Обыкновенное дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение, содержащее производные только по одной переменной

Траектория снаряда, выпущенного из пушки, следует кривой, определяемой обыкновенным дифференциальным уравнением, выведенным из второго закона Ньютона.

В математике обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) — это дифференциальное уравнение (ДУ), зависящее только от одной независимой переменной . Как и в случае с другими ДУ, его неизвестные состоят из одной (или нескольких) функций и включают производные этих функций. ^[1] Термин «обыкновенный» используется в отличие от уравнений в частных производных (УЧП), которые могут быть относительно более чем одной независимой переменной, ^[2] и, реже, в отличие от стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), где прогрессия случайна. ^[3]

Дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, которое определяется линейным полиномом относительно неизвестной функции и ее производных, то есть уравнением вида

${\displaystyle a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{0}(x)}$ , ..., ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{n}(x)}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle b(x)}$ — произвольные дифференцируемые функции , которые не обязательно должны быть линейными, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle y',\ldots ,y^{(n)}}$ — последовательные производные неизвестной функции y от переменной x . ^[4]

Среди обыкновенных дифференциальных уравнений линейные дифференциальные уравнения играют заметную роль по нескольким причинам. Большинство элементарных и специальных функций, которые встречаются в физике и прикладной математике, являются решениями линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ). Когда физические явления моделируются нелинейными уравнениями, они обычно аппроксимируются линейными дифференциальными уравнениями для более простого решения. Несколько нелинейных ОДУ, которые могут быть решены явно, обычно решаются путем преобразования уравнения в эквивалентное линейное ОДУ (см., например, уравнение Риккати ). ^[5]

Некоторые ОДУ могут быть решены явно в терминах известных функций и интегралов . Когда это невозможно, уравнение для вычисления ряда Тейлора решений может быть полезным. Для прикладных задач численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений могут предоставить приближение решения.

Фон

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) возникают во многих контекстах математики , социальных и естественных наук . Математические описания изменений используют дифференциалы и производные. Различные дифференциалы, производные и функции становятся связанными посредством уравнений, так что дифференциальное уравнение является результатом, который описывает динамически изменяющиеся явления, эволюцию и вариацию. Часто величины определяются как скорость изменения других величин (например, производные смещения по времени) или градиенты величин, и именно так они входят в дифференциальные уравнения. ^[6]

Конкретные математические области включают геометрию и аналитическую механику . Научные области включают большую часть физики и астрономии (небесная механика), метеорологию (моделирование погоды), химию (скорости реакций), ^[7] биологию (инфекционные заболевания, генетическая изменчивость), экологию и моделирование популяций (конкуренция популяций), экономику (тенденции акций, процентные ставки и рыночное равновесное изменение цен).

Многие математики изучали дифференциальные уравнения и внесли свой вклад в эту область, в том числе Ньютон , Лейбниц , семья Бернулли , Риккати , Клеро , Д'Аламбер и Эйлер .

Простым примером является второй закон движения Ньютона — связь между смещением x и временем t объекта под действием силы F задается дифференциальным уравнением

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,}$

которая ограничивает движение частицы постоянной массы m . В общем случае F является функцией положения x ( t ) частицы в момент времени t . Неизвестная функция x ( t ) появляется в обеих частях дифференциального уравнения и указывается в обозначении F ( x ( t )). ^{[8] [9] [10] [11]}

Определения

В дальнейшем y — зависимая переменная, представляющая неизвестную функцию y = f ( x ) независимой переменной x . Обозначение для дифференциации различается в зависимости от автора и от того, какое обозначение наиболее полезно для поставленной задачи. В этом контексте обозначение Лейбница ( ⁠dy/дх⁠ , ⁠д ² г/дх ²⁠ , …, ⁠д ^н г/дх ^н⁠ ) ​​более полезна для дифференцирования и интегрирования , тогда как обозначение Лагранжа ( y ′, y ′′, …, y ^{( n )} ) более полезно для компактного представления производных более высокого порядка , а обозначение Ньютона часто используется в физике для представления производных более низкого порядка по времени. ${\displaystyle ({\dot {y}},{\ddot {y}},{\overset {...}{y}})}$

Общее определение

Дано F , функция x , y и производные y . Тогда уравнение вида

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

называется явным обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n . ^{[12] [13]}

В более общем случае неявное обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n имеет вид: ^[14]

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0}$

Существуют и другие классификации:

Автономный

Дифференциальное уравнение автономно , если оно не зависит от переменной x .

