Минимальная поверхность

Поверхность, локально минимизирующая свою площадь

Геликоидная минимальная поверхность, образованная мыльной пленкой на винтовом каркасе .

В математике минимальная поверхность — это поверхность, которая локально минимизирует свою площадь. Это эквивалентно нулевой средней кривизне (см. определения ниже).

Термин «минимальная поверхность» используется потому, что эти поверхности изначально возникли как поверхности, которые минимизировали общую площадь поверхности с учетом некоторых ограничений. Физические модели минимальных поверхностей, минимизирующих площадь, можно создать, погрузив проволочный каркас в мыльный раствор, образуя мыльную пленку , которая представляет собой минимальную поверхность, границей которой является проволочный каркас. Однако этот термин используется для более общих поверхностей, которые могут самопересекаться или не иметь ограничений. Для данного ограничения также может существовать несколько минимальных поверхностей с разными площадями (например, см. « Минимальную поверхность вращения »): стандартные определения относятся только к локальному оптимуму , а не к глобальному оптимуму .

Определения

Седельная башня минимальной поверхности. Хотя любое небольшое изменение поверхности увеличивает ее площадь, существуют другие поверхности с той же границей и меньшей общей площадью.

Минимальные поверхности могут быть определены в . Тот факт, что они эквивалентны, служит для демонстрации того, как минимальная теория поверхности лежит на перекрестке нескольких математических дисциплин, особенно дифференциальной геометрии , вариационного исчисления , теории потенциала , комплексного анализа и математической физики . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определение локальной наименьшей площади : поверхность минимальна тогда и только тогда, когда каждая точка p ∈ M имеет окрестность , ограниченную простой замкнутой кривой, которая имеет наименьшую площадь среди всех поверхностей, имеющих одинаковую границу. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Это свойство является локальным: на минимальной поверхности могут существовать области вместе с другими поверхностями меньшей площади, имеющими ту же границу. Это свойство устанавливает связь с мыльными пленками; мыльная пленка, деформированная так, чтобы иметь проволочный каркас в качестве границы, минимизирует площадь.

Вариационное определение : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда она является критической точкой функционала площади для всех вариаций с компактным носителем . ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Это определение делает минимальные поверхности двумерным аналогом геодезических , которые аналогично определяются как критические точки функционала длины.

Плоскости минимальной кривизны поверхности. На минимальной поверхности кривизна вдоль главных плоскостей кривизны равна и противоположна в каждой точке. Это делает среднюю кривизну нулевой.

Определение средней кривизны : поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю во всех точках. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

Прямым следствием этого определения является то, что каждая точка на поверхности является седловой точкой с равными и противоположными главными кривизнами . Кроме того, это превращает минимальные поверхности в статические решения потока средней кривизны . По уравнению Юнга-Лапласа средняя кривизна мыльной пленки пропорциональна разнице давлений между сторонами. Если мыльная пленка не охватывает область, то ее средняя кривизна будет равна нулю. Напротив, сферический мыльный пузырь заключает в себе область, давление которой отличается от давления внешней области, и поэтому не имеет нулевой средней кривизны.

Определение дифференциального уравнения : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее можно локально выразить как график решения ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

Уравнение в частных производных в этом определении было первоначально найдено в 1762 году Лагранжем [ ^2] и Жаном Батистом Мёнье, который обнаружил в 1776 году , что оно подразумевает исчезновение средней кривизны. ^[3]

Определение энергии : конформное погружение является минимальным тогда и только тогда, когда оно является критической точкой энергии Дирихле для всех вариаций с компактным носителем или, что то же самое, если любая точка имеет окрестность с наименьшей энергией относительно ее границы. ${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle p\in M}$

Это определение связывает минимальные поверхности с гармоническими функциями и теорией потенциала .

Гармоническое определение : Если это изометрическое погружение римановой поверхности в 3-пространство, то говорят, что оно минимально, если для каждого является гармонической функцией . ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle i}$

Прямым следствием этого определения и принципа максимума для гармонических функций является то, что в . не существует компактных полных минимальных поверхностей . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определение карты Гаусса : Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее стереографически спроецированная карта Гаусса мероморфна относительно базовой структуры римановой поверхности и не является частью сферы. ${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$ ${\displaystyle M}$

В этом определении используется то, что средняя кривизна составляет половину следа оператора формы , который связан с производными карты Гаусса. Если спроецированное отображение Гаусса подчиняется уравнениям Коши – Римана, то либо след исчезает, либо каждая точка M является омбилической , и в этом случае это часть сферы.

