В алгебре ядро гомоморфизма (функция , сохраняющая структуру ) обычно является обратным образом 0 (за исключением групп , операция которых обозначается мультипликативно, где ядро является обратным образом 1). Важным частным случаем является ядро линейного отображения . Ядро матрицы , также называемое нулевым пространством , является ядром линейного отображения, определяемого матрицей.
Ядро гомоморфизма сводится к 0 (или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм инъективен , то есть, если прообраз каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро можно рассматривать как меру степени, в которой гомоморфизм не является инъективным. [1]
Для некоторых типов структур, таких как абелевы группы и векторные пространства , возможные ядра — это в точности подструктуры того же типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра получили специальное название, например, нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для колец .
Ядра позволяют определять факторные объекты (также называемые факторными алгебрами в универсальной алгебре и коядрами в теории категорий ). Для многих типов алгебраических структур фундаментальная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизме ) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен фактору по ядру.
Концепция ядра была расширена до структур, в которых обратное изображение одного элемента недостаточно для решения вопроса о том, является ли гомоморфизм инъективным. В этих случаях ядро представляет собой отношение конгруэнтности .
В данной статье представлен обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.
Пусть V и W — векторные пространства над полем (или, в более общем смысле, модули над кольцом ), а T — линейное отображение из V в W. Если 0 W — нулевой вектор W , то ядро T — прообраз нулевого подпространства { 0 W }; то есть подмножество V , состоящее из всех тех элементов V , которые отображаются T в элемент 0 W . Ядро обычно обозначается как ker T или его вариация:
Поскольку линейное отображение сохраняет нулевые векторы, нулевой вектор 0 V из V должен принадлежать ядру. Преобразование T инъективно тогда и только тогда, когда его ядро сводится к нулевому подпространству.
Ядро ker T всегда является линейным подпространством V . Таким образом, имеет смысл говорить о факторпространстве V / (ker T ) . Первая теорема об изоморфизме для векторных пространств утверждает, что это факторпространство естественным образом изоморфно образу T ( который является подпространством W ) . Как следствие, размерность V равна размерности ядра плюс размерность образа.
Если V и W конечномерны и выбраны базисы , то T можно описать матрицей M , а ядро можно вычислить, решив однородную систему линейных уравнений M v = 0. В этом случае ядро T можно отождествить с ядром матрицы M , также называемым «нулевым пространством» матрицы M. Размерность нулевого пространства, называемая нулем M , задается числом столбцов M за вычетом ранга M , как следствие теоремы о ранге– нуле .
Решение однородных дифференциальных уравнений часто сводится к вычислению ядра некоторых дифференциальных операторов . Например, для того, чтобы найти все дважды дифференцируемые функции f от действительной прямой до себя такие, что
пусть V будет пространством всех дважды дифференцируемых функций, пусть W будет пространством всех функций, и определим линейный оператор T из V в W следующим образом:
для f в V и x произвольного действительного числа . Тогда все решения дифференциального уравнения лежат в ker T.
Аналогичным образом можно определить ядра для гомоморфизмов между модулями над кольцом . Это включает ядра для гомоморфизмов между абелевыми группами как частный случай. Этот пример отражает суть ядер в общих абелевых категориях ; см. Ядро (теория категорий) .
Пусть G и H — группы , а f — гомоморфизм групп из G в H. Если e H — единичный элемент H , то ядро f — прообраз синглетонного множества { e H }; то есть подмножество G , состоящее из всех тех элементов G , которые отображаются f в элемент e H .
Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). В символах:
Поскольку гомоморфизм групп сохраняет единичные элементы, единичный элемент eG группы G должен принадлежать ядру .
Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро — это только одиночное множество { e G }. Если бы f не был инъективным, то неинъективные элементы могли бы образовать отдельный элемент его ядра: существовали бы a , b ∈ G такие, что a ≠ b и f ( a ) = f ( b ) . Таким образом, f ( a ) f ( b ) −1 = e H . f является групповым гомоморфизмом, поэтому обратные и групповые операции сохраняются, что дает f ( ab −1 ) = e H ; другими словами, ab −1 ∈ ker f , и ker f не был бы одиночным элементом. И наоборот, отдельные элементы ядра напрямую нарушают инъективность: если бы существовал элемент g ≠ e G ∈ ker f , то f ( g ) = f ( e G ) = e H , таким образом, f не был бы инъективным.
ker f является подгруппой G и , кроме того, является нормальной подгруппой . Таким образом, существует соответствующая фактор-группа G / (ker f ) . Она изоморфна f ( G ), образу G при f (который также является подгруппой H ), по первой теореме об изоморфизме для групп.
В частном случае абелевых групп отклонений от предыдущего раздела нет.
Пусть G — циклическая группа из 6 элементов {0, 1, 2, 3, 4, 5} с модульным сложением , H — циклическая группа из 2 элементов {0, 1} с модульным сложением, а f — гомоморфизм, который отображает каждый элемент g из G в элемент g по модулю 2 из H . Тогда ker f = {0, 2, 4} , поскольку все эти элементы отображаются в 0 H . Фактор-группа G / (ker f ) имеет два элемента: {0, 2, 4} и {1, 3, 5} . Она действительно изоморфна H .
Пусть R и S — кольца (предполагаемые единичными ), а f — гомоморфизм колец из R в S. Если 0 S — нулевой элемент S , то ядро f — его ядро как линейное отображение над целыми числами или, что эквивалентно, как аддитивные группы. Это прообраз нулевого идеала {0 S }, то есть подмножество R, состоящее из всех тех элементов R , которые отображаются f в элемент 0 S . Ядро обычно обозначается ker f ( или его вариацией). В символах:
Поскольку гомоморфизм колец сохраняет нулевые элементы, нулевой элемент 0 R кольца R должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f является инъективным тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {0 R }. Это всегда так, если R является полем , а S не является нулевым кольцом .
