Групповые когомологии

Инструменты для изучения групп, основанные на методах алгебраической топологии.

В математике (точнее, в гомологической алгебре ) групповые когомологии — это набор математических инструментов, используемых для изучения групп с использованием теории когомологий — метода из алгебраической топологии . Аналогично представлениям групп , когомологии групп рассматривают групповые действия группы G в ассоциированном G -модуле M , чтобы выяснить свойства группы. Рассматривая G -модуль как своего рода топологическое пространство с элементами, представляющими n - симплексы , можно вычислить топологические свойства пространства, такие как набор групп когомологий . Группы когомологий, в свою очередь, дают представление о структуре самих группы G и G -модуля M. Групповые когомологии играют роль в исследовании неподвижных точек действия группы в модуле или пространстве и фактормодуля или пространства по действию группы. Групповые когомологии используются в областях абстрактной алгебры , гомологической алгебры , алгебраической топологии и алгебраической теории чисел , а также в приложениях к собственно теории групп . Как и в алгебраической топологии, существует двойственная теория, называемая гомологией групп. Технику групповых когомологий можно распространить и на случай, когда вместо G -модуля G действует на неабелевой G -группе; по сути, это обобщение модуля на неабелевы коэффициенты. ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$

Эти алгебраические идеи тесно связаны с топологическими идеями. Групповые когомологии дискретной группы G — это сингулярные когомологии подходящего пространства, имеющего G в качестве своей фундаментальной группы , а именно соответствующего пространства Эйленберга – Маклейна . Таким образом, групповые когомологии можно рассматривать как сингулярные когомологии окружности S ¹ , и аналогично для и ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Многое известно о когомологиях групп, включая интерпретации маломерных когомологий, функториальности и способов изменения групп. Тема групповых когомологий возникла в 1920-х годах, получила развитие в конце 1940-х годов и продолжает оставаться областью активных исследований сегодня.

Мотивация

Общая парадигма теории групп состоит в том, что группу G следует изучать через ее групповые представления . Небольшим обобщением этих представлений являются G - модули : G - модуль представляет собой абелеву группу M вместе с групповым действием G на M , причем каждый элемент G действует как автоморфизм M. Будем писать G мультипликативно, а M аддитивно.

Для такого G -модуля M естественно рассмотреть подмодуль G -инвариантных элементов:

${\displaystyle M^{G}=\lbrace x\in M\ |\ \forall g\in G:\ gx=x\rbrace .}$

Теперь, если N является G -подмодулем модуля M (т. е. подгруппой модуля M , отображенной в себя действием G ), то, вообще говоря, неверно, что инварианты в находятся как фактор инвариантов в M по формуле те, что в N : быть инвариантом «по модулю N » шире. Цель когомологий первой группы — точно измерить эту разницу. ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle H^{1}(G,N)}$

Функторы групповых когомологий в общем измеряют степень, в которой взятие инвариантов не соответствует точным последовательностям . Это выражается длинной точной последовательностью . ${\displaystyle H^{*}}$

Определения

Совокупность всех G -модулей является категорией (морфизмы представляют собой групповые гомоморфизмы f со свойством всех g в G и x в M ). Отнесение каждого модуля M к группе инвариантов дает функтор из категории G -модулей в категорию Ab абелевых групп. Этот функтор точен слева , но не обязательно точен справа. Поэтому мы можем сформировать его правые производные функторы . ^[a] Их значения являются абелевыми группами, и они обозначаются как « n -я группа когомологий G с коэффициентами из M ». Кроме того, группу можно идентифицировать с помощью . ${\displaystyle f(gx)=g(f(x))}$ ${\displaystyle M^{G}}$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle H^{0}(G,M)}$ ${\displaystyle M^{G}}$

Кочейн-комплексы

Определение с использованием производных функторов концептуально очень ясно, но для конкретных приложений часто оказываются полезными следующие вычисления, которые некоторые авторы также используют в качестве определения. ^[1] Ибо пусть – группа всех функций от до M (здесь имеется в виду ). Это абелева группа; его элементы называются (неоднородными) n -коцепями. Кограничные гомоморфизмы определяются формулой ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle C^{n}(G,M)}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle G^{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}d^{n+1}\colon C^{n}(G,M)\to C^{n+1}(G,M)\\\left(d^{n+1}\varphi \right)(g_{1},\ldots ,g_{n+1})=g_{1}\varphi (g_{2},\dots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}\varphi \left(g_{1},\ldots ,g_{i-1},g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1}\right)+(-1)^{n+1}\varphi (g_{1},\ldots ,g_{n}).\end{cases}}}$

Можно проверить, что это определяет коцепный комплекс , когомологии которого можно вычислить. Можно показать, что приведенное выше определение групповых когомологий в терминах производных функторов изоморфно когомологиям этого комплекса ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0,}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=Z^{n}(G,M)/B^{n}(G,M).}$

Здесь группы из n -коциклов и n -кограниц соответственно определяются как

${\displaystyle Z^{n}(G,M)=\ker(d^{n+1})}$

${\displaystyle B^{n}(G,M)={\begin{cases}0&n=0\\\operatorname {im} (d^{n})&n\geqslant 1\end{cases}}}$

Функторы Ext n и формальное определение групповых когомологий

Интерпретируя G -модули как модули над групповым кольцом , можно заметить, что ${\displaystyle \mathbb {Z} [G],}$

${\displaystyle H^{0}(G,M)=M^{G}=\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$

т. е. подгруппа G -инвариантных элементов в M отождествляется с группой гомоморфизмов из , которая рассматривается как тривиальный G -модуль (каждый элемент из G выступает в роли единицы) в M . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Следовательно, поскольку функторы Ext являются производными функторами Hom , существует естественный изоморфизм

${\displaystyle H^{n}(G,M)=\operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} [G]}^{n}(\mathbb {Z} ,M).}$

