Икосаэдрическая симметрия

Группа симметрии 3D

Фундаментальные домены икосаэдрической симметрии

Футбольный мяч , типичный пример сферического усеченного икосаэдра , имеет полную икосаэдрическую симметрию.

Вращения и отражения образуют группу симметрии большого икосаэдра .

В математике, и особенно в геометрии, объект имеет икосаэдрическую симметрию , если он имеет те же симметрии , что и правильный икосаэдр . Примерами других многогранников с икосаэдрической симметрией являются правильный додекаэдр ( двойственный икосаэдру) и ромбический триаконтаэдр .

Каждый многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, изменяющих ориентацию (которые объединяют вращение и отражение ), для общего порядка симметрии 120. Полная группа симметрии — это группа Коксетера типа H ₃ . Она может быть представлена ​​нотацией Коксетера [5,3] и диаграммой Коксетера . Набор вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную знакопеременной группе A ₅ на 5 буквах.

Описание

Икосаэдрическая симметрия — математическое свойство объектов, указывающее на то, что объект имеет те же симметрии , что и правильный икосаэдр .

Как точечная группа

Помимо двух бесконечных серий призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдрическая симметрия или хиральная икосаэдрическая симметрия хиральных объектов и полная икосаэдрическая симметрия или ахиральная икосаэдрическая симметрия являются дискретными точечными симметриями (или, что эквивалентно, симметриями на сфере ) с крупнейшими группами симметрии .

Икосаэдрическая симметрия несовместима с трансляционной симметрией , поэтому не существует связанных с ней кристаллографических точечных групп или пространственных групп .

Презентации, соответствующие вышеизложенному:

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

Они соответствуют группам икосаэдра (вращательным и полным), представляющим собой группы треугольников (2,3,5) .

Первое представление было сделано Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его статье об исчислении икосиан . ^[1]

Обратите внимание, что возможны и другие представления, например, в виде чередующейся группы (для I ).

Визуализации

Полная группа симметрии — это группа Коксетера типа H ₃ . Она может быть представлена ​​нотацией Коксетера [5,3] и диаграммой Коксетера . Набор вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную знакопеременной группе A ₅ на 5 буквах.

Структура группы

Каждый многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, изменяющих ориентацию (которые сочетают вращение и отражение ), что дает общий порядок симметрии 120.

TheГруппа вращения икосаэдра I имеет порядок 60. ГруппаIизоморфнаA₅,знакопеременнойгруппечетных перестановок пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализованIна различные соединения, в частности,соединение пяти кубов(которые вписываются вдодекаэдр),соединение пяти октаэдровили любое из двухсоединений пяти тетраэдров(которые являютсяэнантиоморфамии вписываются в додекаэдр). Группа содержит 5 версийT_hс 20 версиямиD ₃ (10 осей, 2 на ось) и 6 версийD ₅ .

TheПолная икосаэдрическая группа I _h имеет порядок 120. Она имеетIкакнормальную подгруппуиндекса2. ГруппаI _h изоморфнаI×Z₂, или_A5_×Z2_,синверсией в центре,соответствующей элементу (тождественность, -1), гдеZ2записывается мультипликативно.

I _h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождество (поскольку кубы и октаэдры центрально симметричны). Он действует на соединение десяти тетраэдров : I действует на две хиральные половины ( соединения пяти тетраэдров ), а −1 меняет местами две половины. Примечательно, что он не действует как S ₅ , и эти группы не изоморфны; подробности см. ниже.

Группа содержит 10 версий D _3d и 6 версий D _5d (симметрии типа антипризм).

I также изоморфен PSL ₂ (5), но I _h не изоморфен SL ₂ (5).

Изоморфизмяс А5

Полезно явно описать, как выглядит изоморфизм между I и A ₅ . В следующей таблице перестановки P _i и Q _i действуют на 5 и 12 элементов соответственно, в то время как матрицы вращения M _i являются элементами I . Если P _k является произведением взятия перестановки P _i и применения к ней P _j , то для тех же значений i , j и k также верно, что Q _k является произведением взятия Q _i и применения Q _j , а также что предварительное умножение вектора на M _k то же самое, что предварительное умножение этого вектора на M _i и последующее предварительное умножение этого результата на M _j , то есть M _k = M _j × M _i . Поскольку перестановки P _i являются всеми 60 четными перестановками 12345, взаимно-однозначное соответствие делается явным, следовательно, и изоморфизм тоже.

