Магнитная спиральность

Измерение топологии магнитного поля

В физике плазмы магнитная спиральность является мерой сцепления, скручивания и извилистости магнитного поля . ^{[1] [2]}

Магнитная спиральность является полезной концепцией при анализе систем с чрезвычайно низким сопротивлением, таких как астрофизические системы. Когда сопротивление низкое, магнитная спиральность сохраняется в течение более длительных временных масштабов, с хорошим приближением. Динамика магнитной спиральности особенно важна при анализе солнечных вспышек и корональных выбросов массы . ^[3] Магнитная спиральность имеет значение в динамике солнечного ветра . ^[4] Ее сохранение имеет важное значение в динамо- процессах, а также играет роль в исследованиях термоядерного синтеза , таких как эксперименты по обратному пинчу поля . ^{[5] [6] [7] [8] [9]}

Когда магнитное поле содержит магнитную спиральность, оно имеет тенденцию формировать крупномасштабные структуры из мелкомасштабных. ^[10] Этот процесс можно назвать обратным переносом в пространстве Фурье . Это свойство увеличения масштаба структур делает магнитную спиральность особенной в трех измерениях, поскольку другие трехмерные потоки в обычной механике жидкости являются противоположностью, будучи турбулентными и имея тенденцию «разрушать» структуру, в том смысле, что крупномасштабные вихри распадаются на более мелкие, пока не рассеиваются через вязкие эффекты в тепло. Через параллельный, но обратный процесс, противоположное происходит для магнитных вихрей, где небольшие спиральные структуры с ненулевой магнитной спиральностью объединяются и образуют крупномасштабные магнитные поля. Это видно в динамике гелиосферного токового слоя , ^[11] большой магнитной структуры в Солнечной системе .

Математическое определение

В общем случае спиральность гладкого векторного поля , ограниченного объемом, является стандартной мерой степени, в которой линии поля закручиваются и обвиваются друг вокруг друга. ^[12] [ ^2] Она определяется как объемный интеграл по скалярному произведению и его ротору : ${\displaystyle H^{\mathbf {f} }}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {f} }}$

${\displaystyle H^{\mathbf {f} }=\int _{V}{\mathbf {f} }\cdot \left(\nabla \times {\mathbf {f} }\right)\ dV.}$

Магнитная спиральность

Магнитная спиральность — это спиральность магнитного векторного потенциала , где — связанное магнитное поле, ограниченное объемом . Магнитную спиральность можно тогда выразить как ^[5] ${\displaystyle H^{\mathbf {M} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {M} }=\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV.}$

Поскольку магнитный векторный потенциал не является калибровочно-инвариантным , магнитная спиральность также не является калибровочно-инвариантной в общем случае. Как следствие, магнитная спиральность физической системы не может быть измерена напрямую. Однако в определенных условиях и при определенных предположениях можно измерить текущую спиральность системы и из нее, при выполнении дополнительных условий и при дополнительных предположениях, вывести магнитную спиральность. ^[13]

Магнитная спиральность имеет единицы измерения квадрата магнитного потока : Wb ² ( квадрат Вебера ) в единицах СИ и Mx ² ( квадрат Максвелла ) в гауссовых единицах . ^[14]

Текущая спиральность

Текущая спиральность или спиральность магнитного поля, ограниченного объемом , может быть выражена как ${\displaystyle M^{\mathbf {J} }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle H^{\mathbf {J} }=\int _{V}{\mathbf {B} }\cdot {\mathbf {J} }\ dV}$

где — плотность тока . ^[15] В отличие от магнитной спиральности, токовая спиральность не является идеальным инвариантом (она не сохраняется даже тогда, когда электрическое сопротивление равно нулю). ${\displaystyle {\mathbf {J} }=\nabla \times {\mathbf {B} }}$

Соображения по калибровке

Магнитная спиральность является калибровочно-зависимой величиной, поскольку может быть переопределена путем добавления к ней градиента ( выбор калибровки ). Однако для идеально проводящих границ или периодических систем без чистого магнитного потока магнитная спиральность, содержащаяся во всей области, калибровочно-инвариантна, ^[15] то есть не зависит от выбора калибровки. Калибровочно-инвариантная относительная спиральность была определена для объемов с ненулевым магнитным потоком на их граничных поверхностях. ^[11] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Топологическая интерпретация