Эти группы Ext также можно вычислить с помощью проективного разрешения , преимущество которого состоит в том, что такое разрешение зависит только от G , а не от M . Напомним определение Ext более подробно для этого контекста. Пусть F — проективная -резольвента (например, свободная -резольвента ) тривиального -модуля : ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\to F_{n-1}\to \cdots \to F_{0}\to \mathbb {Z} \to 0.}$

например, всегда можно взять разрешение групповых колец с морфизмами ${\displaystyle F_{n}=\mathbb {Z} [G^{n+1}],}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:\mathbb {Z} [G^{n+1}]\to \mathbb {Z} [G^{n}]\\(g_{0},g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(g_{0},\ldots ,{\widehat {g_{i}}},\dots ,g_{n}\right)\end{cases}}}$

Напомним , что для -модулей N и M Hom _G ( N , M ) — абелева группа , состоящая из -гомоморфизмов из N в M. Поскольку является контравариантным функтором и меняет местами стрелки, применение к F почленно и отбрасывание дает коцепный комплекс : ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\mathbb {Z} ,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(-,M)(F,M)}$

${\displaystyle \cdots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n},M)\leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{n-1},M)\leftarrow \dots \leftarrow \operatorname {Hom} _{G}(F_{0},M)\leftarrow 0.}$

Группы когомологий G с коэффициентами в модуле M определяются как когомологии вышеуказанного коцепного комплекса : ${\displaystyle H^{*}(G,M)}$

${\displaystyle H^{n}(G,M)=H^{n}({\rm {Hom}}_{G}(F,M)),\qquad n\geqslant 0.}$

Эта конструкция первоначально приводит к кограничному оператору, действующему на «однородные» коцепи. Это элементы , то есть функции, подчиняющиеся ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(F,M)}$ ${\displaystyle \phi _{n}\colon G^{n}\to M}$

${\displaystyle g\phi _{n}(g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n})=\phi _{n}(gg_{1},gg_{2},\ldots ,gg_{n}).}$

Кограничный оператор теперь естественным образом определяется, например, как ${\displaystyle \delta \colon C^{n}\to C^{n+1}}$

${\displaystyle \delta \phi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})=\phi _{2}(g_{2},g_{3})-\phi _{2}(g_{1},g_{3})+\phi _{2}(g_{1},g_{2}).}$

Связь с кограничным оператором d , который был определен в предыдущем разделе и который действует на «неоднородные» коцепи , задается путем перепараметризации так, что ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{2}(g_{1},g_{2})&=\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\\varphi _{3}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\phi _{4}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3}),\end{aligned}}}$

и так далее. Таким образом

${\displaystyle {\begin{aligned}d\varphi _{2}(g_{1},g_{2},g_{3})&=\delta \phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})\\&=\phi _{3}(g_{1},g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\phi _{3}(1,g_{2},g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1}g_{2},g_{1}g_{2}g_{3})+\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2}g_{3})-\phi _{3}(1,g_{1},g_{1}g_{2})\\&=g_{1}\varphi _{2}(g_{2},g_{3})-\varphi _{2}(g_{1}g_{2},g_{3})+\varphi _{2}(g_{1},g_{2}g_{3})-\varphi _{2}(g_{1},g_{2}),\end{aligned}}}$

как в предыдущем разделе.

Групповая гомология

Двойственно конструкции групповых когомологий существует следующее определение групповых гомологий : для данного G -модуля M обозначим DM подмодулем, порожденным элементами вида g · m  −  m , g  ∈  G , m  ∈  M. Приписывая M его так называемые коинварианты , частное

${\displaystyle M_{G}:=M/DM,}$

является точным правым функтором . Его левые производные функторы по определению являются гомологиями групп.

${\displaystyle H_{n}(G,M).}$

Ковариантный функтор , сопоставляющий M _G с M , изоморфен функтору, который отправляет M туда , где наделен тривиальным G -действием. ^[b] Следовательно, можно также получить выражение для гомологии групп через функторы Tor , ${\displaystyle \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H_{n}(G,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M)}$

Обратите внимание, что соглашение о верхнем/индексе для когомологий/гомологий согласуется с соглашением о групповых инвариантах/коинвариантах, которое обозначается как «со-» переключатели:

• верхние индексы соответствуют когомологиям H* и инвариантам X ^G , а
• нижние индексы соответствуют гомологиям H _∗ и коинвариантам X _G  := X / G .

В частности, группы гомологии H _n ( G , M ) можно вычислить следующим образом. Начните с проективной резольвенты F тривиального -модуля , как в предыдущем разделе. Примените ковариантный функтор к F почленно, чтобы получить цепной комплекс : ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \cdot \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$

${\displaystyle \cdots \to F_{n}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to F_{n-1}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \cdots \to F_{0}\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M\to \mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} [G]}M.}$

Тогда H _n ( G , M ) — группы гомологий этого цепного комплекса для n ≥ 0. ${\displaystyle H_{n}(G,M)=H_{n}(F\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M)}$

Гомологии и когомологии групп можно рассматривать единообразно для некоторых групп, особенно конечных групп , в терминах полных резольвент и групп когомологий Тейта .

Групповые гомологии абелевых групп G со значениями в области главных идеалов k тесно связаны с внешней алгеброй . ^[с] ${\displaystyle H_{*}(G,k)}$ ${\displaystyle \wedge ^{*}(G\otimes k)}$

Группы маломерных когомологий

Ч  1

Первая группа когомологий является фактором так называемых скрещенных гомоморфизмов , то есть отображений (множеств) f  : G → M , удовлетворяющих f ( ab ) = f ( a ) + af ( b ) для всех a , b в G по модулю так называемые главные скрещенные гомоморфизмы , т.е. отображения f  : G → M , заданные формулой f ( g ) = gm − m для некоторого фиксированного m ∈ M. Это следует из определения коцепей, приведенного выше.

Если действие G на M тривиально , то вышесказанное сводится к H ¹ ( G , M ) = Hom( G , M ), группе групповых гомоморфизмов G → M , поскольку скрещенные гомоморфизмы тогда являются просто обычными гомоморфизмами и кограницы (т.е. главные скрещенные гомоморфизмы) должны иметь образ тождественно нулевой: следовательно, существует только нулевая кограница.

