В математике , особенно в теории категорий , морфизм — это сохраняющее структуру отображение одной математической структуры в другую того же типа. Понятие морфизма встречается во многих областях современной математики. В теории множеств морфизмы являются функциями ; в линейной алгебре — линейные преобразования ; в теории групп — групповые гомоморфизмы ; в анализе и топологии , непрерывных функциях и так далее.
В теории категорий морфизм — это во многом схожая идея: задействованные математические объекты не обязательно должны быть множествами, а отношения между ними могут быть чем-то иным, чем карты, хотя морфизмы между объектами данной категории должны вести себя аналогично картам в этом смысле. они должны допускать ассоциативную операцию, аналогичную композиции функций . Морфизм в теории категорий — это абстракция гомоморфизма . [1]
Изучение морфизмов и структур (называемых «объектами»), над которыми они определены, занимает центральное место в теории категорий. Большая часть терминологии морфизмов, а также интуиции, лежащей в их основе, исходит из конкретных категорий , где объекты — это просто множества с некоторой дополнительной структурой , а морфизмы — это функции, сохраняющие структуру . В теории категорий морфизмы иногда еще называют стрелками .
Категория C состоит из двух классов : объектов и морфизмов . С каждым морфизмом связаны два объекта: источник и цель . Морфизм f из X в Y — это морфизм с источником X и целью Y ; обычно его записывают как f : X → Y или X. Последняя форма лучше подходит для коммутативных диаграмм .
Для многих распространенных категорий объекты представляют собой множества (часто с некоторой дополнительной структурой), а морфизмы — это функции от объекта к другому объекту. Поэтому источник и цель морфизма часто называютдомен икодомен соответственно.
Морфизмы снабжены частичной бинарной операцией , называемой композицией . Композиция двух морфизмов f и g определяется точно, когда цель f является источником g , и обозначается g ∘ f (или иногда просто gf ). Источник g ∘ f является источником f , а цель g ∘ f является целью g . Композиция удовлетворяет двум аксиомам :
Для конкретной категории (категории, в которой объекты представляют собой множества, возможно, с дополнительной структурой, а морфизмы — это функции, сохраняющие структуру) тождественный морфизм — это просто тождественная функция , а композиция — это просто обычная композиция функций .
Композицию морфизмов часто изображают коммутативной диаграммой . Например,
Совокупность всех морфизмов от X до Y обозначается Hom C ( X , Y ) или просто Hom( X , Y ) и называется hom- множеством между X и Y. Некоторые авторы пишут Mor C ( X , Y ) , Mor( X , Y ) или C( X , Y ) . Термин «гом-множество» в некоторой степени используется неправильно, поскольку совокупность морфизмов не обязательно должна быть множеством; Категория, в которой Hom( X , Y ) — множество всех объектов X и Y , называется локально малой . Поскольку hom-множества могут не быть множествами, некоторые люди предпочитают использовать термин «hom-class».
Домен и кодомен фактически являются частью информации, определяющей морфизм. Например, в категории множеств , где морфизмы являются функциями, две функции могут быть идентичными как множества упорядоченных пар (могут иметь одинаковый диапазон ), имея при этом разные кодомены. Эти две функции различны с точки зрения теории категорий. Таким образом, многие авторы требуют, чтобы hom-классы Hom( X , Y ) были непересекающимися . На практике это не проблема, поскольку, если эта дизъюнктность не имеет места, ее можно обеспечить, добавив к морфизмам область определения и кодомен (скажем, в качестве второго и третьего компонентов упорядоченной тройки).
Морфизм f : X → Y называется мономорфизмом , если из f ∘ g 1 = f ∘ g 2 влечет g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : Z → X . Для краткости мономорфизм можно назвать моно , и мы можем использовать моник в качестве прилагательного. [2] Морфизм f имеет левый обратный или является расщепляемым мономорфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что g ∘ f = id X . Таким образом , f∘g : Y → Y идемпотентно ; то есть ( ж ∘ г ) 2 знак равно ж ∘ ( г ∘ ж ) ∘ г знак равно ж ∘ г . Левый обратный g также называется ретракцией f . [2]
Морфизмы с левыми обратными всегда являются мономорфизмами, но обратное, вообще говоря, неверно; мономорфизм может не иметь левого обратного. В конкретных категориях функция, имеющая левую обратную, является инъективной . Таким образом, в конкретных категориях мономорфизмы часто, но не всегда, инъективны. Условие инъекций является более сильным, чем условие мономорфизма, но слабее, чем условие расщепляемости мономорфизма.
Двойственно мономорфизмам морфизм f : X → Y называется эпиморфизмом , если из g 1 ∘ f = g 2 ∘ f следует g 1 = g 2 для всех морфизмов g 1 , g 2 : Y → Z . Эпиморфизм можно для краткости назвать эпи , и мы можем использовать эпический как прилагательное. [2] Морфизм f имеет правый обратный или является расщепляемым эпиморфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что f ∘ g = id Y . Правый обратный g также называется частью f . [2] Морфизмы, имеющие правый обратный, всегда являются эпиморфизмами, но обратное в общем случае неверно, поскольку эпиморфизм может не иметь правого обратного.
Если мономорфизм f разделяется с левым обратным g , то g является расщепляемым эпиморфизмом с правым обратным f . В конкретных категориях функция, имеющая правую обратную, является сюръективной . Таким образом, в конкретных категориях эпиморфизмы часто, но не всегда, сюръективны. Условие сюръекции сильнее, чем условие эпиморфизма, но слабее, чем условие расщепления эпиморфизма. В категории множеств утверждение о том, что каждая сюръекция имеет сечение, эквивалентно аксиоме выбора .
Морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, называется биморфизмом .
Морфизм f : X → Y называется изоморфизмом , если существует морфизм g : Y → X такой, что f ∘ g = id Y и g ∘ f = id X . Если морфизм имеет как лево-обратный, так и право-обратный, то два обратных равны, поэтому f является изоморфизмом, а g называется просто обратным к f . Обратные морфизмы, если они существуют, единственны. Обратный g также является изоморфизмом с обратным f . Два объекта, между которыми существует изоморфизм, называются изоморфными или эквивалентными.
Хотя каждый изоморфизм является биморфизмом, биморфизм не обязательно является изоморфизмом. Например, в категории коммутативных колец включение Z → Q является биморфизмом, не являющимся изоморфизмом. Однако любой морфизм, который является одновременно эпиморфизмом и расщепляемым мономорфизмом или одновременно мономорфизмом и расщепляемым эпиморфизмом, должен быть изоморфизмом. Категория, такая как Set , в которой каждый биморфизм является изоморфизмом, называется сбалансированной категорией .
Морфизм f : X → X (то есть морфизм с идентичным источником и целью) является эндоморфизмом X . Расщепляемый эндоморфизм является идемпотентным эндоморфизмом f, если f допускает разложение f = h ∘ g с g ∘ h = id . В частности, оболочка Каруби категории расщепляет любой идемпотентный морфизм.
Автоморфизм — это морфизм , который является одновременно эндоморфизмом и изоморфизмом. В каждой категории автоморфизмы объекта всегда образуют группу , называемую группой автоморфизмов объекта.
Дополнительные примеры см. в разделе Теория категорий .