Градуированная алгебра Ли

В математике градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли , наделенная градуировкой , совместимой со скобкой Ли . Другими словами, градуированная алгебра Ли — это алгебра Ли, которая также является неассоциативной градуированной алгеброй относительно операции скобки. Выбор разложения Картана наделяет любую полупростую алгебру Ли структурой градуированной алгебры Ли. Любая параболическая алгебра Ли также является градуированной алгеброй Ли.

Градуированная супералгебра Ли ^[1] расширяет понятие градуированной алгебры Ли таким образом, что скобка Ли больше не предполагается обязательно антикоммутативной . Они возникают при изучении дериваций на градуированных алгебрах , в теории деформаций Мюррея Герстенхабера , Кунихико Кодаиры и Дональда К. Спенсера , а также в теории производных Ли .

Суперградуированная супералгебра Ли ^[2] является дальнейшим обобщением этого понятия на категорию супералгебр , в которой градуированная супералгебра Ли наделяется дополнительной суперградуировкой . Они возникают, когда формируется градуированная супералгебра Ли в классической (не суперсимметричной) обстановке, а затем тензоризуется для получения суперсимметричного аналога. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Еще большие обобщения возможны для алгебр Ли над классом сплетенных моноидальных категорий , снабженных копроизведением и некоторым понятием градуировки, совместимой с сплетением в категории . Для подсказок в этом направлении см. Lie superalgebra#Category-theoretic definition .

Градуированные алгебры Ли

В своей самой базовой форме градуированная алгебра Ли представляет собой обычную алгебру Ли вместе с градуировкой векторных пространств. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},}$

таким образом, что скобка Ли соблюдает эту градацию:

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}$

Универсальная обертывающая алгебра градуированной алгебры Ли наследует градуировку.

Примеры

сл(2)

Например, алгебра Ли матриц размера 2 × 2 без следов градуируется генераторами: ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {and}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

Они удовлетворяют соотношениям , , и . Следовательно, при , , и разложение представляется как градуированная алгебра Ли. ${\displaystyle [X,Y]=H}$ ${\displaystyle [H,X]=2X}$ ${\displaystyle [H,Y]=-2Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

Свободная алгебра Ли

Свободная алгебра Ли на множестве X естественным образом имеет градуировку, заданную минимальным числом членов, необходимых для генерации элемента группы. Это возникает, например, как ассоциированная градуированная алгебра Ли с нижним центральным рядом свободной группы .

Обобщения

Если — любой коммутативный моноид , то понятие -градуированной алгебры Ли обобщает понятие обычной ( -) градуированной алгебры Ли, так что определяющие соотношения выполняются с заменой целых чисел на . В частности, любая полупростая алгебра Ли градуируется корневыми пространствами своего присоединенного представления . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Градуированные супералгебры Ли

Градуированная супералгебра Ли над полем k (не характеристики 2) состоит из градуированного векторного пространства E над k , а также операции билинейной скобки

${\displaystyle [-,-]:E\otimes _{k}E\to E}$

таким образом, чтобы выполнялись следующие аксиомы.

• [-, -] учитывает градацию E : $${\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.}$$
• ( Симметрия ) Для всех x в E _i и y в E _j , $${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]}$$
• ( Тождество Якоби ) Для всех x в E _i , y в E _j и z в E _k , (Если k имеет характеристику 3, то тождество Якоби должно быть дополнено условием для всех x в E _{нечетных} .) $${\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.}$$ ${\displaystyle [x,[x,x]]=0}$

Обратите внимание, например, что когда E несет тривиальную градуировку, градуированная супералгебра Ли над k является просто обычной алгеброй Ли. Когда градуировка E сосредоточена в четных степенях, восстанавливается определение ( Z -)градуированной алгебры Ли.

Примеры и приложения

Самый простой пример градуированной супералгебры Ли возникает при изучении выводов градуированных алгебр. Если A — градуированная k -алгебра с градуировкой

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},}$

тогда градуированное k -вывод d на A степени l определяется как

1. ${\displaystyle dx=0}$для , ${\displaystyle x\in k}$
2. ${\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}}$, и
3. ${\displaystyle d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)}$для . ${\displaystyle x\in A_{i}}$

Пространство всех градуированных выводов степени l обозначается через , а прямая сумма этих пространств, ${\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)}$

${\displaystyle \operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),}$

несет структуру A - модуля . Это обобщает понятие вывода коммутативных алгебр на градуированную категорию.

На Der( A ) можно определить скобку с помощью:

[ d , δ  ] = dδ − (−1) ^ij δd , для d ∈ Der _i ( A ) и δ ∈ Der _j ( A ).

Оснащенный этой структурой, Der( A ) наследует структуру градуированной супералгебры Ли над k .

Дополнительные примеры:

• Скобка Фрёлихера –Нийенхейса является примером градуированной алгебры Ли, естественным образом возникающей при изучении связностей в дифференциальной геометрии .
• Скобка Нийенхейса –Ричардсона возникает в связи с деформациями алгебр Ли.

Обобщения

Понятие градуированной супералгебры Ли можно обобщить так, чтобы их градуировка не была только целыми числами. В частности, знаковое полукольцо состоит из пары , где — полукольцо , а — гомоморфизм аддитивных групп . Тогда градуированная надалгебра Ли над знаковым полукольцом состоит из векторного пространства E , градуированного относительно аддитивной структуры на , и билинейной скобки [-, -], которая соблюдает градуировку на E и, кроме того, удовлетворяет: ${\displaystyle (\Gamma ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

1. ${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]}$для всех однородных элементов x и y , и
2. ${\displaystyle (-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.}$

Дополнительные примеры:

• Супералгебра Ли — это градуированная супералгебра Ли над знаковым полукольцом , где — тождественное отображение для аддитивной структуры на кольце . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Примечания

1. Префикс «супер» для этого не совсем стандартен, и некоторые авторы могут предпочесть полностью опустить его в пользу того, чтобы называть градуированную супералгебру Ли просто градуированной алгеброй Ли . Эта уловка не совсем необоснованна, поскольку градуированные супералгебры Ли могут не иметь ничего общего с алгебрами суперсимметрии . Они являются супер только постольку, поскольку несут градуировку . Эта градуировка происходит естественным образом, а не из-за каких-либо базовых суперпространств. Таким образом, в смысле теории категорий они должным образом рассматриваются как обычные не-суперобъекты. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
2. В связи с суперсимметрией их часто называют просто градуированными супералгебрами Ли , но это противоречит предыдущему определению в этой статье.
3. Таким образом, суперградуированные супералгебры Ли несут пару -градуировок : одна из которых суперсимметричная, а другая классическая. Пьер Делинь называет суперсимметричную градуировкой , а классическую - когомологической градуировкой . Эти две градуировки должны быть совместимы, и часто возникают разногласия относительно того, как их следует рассматривать. См. обсуждение этой трудности Делинем. ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Ссылки

• Ниенхейс, Альберт ; Ричардсон-младший, Роджер В. (1966). «Когомологии и деформации в градуированных алгебрах Ли». Бюллетень Американского математического общества . 72 (1): 1–29. doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . MR  0195995.

Смотрите также

• Дифференциальная градуированная алгебра Ли
• Оценено (математика)
• Форма со значениями в алгебре Ли