С другой стороны, рассмотрим случай, когда где обозначает нетривиальную -структуру аддитивной группы целых чисел, которая отправляет a в -a для каждого ; и где мы считаем группу . Рассмотрев все возможные случаи образов , можно увидеть, что скрещенные гомоморфизмы составляют все отображения, удовлетворяющие и для некоторого произвольного выбора целого числа t . Главные скрещенные гомоморфизмы должны дополнительно удовлетворять некоторому целому числу m : следовательно, каждый скрещенный гомоморфизм, переводящий -1 в четное целое число, является главным, и, следовательно: ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle \{1,-1\}}$ ${\displaystyle f_{t}:\{\pm 1\}\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{t}(1)=0}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=t}$ ${\displaystyle f_{t}(-1)=(-1)*m-m=-2m}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle t=-2m}$

${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})\cong \mathbb {Z} /2={\rm {\ (say)\ {\it {}}}}\langle f:f(1)=0,f(-1)=1\rangle ,}$

при этом групповая операция представляет собой поточечное сложение: , отмечая, что это идентификационный элемент. ${\displaystyle (f_{s}+f_{t})(x)=f_{s}(x)+f_{t}(x)=f_{s+t}(x)}$ ${\displaystyle f_{0}}$

Ч  2

Если M — тривиальный G -модуль (т.е. действие G на M тривиально), вторая группа когомологий H ² ( G , M ) находится во взаимно однозначном соответствии с множеством центральных расширений G с помощью M ( с точностью до естественного отношения эквивалентности). В более общем смысле, если действие G на M нетривиально, H ² ( G , M ) классифицирует классы изоморфизма всех расширений G с помощью M, в которых действие G на E (посредством внутренних автоморфизмов ) наделяет (образ of) M с изоморфной G -модульной структурой. ${\displaystyle 0\to M\to E\to G\to 0}$

В примере из раздела выше единственным расширением by с данным нетривиальным действием является бесконечная группа диэдра , которая является расщепляемым расширением и поэтому тривиальна внутри группы. Фактически, в теоретико-групповых терминах это значение уникального нетривиального элемента . ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-})=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} /2,\mathbb {Z} _{-}),}$

Примером второй группы когомологий является группа Брауэра : это когомологии абсолютной группы Галуа поля k , которая действует на обратимые элементы в сепарабельном замыкании:

${\displaystyle H^{2}\left(\mathrm {Gal} (k),(k^{\mathrm {sep} })^{\times }\right).}$

См. также [1].

Основные примеры

Групповые когомологии конечной циклической группы

Для конечной циклической группы порядка с генератором элемент в ассоциированном групповом кольце является делителем нуля, поскольку его произведение с , заданное формулой ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma -1\in \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=1+\sigma +\sigma ^{2}+\cdots +\sigma ^{m-1}\in \mathbb {Z} [G],}$

дает

${\displaystyle {\begin{aligned}N(1-\sigma )&=1+\sigma +\cdots +\sigma ^{m-1}\\&\quad -\sigma -\sigma ^{2}-\cdots -\sigma ^{m}\\&=1-\sigma ^{m}\\&=0.\end{aligned}}}$

Это свойство можно использовать для построения резольвенты ^{[2] [3]} тривиального -модуля через комплекс ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \cdots \xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {N} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\sigma -1} \mathbb {Z} [G]\xrightarrow {\text{aug}} \mathbb {Z} \to 0}$

давая вычисление групповых когомологий для любого -модуля . Обратите внимание, что карта расширения дает тривиальному модулю его -структуру с помощью ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle {\text{aug}}\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)=\sum _{g\in G}a_{g}}$

Это разрешение дает вычисление групповых когомологий, поскольку существует изоморфизм групп когомологий

${\displaystyle H^{k}(G,A)\cong {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} [G]}^{k}(\mathbb {Z} ,A)}$

показывая, что применение функтора к приведенному выше комплексу (без его удаления, поскольку это разрешение является квазиизоморфизмом ) дает вычисление ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,A)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(G,A)={\begin{cases}A^{G}/NA&k{\text{ even}},k\geq 2\\{}_{N}A/(\sigma -1)A&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

для

${\displaystyle {}_{N}A=\{a\in A:Na=0\}}$

Например, если , тривиальный модуль, то , , и , следовательно ${\displaystyle A=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{G}=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle N\mathbb {Z} ={\text{aug}}(N)\mathbb {Z} =m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {}_{N}\mathbb {Z} =0}$

${\displaystyle H^{k}(C_{m},\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} &k{\text{ even}},k\geq 2\\0&k{\text{ odd}},k\geq 1\end{cases}}}$

Явные коциклы

Коциклы для групповых когомологий циклической группы можно задать явно ^{[4] (предложение 2.3),} используя резолюцию Бара. Мы получаем полный набор образующих -коциклов для нечетных в виде отображений ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle \omega _{a}:B_{l}\to k^{*}}$

предоставлено

${\displaystyle [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]\mapsto \zeta _{m}^{ai_{1}\left[{\frac {i_{2}+i_{3}}{m}}\right]\cdots \left[{\frac {i_{l-1}+i_{l}}{m}}\right]}}$

для нечетного, примитивный корень -й степени из единицы, поле, содержащее корни -й степени из единицы, и ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle 0\leq a\leq m-1}$ ${\displaystyle \zeta _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \left[{\frac {a}{b}}\right]}$

для рационального числа , обозначающего наибольшее целое число, не превышающее . Также мы используем обозначение ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle a/b}$

${\displaystyle B_{l}=\bigoplus _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{l}\leq m-1}\mathbb {Z} G\cdot [g^{i_{1}},\ldots ,g^{i_{l}}]}$

где генератор для . Заметим, что для ненулевых четных индексов группы когомологий тривиальны. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G=C_{m}}$ ${\displaystyle l}$

Когомологии свободных групп

Использование разрешения

Для данного множества соответствующая свободная группа имеет явное разрешение ^[5] тривиального модуля , которое можно легко вычислить. Обратите внимание на карту дополнений. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G={\text{Free}}(S)={\underset {s\in S}{*}}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

${\displaystyle {\text{aug}}:\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

имеет ядро, заданное свободным подмодулем, сгенерированным набором , поэтому ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle \{s-1:s\in S\}}$

${\displaystyle I_{S}=\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} [G]\cdot (s-1)}$.