Название «спиральность» происходит от того, что траектория частицы жидкости в жидкости со скоростью и завихренностью образует спираль в областях, где кинетическая спиральность . Когда , результирующая спираль является правой, а когда — левой. Это поведение очень похоже на то, что обнаружено в отношении линий магнитного поля. ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}=\int \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\neq 0}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}>0}$ ${\displaystyle \textstyle H^{K}<0}$

Области, где магнитная спиральность не равна нулю, могут также содержать другие виды магнитных структур, такие как винтовые линии магнитного поля. Магнитная спиральность является непрерывным обобщением топологической концепции связывания числа с дифференциальными величинами, необходимыми для описания магнитного поля. ^[11] Там, где связывающие числа описывают, сколько раз кривые связаны между собой, магнитная спиральность описывает, сколько линий магнитного поля связаны между собой. ^[5]

Примеры кривых с различными значениями скручивания и закручивания . Магнитная спиральность измеряет сумму этих двух величин для линий магнитного поля. Сумма сохраняется при всех преобразованиях, где кривые не разрезаются и не соединяются.

Магнитная спиральность пропорциональна сумме топологических величин twist и writhe для линий магнитного поля. Twist — это вращение трубки потока вокруг своей оси, а writhe — это вращение самой оси трубки потока. Топологические преобразования могут изменять числа twist и writhe, но сохранять их сумму. Поскольку трубки магнитного потока (совокупности замкнутых контуров линий магнитного поля) имеют тенденцию сопротивляться пересечению друг друга в магнитогидродинамических жидкостях, магнитная спиральность очень хорошо сохраняется.

Как и многие величины в электромагнетизме, магнитная спиральность тесно связана с механической спиральностью жидкости , соответствующей величиной для линий потока жидкости, и их динамика взаимосвязана. ^{[10] [16]}

Характеристики

Идеальная квадратичная инвариантность

В конце 1950-х годов Лодевейк Вольтьер и Вальтер М. Эльзассер независимо друг от друга открыли идеальную инвариантность магнитной спиральности, ^{[17] [18],} то есть ее сохранение, когда удельное сопротивление равно нулю. Доказательство Вольтьера, справедливое для замкнутой системы, повторяется в следующем:

В идеальной магнитогидродинамике временная эволюция магнитного поля и магнитного векторного потенциала может быть выражена с помощью уравнения индукции как

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}=\nabla \times ({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }),\quad {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}={\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }+\nabla \Phi ,}$

соответственно, где — скалярный потенциал, заданный условием калибровки (см. § Соображения по калибровке). Выбирая калибровку так, чтобы скалярный потенциал обращался в нуль, временная эволюция магнитной спиральности в объеме задается выражением: ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}&=\int _{V}\left({\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\cdot {\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }\cdot {\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\right)dV\\&=\int _{V}({\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} })\cdot {\mathbf {B} }\ dV+\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot \left(\nabla \times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)dV.\end{aligned}}}$

Скалярное произведение в подынтегральном выражении первого члена равно нулю, поскольку ортогонально векторному произведению , а второй член можно проинтегрировать по частям, чтобы получить ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }\times {\mathbf {B} }}$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=\int _{V}\left(\nabla \times {\mathbf {A} }\right)\cdot {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\ dV+\int _{\partial V}\left({\mathbf {A} }\times {\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\right)\cdot d\mathbf {S} }$

где второй член — это поверхностный интеграл по граничной поверхности замкнутой системы. Скалярное произведение в подынтегральном выражении первого члена равно нулю, поскольку ортогонален к Второй член также равен нулю, поскольку движения внутри замкнутой системы не могут влиять на векторный потенциал снаружи, так что на граничной поверхности, поскольку магнитный векторный потенциал является непрерывной функцией. Следовательно, ${\displaystyle \partial V}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }={\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t.}$ ${\displaystyle \partial {\mathbf {A} }/\partial t=\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\frac {\partial H^{\mathbf {M} }}{\partial t}}=0,}$

и магнитная спиральность идеально сохраняется. Во всех ситуациях, где магнитная спиральность калибровочно-инвариантна, магнитная спиральность идеально сохраняется без необходимости выбора конкретной калибровки ${\displaystyle \nabla \Phi =\mathbf {0} .}$

