Линейная карта векторного пространства в его поле скаляров
В математике линейная форма (также известная как линейный функционал , [1] одноформа или ковектор ) — это линейное отображение [nb 1] векторного пространства в его поле скаляров ( часто действительных чисел или комплексные числа ).
Если V — векторное пространство над полем k , набор всех линейных функционалов от V до k сам по себе является векторным пространством над k со сложением и скалярным умножением, определенными поточечно . Это пространство называется двойственным к V пространством или иногда алгебраическим двойственным пространством , если также рассматривается топологическое двойственное пространство . Его часто обозначают Hom( V , k ) , [2] или, если понимать поле k , ; [3] также используются другие обозначения, такие как , [4] [5] или [2] Когда векторы представлены векторами-столбцами (как это обычно бывает, когда базис фиксирован), то линейные функционалы представляются как векторы-строки , и их значения на определенных векторах задаются матричными произведениями (с вектором-строкой слева).
Примеры
Функция постоянного нуля , отображающая каждый вектор в ноль, тривиально является линейным функционалом. Любой другой линейный функционал (например, приведенный ниже) сюръективен ( то есть его диапазон - весь k ).
Индексация в вектор: второй элемент трехвектора задается одноформой. То есть второй элемент равен
Среднее : средний элемент -вектора задается одной формой. То есть,
Выборка : выборку с ядром можно считать одной формой, где одна форма — это ядро, перемещенное в соответствующее место.
Предположим, что векторы в реальном координатном пространстве представлены в виде векторов-столбцов.
Для каждого вектора-строки существует линейный функционал, определяемый
и каждый линейный функционал может быть выражен в этой форме.
Это можно интерпретировать либо как матричное произведение, либо как скалярное произведение вектора-строки и вектора-столбца :
След квадратной матрицы
След квадратной матрицы — это сумма всех элементов ее главной диагонали . Матрицы можно умножать на скаляры, а две матрицы одного размера можно складывать вместе; эти операции создают векторное пространство из набора всех матриц. След является линейным функционалом на этом пространстве, поскольку и для всех скаляров и всех матриц
(Определенная) интеграция
Линейные функционалы впервые появились в функциональном анализе , исследовании векторных пространств функций . Типичным примером линейного функционала является интегрирование : линейное преобразование, определяемое интегралом Римана,
представляет собой линейный функционал из векторного пространства непрерывных функций на интервале в действительные числа. Линейность следует из стандартных фактов об интеграле:
Оценка
Пусть обозначает векторное пространство вещественных полиномиальных функций степени, определенной на интервале. Если то пусть – оценочный функционал.
Отображение является линейным, поскольку
Если точки в различны, то оценочные функционалы образуют основу двойственного пространства (Лакс (1996) доказывает этот последний факт с помощью интерполяции Лагранжа ).
Непример
Функция, имеющая уравнение прямой с (например, ), не является линейным функционалом на , поскольку она не является линейной . [nb 2] Однако оно аффинно-линейно .
Визуализация
В конечных измерениях линейный функционал можно визуализировать с точки зрения его наборов уровней — наборов векторов, которые отображаются на заданное значение. В трех измерениях множества уровня линейного функционала представляют собой семейство взаимно параллельных плоскостей; в более высоких измерениях они представляют собой параллельные гиперплоскости . Этот метод визуализации линейных функционалов иногда встречается в текстах по общей теории относительности , таких как «Гравитация» Миснера, Торна и Уиллера (1973).
Приложения
Приложение к квадратуре
Если точки в [ a , b ] различны , то линейные функционалы, определенные выше , образуют базис двойственного пространства к Pn , пространства полиномов степени. Функционал интегрирования I также является линейным функционалом на Pn , и поэтому может выражаться как линейная комбинация этих базисных элементов. В символах имеются коэффициенты, для которых
при всех это составляет основу теории числовых квадратур . [6]
В квантовой механике
Линейные функционалы особенно важны в квантовой механике . Квантово - механические системы представлены гильбертовыми пространствами , которые антиизоморфны своим собственным двойственным пространствам. Состояние квантовомеханической системы можно отождествить с линейным функционалом. Для получения дополнительной информации см. обозначение bra–ket .
где находится дельта Кронекера . Здесь верхние индексы базисных функционалов являются не экспонентами, а контравариантными индексами.