Поскольку этот объект бесплатен, это дает разрешение

${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}\to 0}$

следовательно, групповые когомологии с коэффициентами в можно вычислить, применив функтор к комплексу , давая ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(-,\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle 0\to I_{S}\to \mathbb {Z} [G]\to 0}$

${\displaystyle H^{k}(G,\mathbb {Z} _{\text{triv}})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\bigoplus _{s\in S}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

это потому что двойная карта

${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} [G],\mathbb {Z} _{\text{triv}})\to {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

отправляет любой морфизм -модуля ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$

${\displaystyle \phi :\mathbb {Z} [G]\to \mathbb {Z} _{\text{triv}}}$

к индуцированному морфизму путем составления включения. Единственные карты, на которые отправляются, - это кратные карте увеличения, дающие первую группу когомологий. Вторую можно найти, заметив единственные другие карты. ${\displaystyle I_{S}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \psi \in {\text{Hom}}_{\mathbb {Z} [G]}(I_{S},\mathbb {Z} _{\text{triv}})}$

может быть сгенерировано на основе карт, отправляемых для фиксированного и любого . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (s-1)\mapsto 1}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle (s'-1)\mapsto 0}$ ${\displaystyle s'\in S-\{s\}}$

Использование топологии

Групповые когомологии свободных групп, порожденные буквами, можно легко вычислить, сравнивая групповые когомологии с их интерпретацией в топологии. Напомним, что для каждой группы существует топологическое пространство , называемое классифицирующим пространством группы, обладающее свойством ${\displaystyle \mathbb {Z} *\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle \pi _{1}(BG)=G{\text{ and }}\pi _{k}(BG)=0{\text{ for }}k\geq 2}$

Кроме того, он обладает тем свойством, что его топологические когомологии изоморфны групповым когомологиям.

${\displaystyle H^{k}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{k}(G,\mathbb {Z} )}$

давая возможность вычислить некоторые группы групповых когомологий. Примечание может быть заменено любой локальной системой , определяемой картой. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \pi _{1}(G)\to GL(V)}$

для некоторой абелевой группы . В случае букв это представлено клиновой суммой окружностей ^[6] , что можно показать с помощью теоремы Ван -Кампена , дающей групповые когомологии ^[7] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle B(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{1}\vee \cdots \vee S^{1}}$

${\displaystyle H^{k}(\mathbb {Z} *\cdots *\mathbb {Z} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{n}&k=1\\0&k\geq 2\end{cases}}}$

Групповые когомологии целой решетки

Для целой решетки ранга (следовательно, изоморфной ) ее групповые когомологии можно вычислить относительно легко. Во-первых, поскольку , и имеет , которые как абелевы группы изоморфны , групповые когомологии имеют изоморфизм ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} \cong S^{1}}$ ${\displaystyle B\mathbb {Z} \times B\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{1}\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$

${\displaystyle H^{k}(\Lambda ,\mathbb {Z} _{\text{triv}})\cong H^{k}(\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n},\mathbb {Z} )}$

с целыми когомологиями тора ранга . ${\displaystyle n}$

Характеристики

Пусть далее M — G -модуль.

Длинная точная последовательность когомологий

На практике группы когомологий часто вычисляют, используя следующий факт: если

${\displaystyle 0\to L\to M\to N\to 0}$

— короткая точная последовательность G -модулей , то индуцируется длинная точная последовательность:

${\displaystyle 0\longrightarrow L^{G}\longrightarrow M^{G}\longrightarrow N^{G}{\overset {\delta ^{0}}{\longrightarrow }}H^{1}(G,L)\longrightarrow H^{1}(G,M)\longrightarrow H^{1}(G,N){\overset {\delta ^{1}}{\longrightarrow }}H^{2}(G,L)\longrightarrow \cdots }$

Так называемые связующие гомоморфизмы ,

${\displaystyle \delta ^{n}:H^{n}(G,N)\to H^{n+1}(G,L)}$

можно описать в терминах неоднородных коцепей следующим образом. ^[8] Если представлено n -коциклом, то представлено через где - "поднятие" n -коцепи (т.е. представляет собой композицию с сюръективным отображением M → N ). ${\displaystyle c\in H^{n}(G,N)}$ ${\displaystyle \phi :G^{n}\to N,}$ ${\displaystyle \delta ^{n}(c)}$ ${\displaystyle d^{n}(\psi ),}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle G^{n}\to M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Функциональность

Групповые когомологии контравариантно зависят от группы G в следующем смысле: если f  : H → G — групповой гомоморфизм , то мы имеем естественно индуцированный морфизм H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( H , M ) (где в в последнем случае M рассматривается как H -модуль через f ). Эта карта называется картой ограничений . Если индекс H в G конечен, существует также отображение в обратном направлении, называемое трансферным отображением , ^[9]

${\displaystyle cor_{H}^{G}:H^{n}(H,M)\to H^{n}(G,M).}$

В степени 0 оно определяется отображением

${\displaystyle {\begin{cases}M^{H}\to M^{G}\\m\mapsto \sum _{g\in G/H}gm\end{cases}}}$

Учитывая морфизм G -модулей M → N , получаем морфизм групп когомологий в H ⁿ ( G , M ) → H ⁿ ( G , N ).

