Гиперповерхность

Многообразие или алгебраическое многообразие размерности n в пространстве размерности n+1.

В геометрии гиперповерхность является обобщением понятий гиперплоскости , плоской кривой и поверхности . Гиперповерхность — это многообразие или алгебраическое многообразие размерности n -1 , вложенное в объемлющее пространство размерности n , обычно евклидово , аффинное или проективное пространство . ^[1] Гиперповерхности, как и поверхности в трехмерном пространстве , имеют общее свойство определяться одним неявным уравнением , по крайней мере, локально (около каждой точки), а иногда и глобально.

Гиперповерхность в (евклидовом, аффинном или проективном) пространстве размерности два представляет собой плоскую кривую. В пространстве третьего измерения это поверхность.

Например, уравнение

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-1=0}$

определяет алгебраическую гиперповерхность размерности n - 1 в евклидовом пространстве размерности n . Эта гиперповерхность также является гладким многообразием и называется гиперсферой или ( n – 1) -сферой .

Гладкая гиперповерхность

Гиперповерхность, являющаяся гладким многообразием , называется гладкой гиперповерхностью .

В Rn гладкая гиперповерхность ориентируема ^{. [2]} Каждая связная компактная гладкая гиперповерхность является множеством уровня и разделяет R ⁿ на две компоненты связности; это связано с теоремой о разделении Джордана – Брауэра . ^[3]

Аффинная алгебраическая гиперповерхность

Алгебраическая гиперповерхность — это алгебраическое многообразие , которое может быть определено одним неявным уравнением вида

${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

где p — многомерный полином . Обычно полином считается неприводимым . В противном случае гиперповерхность является не алгебраическим многообразием, а всего лишь алгебраическим множеством . От авторов или контекста может зависеть, определяет ли приводимый полином гиперповерхность. Чтобы избежать двусмысленности, часто используется термин неприводимая гиперповерхность .

Что касается алгебраических многообразий, коэффициенты определяющего многочлена могут принадлежать любому фиксированному полю k , а точки гиперповерхности являются нулями p в аффинном пространстве , где K — алгебраически замкнутое расширение k . ${\displaystyle K^{n},}$

Гиперповерхность может иметь особенности , которые являются общими нулями, если таковые имеются, определяющего многочлена и его частных производных. В частности, действительная алгебраическая гиперповерхность не обязательно является многообразием.

Характеристики

Гиперповерхности обладают некоторыми специфическими свойствами, которых нет у других алгебраических многообразий.

Одним из основных таких свойств является Nullstellensatz Гильберта , который утверждает, что гиперповерхность содержит заданный алгебраический набор тогда и только тогда, когда определяющий полином гиперповерхности имеет степень, принадлежащую идеалу, порожденному определяющими полиномами алгебраического набора.

Следствием этой теоремы является то, что если два неприводимых многочлена (или, в более общем смысле, два бесквадратных многочлена ) определяют одну и ту же гиперповерхность, то один из них является произведением другого на ненулевую константу.

Гиперповерхности — это в точности подмногообразия размерности n – 1 аффинного пространства размерности n . Это геометрическая интерпретация того факта, что в кольце полиномов над полем высота идеала равна 1 тогда и только тогда, когда идеал является главным идеалом . В случае возможно приводимых гиперповерхностей этот результат можно переформулировать следующим образом: гиперповерхности — это в точности алгебраические множества, все неприводимые компоненты которых имеют размерность n – 1 .

Реальные и рациональные моменты

Реальная гиперповерхность — это гиперповерхность, определяемая многочленом с вещественными коэффициентами. В этом случае алгебраически замкнутое поле, над которым определяются точки, вообще говоря, является полем комплексных чисел . Реальные точки реальной гиперповерхности — это точки, принадлежащие множеству вещественных точек реальной гиперповерхности. Это действительная часть гиперповерхности. Часто от контекста зависит, относится ли термин «гиперповерхность» ко всем точкам или только к реальной части. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {C} ^{n}.}$

Если коэффициенты определяющего многочлена принадлежат полю k , которое не является алгебраически замкнутым (обычно поле рациональных чисел , конечное поле или числовое поле ), говорят, что гиперповерхность определена над k , а точки, принадлежащие рациональны над k (в случае поля рациональных чисел слово «над k » обычно опускается). ${\displaystyle k^{n}}$

Например, воображаемая n -сфера , определенная уравнением

${\displaystyle x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+1=0}$

является вещественной гиперповерхностью без какой-либо вещественной точки, определенной над рациональными числами. У него нет рациональной точки, но есть много точек, которые рациональны по сравнению с гауссовскими рациональными числами .

Проективная алгебраическая гиперповерхность

Проективная (алгебраическая) гиперповерхность размерности n – 1 в проективном пространстве размерности n над полем k определяется однородным полиномом от n + 1 неопределенного. Как обычно, однородный полином означает, что все мономы P имеют одинаковую степень или, что то же самое, для каждой константы c , где d - степень многочлена . Точки гиперповерхности — это точки проективного пространства, чьи проективные координаты являются нулями P . ${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle P(cx_{0},cx_{1},\ldots ,cx_{n})=c^{d}P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Если кто-то выбирает гиперплоскость уравнения в качестве гиперплоскости на бесконечности , дополнение этой гиперплоскости является аффинным пространством , а точки проективной гиперповерхности, принадлежащие этому аффинному пространству, образуют аффинную гиперповерхность уравнения. И наоборот, для данной аффинной гиперповерхности уравнения она определяет проективную гиперповерхность, называемую ее проективным завершением , уравнение которой получается путем гомогенизации p . То есть уравнение проективного пополнения имеет вид ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle P(1,x_{1},\ldots ,x_{n})=0.}$ ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$ ${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=0,}$

${\displaystyle P(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{d}p(x_{1}/x_{0},\ldots ,x_{n}/x_{0}),}$

где d — степень P.

Эти два процесса проективного пополнения и ограничения на аффинное подпространство обратны друг другу. Следовательно, аффинная гиперповерхность и ее проективное пополнение обладают по существу одинаковыми свойствами и часто рассматриваются как две точки зрения одной и той же гиперповерхности.

Однако может случиться так, что аффинная гиперповерхность окажется неособой , а ее проективное пополнение имеет особые точки. В этом случае говорят, что аффинная поверхность сингулярна на бесконечности . Например, круговой цилиндр уравнения

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$

в аффинном пространстве размерности три имеет единственную особую точку, находящуюся на бесконечности, в направлении x = 0, y = 0 .

Смотрите также

• Аффинная сфера
• Гиперповерхность Кобла
• Семья Дворков
• Нулевая гиперповерхность
• Полярная гиперповерхность

Рекомендации

1. Ли, Джеффри (2009). «Кривые и гиперповерхности в евклидовом пространстве». Многообразия и дифференциальная геометрия . Провиденс: Американское математическое общество. стр. 143–188. ISBN 978-0-8218-4815-9.
2. Ханс Самельсон (1969) «Ориентируемость гиперповерхностей в Rn», Труды Американского математического общества 22 (1): 301,2
3. Лима, Илон Л. (1988). «Теорема Жордана-Брауэра о разделении гладких гиперповерхностей». Американский математический ежемесячник . 95 (1): 39–42. дои : 10.1080/00029890.1988.11971963.

• «Гиперповерхность», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Сошичи Кобаяши и Кацуми Номидзу (1969), Основы дифференциальной геометрии, том II, Wiley Interscience
• П.А. Симионеску и Д. Бил (2004) Визуализация гиперповерхностей и (целевых) функций многих переменных посредством частичной глобализации, The Visual Computer 20(10):665–81.