Инъекционный модуль

Математический объект в абстрактной алгебре

В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теория модулей , инъективный модуль — это модуль Q , который разделяет определенные желательные свойства с Z -модулем Q всех рациональных чисел . В частности, если Q является подмодулем некоторого другого модуля, то он уже является прямым слагаемым этого модуля; также, если задан подмодуль модуля Y , любой гомоморфизм модулей из этого подмодуля в Q может быть расширен до гомоморфизма из всех Y в Q. Это понятие двойственно понятию проективных модулей . Инъективные модули были введены в (Baer 1940) и подробно обсуждаются в учебнике (Lam 1999, §3).

Инъективные модули были тщательно изучены, и в их терминах определены различные дополнительные понятия: Инъективные когенераторы являются инъективными модулями, которые точно представляют всю категорию модулей. Инъективные резолюции измеряют, насколько далек от инъективности модуль с точки зрения инъективной размерности, и представляют модули в производной категории . Инъективные оболочки являются максимальными существенными расширениями и оказываются минимальными инъективными расширениями. Над нётеровым кольцом каждый инъективный модуль однозначно является прямой суммой неразложимых модулей, и их структура хорошо понятна. Инъективный модуль над одним кольцом может не быть инъективным над другим, но существуют хорошо понятные методы изменения колец, которые обрабатывают особые случаи. Кольца, которые сами являются инъективными модулями, обладают рядом интересных свойств и включают кольца, такие как групповые кольца конечных групп над полями . Инъективные модули включают делимые группы и обобщаются понятием инъективных объектов в теории категорий .

Определение

Левый модуль Q над кольцом R называется инъективным, если он удовлетворяет одному (и, следовательно, всем) из следующих эквивалентных условий:

• Если Q является подмодулем некоторого другого левого R -модуля M , то существует другой подмодуль K модуля M такой, что M является внутренней прямой суммой Q и K , т.е. Q + K = M и Q ∩ K = {0}.
• Любая короткая точная последовательность 0 → Q → M → K → 0 левых R -модулей расщепляется .
• Если X и Y — левые R -модули, f  : X → Y — инъективный гомоморфизм модулей, а g  : X → Q — произвольный гомоморфизм модулей, то существует гомоморфизм модулей h  : Y → Q такой, что hf = g , т.е. такой, что следующая диаграмма коммутирует :

• Контравариантный Hom-функтор Hom (-, Q ) из категории левых R -модулей в категорию абелевых групп является точным .

Инъективные правые R -модули определяются в полной аналогии.

Примеры

Первые примеры

Тривиально, нулевой модуль {0} инъективен.

При заданном поле k каждое k - векторное пространство Q является инъективным k -модулем. Причина: если Q является подпространством V , мы можем найти базис Q и расширить его до базиса V . Новые расширяющиеся базисные векторы охватывают подпространство K V , а V является внутренней прямой суммой Q и K . Обратите внимание, что прямое дополнение K Q не определяется однозначно Q , и аналогично расширяющееся отображение h в приведенном выше определении обычно не является уникальным.

Рациональные числа Q (со сложением) образуют инъективную абелеву группу (т.е. инъективный Z -модуль). Фактор-группа Q / Z и группа окружности также являются инъективными Z -модулями. Фактор-группа Z / n Z для n > 1 инъективна как Z / n Z -модуль, но не инъективна как абелева группа.

Примеры коммутативности

В более общем случае для любой области целостности R с полем дробей K R -модуль K является инъективным R -модулем и , в действительности, наименьшим инъективным R -модулем, содержащим R . Для любой области Дедекинда фактор -модуль K / R также инъективен, а его неразложимые слагаемые являются локализациями для ненулевых простых идеалов . Нулевой идеал также является простым и соответствует инъективному K . Таким образом, существует соответствие 1-1 между простыми идеалами и неразложимыми инъективными модулями. ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Особенно богатая теория доступна для коммутативных нётеровых колец благодаря Эбену Матлису (Lam 1999, §3I). Каждый инъективный модуль однозначно является прямой суммой неразложимых инъективных модулей, а неразложимые инъективные модули однозначно идентифицируются как инъективные оболочки фактор-модулей R / P , где P варьируется по простому спектру кольца. Инъективная оболочка R / P как R -модуля канонически является R _P -модулем и является R _P -инъективной оболочкой R / P . Другими словами, достаточно рассмотреть локальные кольца . Кольцо эндоморфизмов инъективной оболочки R / P является пополнением R в P . ^[1] ${\displaystyle {\hat {R}}_{P}}$

Два примера — инъективная оболочка Z -модуля Z / p Z ( группа Прюфера ) и инъективная оболочка k [ x ]-модуля k (кольцо обратных многочленов). Последний легко описывается как k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]. Этот модуль имеет базис, состоящий из «обратных мономов», то есть x ^{− n} для n = 0, 1, 2, …. Умножение на скаляры происходит так, как и ожидалось, а умножение на x ведет себя нормально, за исключением того, что x ·1 = 0. Кольцо эндоморфизмов — это просто кольцо формальных степенных рядов .