Продукты

Подобно другим теориям когомологий в топологии и геометрии, таким как сингулярные когомологии или когомологии де Рама , групповые когомологии имеют структуру произведения: существует естественное отображение, называемое чашечным произведением :

${\displaystyle H^{n}(G,N)\otimes H^{m}(G,M)\to H^{n+m}(G,M\otimes N)}$

для любых двух G -модулей M и N . Это дает градуированную антикоммутативную кольцевую структуру, где R - кольцо, такое как или Для конечной группы G четная часть этого кольца когомологий в характеристике p несет много информации о группе , например, о структуре G. размерность Крулля этого кольца равна максимальному рангу абелевой подгруппы . ^[10] ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{n}(G,R),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p.}$ ${\displaystyle \oplus _{n\geqslant 0}H^{2n}(G,\mathbb {Z} /p)}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /p)^{r}}$

Например, пусть G — группа из двух элементов в дискретной топологии. Реальное проективное пространство является классифицирующим пространством для G. Пусть поле из двух элементов. Затем ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x],}$

полиномиальная k -алгебра от одного образующего, так как это кольцо клеточных когомологий ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} ).}$

Формула Кюннета

Если M = k — поле, то H* ( G ; k ) — градуированная k -алгебра и когомологии произведения групп связаны с когомологиями отдельных групп формулой Кюннета :

${\displaystyle H^{*}(G_{1}\times G_{2};k)\cong H^{*}(G_{1};k)\otimes H^{*}(G_{2};k).}$

Например, если G — элементарная абелева 2-группа ранга r , а затем формула Кюннета показывает, что когомологии G — это полиномиальная k -алгебра, порожденная r классами из H ¹ ( G ; k )., ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{2},}$

${\displaystyle H^{*}(G;k)\cong k[x_{1},\ldots ,x_{r}].}$

Гомологии против когомологий

Что касается других теорий когомологий, таких как сингулярные когомологии , групповые когомологии и гомологии связаны друг с другом посредством короткой точной последовательности ^[11]

${\displaystyle 0\to \mathrm {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}\left(H_{n-1}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to H^{n}(G,A)\to \mathrm {Hom} \left(H_{n}(G,\mathbb {Z} ),A\right)\to 0,}$

где A наделен тривиальным G -действием, а член слева — это первая группа Ext .

Объединенные продукты

Учитывая группу A , которая является подгруппой двух групп G ₁ и G ₂ , гомологии объединенного произведения (с целыми коэффициентами) лежат в длинной точной последовательности ${\displaystyle G:=G_{1}\star _{A}G_{2}}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(G_{1})\oplus H_{n}(G_{2})\to H_{n}(G)\to H_{n-1}(A)\to \cdots }$

Гомологию можно вычислить, используя это: ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /4\star _{\mathbb {Z} /2}\mathbb {Z} /6}$

${\displaystyle H_{n}(\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ))={\begin{cases}\mathbb {Z} &n=0\\\mathbb {Z} /12&{\text{odd degrees}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Эту точную последовательность можно также применить, чтобы показать, что гомологии и специальной линейной группы согласуются для бесконечного поля k . ^[12] ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k[t])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(k)}$

Смена группы

Спектральная последовательность Хохшильда–Серра связывает когомологии нормальной подгруппы N группы G и фактора G/N с когомологиями группы G (для (про-)конечных групп G ). Отсюда следует точная последовательность ограничения инфляции .

Когомологии классифицирующего пространства

Групповые когомологии тесно связаны с топологическими теориями когомологий, такими как когомологии пучков , посредством изоморфизма ^[13]

${\displaystyle H^{n}(BG,\mathbb {Z} )\cong H^{n}(G,\mathbb {Z} ).}$

Выражение слева представляет собой классифицирующее пространство для . Это пространство Эйленберга – Маклейна , т. е. пространство, фундаментальная группа которого равна нулю , а высшие гомотопические группы которого равны нулю). ^[d] Классифицирующими пространствами для и являются 1-сфера S ¹ , бесконечное вещественное проективное пространство и линзовые пространства соответственно. В общем, может быть построено как частное , где – сжимаемое пространство, на котором действует свободно. Однако обычно не имеет легко поддающегося геометрическому описанию. ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K(G,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\infty }(\mathbb {R} )=\cup _{n}\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle EG/G}$ ${\displaystyle EG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle BG}$

В более общем смысле, к любому -модулю можно присоединить локальную систему коэффициентов , и приведенный выше изоморфизм обобщается до изоморфизма ^[14] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle BG}$

${\displaystyle H^{n}(BG,M)=H^{n}(G,M).}$

Дальнейшие примеры

Полупрямые произведения групп

Существует способ вычислить полупрямое произведение групп, используя топологию расслоений и свойства пространств Эйленберга-Маклана. Напомним, что полупрямому произведению групп соответствует короткая точная последовательность групп ${\displaystyle G=N\rtimes H}$

${\displaystyle 1\to N\to N\rtimes H\to H\to 1}$

Используя соответствующие пространства Эйленберга-Маклана, существует расслоение Серра

${\displaystyle K(N,1)\to K(G,1)\to K(H,1)}$

которую можно провести через спектральную последовательность Серра . Это дает -страницу ${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=H^{p}(K(H,1),H^{q}(K(N,1)))\Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))}$

который дает информацию о групповых когомологиях из групп групповых когомологий . Обратите внимание, что этот формализм можно применить чисто теоретико-групповым способом, используя спектральную последовательность Линдона-Хохшильда-Серра . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H,N}$

Когомологии конечных групп

Высшие группы когомологий являются торсионными

Все группы когомологий H ⁿ ( G , M ) конечных групп G являются периодическими для всех n ≥1. Действительно, по теореме Машке категория представлений конечной группы полупроста над любым полем нулевой характеристики (или, в более общем смысле, любым полем, характеристика которого не делит порядок группы), следовательно, когомологии групп рассматриваются как производные функтора в этой абелевой категории , получаем, что он равен нулю. Другой аргумент состоит в том, что над полем нулевой характеристики групповая алгебра конечной группы является прямой суммой матричных алгебр (возможно, над телами, которые являются расширениями исходного поля), а матричная алгебра эквивалентна Морита своей базе. поле и, следовательно, имеет тривиальные когомологии.

