Треугольная матрица

Специальный вид квадратной матрицы

В математике треугольная матрица — это особый вид квадратной матрицы . Квадратная матрица называетсянижняя треугольная , если все элементывышеглавнойдиагоналиравны нулю. Аналогично, квадратная матрица называетсяверхний треугольный , если все элементынижеглавной диагонали равны нулю.

Поскольку матричные уравнения с треугольными матрицами решать проще, они очень важны в численном анализе . С помощью алгоритма разложения LU обратимая матрица может быть записана как произведение нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной матрицы U тогда и только тогда, когда все ее ведущие главные миноры не равны нулю.

Описание

Матрица вида

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

называется нижней треугольной матрицей или левой треугольной матрицей , и аналогично матрицей вида

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

называется верхней треугольной матрицей или правой треугольной матрицей . Нижняя или левая треугольная матрица обычно обозначается переменной L , а верхняя или правая треугольная матрица обычно обозначается переменной U или R.

Матрица, которая является как верхней, так и нижней треугольной, называется диагональной . Матрицы, подобные треугольным матрицам, называются триангуляризируемыми .

Неквадратная (или иногда любая) матрица с нулями выше (ниже) диагонали называется нижней (верхней) трапециевидной матрицей. Ненулевые элементы образуют форму трапеции .

Примеры

Матрица

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\\\end{bmatrix}}}$

нижняя треугольная, и

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

верхний треугольный.

Прямая и обратная замена

Матричное уравнение в форме или очень легко решить с помощью итерационного процесса, называемого прямой подстановкой для нижних треугольных матриц и аналогично обратной подстановкой для верхних треугольных матриц. Процесс так называется, потому что для нижних треугольных матриц сначала вычисляется , затем подставляется вперед в следующее уравнение для решения и повторяется до . В верхней треугольной матрице работают в обратном порядке, сначала вычисляя , затем подставляя это обратно в предыдущее уравнение для решения и повторяясь до . ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

Обратите внимание, что для этого не требуется инвертировать матрицу.

Прямая замена

Матричное уравнение L x = b можно записать в виде системы линейных уравнений

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

Обратите внимание, что первое уравнение ( ) включает только , и поэтому можно решить для напрямую. Второе уравнение включает только и , и поэтому его можно решить, подставив уже решенное значение для . Продолжая таким образом, -е уравнение включает только , и можно решить для , используя ранее решенные значения для . Полученные формулы: ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

Матричное уравнение с верхней треугольной матрицей U можно решить аналогичным образом, только действуя в обратном порядке.

Приложения

Прямая подстановка используется в финансовом бутстрэппинге для построения кривой доходности .

Характеристики

Транспонированная верхняя треугольная матрица дает нижнюю треугольную матрицу и наоборот.

Матрица, которая одновременно симметрична и треугольна, является диагональной. Аналогичным образом, матрица, которая одновременно является нормальной (то есть A ^* A = AA ^* , где A ^* — сопряженное транспонирование ) и треугольной, также является диагональной. Это можно увидеть, посмотрев на диагональные элементы A ^* A и AA ^* .

Определитель и константа треугольной матрицы равны произведению диагональных элементов, что можно проверить прямым вычислением .

На самом деле верно больше: собственные значения треугольной матрицы — это в точности ее диагональные элементы. Более того, каждое собственное значение встречается на диагонали ровно k раз, где k — его алгебраическая кратность , то есть его кратность как корня характеристического многочлена матрицы A. Другими словами, характеристический многочлен треугольной матрицы n × n A — это в точности ${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$,

то есть, уникальный многочлен степени n , корни которого являются диагональными элементами A (с кратностями). Чтобы увидеть это, заметьте, что также является треугольным и, следовательно, его определитель является произведением его диагональных элементов . ^[1] ${\displaystyle xI-A}$ ${\displaystyle \det(xI-A)}$ ${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

Специальные формы

Унитреугольная матрица

Если элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы все равны 1, то матрица называется (верхней или нижней) унитреугольной .

Другие названия, используемые для этих матриц, — единичная (верхняя или нижняя) треугольная или очень редко нормированная (верхняя или нижняя) треугольная . Однако единичная треугольная матрица — это не то же самое, что единичная матрица , а нормированная треугольная матрица не имеет ничего общего с понятием нормы матрицы .

Все конечные унитреугольные матрицы унипотентны .

Строго треугольная матрица

Если все элементы на главной диагонали (верхней или нижней) треугольной матрицы также равны 0, то матрица называется строго (верхней или нижней) треугольной .

Все конечные строго треугольные матрицы нильпотентны с индексом не выше n, как следствие теоремы Кэли-Гамильтона .

Атомная треугольная матрица

Атомная (верхняя или нижняя) треугольная матрица — это особая форма унитреугольной матрицы, где все недиагональные элементы равны нулю, за исключением элементов в одном столбце. Такая матрица также называется матрицей Фробениуса , матрицей Гаусса или матрицей преобразования Гаусса .

