Морфизм схем

В алгебраической геометрии морфизм схем обобщает морфизм алгебраических многообразий точно так же, как схема обобщает алгебраическое многообразие . По определению это морфизм в категории схем.

Морфизм алгебраических стеков обобщает морфизм схем.

Определение

По определению, морфизм схем — это всего лишь морфизм локально окольцованных пространств .

Схема по определению имеет открытые аффинные карты и, следовательно, морфизм схем также может быть описан в терминах таких карт (ср. определение морфизма многообразий ). ^[1] Пусть ƒ: X → Y — морфизм схем. Если x является точкой X , поскольку ƒ непрерывен, существуют открытые аффинные подмножества U = Spec A из X , содержащие x и V = Spec B из Y такие, что ƒ( U ) ⊆ V . Тогда ƒ: U → V является морфизмом аффинных схем и, следовательно, индуцируется некоторым кольцевым гомоморфизмом B → A (ср. #аффинный случай). Фактически, это описание можно использовать для «определения» морфизма схем; говорят, что ƒ: X → Y является морфизмом схем, если он локально индуцирован кольцевыми гомоморфизмами между координатными кольцами аффинных карт.

• Примечание . Нежелательно определять морфизм схем как морфизм окольцованных пространств. Одна из тривиальных причин состоит в том, что существует пример морфизма кольцевого пространства между аффинными схемами, который не индуцируется гомоморфизмом колец (например, ^[2] морфизм кольцевых пространств:

  ${\displaystyle \operatorname {Spec} k(x)\to \operatorname {Spec} k[y]_{(y)}=\{\eta =(0),s=(y)\}}$

это отправляет уникальную точку в s и это сопровождается .) Более концептуально, определение морфизма схем должно отражать «локальную природу Зарисского» или локализацию колец ; ^[3] эта точка зрения (т. е. локально-кольцевое пространство) существенна для обобщения (топоса). ${\displaystyle k[y]_{(y)}\to k(x),\,y\mapsto x}$

Пусть f  : X → Y — морфизм схем с . Тогда для каждой точки x из X гомоморфизм на стеблях: ${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \phi :{\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$

является локальным кольцевым гомоморфизмом : т. е. и, следовательно, индуцирует инъективный гомоморфизм полей вычетов ${\displaystyle \phi ({\mathfrak {m}}_{f(x)})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}}$

${\displaystyle \phi :k(f(x))\hookrightarrow k(x)}$.

(Фактически, φ отображает n -ю степень максимального идеала в n -ю степень максимального идеала и, таким образом, индуцирует отображение между кокасательными пространствами (Зариского) .)

Для каждой схемы X существует естественный морфизм

${\displaystyle \theta :X\to \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),}$

который является изоморфизмом тогда и только тогда, когда X аффинно; θ получается путем склеивания U → target, которые возникают из ограничений на открытые аффинные подмножества U из X. Этот факт можно также сформулировать следующим образом: для любой схемы X и кольца A существует естественная биекция:

${\displaystyle \operatorname {Mor} (X,\operatorname {Spec} (A))\cong \operatorname {Hom} (A,\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})).}$

(Доказательство: отображение справа налево является требуемой биекцией. Короче говоря, θ является присоединением.) ${\displaystyle \phi \mapsto \operatorname {Spec} (\phi )\circ \theta }$

Более того, этот факт (сопряженное отношение) можно использовать для характеристики аффинной схемы : схема X аффинна тогда и только тогда, когда для каждой схемы S естественное отображение

${\displaystyle \operatorname {Mor} (S,X)\to \operatorname {Hom} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}),\Gamma (S,{\mathcal {O}}_{S}))}$

является биективным. ^[4] (Доказательство: если отображения биективны, то и X изоморфно по лемме Йонеды ; обратное очевидно.) ${\displaystyle \operatorname {Mor} (-,X)\simeq \operatorname {Mor} (-,\operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}))}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Морфизм как относительная схема

Зафиксируйте схему S , называемую базовой схемой . Тогда морфизм называется схемой над S или S -схемой; идея терминологии состоит в том, что это схема X вместе с отображением в базовую схему S. Например, векторное расслоение E → S над схемой S является S -схемой. ${\displaystyle p:X\to S}$

S -морфизм из p : X → S в q : Y → S — это морфизм ƒ: X → Y схем такой, что p = q ∘ ƒ. Учитывая S -схему , рассматривающую S как S -схему над собой через тождественное отображение, S -морфизм называется S -секцией или просто секцией . ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S\to X}$