Если порядок G обратим в G -модуле M (например, если M является -векторным пространством), то трансфер-отображение можно использовать, чтобы показать, что для Типичное применение этого факта состоит в следующем: длинные точные когомологии последовательность короткой точной последовательности (где все три группы имеют тривиальное G -действие) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle H^{n}(G,M)=0}$ ${\displaystyle n\geqslant 1.}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \to 0}$

дает изоморфизм

${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )=H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong H^{2}(G,\mathbb {Z} ).}$

Когомологии Тейта

Группы когомологий Тейта сочетают в себе как гомологии, так и когомологии конечной группы G :

${\displaystyle {\widehat {H}}^{n}(G,M):={\begin{cases}H^{n}(G,M)&n\geqslant 1\\\operatorname {coker} N&n=0\\\ker N&n=-1\\H_{-n-1}(G,M)&n\leqslant -2,\end{cases}}}$

где индуцируется отображением нормы: ${\displaystyle N:M_{G}\to M^{G}}$

${\displaystyle {\begin{cases}M\to M\\m\mapsto \sum _{g\in G}gm\end{cases}}}$

Когомологии Тейта обладают схожими особенностями, такими как длинные точные последовательности, структуры продуктов. Важным применением является теория полей классов , см. формирование классов .

Когомологии Тейта конечных циклических групп 2 -периодичны в том смысле, что существуют изоморфизмы ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /n,}$

${\displaystyle {\widehat {H}}^{m}(G,M)\cong {\widehat {H}}^{m+2}(G,M)\qquad {\text{for all }}m\in \mathbb {Z} .}$

Необходимым и достаточным критерием d -периодических когомологий является то, что единственные абелевы подгруппы группы G цикличны. ^[15] Например, любое полупрямое произведение обладает этим свойством для взаимно простых целых чисел n и m . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\rtimes \mathbb {Z} /m}$

Приложения

Алгебраическая K-теория и гомологии линейных групп

Алгебраическая К-теория тесно связана с групповыми когомологиями: в +-конструкции Квиллена К-теории К -теория кольца R определяется как гомотопические группы пространства. Здесь — бесконечная общая линейная группа . Пространство имеет те же гомологии, что и т. е . групповые гомологии GL( R ). В некоторых случаях результаты устойчивости утверждают, что последовательность групп когомологий ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}.}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (R)=\cup _{n\geq 1}\mathrm {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R)^{+}}$ ${\displaystyle \mathrm {BGL} (R),}$

${\displaystyle \dots \to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n}(R)\right)\to H_{m}\left(\mathrm {GL} _{n+1}(R)\right)\to \cdots }$

становится стационарным для достаточно больших n , тем самым сводя вычисление когомологий бесконечной общей линейной группы к вычислению когомологий некоторых . Такие результаты были установлены, когда R — поле ^[16] или для колец целых чисел в числовом поле . ^[17] ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$

Явление, заключающееся в стабилизации групповой гомологии ряда групп, называется гомологической стабильностью . Помимо только что упомянутого случая, это применимо к различным другим группам, таким как симметрические группы или группы классов отображения . ${\displaystyle G_{n}}$ ${\displaystyle G_{n}=\mathrm {GL} _{n}(R)}$

Проективные представления и групповые расширения

В квантовой механике мы часто имеем системы с группой симметрии. Мы ожидаем действия на гильбертовом пространстве унитарных матриц. Мы могли бы ожидать, но правила квантовой механики требуют только ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle U(g).}$ ${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=U(g_{1}g_{2}),}$

${\displaystyle U(g_{1})U(g_{2})=\exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}U(g_{1}g_{2}),}$

где фаза. Это проективное представление можно также рассматривать как обычное представление группового расширения by , описываемого точной последовательностью ${\displaystyle \exp\{2\pi i\omega (g_{1},g_{2})\}\in {\rm {U}}(1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1),}$

${\displaystyle 1\to {\rm {U}}(1)\to {\tilde {G}}\to G\to 1.}$

Требование ассоциативности

${\displaystyle U(g_{1})[U(g_{2})U(g_{3})]=[U(g_{1})U(g_{2})]U(g_{3})}$

приводит к

${\displaystyle \omega (g_{2},g_{3})-\omega (g_{1}g_{2},g_{3})+\omega (g_{1},g_{2}g_{3})-\omega (g_{1},g_{2})=0,}$

которое мы признаем как утверждение, что это коцикл, принимающий значения в. Мы можем спросить, можем ли мы исключить фазы, переопределив ${\displaystyle d\omega (g_{1},g_{2},g_{3})=0,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \simeq {\rm {U}}(1).}$

${\displaystyle U(g)\to \exp\{2\pi i\eta (g)\}U(g)}$

что меняет

${\displaystyle \omega (g_{1},g_{2})\to \omega (g_{1},g_{2})+\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Мы признаем это как сдвиг посредством кограницы. Поэтому различные проективные представления классифицируются следующим образом: Обратите внимание, что если мы позволяем группе воздействовать на сами фазы (например, обращение времени будет комплексно-сопряженным фазой), то первый член в каждая из кограничных операций будет действовать на нее, как в общих определениях кограницы в предыдущих разделах. Например, ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega \to \omega +d\eta .}$ ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {R} /\mathbb {Z} ).}$ ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle d\eta (g_{1},g_{2})\to g_{1}\eta (g_{2})-\eta (g_{1}g_{2})+\eta (g_{1}).}$

Расширения

Когомологии топологических групп

Учитывая топологическую группу G , т. е. группу, снабженную топологией такой, что произведение и обратное являются непрерывными отображениями, естественно рассматривать непрерывные G -модули, т. е. требуя, чтобы действие

${\displaystyle G\times M\to M}$

представляет собой непрерывное отображение. Для таких модулей можно снова рассмотреть производный функтор от . Особый случай, возникающий в алгебре и теории чисел, - это когда G бесконечна, например, абсолютная группа Галуа поля. Полученные когомологии называются когомологиями Галуа . ${\displaystyle M\mapsto M^{G}}$

Неабелевы групповые когомологии

Используя G -инварианты и 1-коцепи, можно построить нулевую и первую групповые когомологии для группы G с коэффициентами из неабелевой группы. В частности, G -группа — это (не обязательно абелева) группа A вместе с действием G .