Группы, которые часто путают

Все следующие группы имеют порядок 120, но не являются изоморфными:

• S ₅ , симметричная группа из 5 элементов
• I _h , полная икосаэдрическая группа (предмет этой статьи, также известная как H ₃ )
• 2 I , бинарная икосаэдрическая группа

Они соответствуют следующим коротким точным последовательностям (последняя из которых не распадается) и произведению

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

На словах,

• ${\displaystyle A_{5}}$является нормальной подгруппой ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$является фактором , который является прямым произведением ${\displaystyle I_{h}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$является фактор- группой ${\displaystyle 2I}$

Обратите внимание, что имеет исключительное неприводимое 3-мерное представление (как группа вращения икосаэдра), но не имеет неприводимого 3-мерного представления, соответствующего полной группе икосаэдра, не являющейся симметрической группой. ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{5}}$

Их также можно связать с линейными группами над конечным полем с пятью элементами, которые непосредственно демонстрируют подгруппы и покрывающие группы; ни одна из них не является полной икосаэдрической группой:

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$проективная специальная линейная группа , см. доказательство здесь ;
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$проективная общая линейная группа ;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$специальная линейная группа .

Классы сопряженности

120 симметрий делятся на 10 классов сопряженности.

Подгруппы полной группы симметрии икосаэдра

Отношения подгрупп

Хиральные подгрупповые отношения

Каждая строка в следующей таблице представляет один класс сопряженных (т.е. геометрически эквивалентных) подгрупп. Столбец "Mult." (кратность) дает количество различных подгрупп в классе сопряженности.

Пояснение цветов: зеленый = группы, которые генерируются отражениями, красный = хиральные (сохраняющие ориентацию) группы, которые содержат только вращения.

Группы геометрически описываются в терминах додекаэдра.

Аббревиатура «hts(edge)» означает «половина оборота, меняющая данное ребро с его противоположным ребром», аналогично для «face» и «vertex».

Стабилизаторы вершины

Стабилизаторы противоположной пары вершин можно интерпретировать как стабилизаторы оси, которую они порождают.

• Стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C ₃
• Стабилизаторы вершин в I _h дают диэдральные группы D ₃
• стабилизаторы противоположной пары вершин в I дают диэдральные группы D ₃
• стабилизаторы противоположной пары вершин в I _h дают ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

Стабилизаторы кромок

Стабилизаторы противоположной пары ребер можно интерпретировать как стабилизаторы прямоугольника, который они порождают.

• стабилизаторы ребер в I дают циклические группы Z ₂
• стабилизаторы рёбер в I _h дают четырёхгруппы Клейна ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• Стабилизаторы пары ребер в I дают четырехгруппы Клейна ; их 5, они задаются поворотом на 180° вокруг трех перпендикулярных осей. ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• стабилизаторы пары рёбер в I _h дают ; их 5, они задаются отражениями относительно 3 перпендикулярных осей. ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$

Стабилизаторы лица

Стабилизаторы противоположной пары граней можно интерпретировать как стабилизаторы антипризмы, которую они порождают.

• стабилизаторы лица в I дают циклические группы C ₅
• стабилизаторы лица в I _h дают диэдральные группы D ₅
• стабилизаторы противоположной пары граней в I дают диэдральные группы D ₅
• стабилизаторы противоположной пары граней в I _h дают ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них существует 5 сопряженных копий, и действие сопряжения дает отображение, фактически изоморфизм . ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$

• Стабилизаторы вписанных тетраэдров в I являются копией T
• Стабилизаторы вписанных тетраэдров в I _h являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположной пары тетраэдров, или октаэдров) в I являются копией T
• стабилизаторы вписанных кубов (или противоположной пары тетраэдров, или октаэдров) в I _h являются копией T _h

Генераторы групп Коксетера

Полная группа симметрии икосаэдра [5,3] () порядка 120 имеет генераторы, представленные матрицами отражения R ₀ , R ₁ , R ₂ ниже, с соотношениями R ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² = Тождество. Группа [5,3] ⁺ () порядка 60 генерируется любыми двумя вращениями S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . Роторное отражение порядка 10 генерируется V _0,1,2 , произведением всех 3 отражений. Здесь обозначает золотое сечение . ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

Фундаментальный домен

Фундаментальные области для группы вращения икосаэдра и полной группы икосаэдра определяются следующим образом:

В триаконтаэдре дисдьякиса одна полная грань является фундаментальной областью; другие тела с той же симметрией могут быть получены путем корректировки ориентации граней, например, путем выравнивания выбранных подмножеств граней для объединения каждого подмножества в одну грань или замены каждой грани несколькими гранями или искривленной поверхностью.

