Инъективная функция

Функция, сохраняющая индивидуальность

В математике инъективная функция (также известная как инъекция или функция один к одному ^[1] ) — это функция f , которая отображает различные элементы своей области определения в различные элементы; то есть, x ₁ ≠ x ₂ влечет f ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ ) . (Эквивалентно, f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) влечет x ₁ = x ₂ в эквивалентном контрапозитивном утверждении.) Другими словами, каждый элемент области определения функции является образом не более чем одного элемента ее области определения . ^[2] Термин функция один к одному не следует путать с соответствием один к одному , которое относится к биективным функциям , которые являются функциями, такими что каждый элемент в области определения является образом ровно одного элемента в области определения.

Гомоморфизм между алгебраическими структурами — это функция, совместимая с операциями структур. Для всех общих алгебраических структур, и, в частности, для векторных пространств , инъективный гомоморфизм также называется мономорфизмом . Однако в более общем контексте теории категорий определение мономорфизма отличается от определения инъективного гомоморфизма. [ ^3] Таким образом, это теорема о том, что они эквивалентны для алгебраических структур; см. Гомоморфизм § Мономорфизм для более подробной информации.

Функция , которая не является инъективной, иногда называется функцией «многие к одному». ^[2] ${\displaystyle f}$

Определение

Инъективная функция, которая не является также сюръективной .

Пусть — функция, областью определения которой является множество. Функция называется инъективной, если для всех и в если то ; то есть подразумевает Эквивалентно, если то в контрапозитивном утверждении. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle a=b.}$ ${\displaystyle a\neq b,}$ ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$

Символически, что логически эквивалентно контрапозиции , ^[4] $${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$ $${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$

Примеры

Для просмотра наглядных примеров читатели могут обратиться к разделу галереи.

• Для любого множества и любого подмножества отображение включения (которое отправляет любой элемент в себя) является инъективным. В частности, функция тождества всегда инъективна (и фактически биективна). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Если областью определения функции является пустое множество , то функция является пустой функцией , которая является инъективной.
• Если область определения функции имеет один элемент (то есть представляет собой одноэлементное множество ), то функция всегда инъективна.
• Функция, определяемая как инъективная. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x+1}$
• Функция , определенная с помощью , не является инъективной, поскольку (например) Однако, если она переопределена так, что ее областью определения являются неотрицательные действительные числа [0,+∞), то она инъективна. ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$
• Экспоненциальная функция, определяемая формулой, является инъективной (но не сюръективной, поскольку никакое действительное значение не отображается в отрицательное число). ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$
• Функция натурального логарифма, определяемая как, является инъективной. ${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \ln x}$
• Функция, определяемая с помощью , не является инъективной, поскольку, например, ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ ${\displaystyle g(0)=g(1)=0.}$

В более общем случае, когда и являются действительной прямой , то инъективная функция — это функция, график которой никогда не пересекается ни с одной горизонтальной прямой более одного раза. Этот принцип называется тестом горизонтальной прямой . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Инъекции можно отменить

Функции с левыми обратными всегда являются инъекциями . То есть, если задана функция такая, что для каждого , , то является инъекцией. В этом случае называется ретракцией Обратно , называется сечением ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Наоборот, каждая инъекция с непустым доменом имеет левый обратный . Его можно определить, выбрав элемент в домене и установив его на уникальный элемент прообраза (если он непустой) или на (в противном случае). ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}[y]}$ ${\displaystyle a}$

Левая обратная функция не обязательно является обратной функцией , поскольку композиция в другом порядке может отличаться от тождественной функции . Другими словами, инъективная функция может быть «обратена» левой обратной функцией, но не обязательно является обратимой , что требует, чтобы функция была биективной. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f\circ g,}$ ${\displaystyle Y.}$

Инъекции можно сделать обратимыми

Фактически, чтобы превратить инъективную функцию в биективную (следовательно, обратимую) функцию, достаточно заменить ее область значений ее фактическим образом То есть, пусть такой, что для всех ; тогда является биективным. Действительно, может быть разложен на множители как где есть функция включения из в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J=f(X).}$ ${\displaystyle g:X\to J}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y.}$

В более общем смысле инъективные частичные функции называются частичными биекциями .

Другие свойства

Композиция двух инъективных функций инъективна.

• Если и оба инъективны, то инъективно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• Если инъективно, то инъективно (но не обязательно). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\to Y}$является инъективным тогда и только тогда, когда для любых функций всякий раз , когда то Другими словами, инъективные функции — это в точности мономорфизмы в категории Множество множеств. ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h:W\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ ${\displaystyle g=h.}$
• Если является инъективным и является подмножеством , то , таким образом, может быть восстановлен из его образа ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$
• Если инъективно и и являются подмножествами, то ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}$
• Каждая функция может быть разложена как для подходящей инъекции и сюръекции . Это разложение уникально с точностью до изоморфизма и может рассматриваться как функция включения диапазона как подмножества области значений ${\displaystyle h:W\to Y}$ ${\displaystyle h=f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(W)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h.}$
• Если — инъективная функция, то имеет по крайней мере столько же элементов, сколько в смысле кардинальных чисел . В частности, если, кроме того, существует инъекция из в , то и имеют то же кардинальное число. (Это известно как теорема Кантора–Бернштейна–Шредера .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Если оба отображения и конечны с одинаковым числом элементов, то они инъективны тогда и только тогда, когда они сюръективны (в этом случае они биективны). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Инъективная функция, являющаяся гомоморфизмом между двумя алгебраическими структурами, является вложением .
• В отличие от сюръективности, которая является отношением между графиком функции и ее областью значений, инъективность является свойством только графика функции; то есть, является ли функция инъективной, можно определить, рассматривая только график (а не область значений) функции. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Доказательство того, что функции инъективны