Нулевыми когомологиями группы G с коэффициентами из A называется подгруппа

${\displaystyle H^{0}(G,A)=A^{G},}$

элементов A , фиксированных G .

Первые когомологии группы G с коэффициентами из A определяются как 1-коциклы по модулю отношения эквивалентности, а не как 1-кограницы. Условие того, что отображение является 1-коциклом, состоит в том, что и если в A существует такое , что . В общем случае не является группой, если A неабелева. Вместо этого он имеет структуру точечного множества – точно такая же ситуация возникает в 0-й гомотопической группе , которая для общего топологического пространства является не группой, а точечным множеством. Обратите внимание, что группа — это, в частности, точечный набор, в котором единичный элемент является выделенной точкой. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (gh)=\varphi (g)[g\varphi (h)]}$ ${\displaystyle \ \varphi \sim \varphi '}$ ${\displaystyle \ a\varphi '(g)=\varphi (g)\cdot (ga)}$ ${\displaystyle H^{1}(G,A)}$ ${\displaystyle \ \pi _{0}(X;x)}$

Используя явные вычисления, все равно получается усеченная длинная точная последовательность в когомологиях. Конкретно, пусть

${\displaystyle 1\to A\to B\to C\to 1\,}$

— короткая точная последовательность G -групп, то существует точная последовательность указанных множеств

${\displaystyle 1\to A^{G}\to B^{G}\to C^{G}\to H^{1}(G,A)\to H^{1}(G,B)\to H^{1}(G,C).\,}$

История и связь с другими областями

Низкомерные когомологии группы классически изучались и в других формах, задолго до того, как в 1943–45 было сформулировано понятие групповых когомологий. Первую теорему по этой теме можно назвать Теоремой Гильберта 90 1897 года; это было преобразовано в уравнения Эмми Нётер в теории Галуа (появление коциклов для ). Идея множеств факторов для проблемы расширения групп (связанной с ) возникла в работе Отто Гёльдера (1893), в исследовании проективных представлений Иссаи Шура 1904 года, в трактовке Отто Шрайера 1926 года и в работе Рихарда Брауэра . В 1928 году начал изучать простые алгебры и группу Брауэра . Более полное обсуждение этой истории можно найти в (Weibel 1999, стр. 806–811). ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

В 1941 г. во время исследования (которое играет особую роль в группах) Хайнц Хопф открыл то, что сейчас называется интегральной формулой гомологий Хопфа (Хопф 1942), которая идентична формуле Шура для множителя Шура конечной, конечно представленной группы: ${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R],}$

где и F — свободная группа. ${\displaystyle G\cong F/R}$

Результат Хопфа привел к независимому открытию групповых когомологий несколькими группами в 1943-45 годах: Сэмюэлем Эйленбергом и Сондерсом Мак Лейном в США (Rotman 1995, стр. 358); Хопф и Бено Экманн в Швейцарии; Ганс Фройденталь в Нидерландах (Weibel 1999, стр. 807); и Дмитрий Фаддеев в Советском Союзе (Арсланов 2011, стр. 29, Фаддеев 1947). Ситуация была хаотичной, поскольку во время Второй мировой войны связь между этими странами была затруднена.

С топологической точки зрения гомологии и когомологии G были впервые определены как гомологии и когомологии модели топологического классифицирующего пространства BG , как обсуждалось выше. На практике это означало использование топологии для создания цепных комплексов, используемых в формальных алгебраических определениях. С теоретико-модульной точки зрения это было интегрировано в теорию гомологической алгебры Картана – Эйленберга в начале 1950-х годов.

Применение теории алгебраических чисел к теории полей классов позволило получить теоремы, справедливые для общих расширений Галуа (а не только для абелевых расширений ). Когомологическая часть теории поля классов была аксиоматизирована как теория классовых образований . В свою очередь, это привело к понятию когомологий Галуа и этальных когомологий (которые на этом основаны) (Weibel 1999, стр. 822). После 1960 года в теорию были внесены некоторые усовершенствования, такие как непрерывные коциклы и новое определение Джона Тейта , но основные контуры остались прежними. Это большая область, которая в настоящее время является основной в теориях алгебраических групп .

Аналогичная теория для алгебр Ли , называемая когомологиями алгебр Ли , была впервые развита в конце 1940-х годов Клодом Шевалле , Эйленбергом и Жаном-Луи Кошулем (Weibel 1999, стр. 810). Формально это аналогично, если использовать соответствующее определение инварианта действия алгебры Ли. Оно широко применяется в теории представлений и тесно связано с БРСТ-квантованием теоретической физики .

Теория групповых когомологий имеет также прямое применение в физике конденсированного состояния. Подобно тому, как теория групп является математической основой фаз спонтанного нарушения симметрии , теория групповых когомологий является математической основой класса квантовых состояний материи — короткодействующих запутанных состояний с симметрией. Близкодействующие запутанные состояния с симметрией также известны как топологические состояния с защищенной симметрией . ^{[18] [19]}

Смотрите также

• Спектральная последовательность Линдона – Хохшильда – Серра
• N-группа (теория категорий)
• Постникова башня

Примечания

1. При этом используется то, что категория G -модулей имеет достаточно инъектив , поскольку она изоморфна категории всех модулей над групповым кольцом. ${\displaystyle \mathbb {Z} [G].}$
2. Напомним, что тензорное произведение определяется всякий раз, когда N является правым -модулем, а M - левым -модулем. Если N — левый -модуль, мы превратим его в правый -модуль, полагая g = g ⁻¹ a для каждого g ∈ G и каждого a ∈ N. Это соглашение позволяет определить тензорное произведение в случае, когда и M , и N являются левыми -модулями. ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$ ${\displaystyle N\otimes _{\mathbb {Z} [G]}M}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
3. Например, они изоморфны, если все простые числа p такие, что G имеет p -кручение, обратимы в k . См. (Knudson 2001), теорему A.1.19 для более точной формулировки.
4. При этом G предполагается дискретным. Для общих топологических групп . ${\displaystyle \pi _{n}(BG)=\pi _{n-1}(G)}$

