Компактно сгенерированное пространство

Свойство топологических пространств

В топологии топологическое пространство называется компактно порожденным пространством или k-пространством , если его топология определяется компактными пространствами способом, уточненным ниже. На самом деле, для таких пространств нет общепринятого определения, поскольку разные авторы используют вариации определения, которые не являются точно эквивалентными друг другу. Также некоторые авторы включают некоторую аксиому разделения (например, Хаусдорфово пространство или слабое Хаусдорфово пространство ) в определение одного или обоих терминов, а другие этого не делают. ${\displaystyle X}$

В простейшем определении компактно порожденное пространство — это пространство, которое согласовано с семейством его компактных подпространств, что означает, что для каждого множества открыто в тогда и только тогда, когда открыто в для каждого компактного подпространства Другие определения используют семейство непрерывных отображений из компактных пространств в и объявляют компактно порожденным, если его топология совпадает с конечной топологией относительно этого семейства отображений. А другие вариации определения заменяют компактные пространства компактными хаусдорфовыми пространствами . ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Компактно порожденные пространства были разработаны для исправления некоторых недостатков категории топологических пространств . В частности, при некоторых определениях они образуют декартово замкнутую категорию , при этом все еще содержащую типичные пространства, представляющие интерес, что делает их удобными для использования в алгебраической топологии .

Определения

Общая структура определений

Пусть будет топологическим пространством , где есть топология , то есть совокупность всех открытых множеств в ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X.}$

В литературе имеется несколько (неэквивалентных) определений компактно сгенерированного пространства или k-пространства . Эти определения имеют общую структуру, начиная с соответствующим образом указанного семейства непрерывных отображений из некоторых компактных пространств в Различные определения отличаются выбором семейства, как подробно описано ниже. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

Окончательная топология на относительно семейства называется k-идентификацией Поскольку все функции в были непрерывны в k-идентификацию, она тоньше (или равна) исходной топологии . Открытые множества в k-идентификации называются ${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (X,T),}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$k-открытые множества вэто множестватакие, чтооткрыто вдля каждогов Аналогично, ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$k-замкнутые множества в— это замкнутые множества в его k-фикации с соответствующей характеристикой. В пространствекаждое открытое множество является k-открытым, а каждое замкнутое множество является k-замкнутым. Пространствовместе с новой топологиейобычно обозначается^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle kX.}$

Пространство называется компактно порожденным или k-пространством (относительно семейства ), если его топология определяется всеми отображениями в , в том смысле, что топология на равна его k-ификации; эквивалентно, если каждое k-открытое множество открыто в , или если каждое k-замкнутое множество замкнуто в , или короче, если ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle kX=X.}$

Что касается различных выборов для семейства , можно взять все отображения включений из определенных подпространств , например, всех компактных подпространств или всех компактных хаусдорфовых подпространств. Это соответствует выбору набора подпространств из Пространство тогда компактно генерируется точно тогда, когда его топология согласована с этим семейством подпространств; а именно, множество открыто (соответственно замкнуто) в точно тогда, когда пересечение открыто (соответственно замкнуто) в для каждого Другой выбор состоит в том, чтобы взять семейство всех непрерывных отображений из произвольных пространств определенного типа в , например, все такие отображения из произвольных компактных пространств или из произвольных компактных хаусдорфовых пространств. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X,}$

Эти различные варианты выбора для семейства непрерывных отображений в приводят к различным определениям компактно сгенерированного пространства . Кроме того, некоторые авторы требуют удовлетворения аксиомы разделения (например, Хаусдорфа или слабого Хаусдорфа ) как части определения, в то время как другие этого не требуют. Определения в этой статье не будут включать в себя никакую такую ​​аксиому разделения. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

В качестве дополнительного общего замечания, достаточным условием, которое может быть полезным для того, чтобы показать, что пространство компактно порождено (относительно ), является нахождение подсемейства , которое компактно порождено относительно Для когерентных пространств это соответствует показателю того, что пространство когерентно с подсемейством семейства подпространств. Например, это дает один из способов показать, что локально компактные пространства компактно порождены. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}.}$

Ниже приведены некоторые из наиболее часто используемых определений более подробно, в порядке возрастания конкретности.

