Линейная зависимость

Тип математического уравнения

В линейной алгебре линейное отношение или просто отношение между элементами векторного пространства или модуля — это линейное уравнение , решением которого являются эти элементы.

Точнее, если — элементы (левого) модуля M над кольцом R (случай векторного пространства над полем является частным случаем), то отношение между — это последовательность элементов R такая, что ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle (f_{1},\dots ,f_{n})}$

${\displaystyle f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.}$

Отношения между образуют модуль. Обычно интерес представляет случай, когда — порождающий набор конечно порождённого модуля M , в этом случае модуль отношений часто называют модулем сизигии M . Модуль сизигии зависит от выбора порождающего набора, но он единствен с точностью до прямой суммы со свободным модулем. То есть, если и — модули сизигии, соответствующие двум порождающим наборам одного и того же модуля, то они стабильно изоморфны , что означает, что существуют два свободных модуля и такие, что и изоморфны . ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Модули сизигий более высокого порядка определяются рекурсивно: первый модуль сизигий модуля M — это просто его модуль сизигий. Для k > 1 k-й модуль сизигий модуля M является модулем сизигий ( k – 1) -го модуля сизигий. Теорема Гильберта о сизигиях утверждает, что если — полиномиальное кольцо от n неопределенностей над полем, то каждый n- й модуль сизигий свободен. Случай n = 0 означает, что каждое конечномерное векторное пространство имеет базис, а случай n = 1 означает, что K [ x ] — область главных идеалов и что каждый подмодуль конечно порождённого свободного модуля K [ x ] также свободен. ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Конструкция модулей сизигий высшего порядка обобщается как определение свободных резольвент , что позволяет переформулировать теорему Гильберта о сизигиях как полиномиальное кольцо от n неизвестных над полем, имеющее глобальную гомологическую размерность n .

Если a и b — два элемента коммутативного кольца R , то ( b , – a ) — это отношение, которое называется тривиальным . Модуль тривиальных отношений идеала — это подмодуль первого модуля сизигий идеала, который порождается тривиальными отношениями между элементами порождающего множества идеала. Понятие тривиальных отношений может быть обобщено на модули сизигий более высокого порядка, и это приводит к понятию комплекса Кошуля идеала, который предоставляет информацию о нетривиальных отношениях между порождающими идеала.

Основные определения

Пусть R — кольцо , а M — левый R - модуль . Линейное отношение или просто отношение между k элементами M — это последовательность элементов R, такая что ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{k})}$

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.}$

Если является порождающим набором M , отношение часто называют сизигией M . Имеет смысл называть его сизигией независимо от , поскольку, хотя модуль сизигии зависит от выбранного порождающего набора, большинство его свойств независимы; см. § Стабильные свойства ниже . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{1},..,x_{k}}$

Если кольцо R является нётеровым или, по крайней мере, когерентным, и если M конечно порождён, то модуль сизигий также конечно порождён. Модуль сизигий этого модуля сизигий является вторым модулем сизигий M. Продолжая таким образом , можно определить k - й модуль сизигий для каждого положительного целого числа k .

Теорема Гильберта о сизигиях утверждает, что если M — конечно порождённый модуль над кольцом многочленов над полем , то любой n- й модуль сизигий является свободным модулем . ${\displaystyle K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Стабильные свойства

Вообще говоря, на языке K-теории свойство является стабильным , если оно становится истинным при выполнении прямой суммы с достаточно большим свободным модулем . Фундаментальным свойством модулей сизигий является то, что существуют «стабильно независимые» выборы порождающих множеств для задействованных модулей. Следующий результат является основой этих стабильных свойств.

Предложение  —  Пусть — порождающее множество R -модуля M , а — другие элементы M. Модуль соотношений между является прямой суммой модуля соотношений между и свободным модулем ранга n . ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$

Доказательство. Поскольку является порождающим множеством, каждое может быть записано Это обеспечивает связь между Теперь, если является любым отношением, то является связью между единственным. Другими словами, каждое отношение между является суммой отношения между и линейной комбинацией s . Несложно доказать, что это разложение уникально, и это доказывает результат. ${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.}$ ${\displaystyle r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})}$ ${\displaystyle \textstyle r-\sum b_{i}r_{i}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Это доказывает, что первый модуль сизигий является "стабильно уникальным". Точнее, если даны два порождающих набора и модуля M , если и являются соответствующими модулями отношений, то существуют два свободных модуля и такие, что и изоморфны. Для доказательства этого достаточно дважды применить предыдущее предложение для получения двух разложений модуля отношений между объединением двух порождающих наборов. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Для получения аналогичного результата для высших модулей сизигий остается доказать, что если M — любой модуль, а L — свободный модуль, то M и M ⊕ L имеют изоморфные модули сизигий. Достаточно рассмотреть порождающий набор M ⊕ L , состоящий из порождающего набора M и базиса L. Для любого соотношения между элементами этого порождающего набора коэффициенты базисных элементов L равны нулю, а сизигии M ⊕ L — это в точности сизигии M , расширенные с нулевыми коэффициентами. Это завершает доказательство следующей теоремы.