Примеры артинианского искусства

Если G — конечная группа , а k — поле с характеристикой 0, то в теории представлений групп показано , что любое подпредставление данного уже является прямым слагаемым данного. В переводе на модульный язык это означает, что все модули над групповой алгеброй kG инъективны. Если характеристика k не равна нулю, может помочь следующий пример.

Если A — унитальная ассоциативная алгебра над полем k с конечной размерностью над k , то Hom _k (−, k ) — двойственность между конечно порождёнными левыми A -модулями и конечно порождёнными правыми A -модулями. Следовательно, конечно порождённые инъективные левые A -модули — это в точности модули вида Hom _k ( P , k ), где P — конечно порождённый проективный правый A -модуль. Для симметричных алгебр двойственность ведёт себя особенно хорошо, а проективные модули и инъективные модули совпадают.

Для любого артинова кольца , как и для коммутативных колец , существует соответствие 1-1 между первичными идеалами и неразложимыми инъективными модулями. Соответствие в этом случае, возможно, даже проще: первичный идеал является аннулятором единственного простого модуля, а соответствующий неразложимый инъективный модуль является его инъективной оболочкой . Для конечномерных алгебр над полями эти инъективные оболочки являются конечно-порожденными модулями (Lam 1999, §3G, §3J).

Вычисление инъективных оболочек

Если — нётерово кольцо и — простой идеал, заданный как инъективная оболочка. Инъективная оболочка над артиновым кольцом может быть вычислена как модуль . Это модуль той же длины, что и . ^[2] В частности, для стандартного градуированного кольца и , — инъективный модуль, дающий инструменты для вычисления неразложимых инъективных модулей для артиновых колец над . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle E=E(R/{\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}^{k}}$ ${\displaystyle (0:_{E}{\mathfrak {p}}^{k})}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}^{k}}$ ${\displaystyle R_{\bullet }=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle E=\oplus _{i}{\text{Hom}}(R_{i},k)}$ ${\displaystyle k}$

Самоинъективность

Локальное кольцо Артина инъективно над собой тогда и только тогда, когда — одномерное векторное пространство над . Это подразумевает, что каждое локальное кольцо Горенштейна, которое также является Артином, инъективно над собой, поскольку имеет одномерный цоколь. ^[3] Простым не-примером является кольцо , имеющее максимальный идеал и поле вычетов . Его цоколь — , которое двумерно. Поле вычетов имеет инъективную оболочку . ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}},K)}$ ${\displaystyle soc(R)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/(x^{2},xy,y^{2})}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} \cdot x\oplus \mathbb {C} \cdot y,\mathbb {C} )}$

Модули над алгебрами Ли

Для алгебры Ли над полем характеристики 0 категория модулей имеет относительно простое описание ее инъективных модулей. ^[4] Используя универсальную обертывающую алгебру, любой инъективный -модуль может быть построен из -модуля ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

для некоторого -векторного пространства . Обратите внимание, что это векторное пространство имеет -модульную структуру из инъекции ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

Фактически, каждый -модуль имеет инъекцию в некоторый , и каждый инъективный -модуль является прямым слагаемым некоторого . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

Теория

Структурная теорема для коммутативных нётеровых колец

Над коммутативным нётеровым кольцом каждый инъективный модуль является прямой суммой неразложимых инъективных модулей, а каждый неразложимый инъективный модуль является инъективной оболочкой поля вычетов в простом числе . То есть для инъективного существует изоморфизм ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)}$

${\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

где — инъективные оболочки модулей . ^[5] Кроме того, если — инъективная оболочка некоторого модуля , то — соответствующие простые числа . ^[2] ${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle M}$

Подмодули, частные, произведения и суммы, теорема Басса-Паппа

Любое произведение (даже бесконечно многих) инъективных модулей инъективно; наоборот, если прямое произведение модулей инъективно, то каждый модуль инъективен (Lam 1999, стр. 61). Каждая прямая сумма конечного числа инъективных модулей инъективна. В общем случае подмодули, фактор-модули или бесконечные прямые суммы инъективных модулей не обязаны быть инъективными. Каждый подмодуль каждого инъективного модуля инъективен тогда и только тогда, когда кольцо артиново полупростое (Golan & Head 1991, стр. 152); каждый фактор-модуль каждого инъективного модуля инъективен тогда и только тогда, когда кольцо наследственное (Lam 1999, Th. 3.22).