Для пространств Хаусдорфа все три определения эквивалентны. Поэтому терминологияКомпактно порожденное хаусдорфово пространство является однозначным и относится к компактно порожденному пространству (в любом из определений), которое также являетсяхаусдорфовым.

Определение 1

Неформально, пространство, топология которого определяется его компактными подпространствами или, что эквивалентно в данном случае, всеми непрерывными отображениями из произвольных компактных пространств.

Топологическое пространство называется компактно-порожденным или k-пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^{[2] [3] [4]} ${\displaystyle X}$

(1) Топология на согласована с семейством своих компактных подпространств , а именно, она удовлетворяет свойству: ${\displaystyle X}$

множество открыто (соответственно замкнуто) в точности тогда, когда пересечение открыто (соответственно замкнуто) в для каждого компактного подпространства ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

(2) Топология на совпадает с финальной топологией относительно семейства всех непрерывных отображений из всех компактных пространств ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K.}$

(3) является факторпространством топологической суммы компактных пространств. ${\displaystyle X}$

(4) является факторпространством слабо локально компактного пространства. ${\displaystyle X}$

Как поясняется в заключительной статье по топологии , условие (2) корректно определено, хотя семейство непрерывных отображений произвольных компактных пространств является не множеством, а собственным классом.

Эквивалентность между условиями (1) и (2) следует из того факта, что каждое включение из подпространства является непрерывным отображением; и, с другой стороны, каждое непрерывное отображение из компактного пространства имеет компактный образ и, таким образом, пропускается через включение компактного подпространства в ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle f(K)}$ ${\displaystyle X.}$

Определение 2

Неформально — пространство, топология которого определяется всеми непрерывными отображениями из произвольных компактных хаусдорфовых пространств.

Топологическое пространство называется компактно-порожденным или k-пространством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^{[5] [6] [7]} ${\displaystyle X}$

(1) Топология на совпадает с финальной топологией относительно семейства всех непрерывных отображений из всех компактных хаусдорфовых пространств. Другими словами, она удовлетворяет условию: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:K\to X}$ ${\displaystyle K.}$

множество открыто (соответственно замкнуто) в точно тогда, когда открыто (соответственно замкнуто) в для каждого компактного хаусдорфова пространства и каждого непрерывного отображения ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:K\to X.}$

(2) является факторпространством топологической суммы компактных хаусдорфовых пространств. ${\displaystyle X}$

(3) является факторпространством локально компактного хаусдорфова пространства. ${\displaystyle X}$

Как поясняется в заключительной статье по топологии , условие (1) является корректно определенным, даже несмотря на то, что семейство непрерывных отображений из произвольных компактных хаусдорфовых пространств является не множеством, а собственным классом. ^[5]

Каждое пространство, удовлетворяющее определению 2, удовлетворяет и определению 1. Обратное неверно. Например, одноточечная компактификация пространства Аренса-Форта компактна и, следовательно, удовлетворяет определению 1, но не удовлетворяет определению 2.

Определение 2 является наиболее часто используемым в алгебраической топологии. Это определение часто сочетается со слабым свойством Хаусдорфа , образуя категорию CGWH компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

Определение 3

Неформально, пространство, топология которого определяется его компактными хаусдорфовыми подпространствами.

Топологическое пространство называется компактно-порожденным или k-пространством, если его топология согласована с семейством его компактных хаусдорфовых подпространств, а именно, оно удовлетворяет свойству: ${\displaystyle X}$

множество открыто (соответственно замкнуто) в точности тогда, когда пересечение открыто (соответственно замкнуто) в для каждого компактного хаусдорфова подпространства ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Каждое пространство, удовлетворяющее определению 3, удовлетворяет определению 2. Обратное неверно. Например, пространство Серпинского с топологией не удовлетворяет определению 3, поскольку его компактные хаусдорфовы подпространства являются синглетонами и , а когерентная топология, которую они индуцируют, была бы дискретной топологией . С другой стороны, оно удовлетворяет определению 2, поскольку оно гомеоморфно факторпространству компактного интервала, полученного путем отождествления всех точек в ${\displaystyle X=\{0,1\}}$ ${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1].}$

Само по себе определение 3 не так полезно, как два других определения, поскольку в нем отсутствуют некоторые свойства, подразумеваемые другими. Например, каждое факторпространство пространства, удовлетворяющего определению 1 или определению 2, является пространством того же рода. Но это не относится к определению 3.