Поскольку ker f содержит мультипликативное тождество только тогда, когда S является нулевым кольцом, оказывается, что ядро, вообще говоря, не является подкольцом R. Ядро является подкольцом rng , а точнее, двусторонним идеалом R . Таким образом , имеет смысл говорить о фактор-кольце R / ( ker f ) . Первая теорема об изоморфизме для колец утверждает, что это фактор-кольцо естественно изоморфно образу f (который является подкольцом S ). (Заметим, что кольца не обязательно должны быть унитальными для определения ядра).
В некоторой степени это можно рассматривать как частный случай ситуации для модулей, поскольку все они являются бимодулями над кольцом R :
Однако теорема об изоморфизме дает более сильный результат, поскольку изоморфизмы колец сохраняют умножение, тогда как изоморфизмы модулей (даже между кольцами) в общем случае не сохраняют.
Этот пример отражает суть ядер в общих алгебрах Мальцева .
Пусть M и N — моноиды , а f — гомоморфизм моноидов из M в N. Тогда ядро f — это подмножество прямого произведения M × M, состоящее из всех тех упорядоченных пар элементов M , компоненты которых отображаются f в один и тот же элемент в N. Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). В символах:
Поскольку f является функцией , элементы вида ( m , m ) должны принадлежать ядру. Гомоморфизм f является инъективным тогда и только тогда, когда его ядром является только диагональное множество {( m , m ): m в M } .
Оказывается, ker f является отношением эквивалентности на M , а на самом деле отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-моноиде M / (ker f ) . Первая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает , что этот фактор-моноид естественным образом изоморфен образу f (который является подмоноидом N ; для отношения конгруэнтности).
Это сильно отличается по вкусу от приведенных выше примеров. В частности, прообраз единичного элемента N недостаточен для определения ядра f .
Все вышеперечисленные случаи могут быть объединены и обобщены в универсальной алгебре .
Пусть A и B — алгебраические структуры заданного типа, и пусть f — гомоморфизм этого типа из A в B. Тогда ядро f — это подмножество прямого произведения A × A, состоящее из всех тех упорядоченных пар элементов A , компоненты которых отображаются f в один и тот же элемент в B. Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). В символах:
Поскольку f является функцией , элементы вида ( a , a ) должны принадлежать ядру.
Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядро — это в точности диагональное множество {( a , a ) : a ∈ A } .
Легко видеть, что ker f является отношением эквивалентности на A , и фактически отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-алгебре A / (ker f ) . Первая теорема об изоморфизме в общей универсальной алгебре утверждает, что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B ) .
Обратите внимание, что определение ядра здесь (как в примере с моноидом) не зависит от алгебраической структуры; это чисто теоретико- множественная концепция. Для получения дополнительной информации об этой общей концепции, за пределами абстрактной алгебры, см. ядро функции .
В случае алгебр Мальцева эту конструкцию можно упростить. Каждая алгебра Мальцева имеет специальный нейтральный элемент ( нулевой вектор в случае векторных пространств , единичный элемент в случае коммутативных групп и нулевой элемент в случае колец или модулей). Характерной особенностью алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker f из класса эквивалентности нейтрального элемента.
Для определенности, пусть A и B будут алгебраическими структурами Мальцева заданного типа, а f будет гомоморфизмом этого типа из A в B . Если e B является нейтральным элементом B , то ядро f является прообразом синглетонного множества { e B }; то есть подмножеством A , состоящим из всех тех элементов A , которые отображаются f в элемент e B . Ядро обычно обозначается ker f (или его вариацией). В символах:
Поскольку гомоморфизм алгебры Мальцева сохраняет нейтральные элементы, единичный элемент e A алгебры A должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f является инъективным тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { e A }.
Понятие идеала обобщается на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств, нормальная подгруппа в случае групп, двусторонние идеалы в случае колец и подмодуль в случае модулей ). Оказывается, что ker f не является подалгеброй A , но является идеалом. Тогда имеет смысл говорить о фактор-алгебре G / (ker f ) . Первая теорема об изоморфизме для алгебр Мальцева утверждает , что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B ).
Связь между этим и отношением конгруэнтности для более общих типов алгебр следующая. Во-первых, ядро-как-идеал является классом эквивалентности нейтрального элемента e A относительно ядра-как-конгруэнтности. Для обратного направления нам понадобится понятие фактора в алгебре Мальцева (которое является делением на обе стороны для групп и вычитанием для векторных пространств, модулей и колец). Используя это, элементы a и b из A эквивалентны относительно ядра-как-конгруэнтности тогда и только тогда, когда их фактор a / b является элементом ядра-как-идеала.
Иногда алгебры снабжены неалгебраической структурой в дополнение к их алгебраическим операциям. Например, можно рассмотреть топологические группы или топологические векторные пространства , которые снабжены топологией . В этом случае мы ожидаем, что гомоморфизм f сохранит эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотели бы, чтобы f было непрерывным отображением . Процесс может столкнуться с загвоздкой с фактор-алгебрами, которые могут вести себя не очень хорошо. В топологических примерах мы можем избежать проблем, потребовав, чтобы топологические алгебраические структуры были хаусдорфовыми (как это обычно делается); тогда ядро (как бы оно ни было построено) будет замкнутым множеством , а фактор-пространство будет работать нормально (и также будет хаусдорфовым).
Понятие ядра в теории категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; см. Ядро (теория категорий) . Категориальным обобщением ядра как отношения конгруэнтности является ядерная пара . (Существует также понятие разностного ядра , или бинарного уравнителя .)