Локальные определения наименьшей площади и вариационные определения позволяют расширять минимальные поверхности на другие римановы многообразия , кроме . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

История

Теория минимальной поверхности берет свое начало от Лагранжа , который в 1762 году рассмотрел вариационную задачу нахождения поверхности наименьшей площади, натянутой по заданному замкнутому контуру. Он вывел уравнение Эйлера – Лагранжа для решения ${\displaystyle z=z(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

Ему не удалось найти никакого решения за пределами плоскости. В 1776 году Жан Батист Мари Менье обнаружил, что геликоид и катеноид удовлетворяют уравнению и что дифференциальное выражение соответствует удвоенной средней кривизне поверхности, сделав вывод, что поверхности с нулевой средней кривизной минимизируют площадь.

Расширив уравнение Лагранжа до

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

Гаспар Монж и Лежандр в 1795 году вывели формулы представления поверхностей решений. Хотя они были успешно использованы Генрихом Шерком в 1830 году для получения своих поверхностей , в целом они считались практически непригодными для использования. Каталонец доказал в 1842/43 году, что геликоид — единственная линейчатая минимальная поверхность.

Прогресс был довольно медленным до середины века, когда проблема Бьёрлинга была решена с использованием сложных методов. Начался «первый золотой век» минимальных поверхностей. Шварц нашел решение проблемы Плато для правильного четырехугольника в 1865 году и для общего четырехугольника в 1867 году (что позволило построить его семейства периодических поверхностей ), используя сложные методы. Вейерштрасс и Эннепер разработали более полезные формулы представления , прочно связав минимальные поверхности со сложным анализом и гармоническими функциями . Другие важные вклады внесли Бельтрами, Бонне, Дарбу, Ли, Риман, Серрет и Вайнгартен.

Между 1925 и 1950 годами возродилась теория минимальных поверхностей, которая теперь в основном нацелена на непараметрические минимальные поверхности. Полное решение проблемы Плато Джесси Дугласом и Тибором Радо стало важной вехой. Важными были также проблема Бернштейна и работа Роберта Оссермана о полных минимальных поверхностях конечной полной кривизны.

Еще одно возрождение началось в 1980-х годах. Одной из причин было открытие Селсо Костой в 1982 году поверхности , которая опровергла гипотезу о том, что плоскость, катеноид и геликоид являются единственными полными вложенными минимальными поверхностями конечного топологического типа. Это не только стимулировало новые работы по использованию старых параметрических методов, но и продемонстрировало важность компьютерной графики для визуализации изучаемых поверхностей и численных методов решения «проблемы периода» (при использовании метода сопряженных поверхностей для определения участков поверхности, которые можно собраны в более крупную симметричную поверхность, для создания встроенной поверхности необходимо численно сопоставить определенные параметры). Другой причиной стала проверка Х. Керхером того, что тройные периодические минимальные поверхности, первоначально описанные эмпирически Аланом Шоном в 1970 году, действительно существуют. Это привело к появлению богатого зверинца семейств поверхностей и методов получения новых поверхностей из старых, например, путем добавления ручек или их искажения. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

В настоящее время теория минимальных поверхностей расширилась до минимальных подмногообразий в других объемлющих геометриях, став актуальной для математической физики (например, гипотеза положительной массы , гипотеза Пенроуза ) и геометрии трех многообразий (например, гипотеза Смита , гипотеза Пуанкаре , геометризация Терстона ). Гипотеза ).

Примеры

Минимальная поверхность Косты

Классические примеры минимальных поверхностей включают в себя:

• плоскость , что является тривиальным случаем
• катеноиды : минимальные поверхности, образованные вращением цепной линии один раз вокруг ее направляющей.
• геликоиды : поверхность, охватываемая линией, вращающейся с равномерной скоростью вокруг оси, перпендикулярной этой линии, и одновременно движущейся вдоль оси с постоянной скоростью.

Поверхности золотого века XIX века включают:

• Минимальные поверхности Шварца : тройно-периодические поверхности , заполняющие ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Минимальная поверхность Римана : посмертно описанная периодическая поверхность.
• поверхность Эннепера
• поверхность Хеннеберга : первая неориентируемая минимальная поверхность
• Минимальная поверхность Бура
• поверхность Неовиуса : тройная периодическая поверхность

Современные поверхности включают в себя:

• Гироид : одна из поверхностей Шона 1970 года, тройная периодическая поверхность, представляющая особый интерес для структуры жидких кристаллов .
• семейство седельных башен : обобщения второй поверхности Шерка
• Минимальная поверхность Косты : опровержение знаменитой гипотезы. Описан в 1982 году Селсо Костой и позже визуализирован Джимом Хоффманом . Джим Хоффман, Дэвид Хоффман и Уильям Микс III затем расширили определение, создав семейство поверхностей с различной вращательной симметрией.
• семейство поверхностей Чена -Гакстаттера , добавляющее ручки к поверхности Эннепера.