Линейный

Дифференциальное уравнение является линейным , если его можно записать в виде линейной комбинации производных y ; то есть его можно переписать как ${\displaystyle F}$

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

где a  _i  ( x ) и r  ( x ) являются непрерывными функциями x . ^{[12] [15] [16]} Функция r ( x ) называется исходным членом , что приводит к дальнейшей классификации. ^{[15] [17]}

Однородный

Линейное дифференциальное уравнение однородно , если r ( x ) = 0. В этом случае всегда существует « тривиальное решение » y = 0 .

Неоднородный (или неоднородный)

Линейное дифференциальное уравнение является неоднородным , если r ( x ) ≠ 0 .

Нелинейный

Дифференциальное уравнение, которое не является линейным.

Система ОДУ

Ряд связанных дифференциальных уравнений образуют систему уравнений. Если y — вектор, элементами которого являются функции; y ( x ) = [ y ₁ ( x ), y ₂ ( x ),..., y _m ( x )], а F — векторнозначная функция y и ее производных, то

${\displaystyle \mathbf {y} ^{(n)}=\mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)}$

является явной системой обыкновенных дифференциальных уравнений порядка n и размерности m . В форме вектор - столбца :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}^{(n)}\\y_{2}^{(n)}\\\vdots \\y_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

Они не обязательно линейны. Неявный аналог:

${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)}\right)={\boldsymbol {0}}}$

где 0 = (0, 0, ..., 0) — нулевой вектор . В матричной форме

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\f_{2}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} ',\mathbf {y} '',\ldots ,\mathbf {y} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

Для системы вида некоторые источники также требуют, чтобы матрица Якоби была невырожденной , чтобы назвать это неявным ОДУ [системой]; неявная система ОДУ, удовлетворяющая этому условию невырожденности Якоби, может быть преобразована в явную систему ОДУ. В тех же источниках неявные системы ОДУ с вырожденным якобианом называются дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Это различие не просто терминологическое; ДАУ имеют принципиально разные характеристики и, как правило, более сложны для решения, чем (невырожденные) системы ОДУ. ^{[18] [19] [20]} Предположительно для дополнительных производных матрица Гессе и т. д. также предполагаются невырожденными в соответствии с этой схемой, ^{[ требуется ссылка ],} хотя следует отметить, что любое ОДУ порядка больше единицы может быть (и обычно так и есть) переписано как система ОДУ первого порядка, ^[21] что делает критерий вырожденности Якоби достаточной для того, чтобы эта таксономия была всеобъемлющей во всех порядках. ${\displaystyle \mathbf {F} \left(x,\mathbf {y} ,\mathbf {y} '\right)={\boldsymbol {0}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {F} (x,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}{\partial \mathbf {v} }}}$

Поведение системы ОДУ можно визуализировать с помощью фазового портрета .

Решения

Дано дифференциальное уравнение

${\displaystyle F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n)}\right)=0}$

Функция u : I ⊂ R → R , где I — интервал, называется решением или интегральной кривой для F , если u n - кратно дифференцируема на I , и

${\displaystyle F(x,u,u',\ \ldots ,\ u^{(n)})=0\quad x\in I.}$

Если даны два решения u : J ⊂ R → R и v : I ⊂ R → R , u называется расширением v , если I ⊂ J и

${\displaystyle u(x)=v(x)\quad x\in I.\,}$

Решение, не имеющее расширения, называется максимальным решением . Решение, определенное на всем R, называется глобальным решением .