Блочно-треугольная матрица

Блочно-треугольная матрица — это блочная матрица (секционированная матрица), которая является треугольной матрицей.

Верхний блок треугольный

Матрица является верхней блочно-треугольной, если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^[2] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Нижний блок треугольный

Матрица является нижнеблочно-треугольной, если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$,

где для всех . ^[2] ${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

Треугольность

Матрица, подобная треугольной , называется триангуляризируемой . Абстрактно это эквивалентно стабилизации флага : верхние треугольные матрицы — это в точности те, которые сохраняют стандартный флаг , который задается стандартным упорядоченным базисом и результирующим флагом Все флаги сопряжены (поскольку общая линейная группа действует транзитивно на базисах), поэтому любая матрица, стабилизирующая флаг, подобна матрице, стабилизирующей стандартный флаг. ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Любая комплексная квадратная матрица триангулируема. ^[1] Фактически, матрица A над полем, содержащим все собственные значения A (например, любая матрица над алгебраически замкнутым полем ), подобна треугольной матрице. Это можно доказать с помощью индукции по факту, что A имеет собственный вектор, взяв факторпространство по собственному вектору и проведя индукцию, чтобы показать, что A стабилизирует флаг и, таким образом, триангулируема относительно базиса для этого флага.

Более точное утверждение дается теоремой Жордана о нормальной форме , которая утверждает, что в этой ситуации A похожа на верхнюю треугольную матрицу очень частного вида. Однако более простой результат триангуляризации часто оказывается достаточным и в любом случае используется при доказательстве теоремы Жордана о нормальной форме. ^{[1] [3]}

В случае комплексных матриц можно сказать больше о триангуляризации, а именно, что любая квадратная матрица A имеет разложение Шура . Это означает, что A унитарно эквивалентна (т.е. подобна, используя унитарную матрицу в качестве замены базиса) верхней треугольной матрице; это следует из взятия эрмитова базиса для флага.

Одновременная треугольность

Говорят, что набор матриц ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$одновременно триангулируемы, если существует базис, при котором все они являются верхнетреугольными; эквивалентно, если они верхнетреугольны с помощью одной матрицы подобияP.Такой набор матриц легче понять, рассмотрев алгебру матриц, которую он порождает, а именно все многочлены вобозначеннойОдновременная триангулируемость означает, что эта алгебра сопряжена с подалгеброй Ли верхнетреугольных матриц и эквивалентна тому, что эта алгебра является подалгеброй Липодалгебры Бореля. ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

Основной результат заключается в том, что (над алгебраически замкнутым полем) коммутирующие матрицы или, в более общем случае, одновременно триангулируемы. Это можно доказать, сначала показав, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, а затем индукцией по размерности, как и раньше. Это было доказано Фробениусом, начиная с 1878 года для коммутирующей пары, как обсуждалось в коммутирующие матрицы . Что касается одной матрицы, над комплексными числами они могут быть триангулированы унитарными матрицами. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

Тот факт, что коммутирующие матрицы имеют общий собственный вектор, можно интерпретировать как результат Nullstellensatz Гильберта : коммутирующие матрицы образуют коммутативную алгебру над которой можно интерпретировать как многообразие в k -мерном аффинном пространстве, а существование (общего) собственного значения (и, следовательно, общего собственного вектора) соответствует тому, что это многообразие имеет точку (будучи непустой), которая является содержимым (слабого) Nullstellensatz. ^{[ необходима цитата ]} В алгебраических терминах эти операторы соответствуют алгебраическому представлению алгебры полиномов от k переменных. ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

Это обобщается теоремой Ли , которая показывает, что любое представление разрешимой алгебры Ли одновременно является верхнетриангуляризируемым, причем случай коммутирующих матриц является случаем абелевой алгебры Ли , абелева алгебра a fortiori разрешима.

Более общо и точно, множество матриц одновременно триангулируемо тогда и только тогда, когда матрица нильпотентна для всех полиномов p от k некоммутирующих переменных, где — коммутатор ; для коммутирования коммутатор равен нулю, так что это справедливо. Это было доказано Дразином, Данджи и Грюнбергом в 1951 году; [ ^4] краткое доказательство дано Прасоловым в 1994 году. ^[5] Одно направление ясно: если матрицы одновременно триангулируемы, то строго верхнетриангулируемо (следовательно, нильпотентно), что сохраняется при умножении на любое из них или их комбинацию — на диагонали в триангуляционном базисе все еще будут нули. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{k}}$

Алгебры треугольных матриц

Двоичные нижние унитреугольные матрицы Теплица , умноженные с использованием операций F 2. Они образуют таблицу Кэли Z 4 и соответствуют степеням перестановки 4-битного кода Грея.