Теорема Басса-Паппа утверждает, что каждая бесконечная прямая сумма правых (левых) инъективных модулей инъективна тогда и только тогда, когда кольцо является правым (левым) нётеровым (Lam 1999, стр. 80-81, Th 3.46). ^[6]

критерий Бэра

В оригинальной статье Бэра был доказан полезный результат, обычно известный как критерий Бэра, для проверки того, является ли модуль инъективным: левый R -модуль Q инъективен тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм g  : I → Q, определенный на левом идеале I из R, может быть продолжен на все R .

Используя этот критерий, можно показать, что Q является инъективной абелевой группой (т. е. инъективным модулем над Z ). В более общем смысле, абелева группа инъективна тогда и только тогда, когда она делима . Еще более обще: модуль над областью главных идеалов инъективен тогда и только тогда, когда он делим (случай векторных пространств является примером этой теоремы, поскольку каждое поле является областью главных идеалов, а каждое векторное пространство делимо). Над общей областью целостности у нас все еще есть одно следствие: каждый инъективный модуль над областью целостности делим.

Критерий Бэра был уточнен многими способами (Golan & Head 1991, стр. 119), включая результат (Smith 1981) и (Vámos 1983) о том, что для коммутативного нётерова кольца достаточно рассматривать только простые идеалы I. Двойственный критерию Бэра, который дал бы тест на проективность, в общем случае ложен. Например, Z -модуль Q удовлетворяет двойственному критерию Бэра, но не является проективным.

Инъекционные когенераторы

Возможно, самым важным инъективным модулем является абелева группа Q / Z . Это инъективный когенератор в категории абелевых групп , что означает, что он инъективен, и любой другой модуль содержится в достаточно большом произведении копий Q / Z . Так, в частности, каждая абелева группа является подгруппой инъективной. Весьма существенно, что это также верно над любым кольцом: каждый модуль является подмодулем инъективного, или «категория левых R -модулей имеет достаточно инъективных». Чтобы доказать это, можно использовать особые свойства абелевой группы Q / Z для построения инъективного когенератора в категории левых R -модулей.

Для левого R -модуля M так называемый "модуль характера" M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) является правым R -модулем, который демонстрирует интересную двойственность, не между инъективными модулями и проективными модулями , а между инъективными модулями и плоскими модулями (Enochs & Jenda 2000, стр. 78–80). Для любого кольца R левый R -модуль является плоским тогда и только тогда, когда его модуль характера инъективен. Если R является левым нётеровым, то левый R -модуль является инъективным тогда и только тогда, когда его модуль характера плоский.

Инъекционные оболочки

Инъективная оболочка модуля — это наименьший инъективный модуль, содержащий данный модуль, и была описана в (Eckmann & Schopf 1953).

Можно использовать инъективные оболочки для определения минимальной инъективной резолюции (см. ниже). Если каждый член инъективной резолюции является инъективной оболочкой коядра предыдущего отображения, то инъективная резолюция имеет минимальную длину.

Инъекционные резолюции

Каждый модуль M также имеет инъективную резольвенту : точную последовательность вида

0 → М → Я ⁰ → Я ¹ → Я ² → ...

где I ^j — инъективные модули. Инъективные резолюции могут использоваться для определения производных функторов, таких как функтор Ext .

Длина конечной инъективной резолюции — это первый индекс n такой , что I ⁿ не равен нулю и I ⁱ  = 0 для i, большего n . Если модуль M допускает конечную инъективную резольвенту, минимальная длина среди всех конечных инъективных резольвент M называется его инъективной размерностью и обозначается id( M ). Если M не допускает конечной инъективной резолюции, то по соглашению инъективная размерность называется бесконечной. (Lam 1999, §5C) В качестве примера рассмотрим модуль M, такой, что id( M ) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → M → I ⁰ → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизмом, и, следовательно, сам M является инъективным. ^[7]

Эквивалентно, инъективная размерность M — это минимальное целое число (если таковое существует, в противном случае ∞) n такое, что Ext^Н
_А(–, M ) = 0 для всех N > n .