Обобщения и ссылки на другие области

Минимальные поверхности могут быть определены в других многообразиях , кроме , таких как гиперболическое пространство , многомерные пространства или римановы многообразия . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Определение минимальных поверхностей можно обобщить/расширить, чтобы охватить поверхности с постоянной средней кривизной : поверхности с постоянной средней кривизной, которая не обязательно равна нулю.

Линии кривизны изотермической поверхности образуют изотермическую сеть. ^[5]

В дискретной дифференциальной геометрии изучаются дискретные минимальные поверхности: симплициальные комплексы треугольников, минимизирующие свою площадь при малых возмущениях положения их вершин. ^[6] Такая дискретизация часто используется для численной аппроксимации минимальных поверхностей, даже если выражения в замкнутой форме неизвестны.

Броуновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам ряда теорем о минимальных поверхностях. ^[7]

Минимальные поверхности стали областью интенсивных научных исследований, особенно в области молекулярной инженерии и материаловедения , из-за их ожидаемого применения в самосборке сложных материалов. ^[8] Предполагается, что эндоплазматическая сеть , важная структура в клеточной биологии, находится под эволюционным давлением, чтобы соответствовать нетривиальной минимальной поверхности. ^[9]

В области общей теории относительности и лоренцевой геометрии значительные расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известной как видимые горизонты , имеют важное значение. ^[10] В отличие от горизонта событий , они представляют собой основанный на кривизне подход к пониманию границ чёрных дыр .

Цирковая палатка имеет минимальную поверхность.

В качестве палаток можно использовать конструкции с минимальными поверхностями.

Минимальные поверхности являются частью набора инструментов генеративного дизайна , используемого современными дизайнерами. В архитектуре большой интерес вызывают натяжные конструкции , которые тесно связаны с минимальными поверхностями. Яркие примеры можно увидеть в работах Фрея Отто , Сигэру Бана и Захи Хадид . Дизайн Мюнхенского олимпийского стадиона Фрея Отто был вдохновлен мыльными поверхностями. ^[11] Еще одним ярким примером, также созданным Фреем Отто, является немецкий павильон на выставке «Экспо 67» в Монреале, Канада. ^[12]

В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптурах Роберта Энгмана (1927–2018), Роберта Лонгхерста (1949–) и Чарльза О. Перри (1929–2011) и других.

Смотрите также

• Проблема Бернштейна
• Билинейная интерполяция
• Поверхность Брайанта
• Кривизна
• Параметризация Эннепера – Вейерштрасса
• Гармоническая карта
• Гармонический морфизм
• Проблема Плато
• Минимальная поверхность Шварца
• Мыльный пузырь
• Поверхность Эволвер
• Метод растянутой сетки
• Натяжная конструкция
• Тройнопериодическая минимальная поверхность
• Структура Вейра – Фелана