Линейный функционал, принадлежащий дуальному пространству, может быть выражен как линейная комбинация базисных функционалов с коэффициентами («компонентами») ui ,
Затем применение функционала к базисному вектору дает
вследствие линейности скалярных кратных функционалов и поточечной линейности сумм функционалов. Затем
Таким образом, каждый компонент линейного функционала можно извлечь, применив его к соответствующему базисному вектору.
Двойной базис и внутренний продукт
Когда пространство V несет скалярное произведение , то можно явно написать формулу для двойственного базиса данного базиса. Пусть V имеет (не обязательно ортогональный) базис. В трех измерениях ( n = 3 ) двойственный базис может быть записан явно , где
ε — символ Леви-Чивита и скалярное произведение (или скалярное произведение ) на V.
В более высоких измерениях это обобщается следующим образом:
где – оператор звезды Ходжа .
Через кольцо
Модули над кольцом являются обобщением векторных пространств, что снимает ограничение на принадлежность коэффициентов полю . Для модуля M над кольцом R линейная форма на M — это линейное отображение из M в R , причем последнее рассматривается как модуль над самим собой. Пространство линейных форм всегда обозначается Hom k ( V , k ) независимо от того, является ли k полем или нет. Это правый модуль , если V — левый модуль.
Существование «достаточного» количества линейных форм на модуле эквивалентно проективности . [8]
Лемма о двойственном базисе . R - модуль M проективен тогда и только тогда , когда существуют такое подмножество и линейные формы , что для каждого только конечное число ненулевых и
Смена поля
Предположим, что это векторное пространство над. Ограничение скалярного умножения дает начало вещественному векторному пространству [9], называемому реализацией.
Любое векторное пространство над также является векторным пространством над, наделенным сложной структурой ; то есть существует такое вещественное векторное подпространство , которое мы можем (формально) записать как -векторное пространство.
Действительные и сложные линейные функционалы
Каждый линейный функционал на является комплекснозначным, а каждый линейный функционал на — вещественным. Если тогда линейный функционал на одном из или нетривиален (то есть не тождественно ), тогда и только тогда, когда он сюръективен (потому что если тогда для любого скаляра ), где образ линейного функционала на является в то время как образ линейного Функционал on является
Следовательно, единственная функция on , которая является одновременно линейным функционалом on и линейной функцией on, — это тривиальный функционал; другими словами, где обозначает алгебраическое двойственное пространство пространства . Однако каждый -линейный функционал on является -линейным оператором (это означает, что он аддитивен и однороден по ), но если он не является тождественным, он не является -линейным функционалом по, потому что его диапазон (который равен ) двумерен по . И наоборот, ненулевой -линейный функционал имеет слишком малый диапазон, чтобы быть также -линейным функционалом.
Действительные и мнимые части
Если тогда обозначим его действительную часть через , а мнимую часть через
Тогда и являются линейными функционалами от и
Из того, что для всех , следует, что для всех [9]
и, следовательно, что и [10]
Присваивание определяет биективный [10] -линейный оператор , обратным для которого является отображение, определенное присваиванием , которое отправляет линейный функционал , определенный
Реальная часть is и биекция являются -линейным оператором, что означает, что и для всех и [10 ]
Аналогично для мнимой части, присваивание вызывает -линейную биекцию , обратная которой является отображением, определяемым путем отправки линейного функционала на, определяемого формулой
Это соотношение было обнаружено Генри Лёвигом в 1934 г. (хотя обычно его приписывают Ф. Мюррею) [11] и может быть естественным образом обобщено на произвольные конечные расширения поля . Это имеет множество важных последствий, некоторые из которых сейчас будут описаны.
Свойства и отношения
Пусть — линейный функционал с действительной и мнимой частью.
Тогда тогда и только тогда , когда
Предположим, что это топологическое векторное пространство . Тогда непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывна его действительная часть, тогда и только тогда, когда непрерывна его мнимая часть . То есть либо все три из и непрерывны, либо ни один из них не является непрерывным. Это останется верным, если слово «непрерывный» заменить словом « ограниченный ». В частности, тогда и только тогда, когда где штрих обозначает непрерывное двойственное пространство пространства . [9]
Пусть Если для всех скаляров единичной длины (что означает ), то [доказательство 1] [12]
Аналогично, если обозначает комплексную часть, то следует.
Если - нормированное пространство с нормой , а если - замкнутый единичный шар, то супремумы выше - это оператор нормы (определенные обычным способом) и так что [12]
Этот вывод распространяется на аналогичное утверждение для поляр сбалансированных множеств в общих топологических векторных пространствах .