Однако для слабых хаусдорфовых пространств определения 2 и 3 эквивалентны. ^[8] Таким образом, категорию CGWH можно также определить, соединив слабое свойство Хаусдорфа с определением 3, которое может быть проще сформулировать и с которым проще работать, чем с определением 2.

Мотивация

Компактно порожденные пространства изначально назывались k-пространствами , по немецкому слову kompakt . Они изучались Гуревичем и могут быть найдены в General Topology Келли, Topology Дугунджи, Rational Homotopy Theory Феликса, Гальперина и Томаса.

Мотивация для их более глубокого изучения возникла в 1960-х годах из-за хорошо известных недостатков обычной категории топологических пространств . Это не может быть декартово замкнутой категорией , обычное декартово произведение идентификационных отображений не всегда является идентификационным отображением, а обычное произведение CW-комплексов не обязательно должно быть CW-комплексом. ^[9] Напротив, категория симплициальных множеств имела много удобных свойств, включая декартово замкнутость. История изучения исправления этой ситуации приведена в статье на n Lab об удобных категориях пространств.

Первое предложение (1962) исправить эту ситуацию состояло в том, чтобы ограничиться полной подкатегорией компактно порожденных хаусдорфовых пространств, которая на самом деле является декартово замкнутой. Эти идеи распространяются на теорему двойственности де Фриза. Определение экспоненциального объекта дано ниже. Другое предложение (1964) состояло в том, чтобы рассмотреть обычные хаусдорфовы пространства, но использовать функции, непрерывные на компактных подмножествах.

Эти идеи обобщаются на нехаусдорфов случай; ^[10] т.е. с другим определением компактно порожденных пространств. Это полезно, поскольку пространства идентификации хаусдорфовых пространств не обязаны быть хаусдорфовыми. ^[11]

В современной алгебраической топологии это свойство чаще всего сочетается со слабым свойством Хаусдорфа , так что мы работаем в категории CGWH компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств .

Примеры

Как поясняется в разделе Определения, в литературе нет общепринятого определения для компактно сгенерированных пространств; но Определения 1, 2, 3 из этого раздела являются одними из наиболее часто используемых. Чтобы выразить результаты более кратко, в этом разделе будут использоваться сокращения CG-1 , CG-2 , CG-3 для однозначного обозначения каждого из трех определений. Это суммировано в таблице ниже (см. раздел Определения для других эквивалентных условий для каждого).

Для хаусдорфовых пространств свойства CG-1, CG-2, CG-3 эквивалентны. Такие пространства можно без двусмысленности назвать компактно порожденными хаусдорфовыми .

Каждое пространство CG-3 является CG-2, а каждое пространство CG-2 является CG-1. Обратные импликации в общем случае не выполняются, как показывают некоторые из примеров ниже.

Для слабых хаусдорфовых пространств свойства CG-2 и CG-3 эквивалентны. ^[8]

Последовательные пространства — это CG-2. ^[12] Сюда входят пространства с первой счетностью , дискретные пространства Александрова , конечные пространства .

Каждое пространство CG-3 является пространством T 1 ( потому что для данного синглтона его пересечение с каждым компактным хаусдорфовым подпространством является пустым множеством или единственной точкой, которая замкнута в , следовательно, синглтон замкнут в ). Конечные пространства T _{1 имеют} дискретную топологию . Таким образом, среди конечных пространств, которые все являются CG-2, пространства CG-3 являются пространствами с дискретной топологией. Любое конечное недискретное пространство, такое как пространство Серпинского , является примером пространства CG-2, которое не является CG-3. ${\displaystyle \{x\}\subseteq X,}$ ${\displaystyle K\subseteq X}$ ${\displaystyle K;}$ ${\displaystyle X}$

Компактные пространства и слабо локально компактные пространства являются CG-1, но не обязательно CG-2 (см. примеры ниже).