Неразложимые

Каждый инъективный подмодуль инъективного модуля является прямым слагаемым, поэтому важно понимать неразложимые инъективные модули (Lam 1999, §3F).

Каждый неразложимый инъективный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов . Модуль называется равномерным, если каждые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение. Для инъективного модуля M следующие условия эквивалентны:

• M неразложимо
• M не равен нулю и является инъективной оболочкой каждого ненулевого подмодуля
• М равномерный
• M — инъективная оболочка однородного модуля
• M — инъективная оболочка однородного циклического модуля
• M имеет локальное кольцо эндоморфизмов

Над нётеровым кольцом каждый инъективный модуль является прямой суммой (однозначно определённых) неразложимых инъективных модулей. Над коммутативным нётеровым кольцом это даёт особенно хорошее понимание всех инъективных модулей, описанных в (Matlis 1958). Неразложимые инъективные модули являются инъективными оболочками модулей R / p для p — простого идеала кольца R . Более того, инъективная оболочка M кольца R / p имеет возрастающую фильтрацию модулями M _{n ,} заданную аннуляторами идеалов p ⁿ , и M _{n +1} / M _n изоморфно как конечномерное векторное пространство над полем частных k ( p ) кольца R / p Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Смена колец

Важно иметь возможность рассматривать модули над подкольцами или факторкольцами , особенно, например, над кольцами полиномов . В общем случае это сложно, но ряд результатов известен (Lam 1999, стр. 62).

Пусть S и R — кольца, а P — левый R , правый S -бимодуль , плоский как левый R- модуль. Для любого инъективного правого S -модуля M множество модульных гомоморфизмов Hom _S ( P , M ) является инъективным правым R -модулем. Конечно, то же самое утверждение справедливо после перестановки левых и правых атрибутов.

Например, если R — подкольцо S , такое что S — плоский R -модуль, то каждый инъективный S -модуль является инъективным R -модулем. В частности, если R — область целостности, а S — ее поле дробей , то каждое векторное пространство над S является инъективным R -модулем. Аналогично, каждый инъективный R [ x ]-модуль является инъективным R -модулем.

В противоположном направлении гомоморфизм колец превращает R в левый R , правый S бимодуль левым и правым умножением. Будучи свободным над собой, R также является плоским как левый R -модуль. Специализируя приведенное выше утверждение для P = R , оно говорит, что когда M является инъективным правым S -модулем, коиндуцированный модуль является инъективным правым R -модулем. Таким образом, коиндукция по f производит инъективные R -модули из инъективных S -модулей. ${\displaystyle f:S\to R}$ ${\displaystyle f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)}$

Для факторколец R / I смена колец также очень очевидна. R -модуль является R / I -модулем в точности тогда, когда он аннулируется I. Подмодуль ann _I ( M ) = { m в M  : im = 0 для всех i в I } является левым подмодулем левого R -модуля M и является наибольшим подмодулем M , который является R / I -модулем. Если M является инъективным левым R -модулем, то ann _I ( M ) является инъективным левым R / I -модулем. Применяя это к R = Z , I = n Z и M = Q / Z , получаем знакомый факт, что Z / n Z инъективен как модуль над собой. Хотя инъективные R -модули легко преобразовать в инъективные R / I -модули, этот процесс не преобразует инъективные R -резольвенты в инъективные R / I -резольвенты, а гомология полученного комплекса является одной из ранних и фундаментальных областей изучения относительной гомологической алгебры.

В учебнике (Ротман, 1979, стр. 103) приведено ошибочное доказательство того, что локализация сохраняет инъективы, но в (Дейд, 1981) был приведен контрпример.

Кольца самоинъекционные

Каждое кольцо с единицей является свободным модулем и, следовательно, проективно как модуль над собой, но реже кольцо бывает инъективным как модуль над собой (Lam 1999, §3B). Если кольцо инъективно над собой как правый модуль, то оно называется правым самоинъективным кольцом. Каждая алгебра Фробениуса самоинъективна, но никакая область целостности , не являющаяся полем , не является самоинъективной. Каждое собственное фактор-отношение области Дедекинда самоинъективно.

Нётерово справа , самоинъективное справа кольцо называется квазифробениусовым кольцом , и является двусторонне артиновым и двусторонне инъективным (Lam 1999, Th. 15.1). Важное модульно-теоретическое свойство квазифробениусовых колец состоит в том, что проективные модули являются в точности инъективными модулями.