Магнитная спиральность сохраняется в хорошем приближении даже при небольшом, но конечном сопротивлении, в этом случае магнитное пересоединение рассеивает энергию . ^{[11] [5]}

Обратный перенос

Мелкомасштабные спиральные структуры имеют тенденцию формировать все более крупные магнитные структуры. Это можно назвать обратным переносом в пространстве Фурье, в отличие от (прямого) каскада энергии в трехмерных турбулентных гидродинамических потоках. Возможность такого обратного переноса была впервые предложена Уриэлем Фришем и его коллегами ^[10] и была проверена с помощью множества численных экспериментов. ^{[19] [20] [21] [22] [23] [24]} Как следствие, наличие магнитной спиральности является возможностью объяснить существование и поддержание крупномасштабных магнитных структур во Вселенной.

Здесь повторяется аргумент в пользу этого обратного переноса, взятый из ^[10] , который основан на так называемом «условии реализуемости» на спектре Фурье магнитной спиральности (где — коэффициент Фурье при волновом векторе магнитного поля , и аналогично для , звездочка обозначает комплексно сопряженное ). «Условие реализуемости» соответствует применению неравенства Коши-Шварца , которое дает: с магнитным энергетическим спектром. Для получения этого неравенства был использован тот факт, что (с соленоидальной частью преобразованного Фурье магнитного векторного потенциала, ортогональной волновому вектору в пространстве Фурье), поскольку . Множитель 2 отсутствует в статье ^[10], поскольку магнитная спиральность там определяется альтернативно как . ${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}={\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$ $${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {k} }^{M}\right|\leq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|{\mathbf {k} }|}},}$$ ${\textstyle E_{\mathbf {k} }^{M}={\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }^{*}\cdot {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle |{\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }|=|{\mathbf {k} }||{\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }|}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }^{\perp }}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {B} }}_{\mathbf {k} }=i{\mathbf {k} }\times {\hat {\mathbf {A} }}_{\mathbf {k} }}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{V}{\mathbf {A} }\cdot {\mathbf {B} }\ dV}$

Тогда можно представить себе начальную ситуацию без поля скорости и с магнитным полем, присутствующим только на двух волновых векторах и . Мы предполагаем полностью спиральное магнитное поле, что означает, что оно насыщает условие реализуемости: и . Предполагая, что вся энергия и магнитная спиральность переносятся на другой волновой вектор , сохранение магнитной спиральности с одной стороны и полной энергии (суммы магнитной и кинетической энергии) с другой стороны дает: ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {p} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|{\mathbf {p} }|}}}$ ${\displaystyle \left|{\hat {H}}_{\mathbf {q} }^{M}\right|={\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|{\mathbf {q} }|}}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E^{T}=E^{M}+E^{K}}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M},}$$

$${\displaystyle E_{\mathbf {k} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{T}+E_{\mathbf {q} }^{T}=E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}.}$$

Второе равенство для энергии следует из того, что мы рассматриваем начальное состояние без кинетической энергии. Тогда мы обязательно имеем . Действительно, если бы мы имели , то: ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ ${\displaystyle |\mathbf {k} |>\max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$

$${\displaystyle H_{\mathbf {k} }^{M}=H_{\mathbf {p} }^{M}+H_{\mathbf {q} }^{M}={\frac {2E_{\mathbf {p} }^{M}}{|\mathbf {p} |}}+{\frac {2E_{\mathbf {q} }^{M}}{|\mathbf {q} |}}>{\frac {2\left(E_{\mathbf {p} }^{M}+E_{\mathbf {q} }^{M}\right)}{|\mathbf {k} |}}={\frac {2E_{\mathbf {k} }^{T}}{|\mathbf {k} |}}\geq {\frac {2E_{\mathbf {k} }^{M}}{|\mathbf {k} |}},}$$

что нарушило бы условие реализуемости. Это означает, что . В частности, для магнитная спиральность переносится на меньший волновой вектор, что означает на большие масштабы. ${\displaystyle |\mathbf {k} |\leq \max(|\mathbf {p} |,|\mathbf {q} |)}$ ${\displaystyle |{\mathbf {p} }|=|{\mathbf {q} }|}$