Рекомендации

1. Микс, Уильям Х. III; Перес, Хоакин (2011). «Классическая теория минимальных поверхностей». Бык. амер. Математика. Соц. 48 (3): 325–407. дои : 10.1090/s0273-0979-2011-01334-9 . МР  2801776.
2. Ж. Л. Лагранж. Эссе нового метода для определения максимумов и минимумов интегральных неопределенных формул. Miscellanea Taurinensia 2, 325(1):173{199, 1760.
3. Ж. Б. Мёнье. Mémoire sur la Courbure des Surfaces. Память Матем. Физ. акад. наук. Париж, прес. пар дел. Саванс, 10: 477–510, 1785. Представлено в 1776 году.
4. См. (Nishikawa 2002) о вариационном определении.
5. "Изотермическая поверхность - Математическая энциклопедия" . энциклопедияofmath.org . Проверено 4 сентября 2022 г.
6. Пинкал, Ульрих; Полтье, Конрад (1993). «Вычисление дискретных минимальных поверхностей и их сопряженных». Экспериментальная математика . 2 (1): 15–36. дои : 10.1080/10586458.1993.10504266. МР  1246481.
7. Нил, Роберт (2009). «Мартингальный подход к минимальным поверхностям». Журнал функционального анализа . 256 (8): 2440–2472. arXiv : 0805.0556 . дои : 10.1016/j.jfa.2008.06.033. MR  2502522. S2CID  15228691.
8. Хан, Лу; Че, Шунай (апрель 2018 г.). «Обзор материалов с тройно-периодическими минимальными поверхностями и связанной с ними геометрией: от биологических структур к самособирающимся системам». Передовые материалы . 30 (17): 1705708. Бибкод : 2018AdM....3005708H. дои : 10.1002/adma.201705708. PMID  29543352. S2CID  3928702.
9. Терасаки, Марк; Шемеш, Том; Кастури, Нараянан; Клемм, Робин В.; Шалек, Ричард; Хейворт, Кеннет Дж.; Хэнд, Артур Р.; Янкова, Майя; Хубер, Грег (18 июля 2013 г.). «Сложенные листы эндоплазматической сети соединены геликоидальными мембранными мотивами». Клетка . 154 (2): 285–296. дои : 10.1016/j.cell.2013.06.031. ISSN  0092-8674. ПМЦ 3767119 . ПМИД  23870120. 
10. Ивонн Шоке-Брюа. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Оксфорд, 2009. xxvi+785 стр. ISBN 978-0-19-923072-3 (стр. 417) 
11. "AD Classics: Олимпийский стадион (Олимпийский стадион Мюнхена) / Бениш и партнеры и Фрей Отто" . АрчДэйли . 11 февраля 2011 г. Проверено 4 сентября 2022 г.
12. "Павильон Германии Expo 67" . Архитектура . Проверено 4 сентября 2022 г.

дальнейшее чтение

Учебники

• Р. Курант . Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, 1950. xiii+330 стр.
• Х. Блейн Лоусон-младший. Лекции по минимальным подмногообразиям. Том. I. Второе издание. Серия лекций по математике, 9. Publish or Perish, Inc., Уилмингтон, Делавэр, 1980. iv+178 стр. ISBN 0-914098-18-7 
• Роберт Оссерман . Обзор минимальных поверхностей. Второе издание. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1986. vi+207 стр. ISBN 0-486-64998-9 , MR 0852409 
• Йоханнес CC Ниче. Лекции о минимальных поверхностях. Том. 1. Введение, основы, геометрия и основные краевые задачи. Перевод с немецкого Джерри М. Фейнберга. С немецким предисловием. Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1989. xxvi+563 стр. ISBN 0-521-24427-7 
• Нисикава, Сэйки (2002). Вариационные задачи геометрии . Переводы математических монографий; Ряд Иванами по современной математике. Том. 205. Перевод Абэ, Кинецу. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0821813560. ISSN  0065-9282, перевод с:{{cite book}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

• 西川青季(1998) . 岩波講座現代数学の基礎 (на японском языке). Том. 28. Токио:岩波書店. ISBN 4-00-010642-2.

• Ульрих Дьеркес, Стефан Хильдебрандт и Фридрих Совиньи. Минимальные поверхности. Переработанное и дополненное второе издание. При содействии и вкладе А. Кюстера и Р. Якоба. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 стр. ISBN 978-3-642-11697-1 , doi : 10.1007/978-3-642-11698-8 , МР 2566897
• Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци , II. Курс минимальных поверхностей. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii+313 стр. ISBN 978-0-8218-5323-8 

Интернет-ресурсы

• Керхер, Герман; Полтье, Конрад (1995). «Прикосновение к мыльным пленкам — знакомство с минимальными поверхностями» . Проверено 27 декабря 2006 г. (графическое введение в минимальные поверхности и мыльные пленки.)
• Яцек Клиновски. «Галерея периодических минимальных поверхностей» . Проверено 2 февраля 2009 г. (Коллекция минимальных поверхностей с классическими и современными примерами)
• Мартин Стеффенс и Кристиан Тейцель. «Библиотека минимальных поверхностей винограда» . Проверено 27 октября 2008 г. (Коллекция минимальных поверхностей)
• Разное (2000). «EG-Модели» . Проверено 28 сентября 2004 г. (Интернет-журнал с несколькими опубликованными моделями минимальных поверхностей)

Внешние ссылки

• «Минимальная поверхность», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Домашняя страница 3D-XplorMath-J — Java-программа и апплеты для интерактивной математической визуализации.
• Галерея вращающихся минимальных поверхностей
• Галерея вращающихся и масштабируемых минимальных поверхностей на основе WebGL.