Многогранники с икосаэдрической симметрией

Примерами других многогранников с икосаэдрической симметрией являются правильный додекаэдр ( двойственный икосаэдру) и ромбический триаконтаэдр .

Хиральные многогранники

Полная икосаэдрическая симметрия

Другие объекты с икосаэдрической симметрией

Примеры икосаэдрической симметрии

• Поверхности Барта
• Структура вируса и капсид
• В химии ион додекабората ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻ ) и молекула додекаэдрана (C ₂₀ H ₂₀ )

Жидкие кристаллы с икосаэдрической симметрией

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами, существование икосаэдрической симметрии было предложено Х. Кляйнертом и К. Маки ^[2] , и ее структура была впервые подробно проанализирована в этой статье. См. обзорную статью здесь. В алюминии икосаэдрическая структура была экспериментально обнаружена через три года после этого Дэном Шехтманом , что принесло ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Икосаэдрическая симметрия эквивалентна проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и является группой симметрии модулярной кривой X(5), а в более общем смысле PSL(2, p ) является группой симметрии модулярной кривой X( p ). Модульная кривая X(5) геометрически является додекаэдром с острием в центре каждой многоугольной грани, что демонстрирует группу симметрии.

Эта геометрия и связанная с ней группа симметрии изучались Феликсом Клейном как группы монодромии поверхности Белого — римановой поверхности с голоморфным отображением на сферу Римана, разветвленной только в 0, 1 и бесконечности ( функция Белого ) — точки возврата — это точки, лежащие над бесконечностью, в то время как вершины и центры каждого ребра лежат над 0 и 1; степень покрытия (число листов) равна 5.

Это возникло из его попыток дать геометрическое обоснование того, почему икосаэдрическая симметрия возникла при решении уравнения пятой степени , с теорией, изложенной в знаменитой работе (Клейн, 1888); современное изложение дано в (Тот, 2002, раздел 1.6, дополнительная тема: теория икосаэдра Клейна, стр. 66).

Исследования Клейна продолжились открытием им симметрий порядка 7 и порядка 11 в работах (Klein 1878) и (Klein 1879) (и связанных с ними покрытий степени 7 и 11) и детских рисунках , первое из которых дало квартику Клейна , связанная с ней геометрия которой имеет мозаику из 24 семиугольников (с острием в центре каждого).

Аналогичные геометрии встречаются для PSL(2, n ) и более общих групп для других модульных кривых.

Более экзотично, существуют особые связи между группами PSL(2,5) (порядок 60), PSL(2,7) (порядок 168) и PSL(2,11) (порядок 660), которые также допускают геометрические интерпретации – PSL(2,5) – это симметрии икосаэдра (род 0), PSL(2,7) квартики Клейна (род 3), а PSL(2,11) – поверхности бакибола (род 70). Эти группы образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , которая дает структуру для различных отношений; см. подробности в разделе «троицы» .

Существует тесная связь с другими Платоновыми телами .

Смотрите также

• Тетраэдрическая симметрия
• Октаэдрическая симметрия
• Двоичная икосаэдрическая группа
• Икосианское исчисление

Ссылки

1. Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856), «Меморандум относительно новой системы корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446
2. Кляйнерт, Х. и Маки, К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219–259. дои : 10.1002/prop.19810290503.

• Кляйн, Ф. (1878). «Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen» [О преобразовании эллиптических функций седьмого порядка]. Математические Аннален . 14 (3): 428–471. дои : 10.1007/BF01677143. S2CID  121407539.Перевод в Levy, Silvio, ed. (1999). Восьмеричный путь. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66066-2. МР  1722410.
• Кляйн, Ф. (1879), «Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (О преобразовании эллиптических функций одиннадцатого порядка)», Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007/BF02086276, S2CID  120316938, собрано на стр. 140–165 в Oeuvres, Tome 3
• Клейн, Феликс (1888), Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0перевод Джордж Гэвин Моррис{{citation}}: CS1 maint: postscript (link)
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули
• Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), стр. 296
• Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бергиел, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5 
• Калейдоскопы: избранные труды Х. С. М. Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера МакМаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Айвик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
• NW Johnson : Геометрии и преобразования , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера 

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа". MathWorld .
• ПОДГРУППЫ W(H3) Архивировано 30.08.2021 на Wayback Machine (Подгруппы других групп Коксетера Архивировано 02.08.2020 на Wayback Machine ) Гетц Пфайффер