Обобщения и специализации

Инъекционные объекты

Также говорят об инъективных объектах в категориях более общих, чем модульные категории, например, в категориях функторов или в категориях пучков O _X -модулей над некоторым окольцованным пространством ( X ,O _X ). Используется следующее общее определение: объект Q категории C является инъективным, если для любого мономорфизма f  : X → Y в C и любого морфизма g  : X → Q существует морфизм h  : Y → Q с hf = g .

Делимые группы

Понятие инъективного объекта в категории абелевых групп изучалось несколько независимо от инъективных модулей под термином делимая группа . Здесь Z -модуль M инъективен тогда и только тогда, когда n ⋅ M = M для каждого ненулевого целого числа n . Здесь отношения между плоскими модулями , чистыми подмодулями и инъективными модулями более ясны, поскольку они просто относятся к некоторым свойствам делимости элементов модуля на целые числа.

Чистые инъекции

В относительной гомологической алгебре свойство расширения гомоморфизмов может потребоваться только для некоторых подмодулей, а не для всех. Например, чистый инъективный модуль — это модуль, в котором гомоморфизм из чистого подмодуля может быть расширен на весь модуль.

Ссылки

Примечания

1. "Лемма 47.7.5 (08Z6) — Проект Stacks". stacks.math.columbia.edu . Получено 25.02.2020 .
2. Eisenbud. Введение в коммутативную алгебру . стр. 624, 625.
3. "Инъекционные модули" (PDF) . стр. 10.
4. Воган, Дэвид. «Когомологии алгебры Ли» (PDF) .
5. «Структура инъективных модулей над нётеровыми кольцами».
6. Это теорема Басса -Паппа, см. (Papp 1959) и (Chase 1960)
7. Модуль, изоморфный инъективному модулю, конечно же, инъективен.

Учебники

• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1, получено 30 июля 2016 г.
• Енохс, Эдгар Э.; Дженда, Овертаун М.Г. (2000), Относительная гомологическая алгебра , Изложения де Грюйтера по математике, том. 30, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, номер документа : 10.1515/9783110803662, ISBN. 978-3-11-016633-0, г-н  1753146
• Голан, Джонатан С.; Хэд, Том (1991), Модули и структура колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, т. 147, Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-8555-0, МР  1201818
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции о модулях и кольцах , Graduate Texts in Mathematics No. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8, ISBN 978-0-387-98428-5, г-н  1653294
• Ротман, Джозеф Дж. (1979), Введение в гомологическую алгебру , Чистая и прикладная математика, т. 85, Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, МР  0538169

Первичные источники

• Бэр, Рейнхольд (1940), «Абелевы группы, являющиеся прямыми слагаемыми любой содержащей их абелевой группы», Бюллетень Американского математического общества , 46 (10): 800–807, doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07306-9 , MR  0002886, Zbl  0024.14902
• Чейз, Стивен У. (1960), «Прямые произведения модулей», Труды Американского математического общества , 97 (3), Американское математическое общество, т. 97, № 3: 457–473, doi : 10.2307/1993382 , JSTOR  1993382, MR  0120260
• Дейд, Эверетт К. (1981), «Локализация инъективных модулей», Журнал алгебры , 69 (2): 416–425, doi : 10.1016/0021-8693(81)90213-1 , MR  0617087
• Экманн, Б .; Шопф, А. (1953), «Über injektive Moduln», Archiv der Mathematik , 4 (2): 75–78, doi : 10.1007/BF01899665 , MR  0055978
• Ламбек, Иоахим (1963), «О кольце частных Утуми», Канадский математический журнал , 15 : 363–370, doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 , ISSN  0008-414X, MR  0147509
• Матлис, Эбен (1958), «Инъективные модули над нётеровыми кольцами», Pacific Journal of Mathematics , 8 : 511–528, doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 , ISSN  0030-8730, MR  0099360
• Ософский, Б. Л. (1964), «О свойствах колец инъективных оболочек», Канадский математический вестник , 7 : 405–413, doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 , ISSN  0008-4395, MR  0166227
• Папп, Золтан (1959), «Об алгебраически замкнутых модулях», Publicationes Mathematicae Debrecen , 6 : 311–327, ISSN  0033-3883, MR  0121390
• Смит, ПФ (1981), «Инъективные модули и простые идеалы», Сообщения по алгебре , 9 (9): 989–999, doi :10.1080/00927878108822627, MR  0614468
• Утуми, Юдзо (1956), «О кольцах частных», Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN  0030-6126, MR  0078966
• Вамош, П. (1983), «Идеалы и модули, проверяющие инъективность», Сообщения по алгебре , 11 (22): 2495–2505, doi :10.1080/00927878308822975, MR  0733337