Если это комплексное гильбертово пространство с (комплексным) внутренним произведением , антилинейным по первой координате (и линейным по второй), то оно становится реальным гильбертовым пространством, если наделить его вещественной частью. Явно, это вещественное внутреннее произведение на определяется формулой для всех , и это индуцирует ту же норму на , что и для всех векторов. Применение теоремы о представлении Рисса к (соответственно к ) гарантирует существование уникального вектора (соответственно ) такого, что (соответственно ) для всех векторов. Теорема также гарантирует, что и Легко проверить, что Now и предыдущие равенства влекут за собой тот же вывод, к которому пришли выше.
Если — топологическое векторное пространство , то пространство непрерывных линейных функционалов — непрерывное двойственное — часто называют просто двойственным пространством. Если — банахово пространство , то также и его (непрерывное) двойственное пространство. Чтобы отличить обычное дуальное пространство от непрерывного дуального пространства, первое иногда называют алгебраическим дуальным пространством . В конечных измерениях каждый линейный функционал непрерывен, поэтому непрерывный двойственный функционал аналогичен алгебраическому двойственному, но в бесконечных измерениях непрерывный двойственный функционал является собственным подпространством алгебраически двойственного.
Непрерывные линейные функционалы обладают хорошими свойствами для анализа : линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда его ядро замкнуто [14] , а нетривиальный непрерывный линейный функционал является открытым отображением , даже если (топологическое) векторное пространство не является полным. . [15]
Гиперплоскости и максимальные подпространства
Векторное подпространство называется максимальным, если ( значение и ) и не существует такого векторного подпространства, что векторное подпространство максимально тогда и только тогда, когда оно является ядром некоторого нетривиального линейного функционала на (т. е. для некоторого линейный функционал при этом не тождественен 0 ). Аффинная гиперплоскость в является транслятом максимального векторного подпространства. В силу линейности подмножество является аффинной гиперплоскостью тогда и только тогда, когда существует нетривиальный линейный функционал на такой, что [11]
Если это линейный функционал и скаляр, то это равенство можно использовать для связи различных множеств уровня более того , если то ядро можно восстановить по аффинной гиперплоскости с помощью
Отношения между несколькими линейными функционалами
Любые два линейных функционала с одинаковым ядром пропорциональны (т.е. скалярно кратны друг другу). Этот факт можно обобщить до следующей теоремы.
Теорема [16] [17] — Если линейные функционалы на X , то следующие утверждения эквивалентны:
f можно записать как линейную комбинацию ; то есть существуют скаляры такие, что ;
;
существует такое вещественное число r , что для всех и вся
Если f — нетривиальный линейный функционал на X с ядром N , удовлетворяет условиям и U — сбалансированное подмножество X , то тогда и только тогда, когда для всех [15]
Теорема Хана – Банаха
Любой (алгебраический) линейный функционал в векторном подпространстве можно расширить на все пространство; например, описанные выше функционалы оценки могут быть расширены на векторное пространство полиномов для всех. Однако это расширение не всегда может быть выполнено, сохраняя при этом непрерывный линейный функционал. Семейство теорем Хана – Банаха дает условия, при которых это расширение может быть выполнено. Например,
Теорема Хана–Банаха о доминируемом расширении [18] (Рудин 1991, теорема 3.2) — Если это сублинейная функция и линейный функционал в линейном подпространстве , в котором доминирует p на M , то существует линейное расширение f до все пространство X , в котором доминирует p , т. е. существует линейный функционал F такой, что
для всех и
для всех
Если H — равнонепрерывное подмножество, то следующие множества также равнонепрерывны: слабое замыкание, сбалансированная оболочка , выпуклая оболочка и выпуклая сбалансированная оболочка . [19]
Более того, из теоремы Алаоглу следует, что слабое* замыкание равностепенно непрерывного подмножества является слабо* компактным (и, таким образом, каждое равноравномерно непрерывное подмножество слабо* относительно компактно). [20] [19]
^ В некоторых текстах роли меняются местами, и векторы определяются как линейные отображения ковекторов в скаляры.
^ Например,
Доказательства
^ Это правда, если так, то предположим иначе. Поскольку для всех скаляров следует, что Если то пусть и таковы, что и где, если тогда взять Тогда и поскольку является действительным числом, По предположению так Поскольку было произвольным, отсюда следует, что
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. ОСЛК 840278135.
Шутц, Бернард (1985), «Глава 3», Первый курс общей теории относительности , Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27703-5
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. ОКЛК 853623322.