Теорема  —  Для каждого положительного целого числа k k -й модуль сизигии данного модуля зависит от выбора порождающих наборов, но является единственным с точностью до прямой суммы со свободным модулем. Точнее, если и являются k -ми модулями сизигии, полученными с помощью различного выбора порождающих наборов, то существуют свободные модули и такие, что и изоморфны. ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle S_{1}\oplus L_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}\oplus L_{2}}$

Связь со свободными решениями

Учитывая порождающий набор R -модуля , можно рассмотреть свободный модуль L базиса , где - новые неопределенности. Это определяет точную последовательность ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n}}$ ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n},}$ ${\displaystyle G_{1},\dots ,G_{n}}$

${\displaystyle L\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

где левая стрелка — это линейное отображение , которое отображает каждое в соответствующее Ядро этой левой стрелки — это первый модуль сизигии M. ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}.}$

Эту конструкцию можно повторить с этим ядром вместо M. Повторяя эту конструкцию снова и снова, получаем длинную точную последовательность

${\displaystyle \cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,}$

где все являются свободными модулями . По определению, такая длинная точная последовательность является свободной резольвентой M. ${\displaystyle L_{i}}$

Для каждого k ≥ 1 ядро ​​стрелки, начинающейся с, является k- м модулем сизигии M. Отсюда следует, что изучение свободных резольвент совпадает с изучением модулей сизигии. ${\displaystyle S_{k}}$ ${\displaystyle L_{k-1}}$

Свободная резольвента конечна длины ≤ n , если свободна. В этом случае можно взять и ( нулевой модуль ) для любого k > n . ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}=S_{n},}$ ${\displaystyle L_{k}=0}$

Это позволяет переформулировать теорему Гильберта о сизигиях : если — полиномиальное кольцо от n неопределенностей над полем K , то каждая свободная резольвента конечна и имеет длину не более n . ${\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$

Глобальная размерность коммутативного нётерова кольца либо бесконечна, либо равна минимальному n такому, что каждая свободная резольвента конечна и имеет длину не более n . Коммутативное нётерово кольцо является регулярным , если его глобальная размерность конечна. В этом случае глобальная размерность равна его размерности Крулля . Таким образом, теорему Гильберта о сизигиях можно переформулировать в очень коротком предложении, которое скрывает много математики: кольцо многочленов над полем является регулярным кольцом.

Тривиальные отношения

В коммутативном кольце R всегда ab – ba = 0. Это тривиально подразумевает , что ( b , – a ) является линейным отношением между a и b . Поэтому, если задано порождающее множество идеала I , то каждый элемент подмодуля называется тривиальным отношением или тривиальной сизигией , который порождается этими тривиальными отношениями между двумя порождающими элементами. Точнее, модуль тривиальных сизигий порождается отношениями ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{k}}$

${\displaystyle r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})}$

так и иначе. ${\displaystyle x_{i}=g_{j},}$ ${\displaystyle x_{j}=-g_{i},}$ ${\displaystyle x_{h}=0}$

История

Слово сизигия вошло в математику с работой Артура Кэли . ^[1] В этой статье Кэли использовал его в теории результирующих и дискриминантных чисел . ^[2] Поскольку слово сизигия использовалось в астрономии для обозначения линейной связи между планетами, Кэли использовал его для обозначения линейных связей между минорами матрицы, например, в случае матрицы 2×3:

${\displaystyle a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.}$

Затем слово «сизигия» было популяризировано (среди математиков) Дэвидом Гильбертом в его статье 1890 года, которая содержит три фундаментальные теоремы о многочленах: теорему Гильберта о сизигии , теорему Гильберта о базисе и теорему Гильберта о нулях .

В своей статье Кэли использует в частном случае то, что позже ^[3] было названо комплексом Кошуля , по аналогии с конструкцией в дифференциальной геометрии математика Жана-Луи Кошуля .

Примечания

1. 1847[Cayley 1847] A. Cayley, «О теории инволюции в геометрии», Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. См. также Collected Papers, Vol. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Кембридж.
2. [Гельфанд и др. 1994] И. М. Гельфанд, М. М. Капранов, А. В. Зелевинский, Дискриминанты, результанты и многомерные определители, Математика: теория и приложения, Биркхойзер, Бостон, 1994.
3. Серр, регион Жан-Пьера Алжебра. Множественность. (Французский) Cours au Collège de France, 1957–1958, редиг Пьера Габриэля. Второе издание, 1965. Конспекты лекций по математике, 11 Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1965 vii+188 стр.; это опубликованная форма мимеографированных конспектов лекций Серра в Коллеж де Франс в 1958 году.

Ссылки

• Кокс, Дэвид; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2007). «Идеалы, многообразия и алгоритмы». Бакалаврские тексты по математике . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. doi :10.1007/978-0-387-35651-8. ISBN 978-0-387-35650-1. ISSN  0172-6056.
• Кокс, Дэвид; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). «Использование алгебраической геометрии». Graduate Texts in Mathematics . New York: Springer-Verlag. doi :10.1007/b138611. ISBN 0-387-20706-6.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с видом на алгебраическую геометрию . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Дэвид Эйзенбуд, Геометрия сизигий, Graduate Texts in Mathematics, т. 229, Springer, 2005.