интерпретируя истинностные значения как числа: 0 соответствует ложному, а 1 соответствует истинному. Логические связки понимаются как бинарные операции, которые принимают на вход два числа и возвращают результат, соответствующий истинностному значению сложного предложения. ^[104] Алгебраическая логика также интересуется тем, как более сложные логические системы могут быть описаны через алгебраические структуры и каким многообразиям и квазимногообразиям принадлежат эти алгебраические структуры. ^[105]

Образование

Обучение алгебре в основном сосредоточено на элементарной алгебре, что является одной из причин, почему ее называют школьной алгеброй. Обычно его вводят в среднее образование после того, как учащиеся освоили основы арифметики. ^[107] Его цель — познакомить учащихся с абстрактной стороной математики, помогая им понять математическую символику, например, как переменные можно использовать для представления неизвестных величин. Дополнительная трудность для учащихся заключается в том, что, в отличие от арифметических вычислений, алгебраические выражения зачастую не могут быть решены непосредственно. Вместо этого учащимся необходимо научиться преобразовывать их по определенным законам до тех пор, пока не будет определена неизвестная величина. ^[108]

Распространенным примером ознакомления учащихся с основными проблемами алгебры является использование весов для представления уравнений. Масса некоторых гирь на весах неизвестна и представляет собой переменную величину. Решение уравнения соответствует добавлению и удалению грузов с обеих сторон таким образом, чтобы стороны оставались в равновесии до тех пор, пока на одной стороне не останется только груз неизвестной массы. ^[106] Использование словесных задач — еще один инструмент, показывающий, как алгебра применяется в реальных жизненных ситуациях. Например, ученикам можно предложить ситуацию, в которой у Наоми в два раза больше яблок, чем у ее брата. Учитывая, что у обоих вместе двенадцать яблок, учащихся затем просят найти алгебраическое уравнение, описывающее эту ситуацию, и определить, сколько яблок у Наоми. ^[109]