Верхняя треугольность сохраняется многими операциями:

• Сумма двух верхних треугольных матриц является верхней треугольной.
• Произведение двух верхних треугольных матриц является верхней треугольной матрицей.
• Обратная матрица верхней треугольной формы, если она существует, является верхней треугольной .
• Произведение верхней треугольной матрицы и скаляра является верхнетреугольным.

Вместе эти факты означают, что верхние треугольные матрицы образуют подалгебру ассоциативной алгебры квадратных матриц для заданного размера. Кроме того, это также показывает, что верхние треугольные матрицы можно рассматривать как подалгебру Ли алгебры Ли квадратных матриц фиксированного размера, где скобка Ли [ a , b ] задается коммутатором ab − ba . Алгебра Ли всех верхних треугольных матриц является разрешимой алгеброй Ли . Ее часто называют подалгеброй Бореля алгебры Ли всех квадратных матриц.

Все эти результаты остаются в силе, если заменить верхнюю треугольную на нижнюю треугольную матрицу ; в частности, нижние треугольные матрицы также образуют алгебру Ли. Однако операции смешивания верхних и нижних треугольных матриц в общем случае не производят треугольные матрицы. Например, сумма верхней и нижней треугольной матрицы может быть любой матрицей; произведение нижней треугольной матрицы на верхнюю треугольную матрицу также не обязательно треугольное.

Множество унитреугольных матриц образует группу Ли .

Множество строго верхних (или нижних) треугольных матриц образует нильпотентную алгебру Ли , обозначаемую Эта алгебра является производной алгеброй Ли , алгебры Ли всех верхних треугольных матриц; в обозначениях Кроме того, — алгебра Ли группы Ли унитреугольных матриц. ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

Фактически, по теореме Энгеля любая конечномерная нильпотентная алгебра Ли сопряжена с подалгеброй строго верхнетреугольных матриц, то есть конечномерная нильпотентная алгебра Ли одновременно строго верхнетреугольна.

Алгебры верхних треугольных матриц имеют естественное обобщение в функциональном анализе , которое дает гнездовые алгебры на гильбертовых пространствах .

Подгруппы Бореля и подалгебры Бореля

Множество обратимых треугольных матриц заданного вида (верхних или нижних) образует группу , а именно группу Ли , которая является подгруппой общей линейной группы всех обратимых матриц. Треугольная матрица обратима в точности тогда, когда ее диагональные элементы обратимы (не равны нулю).

Над действительными числами эта группа несвязна, имея компоненты соответственно тому, что каждый диагональный элемент положителен или отрицателен. Компонент тождества — это обратимые треугольные матрицы с положительными элементами на диагонали, а группа всех обратимых треугольных матриц — это полупрямое произведение этой группы и группы диагональных матриц с на диагонали, соответствующих компонентам. ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

Алгебра Ли группы Ли обратимых верхнетреугольных матриц — это множество всех верхнетреугольных матриц, не обязательно обратимых, и является разрешимой алгеброй Ли . Это, соответственно, стандартная подгруппа Бореля B группы Ли GL _n и стандартная подалгебра Бореля алгебры Ли gl _n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

Верхние треугольные матрицы — это как раз те, которые стабилизируют стандартный флаг . Обратимые из них образуют подгруппу общей линейной группы, сопряженные подгруппы которой определяются как стабилизатор некоторого (другого) полного флага. Эти подгруппы являются подгруппами Бореля . Группа обратимых нижних треугольных матриц является такой подгруппой, поскольку она является стабилизатором стандартного флага, связанного со стандартным базисом в обратном порядке.

Стабилизатор частичного флага, полученный путем забывания некоторых частей стандартного флага, можно описать как набор блочных верхних треугольных матриц (но его элементы не все являются треугольными матрицами). Сопряженные такой группы — это подгруппы, определяемые как стабилизатор некоторого частичного флага. Эти подгруппы называются параболическими подгруппами.

Примеры

Группа верхних унитреугольных матриц размера 2×2 изоморфна аддитивной группе поля скаляров; в случае комплексных чисел она соответствует группе, образованной параболическими преобразованиями Мёбиуса ; верхние унитреугольные матрицы размера 3×3 образуют группу Гейзенберга .

Смотрите также

• Гауссово исключение
• QR-разложение
• Разложение Холецкого
• Матрица Хессенберга
• Трёхдиагональная матрица
• Инвариантное подпространство

Ссылки

1. Axler, Sheldon Jay (1997). Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 86–87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC  54850562.
2. Бернстайн, Деннис С. (2009). Матричная математика: теория, факты и формулы (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 168. ISBN 978-0-691-14039-1.
3. Herstein, IN (1975). Topics in Algebra (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. С. 285–290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC  3307396.
4. Drazin, MP; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951). «Некоторые теоремы о коммутативных матрицах». Журнал Лондонского математического общества . 26 (3): 221–228. doi :10.1112/jlms/s1-26.3.221.
5. Прасолов, ВВ (1994). Задачи и теоремы линейной алгебры. Симеон Иванов. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 178–179. ISBN 9780821802366. OCLC  30076024.