Общее решение уравнения n-го порядка — это решение, содержащее n произвольных независимых констант интегрирования . Частное решение выводится из общего решения путем задания константам конкретных значений, часто выбираемых для выполнения набора « начальных условий или граничных условий ». ^[22] Особое решение — это решение, которое не может быть получено путем присвоения определенных значений произвольным константам в общем решении. ^[23]

В контексте линейного ОДУ термин частное решение может также относиться к любому решению ОДУ (не обязательно удовлетворяющему начальным условиям), которое затем добавляется к однородному решению (общему решению однородного ОДУ), которое затем образует общее решение исходного ОДУ. Это терминология, используемая в разделе метода угадывания в этой статье, и часто используется при обсуждении метода неопределенных коэффициентов и вариации параметров .

Решения конечной длительности

Для нелинейных автономных ОДУ при некоторых условиях возможно разработать решения конечной продолжительности, ^[24] имея в виду, что из своей собственной динамики система достигнет нулевого значения в конечное время и останется там в нуле навсегда. Эти решения конечной продолжительности не могут быть аналитическими функциями на всей действительной прямой, и поскольку они будут нелипшицевыми функциями в конечное время, они не включены в теорему единственности решений дифференциальных уравнений Липшица.

Например, уравнение:

${\displaystyle y'=-{\text{sgn}}(y){\sqrt {|y|}},\,\,y(0)=1}$

Допускает решение с конечной продолжительностью:

${\displaystyle y(x)={\frac {1}{4}}\left(1-{\frac {x}{2}}+\left|1-{\frac {x}{2}}\right|\right)^{2}}$

Теории

Единичные решения

Теория сингулярных решений обыкновенных и частных дифференциальных уравнений была предметом исследований со времен Лейбница, но только с середины девятнадцатого века ей стало уделяться особое внимание. Ценная, но малоизвестная работа по этой теме — работа Хоутэна (1854). Дарбу (с 1873) был лидером в этой теории, и в геометрической интерпретации этих решений он открыл область, над которой работали различные авторы, в частности Казорати и Кэли . Последнему принадлежит (1872) теория сингулярных решений дифференциальных уравнений первого порядка, принятая около 1900 года.

Сведение к квадратурам

Первобытная попытка иметь дело с дифференциальными уравнениями имела в виду сведение к квадратурам . Как надежда алгебраистов восемнадцатого века была найти метод решения общего уравнения n -й степени, так и надежда аналитиков была найти общий метод интегрирования любого дифференциального уравнения. Гаусс (1799) показал, однако, что сложные дифференциальные уравнения требуют комплексных чисел . Поэтому аналитики начали заменять изучение функций, тем самым открывая новое и плодородное поле. Коши был первым, кто оценил важность этой точки зрения. После этого реальный вопрос больше не заключался в том, возможно ли решение с помощью известных функций или их интегралов, а в том, достаточно ли данного дифференциального уравнения для определения функции независимой переменной или переменных, и, если да, каковы характеристические свойства.

Теория Фукса

Два мемуара Фукса ^[25] вдохновили на новый подход, впоследствии разработанный Томе и Фробениусом . Колле был видным деятелем, начиная с 1869 года. Его метод интегрирования нелинейной системы был передан Бертрану в 1868 году. Клебш (1873) атаковал теорию по линиям, параллельным тем, что были в его теории абелевых интегралов . Поскольку последняя может быть классифицирована в соответствии со свойствами фундаментальной кривой, которая остается неизменной при рациональном преобразовании, Клебш предложил классифицировать трансцендентные функции, определяемые дифференциальными уравнениями, в соответствии с инвариантными свойствами соответствующих поверхностей f = 0 при рациональных взаимно-однозначных преобразованиях.

Теория лжи

Начиная с 1870 года, работа Софуса Ли поставила теорию дифференциальных уравнений на более прочную основу. Он показал, что теории интегрирования математиков старшего поколения могут, используя группы Ли , быть отнесены к общему источнику, и что обыкновенные дифференциальные уравнения, которые допускают те же самые бесконечно малые преобразования, представляют сопоставимые трудности интегрирования. Он также подчеркнул тему преобразований контакта .