Смотрите также

• Теорема Вольтьера

Ссылки

1. Кантарелла, Джейсон; Детюрк, Деннис; Глюк, Герман; Тейтель, Михаил (2013-03-19). «Влияние геометрии и топологии на спиральность». Магнитная спиральность в космосе и лабораторной плазме. Вашингтон, округ Колумбия: Американский геофизический союз. стр. 17–24. doi :10.1029/gm111p0017. ISBN 978-1-118-66447-6. Получено 18.01.2021 .
2. Moffatt, HK (1969-01-16). "Степень заузленности запутанных вихревых линий". Journal of Fluid Mechanics . 35 (1): 117–129. Bibcode :1969JFM....35..117M. doi :10.1017/s0022112069000991. ISSN  0022-1120. S2CID  121478573.
3. Low, BC (1996). «Магнитогидродинамические процессы в солнечной короне: вспышки, выбросы корональной массы и магнитная спиральность». Solar and Astrophysical Magnetohydrodynamic Flows. Dordrecht: Springer Netherlands. стр. 133–149. doi :10.1007/978-94-009-0265-7_7. ISBN 978-94-010-6603-7. Получено 2020-10-08 .
4. Bieber, JW; Evenson, PA; Matthaeus, WH (апрель 1987 г.). «Магнитная спиральность поля Паркера». The Astrophysical Journal . 315 : 700. Bibcode : 1987ApJ...315..700B. doi : 10.1086/165171 . ISSN  0004-637X.
5. Blackman, EG (2015). «Магнитная спиральность и крупномасштабные магнитные поля: Учебник». Space Science Reviews . 188 (1–4): 59–91. arXiv : 1402.0933 . Bibcode : 2015SSRv..188...59B. doi : 10.1007/s11214-014-0038-6. S2CID  17015601.
6. Бранденбург, А. (2009). «Теория гидромагнитного динамо». Scholarpedia . 2 (3): 2309. Bibcode : 2007SchpJ...2.2309B. doi : 10.4249/scholarpedia.2309 . rev #73469.
7. Бранденбург, А.; Лазариан, А. (2013-08-31). «Астрофизическая гидромагнитная турбулентность». Space Science Reviews . 178 (2–4): 163–200. arXiv : 1307.5496 . Bibcode : 2013SSRv..178..163B. doi : 10.1007/s11214-013-0009-3. ISSN  0038-6308. S2CID  16261037.
8. Vishniac, Ethan T.; Cho, Jungyeon (апрель 2001 г.). «Сохранение магнитной спиральности и астрофизические динамо». The Astrophysical Journal . 550 (2): 752–760. arXiv : astro-ph/0010373 . Bibcode : 2001ApJ...550..752V. doi : 10.1086/319817 . ISSN  0004-637X.
9. Эсканде, DF; Мартин, П.; Ортолани, С.; Буффа, А.; Франц, П.; Маррелли, Л.; Мартинес, Э.; Спиццо, Г.; Каппелло, С.; Мурари, А.; Паскуалотто, Р. (21 августа 2000 г.). «Квазиодноспиральная плазма с пинчем обращенного поля». Письма о физических отзывах . 85 (8): 1662–1665. Бибкод : 2000PhRvL..85.1662E. doi : 10.1103/physrevlett.85.1662. ISSN  0031-9007. ПМИД  10970583.
10. Фриш, У.; Пуке, А.; Леорат, Ж.; Мазур, А. (1975-04-29). «Возможность обратного каскада магнитной спиральности в магнитогидродинамической турбулентности». Журнал механики жидкости . 68 (4): 769–778. Bibcode : 1975JFM....68..769F. doi : 10.1017/s002211207500122x. ISSN  0022-1120. S2CID  45460069.
11. Бергер, MA (1999). "Введение в магнитную спиральность". Физика плазмы и управляемый термоядерный синтез . 41 (12B): B167–B175. Bibcode :1999PPCF...41B.167B. doi :10.1088/0741-3335/41/12B/312. S2CID  250734282.
12. Кантарелла, Джейсон; Детюрк, Деннис; Глюк, Герман; Тейтель, Михаил (1999). «Влияние геометрии и топологии на спиральность[J]». Магнитная спиральность в космической и лабораторной плазме. Серия геофизических монографий. стр. 17–24. doi :10.1029/GM111p0017. ISBN 9781118664476.