Компактно порожденные хаусдорфовы пространства включают хаусдорфовы версии различных классов пространств, упомянутых выше как CG-1 или CG-2, а именно хаусдорфовы секвенциальные пространства, хаусдорфовы пространства с первой счетностью, локально компактные хаусдорфовы пространства и т. д. В частности, метрические пространства и топологические многообразия компактно порождены. CW-комплексы также компактно порождены хаусдорфом.

Чтобы привести примеры пространств, которые не являются компактно порожденными, полезно рассмотреть антикомпактные ^[13] пространства, то есть пространства, все компактные подпространства которых конечны. Если пространство антикомпактно и T ₁ , каждое компактное подпространство имеет дискретную топологию, а соответствующая k-ификация является дискретной топологией. Следовательно, любое антикомпактное T ₁ недискретное пространство не является CG-1. Вот некоторые примеры: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

• Косчетная топология на несчетном пространстве.
• Одноточечная линделёфикация несчетного дискретного пространства (также называемого пространством Фортиссимо ).
• Пространство Аренса -Форта .
• Пространство Апперта .
• «Топология одиночного ультрафильтра». ^[14]

Другие примеры (хаусдорфовых) пространств, которые не являются компактно порожденными, включают в себя:

• Произведение несчетного числа копий (каждая с обычной евклидовой топологией ). ^[15 ] ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Произведение несчетного числа копий (каждая с дискретной топологией ). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для примеров пространств, которые являются CG-1 и не являются CG-2, можно начать с любого пространства , которое не является CG-1 (например, пространство Аренса-Форта или несчетное произведение копий ), и пусть будет одноточечной компактификацией Пространство компактно, следовательно, CG-1. Но оно не является CG-2, потому что открытые подпространства наследуют свойство CG-2 и является открытым подпространством , которое не является CG-2. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Характеристики

(Значение сокращений CG-1, CG-2, CG-3 см. в разделе «Примеры».)

Подпространства

Подпространства компактно порожденного пространства не являются компактно порожденными в общем случае, даже в случае Хаусдорфа. Например, ординальное пространство , где — первый несчетный ординал, является компактным Хаусдорфовым, следовательно, компактно порожденным. Его подпространство со всеми предельными ординалами, за исключением удаленных, изоморфно пространству Фортиссимо , которое не является компактно порожденным (как упоминалось в разделе Примеры, оно антикомпактно и недискретно). ^[16] Другим примером является пространство Аренса, ^{[17] [18],} которое является последовательным Хаусдорфовым, следовательно, компактно порожденным. Оно содержит в качестве подпространства пространство Аренса-Форта , которое не является компактно порожденным. ${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$

В пространстве CG-1 каждое замкнутое множество является CG-1. То же самое не относится к открытым множествам. Например, как показано в разделе «Примеры», существует много пространств, которые не являются CG-1, но они открыты в своей одноточечной компактификации , которая является CG-1.

В пространстве CG-2 каждое замкнутое множество является CG-2; и каждое открытое множество также является CG-2 (потому что существует фактор-отображение для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства , а для открытого множества ограничение на также является фактор-отображением на локально компактном хаусдорфовом пространстве). То же самое верно в более общем случае для каждого локально замкнутого множества, то есть пересечения открытого множества и замкнутого множества. ^[19] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q:Y\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{-1}(U)}$

В пространстве CG-3 каждое замкнутое множество является CG-3.

Коэффициенты

Несвязное объединение семейства топологических пространств является CG-1 тогда и только тогда, когда каждое пространство является CG-1. Соответствующие утверждения также справедливы для CG-2 ^{[20] [21]} и CG-3. ${\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Фактор -пространство пространства CG-1 есть CG-1. ^[22] В частности, каждое фактор-пространство слабо локально компактного пространства есть CG-1. Обратно, каждое пространство CG-1 есть фактор-пространство слабо локально компактного пространства, которое можно взять как несвязное объединение компактных подпространств ^[22] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Фактор-пространство пространства CG-2 есть CG-2. ^[23] В частности, каждое фактор-пространство локально компактного хаусдорфова пространства есть CG-2. Обратно, каждое пространство CG-2 есть фактор-пространство локально компактного хаусдорфова пространства. ^{[24] [25]}