Теория групп Ли дифференциальных уравнений была сертифицирована, а именно: (1) что она объединяет множество известных методов ad hoc для решения дифференциальных уравнений, и (2) что она предоставляет мощные новые способы поиска решений. Теория применима как к обычным, так и к частным дифференциальным уравнениям. ^[26]

Общий подход к решению использует свойство симметрии дифференциальных уравнений, непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Непрерывная теория групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных (частных) дифференциальных уравнений для генерации интегрируемых уравнений, для нахождения их пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Бэклунда и, наконец, для нахождения точных аналитических решений ДУ.

Методы симметрии применяются к дифференциальным уравнениям, возникающим в математике, физике, технике и других дисциплинах.

Теория Штурма–Лиувилля

Теория Штурма–Лиувилля — это теория специального типа линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Их решения основаны на собственных значениях и соответствующих собственных функциях линейных операторов, определенных с помощью однородных линейных уравнений второго порядка . Задачи определяются как задачи Штурма–Лиувилля (SLP) и названы в честь J. C. F. Sturm и J. Liouville , которые изучали их в середине 1800-х годов. SLP имеют бесконечное число собственных значений, а соответствующие собственные функции образуют полный ортогональный набор, что делает возможными ортогональные разложения. Это ключевая идея в прикладной математике, физике и технике. ^[27] SLP также полезны при анализе некоторых уравнений с частными производными.

Существование и единственность решений

Существует несколько теорем, которые устанавливают существование и единственность решений задач начального значения, включающих ОДУ как локально, так и глобально. Две основные теоремы:

В своей базовой форме обе эти теоремы гарантируют только локальные результаты, хотя последняя может быть расширена для получения глобального результата, например, если выполнены условия неравенства Грёнвалля .

Кроме того, теоремы единственности, подобные теореме Липшица, приведенной выше, не применимы к системам ДАУ , которые могут иметь несколько решений, вытекающих только из их (нелинейной) алгебраической части. ^[28]

Упрощенная локальная теорема существования и единственности

Теорему можно сформулировать просто следующим образом. ^[29] Для уравнения и задачи начального значения: если F и ∂ F /∂ y непрерывны в замкнутом прямоугольнике в плоскости xy , где a и b являются действительными (символически: a , b ∈ R ) и × обозначает декартово произведение , квадратные скобки обозначают замкнутые интервалы , то существует интервал для некоторого h ∈ R , где может быть найдено решение вышеуказанного уравнения и задачи начального значения. То есть, существует решение, и оно единственно. Поскольку нет ограничения на то, что F должна быть линейной, это применимо к нелинейным уравнениям, которые принимают форму F ( x , y ), и это также может быть применено к системам уравнений. $${\displaystyle y'=F(x,y)\,,\quad y_{0}=y(x_{0})}$$ $${\displaystyle R=[x_{0}-a,x_{0}+a]\times [y_{0}-b,y_{0}+b]}$$ $${\displaystyle I=[x_{0}-h,x_{0}+h]\subset [x_{0}-a,x_{0}+a]}$$

Глобальная уникальность и максимальная область решения

Когда гипотезы теоремы Пикара–Линделёфа удовлетворены, тогда локальное существование и единственность могут быть расширены до глобального результата. Точнее: ^[30]

Для каждого начального условия ( x ₀ , y ₀ ) существует уникальный максимальный (возможно бесконечный) открытый интервал

${\displaystyle I_{\max }=(x_{-},x_{+}),x_{\pm }\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},x_{0}\in I_{\max }}$

таким образом, что любое решение, удовлетворяющее этому начальному условию, является ограничением решения, удовлетворяющего этому начальному условию с областью определения . ${\displaystyle I_{\max }}$

В случае, если , есть ровно две возможности ${\displaystyle x_{\pm }\neq \pm \infty }$

• взрыв за конечное время: ${\displaystyle \limsup _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty }$
• покидает область определения: ${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}y(x)\ \in \partial {\bar {\Omega }}}$

где Ω — открытое множество, в котором определено F , а — его граница. ${\displaystyle \partial {\bar {\Omega }}}$

Обратите внимание, что максимальная область решения

• всегда является интервалом (чтобы иметь уникальность)
• может быть меньше, чем ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• может зависеть от конкретного выбора ( x ₀ , y ₀ ).

Пример.