Доказательство того, что функция инъективна, зависит от того, как функция представлена ​​и какие свойства она имеет. Для функций, заданных некоторой формулой, есть основная идея. Мы используем определение инъективности, а именно, что если то ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y),}$ ${\displaystyle x=y.}$

Вот пример: $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

Доказательство: Предположим, что Итак, следует , что влечет Следовательно, из определения следует, что является инъективным. ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$ ${\displaystyle 2x+3=2y+3}$ ${\displaystyle 2x=2y,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle f}$

Существует множество других методов доказательства того, что функция инъективна. Например, в исчислении, если — дифференцируемая функция, определенная на некотором интервале, то достаточно показать, что производная всегда положительна или всегда отрицательна на этом интервале. В линейной алгебре, если — линейное преобразование, то достаточно показать, что ядро ​​содержит только нулевой вектор. Если — функция с конечной областью определения, то достаточно просмотреть список изображений каждого элемента области определения и проверить, что ни одно изображение не встречается в списке дважды. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Графическим подходом для действительной функции действительной переменной является тест горизонтальной линии . Если каждая горизонтальная линия пересекает кривую не более чем в одной точке, то она инъективна или является взаимно однозначной. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Галерея

• 
  Инъективная несюръективная функция (инъекция, а не биекция )
• 
  Инъективная сюръективная функция (биекция)
• 
  Неинъективная сюръективная функция (сюръекция, а не биекция)
• 
  Неинъективная несюръективная функция (также не биекция)

• 
  Не является инъективной функцией. Здесь и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух областей, где функция не является инъективной, поскольку более одного элемента домена могут отображаться в один элемент диапазона. То есть, возможно, что более одного элемента в могут отображаться в один и тот же элемент в ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Делаем функции инъективными. Предыдущую функцию можно свести к одной или нескольким инъективным функциям (скажем) и показать сплошными кривыми (длинные штриховые части исходной кривой больше не отображаются). Обратите внимание, что правило не изменилось — только домен и диапазон. и являются подмножествами и являются подмножествами : для двух областей, где исходная функция может быть сделана инъективной, так что один элемент домена может отображаться на один элемент диапазона. То есть, только один в отображается на один в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Инъективные функции. Диаграммная интерпретация в декартовой плоскости , определяемая отображением , где область определения функции , область определения функции и обозначает изображение Каждый из отображается ровно в одну уникальную в Обведенные кружками части осей представляют области определения и области определения — в соответствии со стандартными диаграммами выше ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle Y=}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция  – Свойства математических функций
• Инъективное метрическое пространство  – Тип метрического пространства
• Монотонная функция  – Математическая функция, сохраняющая порядок
• Однозначная функция  – Математическая концепция

Примечания

1. Иногда функция один-один , в индийском математическом образовании. "Глава 1: Отношения и функции" (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 26 декабря 2023 г. – через NCERT.
2. "Инъективный, сюръективный и биективный". Математика — это весело . Получено 2019-12-07 .
3. "Раздел 7.3 (00V5): Инъективные и сюръективные отображения предпучков". Проект Stacks . Получено 2019-12-07 .
4. Farlow, SJ "Section 4.2 Injections, Surjections, and Bijections" (PDF) . Математика и статистика - Университет штата Мэн . Архивировано из оригинала (PDF) 7 декабря 2019 г. . Получено 2019-12-06 .
5. В отличие от соответствующего утверждения, что каждая сюръективная функция имеет правую обратную, это не требует аксиомы выбора , поскольку существование подразумевается непустотой области. Однако это утверждение может не выполняться в менее традиционной математике, такой как конструктивная математика . В конструктивной математике включение двухэлементного множества в вещественные числа не может иметь левую обратную, поскольку это нарушило бы неразложимость , давая ретракцию вещественной прямой к множеству {0,1}. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }$
6. Уильямс, Питер (21 августа 1996 г.). «Доказательство функций один к одному». Страница справочных заметок кафедры математики CSU San Bernardino . Архивировано из оригинала 4 июня 2017 г.

Ссылки

• Бартл, Роберт Г. (1976), Элементы реального анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, стр. 17 и далее .
• Халмос, Пол Р. (1974), Наивная теория множеств , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, стр. 38 и далее .

Внешние ссылки

• Самые ранние случаи использования некоторых слов из математики: статья об инъекции, сюръекции и биекции содержит историю инъекции и связанных с ней терминов.
• Khan Academy – Сюръективные (на) и инъективные (один к одному) функции: Введение в сюръективные и инъективные функции