Фактор-пространство пространства CG-3 вообще не является CG-3. Фактически, каждое пространство CG-2 является фактор-пространством пространства CG-3 (а именно, некоторого локально компактного хаусдорфова пространства); но существуют пространства CG-2, которые не являются CG-3. Для конкретного примера, пространство Серпинского не является CG-3, но гомеоморфно фактору компактного интервала, полученного отождествлением с точкой. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (0,1]}$

В более общем смысле, любая конечная топология на множестве, индуцированная семейством функций из пространств CG-1, также является CG-1. И то же самое справедливо для CG-2. Это следует из объединения приведенных выше результатов для непересекающихся объединений и факторпространств вместе с поведением конечных топологий при композиции функций.

Сумма клиньев пространств CG-1 есть CG-1. То же самое справедливо и для CG-2. Это также является применением результатов выше для непересекающихся объединений и факторпространств.

Продукция

Произведение двух компактно порожденных пространств не обязательно должно быть компактно порождено, даже если оба пространства являются хаусдорфовыми и секвенциальными . Например, пространство с топологией подпространства из вещественной прямой является первым счетным ; пространство с топологией фактора из вещественной прямой с положительными целыми числами , идентифицированными до точки, является секвенциальным. Оба пространства компактно порождены хаусдорфовыми, но их произведение не является компактно порожденным. ^[26] ${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Однако в некоторых случаях произведение двух компактно порожденных пространств порождается компактно:

• Произведение двух пространств, удовлетворяющих первой счетной функции, удовлетворяет первой счетной функции, следовательно, CG-2.
• Произведение пространства CG-1 и локально компактного пространства есть CG-1. ^[27] (Здесь локально компактное пространство имеет смысл условия (3) в соответствующей статье, а именно, каждая точка имеет локальную базу компактных окрестностей.)
• Произведение пространства CG-2 и локально компактного хаусдорфова пространства есть CG-2. ^{[28] [29]}

При работе в категории компактно сгенерированных пространств (таких как все пространства CG-1 или все пространства CG-2), обычная топология произведения на не является компактно сгенерированной в общем случае, поэтому не может служить категорическим произведением . Но ее k-ификация принадлежит ожидаемой категории и является категорическим произведением. ^{[30] [31]} ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle k(X\times Y)}$

Непрерывность функций

Непрерывные функции на компактно порожденных пространствах — это те, которые хорошо ведут себя на компактных подмножествах. Точнее, пусть будет функцией из одного топологического пространства в другое и предположим, что область компактно порождена согласно одному из определений в этой статье. Поскольку компактно порожденные пространства определяются в терминах конечной топологии , можно выразить непрерывность в терминах непрерывности композиции с различными отображениями в семействе, используемыми для определения конечной топологии. Конкретные особенности следующие. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Если CG-1, то функция непрерывна тогда и только тогда, когда ограничение непрерывно для каждого компакта ^[32] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Если CG-2, то функция непрерывна тогда и только тогда, когда композиция непрерывна для каждого компактного хаусдорфова пространства и непрерывного отображения ^[33] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u:K\to X.}$

Если это CG-3, то функция непрерывна тогда и только тогда, когда ограничение непрерывно для каждого компактного Хаусдорфа ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$ ${\displaystyle K\subseteq X.}$

Разнообразный

Для топологических пространств и пусть обозначает пространство всех непрерывных отображений из в топологизированное компактно-открытой топологией . Если это CG-1, компоненты пути в являются в точности классами гомотопической эквивалентности. ^[34] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$

К-ификация

Для любого топологического пространства мы можем определить возможно более тонкую топологию , которая компактно генерируется, иногда называемую ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$k-ификация топологии. Пустьобозначает семейство компактных подмножествМы определяем новую топологию на ,объявляя подмножествозамкнутымтогда и только тогда, когдазамкнуто вдля каждого индексаОбозначим это новое пространство черезМожно показать, что компактные подмножестваисовпадают, а индуцированные топологии на компактных подмножествах одинаковы. Отсюда следует, чтокомпактно порождено. Еслиизначально было компактно порождено, тоВ противном случае топология настрого тоньше, чем(т. е. имеется больше открытых множеств). ${\displaystyle \{K_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap K_{\alpha }}$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle kX.}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX=X.}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle X}$