${\displaystyle y'=y^{2}}$

Это означает, что F ( x, y ) = y ² , что соответствует C ¹ и, следовательно, локально Липшицеву функтору, удовлетворяющему теореме Пикара–Линделёфа.

Даже в такой простой ситуации максимальная область решения не может быть всей, поскольку решение ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle y(x)={\frac {y_{0}}{(x_{0}-x)y_{0}+1}}}$

который имеет максимальный домен:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} &y_{0}=0\\[4pt]\left(-\infty ,x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}}\right)&y_{0}>0\\[4pt]\left(x_{0}+{\frac {1}{y_{0}}},+\infty \right)&y_{0}<0\end{cases}}}$

Это ясно показывает, что максимальный интервал может зависеть от начальных условий. Область y можно было бы взять как есть, но это привело бы к области, которая не является интервалом, так что сторона, противоположная начальному условию, была бы отсоединена от начального условия и, следовательно, не определялась бы им однозначно. ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus (x_{0}+1/y_{0}),}$

Максимальный домен не потому, что ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{\pm }}\|y(x)\|\to \infty ,}$

что является одним из двух возможных случаев согласно приведенной выше теореме.

Сокращение заказа

Дифференциальные уравнения обычно легче решать, если можно понизить порядок уравнения.

Редукция к системе первого порядка

Любое явное дифференциальное уравнение порядка n ,

${\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}}$

можно записать как систему n дифференциальных уравнений первого порядка, определив новое семейство неизвестных функций

${\displaystyle y_{i}=y^{(i-1)}.\!}$

для i = 1, 2, ..., n . Тогда n- мерная система связанных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}y_{1}'&=&y_{2}\\y_{2}'&=&y_{3}\\&\vdots &\\y_{n-1}'&=&y_{n}\\y_{n}'&=&F(x,y_{1},\ldots ,y_{n}).\end{array}}}$

более компактно в векторной записи:

${\displaystyle \mathbf {y} '=\mathbf {F} (x,\mathbf {y} )}$

где

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n}),\quad \mathbf {F} (x,y_{1},\ldots ,y_{n})=(y_{2},\ldots ,y_{n},F(x,y_{1},\ldots ,y_{n})).}$

Резюме точных решений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют решения, которые можно записать в точной и замкнутой форме. Здесь приведены несколько важных классов.

В таблице ниже P ( x ) , Q ( x ) , P ( y ) , Q ( y ) и M ( x , y ) , N ( x , y ) — любые интегрируемые функции x , y ; b и c — действительные заданные константы; C ₁ , C ₂ , ... — произвольные константы ( в общем случае комплексные ). Дифференциальные уравнения находятся в их эквивалентных и альтернативных формах, которые приводят к решению посредством интегрирования.

В интегральных решениях λ и ε являются фиктивными переменными интегрирования (континуальными аналогами индексов при суммировании ), а запись ∫ ^x F ( λ ) dλ просто означает интегрирование F ( λ ) по λ , а затем после интегрирования подстановку λ = x , без добавления констант (что явно указано).

Разделимые уравнения

Общие уравнения первого порядка

Общие уравнения второго порядка

Линейный кнуравнения го порядка

Метод угадывания

Когда все другие методы решения ОДУ терпят неудачу или в случаях, когда у нас есть некоторая интуиция относительно того, как может выглядеть решение ДУ, иногда можно решить ДУ, просто угадывая решение и проверяя его правильность. Чтобы использовать этот метод, мы просто угадываем решение дифференциального уравнения, а затем подставляем решение в дифференциальное уравнение, чтобы проверить, удовлетворяет ли оно уравнению. Если это так, то у нас есть частное решение ДУ, в противном случае мы начинаем снова и пробуем еще одну догадку. Например, мы могли бы угадать, что решение ДУ имеет вид: поскольку это очень распространенное решение, которое физически ведет себя синусоидальным образом. ${\displaystyle y=Ae^{\alpha t}}$

В случае неоднородного ОДУ первого порядка нам нужно сначала найти решение однородной части ОДУ, иначе известной как связанное однородное уравнение, а затем найти решение всего неоднородного уравнения методом угадывания. Наконец, мы складываем оба этих решения вместе, чтобы получить общее решение ОДУ, то есть:

