Твист (дифференциальная геометрия)

Термин дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии скручивание ленты — это скорость ее осевого вращения . Пусть лента состоит из пространственной кривой , , где — длина дуги , и единичного вектора нормали , перпендикулярного в каждой точке . Поскольку лента имеет края и , скручивание (или общее число скручивания ) измеряет среднюю намотку краевой кривой вокруг и вдоль осевой кривой . Согласно Лаву (1944) скручивание определяется как ${\displaystyle (X,U)}$ ${\displaystyle X=X(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U=U(s)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'=X+\varepsilon U}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \left(U\times {\dfrac {dU}{ds}}\right)\cdot {\dfrac {dX}{ds}}ds\;,}$

где — единичный касательный вектор к . Общее число кручения можно разложить (Moffatt & Ricca 1992) на нормализованное полное кручение и внутреннее кручение как ${\displaystyle dX/ds}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle T\in [0,1)}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle Tw={\dfrac {1}{2\pi }}\int \tau \;ds+{\dfrac {\left[\Theta \right]_{X}}{2\pi }}=T+N\;,}$

где — кручение пространственной кривой , а — полный угол поворота вдоль . Ни то, ни другое не являются независимыми от ленточного поля . Вместо этого только нормализованное кручение является инвариантом кривой (Банчофф и Уайт, 1975). ${\displaystyle \tau =\tau (s)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left[\Theta \right]_{X}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Tw}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

Когда лента деформируется так, чтобы пройти через состояние перегиба (т.е. имеет точку перегиба ), кручение становится сингулярным. Общее кручение прыгает на и полный угол одновременно совершает равный и противоположный скачок (Moffatt & Ricca 1992) и остается непрерывным. Такое поведение имеет много важных последствий для энергетических соображений во многих областях науки (Ricca 1997, 2005; Goriely 2006). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mp 1}$ ${\displaystyle Tw}$

Вместе с завихрением закручивание является геометрической величиной, которая играет важную роль в применении формулы Кэлугэряну–Уайта–Фуллера в топологической гидродинамике (из-за ее тесной связи с кинетической и магнитной спиральностью векторного поля), физической теории узлов и анализе структурной сложности . ${\displaystyle Wr}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Lk=Wr+Tw}$

Ссылки

• Банчофф, Т. Ф. и Уайт, Дж. Х. (1975) Поведение полного закручивания и числа самозацепления замкнутой пространственной кривой при инверсиях. Math. Scand. 36 , 254–262.
• Горели, А. (2006) Скрученные упругие кольца и повторное открытие неустойчивости Мичелла. J Elasticity 84 , 281-299.
• Лав, AEH (1944) Трактат о математической теории упругости. Довер, 4-е изд., Нью-Йорк.
• Моффатт, ХК и Рикка, РЛ (1992) Спиральность и инвариант Калугареану. Proc. R. Soc. London A 439 , 411-429. Также в: (1995) Узлы и приложения (ред. Л. Х. Кауфман), стр. 251-269. World Scientific.
• Рикка, Р. Л. (1997) Эволюция и неустойчивость изгиба скрученных магнитных потоковых трубок. Физика Солнца 172 , 241-248.
• Рикка, Р. Л. (2005) Инфляционная неравновесность трубок магнитного потока. Исследования динамики жидкости 36 , 319-332.