Эта конструкция функториальна . Обозначим полную подкатегорию с объектами компактно порожденными пространствами, а полную подкатегорию с объектами — хаусдорфовыми пространствами. Функтор из в , который переводит в, является правым сопряженным к функтору включения ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle \mathbf {Top} }$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle kX}$ ${\displaystyle \mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .}$

Экспоненциальный объект в задается соотношением , где — пространство непрерывных отображений из в с компактно-открытой топологией . ${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$ ${\displaystyle k(Y^{X})}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Эти идеи можно обобщить на нехаусдорфов случай. ^[10] Это полезно, поскольку пространства идентификации хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми.

Смотрите также

• Компактно-открытая топология
• Счетно порожденное пространство  – топологическое пространство, в котором топология определяется его счетными подмножествами.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Конечно-порожденное пространство  – топология, в которой пересечение любого семейства открытых множеств открыто.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• K-пространство (функциональный анализ)

Примечания

1. Стрикленд 2009, Определение 1.1.
2. Лоусон, Дж.; Мэдисон, Б. (1974). «Частные k-полугрупп». Semigroup Forum . 9 : 1–18. doi :10.1007/BF02194829.
3. Уиллард 2004, Определение 43.8.
4. Манкрес 2000, стр. 283.
5. Brown 2006, стр. 182.
6. Стрикленд 2009.
7. компактно сгенерированное топологическое пространство в n Lab
8. Strickland 2009, Лемма 1.4(c).
9. Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология (PDF) .( См. Приложение )
10. Brown 2006, раздел 5.9.
11. Бут, Питер; Тиллотсон, Дж. (1980). «Моноидально замкнутые, декартово замкнутые и удобные категории топологических пространств» (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 88 (1): 35–53. doi :10.2140/pjm.1980.88.35.
12. Стрикленд 2009, Предложение 1.6.
13. Bankston, Paul (1979). «Полное отрицание топологического свойства». Illinois Journal of Mathematics . 23 (2): 241–252. doi : 10.1215/ijm/1256048236 .
14. Стин и Зеебах 1995, Пример 114, стр. 136.
15. Уиллард 2004, Задача 43H(2).
16. Ламартин 1977, стр. 8.
17. Энгелькинг 1989, Пример 1.6.19.
18. Ма, Дэн (19 августа 2010 г.). «Заметка о пространстве Аренса».
19. Ламартин 1977, Предложение 1.8.
20. Стрикленд 2009, Предложение 2.2.
21. Резк 2018, Предложение 3.4(3).
22. Lawson & Madison 1974, стр. 3.
23. Браун 2006, 5.9.1 (Следствие 2).
24. Браун 2006, Предложение 5.9.1.
25. Ламартин 1977, Предложение 1.7.
26. Энгелькинг 1989, Пример 3.3.29.
27. Лоусон и Мэдисон 1974, Предложение 1.2.
28. Стрикленд 2009, Предложение 2.6.
29. Резк 2018, Предложение 7.5.
30. Ламартин 1977, Предложение 1.11.
31. Резк 2018, раздел 3.5.
32. Уиллард 2004, Теорема 43.10.
33. Стрикленд 2009, Предложение 1.11.
34. Уиллард 2004, Задача 43J(1).

Ссылки

• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN 3-88538-006-4.
• Ламартин, В.Ф. (1977), Об основах теории k-групп , Варшава: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8.
• Мэй, Дж. Питер (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-51183-9.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Резк, Чарльз (2018). «Компактно сгенерированные пространства» (PDF) .
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978]. Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. МР  0507446.
• Стрикленд, Нил П. (2009). «Категория пространств CGWH» (PDF) .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.

Дальнейшее чтение

• Компактно сгенерированные пространства - содержит превосходный каталог объектов недвижимости и конструкций с компактно сгенерированными пространствами.
• Компактно сгенерированное топологическое пространство в n Lab
• Удобная категория топологических пространств в n Lab
• https://math.stackexchange.com/questions/4646084/unraveling-the-various-definitions-of-k-space-or-compactly-generated-space