${\displaystyle {\text{general solution}}={\text{general solution of the associated homogeneous equation}}+{\text{particular solution}}}$

Программное обеспечение для решения ОДУ

• Maxima — система компьютерной алгебры с открытым исходным кодом .
• COPASI , бесплатный ( Artistic License 2.0 ) программный пакет для интеграции и анализа ОДУ.
• MATLAB , техническое вычислительное приложение (MATrix LABoratory)
• GNU Octave — язык высокого уровня, предназначенный в первую очередь для численных вычислений.
• Scilab — приложение с открытым исходным кодом для численных вычислений.
• Maple — фирменное приложение для символьных вычислений.
• Mathematica — фирменное приложение, в первую очередь предназначенное для символьных вычислений.
• SymPy — пакет Python, который может решать ОДУ символически
• Julia (язык программирования) — язык высокого уровня, предназначенный в первую очередь для числовых вычислений.
• SageMath — приложение с открытым исходным кодом, использующее синтаксис, подобный Python, с широким спектром возможностей, охватывающих несколько разделов математики.
• SciPy — пакет Python, включающий модуль интеграции ODE.
• Chebfun — пакет с открытым исходным кодом, написанный на MATLAB , для вычислений с функциями с точностью до 15 знаков.
• GNU R — вычислительная среда с открытым исходным кодом, в первую очередь предназначенная для статистики, включающая пакеты для решения ОДУ.

Смотрите также

• Краевая задача
• Примеры дифференциальных уравнений
• Преобразование Лапласа, применяемое к дифференциальным уравнениям
• Список тем по динамическим системам и дифференциальным уравнениям
• Матричное дифференциальное уравнение
• Метод неопределенных коэффициентов
• Рекуррентное соотношение

Примечания

1. Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями моделирования. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2. Архивировано из оригинала 17 января 2020 . Получено 11 июля 2019 .
2. «Каково происхождение термина «обыкновенные дифференциальные уравнения»?». hsm.stackexchange.com . Stack Exchange . Получено 28.07.2016 .
3. Каррас, Теро; Айттала, Миика; Айла, Тимо; Лайн, Самули (2022). «Выяснение пространства проектирования генеративных моделей на основе диффузии». arXiv : 2206.00364 [cs.CV].
4. Бутчер, Дж. К. (15 декабря 2000 г.). «Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений в 20 веке». Журнал вычислительной и прикладной математики . Численный анализ 2000 г. Том VI: Обыкновенные дифференциальные уравнения и интегральные уравнения. 125 (1): 1–29. Bibcode :2000JCoAM.125....1B. doi : 10.1016/S0377-0427(00)00455-6 . ISSN  0377-0427.
5. Гринберг, Майкл Д. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Хобокен, Нью-Джерси: Wiley. ISBN 978-1-118-23002-2.
6. Денис, Бякатонда (10.12.2020). «Обзор численных и аналитических методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений». arXiv : 2012.07558 [math.HO].
7. Математика для химиков, DM Hirst, Macmillan Press , 1976, (ISBN отсутствует) SBN: 333-18172-7
8. Крейсциг (1972, стр. 64)
9. Симмонс (1972, стр. 1, 2)
10. Холлидей и Резник (1977, стр. 78)
11. Типлер (1991, стр. 78–83)
12. Harper (1976, стр. 127)
13. Крейсциг (1972, стр. 2)
14. Симмонс (1972, стр. 3)
15. Kreyszig (1972, стр. 24)
16. Симмонс (1972, стр. 47)
17. Харпер (1976, стр. 128)
18. Крейсциг (1972, стр. 12)
19. Эшер (1998, стр. 12) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
20. Ахим Ильхманн; Тимо Рейс (2014). Обзоры дифференциально-алгебраических уравнений II . Springer. С. 104–105. ISBN 978-3-319-11050-9.
21. Эшер (1998, стр. 5) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
22. Крейсциг (1972, стр. 78)
23. Крейсциг (1972, стр. 4)
24. Вардиа Т. Хаймо (1985). «Конечные дифференциальные уравнения во времени». 1985 24-я конференция IEEE по принятию решений и управлению . С. 1729–1733. doi :10.1109/CDC.1985.268832. S2CID  45426376.
25. Крелле , 1866, 1868
26. Лоуренс (1999, стр. 9) harvtxt error: no target: CITEREFLawrence1999 (help)
27. Логан, Дж. (2013). Прикладная математика (4-е изд.).
28. Эшер (1998, стр. 13) harvtxt error: no target: CITEREFAscher1998 (help)
29. Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (4-е издание), WE Boyce, RC Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1 
30. Боскейн; Читур 2011, стр. 21
31. Математический справочник формул и таблиц (3-е издание), S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7
32. Дальнейший элементарный анализ, Р. Портер, Г. Белл и сыновья (Лондон), 1978, ISBN 0-7135-1594-5 
33. Математические методы для физики и техники, KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3