Рекомендации

1. Страница 62 Милна, 2008 г. или раздел VII.3 Серра, 1979 г.
2. Черт возьми, Дэвид Стивен; Фут, Ричард М. (14 июля 2003 г.). Абстрактная алгебра (Третье изд.). Хобокен, Нью-Джерси. п. 801. ИСБН 0-471-43334-9. ОСЛК  52559229.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
3. Браун, Кеннет С. (6 декабря 2012 г.). Когомологии групп . Нью Йорк, Нью Йорк. п. 35. ISBN 978-1-4684-9327-6. ОСЛК  853269200.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
4. Хуан, Хуа-Линь; Лю, Гунсян; Йе, Ю (23 июня 2012 г.). «Сплетенные моноидальные структуры на классе линейных Gr-категорий». arXiv : 1206.5402v3 . {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
5. Эвенс, Леонард. (1991). Когомологии групп. Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 0-19-853580-5. ОСЛК  23732584.
6. Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 43. ИСБН 0-521-79160-Х. ОСЛК  45420394.
7. Уэбб, Питер. «Введение в когомологии групп» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 6 мая 2020 года.
8. Замечание II.1.21 Милна, 2008 г.
9. (Браун 1972), §III.9
10. Куиллен, Дэниел. Спектр эквивариантного кольца когомологий. И. II. Анна. Математика. (2) 94, 549-572, 573-602 (1971).
11. (Браун, 1972), Упражнение III.1.3.
12. (Кнудсон 2001), Глава 4
13. Сташефф, Джеймс Д. (1 июля 1978). «Непрерывные когомологии групп и классифицирующие пространства». Бюллетень Американского математического общества . 84 (4): 513–531. дои : 10.1090/s0002-9904-1978-14488-7 . ISSN  0002-9904.
14. (Адем и Милгрэм 2004), Глава II.
15. (Браун 1972), §VI.9
16. Суслин, Андрей А. (1984), «Гомологии характеристических классов и K-теория Милнора», Алгебраическая K-теория, теория чисел, геометрия и анализ , Конспекты лекций по математике , том. 1046, Спрингер, стр. 357–375. ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$
17. В данном случае коэффициенты рациональны. Борель, Арманд (1974). «Стабильные вещественные когомологии арифметических групп». Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Серия 4. 7 (2): 235–272. дои : 10.24033/asens.1269 .
18. Ван, Ювен К.; Гу, Чжэн-Чэн; Вэнь, Сяо-Ган (22 января 2015 г.). «Теоретико-полевое представление топологических инвариантов, защищенных симметрией калибровочной гравитации, групповых когомологий и не только». Письма о физических отзывах . 114 (3): 031601. arXiv : 1405.7689 . Бибкод : 2015PhRvL.114c1601W. doi : 10.1103/physrevlett.114.031601. ISSN  0031-9007. PMID  25658993. S2CID  2370407.
19. Вэнь, Сяо-Ган (4 мая 2015 г.). «Построение тривиальных состояний с защищенной бозонной симметрией и их топологических инвариантов с помощью нелинейных σ-моделей G × SO (∞)». Физический обзор B . 91 (20): 205101. arXiv : 1410.8477 . Бибкод : 2015PhRvB..91t5101W. doi : 10.1103/physrevb.91.205101. ISSN  1098-0121. S2CID  13950401.

Цитируемые работы

• Адем, Алехандро ; Милгрэм, Р. Джеймс (2004), Когомологии конечных групп , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 309 (2-е изд.), Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-3-662-06280-7, ISBN 978-3-540-20283-7, МР  2035696, Збл  1061.20044
• Арсланов М. М. (2011), Математическая жизнь в Казани в годы войны, Матем. Плюсы, сер. 3, том. 15, MCCME, стр. 20–34, ISBN. 978-5-94057-741-6
• Браун, Кеннет С. (1972), Когомологии групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 87, Спрингер Верлаг, ISBN 978-0-387-90688-1, МР  0672956
• Фаддеев Д. К. (1947), О фактор-системах в абелевых группах с операторами, Докл. Акад. Наук СССР , вып. 58, Ленинградское отделение Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, стр. 361–364, ISSN  0002-3264
• Хопф, Хайнц (1942), «Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe», Commentarii Mathematici Helvetici , 14 (1): 257–309, doi : 10.1007/BF02565622, JFM  68.0503.01, MR  0006510, S2CID  122819784 , Збл  0027.09503
• Кнудсон, Кевин П. (2001), Гомологии линейных групп , Progress in Mathematics, vol. 193, Биркхойзер Ферлаг, Збл  0997.20045
• Милн, Джеймс (2013), «Глава II: Когомологии групп», Теория поля классов , том. v4.02
• Ротман, Джозеф Дж. (1995), Введение в теорию групп , Тексты для аспирантов по математике , том. 148 (4-е изд.), Springer-Verlag, номер документа : 10.1007/978-1-4612-4176-8, ISBN 978-0-387-94285-8, МР  1307623
• Серр, Жан-Пьер (1979). «Глава VII». Локальные поля . Тексты для аспирантов по математике . Том. 67. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90424-5. МР  0554237. Збл  0423.12016.
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «История гомологической алгебры», История топологии , Cambridge University Press, стр. 797–836, CiteSeerX  10.1.1.39.9076 , doi : 10.1016/B978-044482375-5/50029-8 , ISBN 978-0-444-82375-5, МР  1721123

дальнейшее чтение

• Серр, Жан-Пьер (1994), Галуазские когомологии , Конспекты лекций по математике, том. 5 (Пятое изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007/BFb0108758, ISBN 978-3-540-58002-7, МР  1324577
• Шац, Стивен С. (1972), Проконечные группы, арифметика и геометрия , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, МР  0347778
• Глава 6 Вейбеля, Чарльза А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МР  1269324. OCLC  36131259.