13. Бранденбург, Аксель; Субраманиан, Кандасвами (2005). «Астрофизические магнитные поля и нелинейная теория динамо». Physics Reports . 417 (1–4): 1–209. arXiv : astro-ph/0405052 . Bibcode : 2005PhR...417....1B. doi : 10.1016/j.physrep.2005.06.005. ISSN  0370-1573. S2CID  119518712.
14. Huba, JD (2013). NRL Plasma Formulary (PDF) . Вашингтон, округ Колумбия: Beam Physics Branch Plasma Physics Division Naval Research Laboratory. Архивировано из оригинала (PDF) 2019-06-30.
15. Subramanian, K.; Brandenburg, A. (2006). «Плотность магнитной спиральности и ее поток в слабонеоднородной турбулентности». The Astrophysical Journal Letters . 648 (1): L71–L74. arXiv : astro-ph/0509392 . Bibcode : 2006ApJ...648L..71S. doi : 10.1086/507828. S2CID  323935.
16. Линкманн, Мориц; Саху, Ганапати; Маккей, Майри; Берера, Арджун; Биферале, Лука (2017-02-06). "Влияние магнитной и кинетической спиральности на рост магнитных полей в ламинарных и турбулентных потоках с помощью спирального разложения Фурье". The Astrophysical Journal . 836 (1): 26. arXiv : 1609.01781 . Bibcode :2017ApJ...836...26L. doi : 10.3847/1538-4357/836/1/26 . ISSN  1538-4357. S2CID  53126623.
17. Woltjer, L. (1958-06-01). "Теорема о свободных от сил магнитных полях". Труды Национальной академии наук . 44 (6): 489–491. Bibcode :1958PNAS...44..489W. doi : 10.1073/pnas.44.6.489 . ISSN  0027-8424. PMC 528606 . PMID  16590226. 
18. Эльзассер, Вальтер М. (1956-04-01). «Теория гидромагнитного динамо». Reviews of Modern Physics . 28 (2): 135–163. Bibcode : 1956RvMP...28..135E. doi : 10.1103/revmodphys.28.135. ISSN  0034-6861.
19. Pouquet, A.; Frisch, U.; Léorat, J. (1976-09-24). «Сильная МГД-спиральная турбулентность и нелинейный эффект динамо». Journal of Fluid Mechanics . 77 (2): 321–354. Bibcode : 1976JFM....77..321P. doi : 10.1017/s0022112076002140. ISSN  0022-1120. S2CID  3746018.
20. Meneguzzi, M.; Frisch, U.; Pouquet, A. (1981-10-12). «Спиральные и неспиральные турбулентные динамо». Physical Review Letters . 47 (15): 1060–1064. Bibcode : 1981PhRvL..47.1060M. doi : 10.1103/physrevlett.47.1060. ISSN  0031-9007.
21. Balsara, D.; Pouquet, A. (январь 1999). «Формирование крупномасштабных структур в сверхзвуковых магнитогидродинамических потоках». Physics of Plasmas . 6 (1): 89–99. Bibcode :1999PhPl....6...89B. doi :10.1063/1.873263. ISSN  1070-664X.
22. Кристенссон, Маттиас; Хиндмарш, Марк; Бранденбург, Аксель (2001-10-22). "Обратный каскад в затухающей трехмерной магнитогидродинамической турбулентности". Physical Review E. 64 ( 5): 056405. arXiv : astro-ph/0011321 . Bibcode : 2001PhRvE..64e6405C. doi : 10.1103/physreve.64.056405. ISSN  1063-651X. PMID  11736099. S2CID  8309837.
23. Бранденбург, Аксель (апрель 2001 г.). «Обратный каскад и нелинейный альфа-эффект в моделировании изотропной спиральной гидромагнитной турбулентности». The Astrophysical Journal . 550 (2): 824–840. arXiv : astro-ph/0006186 . Bibcode : 2001ApJ...550..824B. doi : 10.1086/319783 . ISSN  0004-637X.
24. Алексакис, Александрос; Минини, Пабло Д.; Пуке, Анник (2006-03-20). «Об обратном каскаде магнитной спиральности». The Astrophysical Journal . 640 (1): 335–343. arXiv : physics/0509069 . Bibcode : 2006ApJ...640..335A. doi : 10.1086/500082 . ISSN  0004-637X.

Внешние ссылки

• Страница А.А. Певцова о спиральности
• Страница публикаций Митча Бергера