Ссылки

• Холлидей, Дэвид ; Резник, Роберт (1977), Физика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-71716-9
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику , Нью-Джерси: Prentice-Hall , ISBN 0-13-487538-9
• Крейциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
• Полянин, А.Д. и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2003. ISBN 1-58488-297-2 
• Симмонс, Джордж Ф. (1972), Дифференциальные уравнения с приложениями и историческими примечаниями , Нью-Йорк: McGraw-Hill , LCCN  75173716
• Типлер, Пол А. (1991), Физика для ученых и инженеров: Расширенная версия (3-е изд.), Нью-Йорк: Worth Publishers , ISBN 0-87901-432-6
• Боскейн, Уго; Читур, Ясин (2011), Введение в автоматику (PDF) (на французском языке)
• Дрезнер, Лоуренс (1999), Приложения теории Ли обыкновенных и частных дифференциальных уравнений , Бристоль и Филадельфия: Издательство Института физики , ISBN 978-0750305303
• Ашер, Ури; Петцольд, Линда (1998), Компьютерные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , SIAM, ISBN 978-1-61197-139-2

Библиография

• Коддингтон, Эрл А.; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: McGraw-Hill .
• Хартман, Филип (2002) [1964], Обыкновенные дифференциальные уравнения, Классика прикладной математики, т. 38, Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , doi : 10.1137/1.9780898719222, ISBN 978-0-89871-510-1, г-н  1929104
• У. Джонсон, Трактат об обыкновенных и частных дифференциальных уравнениях, John Wiley and Sons, 1913, в Исторической математической коллекции Мичиганского университета
• Инс, Эдвард Л. (1944) [1926], Обыкновенные дифференциальные уравнения, Dover Publications, Нью-Йорк, ISBN 978-0-486-60349-0, МР  0010757
• Витольд Гуревич , Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям , Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8 
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations Vol. 1-3 . Провиденс: CRC-Press. ISBN 0-8493-4488-3..
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы. Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• А. Д. Полянин , В. Ф. Зайцев и А. Муссио, Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка , Taylor & Francis, Лондон, 2002. ISBN 0-415-27267-X 
• Д. Цвиллингер, Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е издание) , Academic Press, Бостон, 1997.

Внешние ссылки

• «Дифференциальное уравнение, обыкновенное», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• EqWorld: Мир математических уравнений, содержащий список обыкновенных дифференциальных уравнений с их решениями.
• Онлайн-заметки / Дифференциальные уравнения Пола Докинза, Университет Ламара .
• Дифференциальные уравнения, SOS Математика.
• Учебник по аналитическому решению дифференциальных уравнений от Института целостных численных методов Университета Южной Флориды.
• Конспект лекций Джеральда Тешла по теме «Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы» .
• Заметки о Diffy Qs: Дифференциальные уравнения для инженеров. Вводный учебник по дифференциальным уравнениям, написанный Иржи Леблом из UIUC .
• Моделирование с помощью ОДУ с использованием Scilab Учебное пособие по моделированию физической системы, описываемой ОДУ, с использованием стандартного языка программирования Scilab от команды Openeering.
• Решение обыкновенного дифференциального уравнения в Wolfram|Alpha