Все S -схемы образуют категорию: объект в категории является S -схемой, а морфизм в категории — S -морфизмом. (Коротко говоря, эта категория является категорией среза категории схем с базовым объектом S. )

Аффинный случай

Пусть – кольцевой гомоморфизм и пусть ${\displaystyle \varphi :B\to A}$

${\displaystyle {\begin{cases}\varphi ^{a}:\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} B,\\{\mathfrak {p}}\mapsto \varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})\end{cases}}}$

быть индуцированным отображением. Затем

• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$является непрерывным. ^[5]
• Если сюръективно, то является гомеоморфизмом своего образа. ^[6] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$
• Для каждого идеала I из A , ^[7] ${\displaystyle {\overline {\varphi ^{a}(V(I))}}=V(\varphi ^{-1}(I)).}$
• ${\displaystyle \varphi ^{a}}$имеет плотный образ тогда и только тогда, когда ядро ​​состоит из нильпотентных элементов. (Доказательство: предыдущая формула с I = 0.) В частности, когда B редуцирован, он имеет плотный образ тогда и только тогда, когда инъективен. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ^{a}}$ ${\displaystyle \varphi }$

Пусть f : Spec A → Spec B — морфизм схем между аффинными схемами с отображением обратного образа : B → A. То, что это морфизм локально окольцованных пространств, переводится в следующее утверждение: если это точка Spec A , ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}_{x}}$

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{f(x)}=\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}}_{x})}$.

(Доказательство: В общем, состоит из g в A , который имеет нулевой образ в поле вычетов k ( x ); то есть, он имеет образ в максимальном идеале . Таким образом, работая в локальных кольцах, . Если , то единичный элемент и поэтому является единичным элементом.) ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle g(f(x))=0\Rightarrow \varphi (g)\in \varphi ({\mathfrak {m}}_{f(x))})\subseteq {\mathfrak {m}}_{x}\Rightarrow g\in \varphi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$ ${\displaystyle g(f(x))\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \varphi (g)}$

Следовательно, каждый гомоморфизм колец B → A определяет морфизм схем Spec A → Spec B и, наоборот, все морфизмы между ними возникают таким же образом.

Примеры

Основные

• Пусть R — поле или Для каждой R -алгебры A указать элемент A , скажем, f в A , значит задать гомоморфизм R -алгебры такой, что . Таким образом, . Если X — схема над S = Spec R , то, взяв и воспользовавшись тем фактом, что Spec является правосопряженным к функтору глобального сечения, мы получаем ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle R[t]\to A}$ ${\displaystyle t\mapsto f}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Hom} _{R-{\text{alg}}}(R[t],A)}$ ${\displaystyle A=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$
  $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {A} _{S}^{1})}$$
  где . Обратите внимание, что равенство такое же, как у колец. ${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (R[t])}$
• Аналогично для любой S -схемы X происходит отождествление мультипликативных групп:
  $${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=\operatorname {Mor} _{S}(X,\mathbb {G} _{m})}$$
  где – схема мультипликативной группы. ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=\operatorname {Spec} (R[t,t^{-1}])}$
• Многие примеры морфизмов происходят из семейств, параметризованных некоторым базовым пространством. Например,
  $${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y][a,b,c]}{(ax^{2}+bxy+cy^{2})}}\right)\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [a,b,c])=\mathbb {P} _{a,b,c}^{2}}$$
  является проективным морфизмом проективных многообразий, где базовое пространство параметризует квадрики в . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Морфизм графа

Учитывая морфизм схем над схемой S , морфизм, индуцированный тождеством и f , называется морфизмом графа f . Морфизм графа тождества называется диагональным морфизмом . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X\to X\times _{S}Y}$ ${\displaystyle 1_{X}:X\to X}$

Виды морфизмов

Конечный тип

Морфизмы конечного типа — один из основных инструментов построения семейств многообразий. Морфизм называется конечным типом, если существует накрытие такое, что слои можно накрыть конечным числом аффинных схем, превращающих индуцированные кольцевые морфизмы в морфизмы конечного типа . Типичным примером морфизма конечного типа является семейство схем. Например, ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A_{i})\to S}$ ${\displaystyle X\times _{S}\operatorname {Spec} (A_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (B_{ij})}$ ${\displaystyle A_{i}\to B_{ij}}$

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y,z]}{(x^{n}+zy^{n},z^{5}-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [z]}{(z^{5}-1)}}\right)}$

является морфизмом конечного типа. Простой пример морфизма конечного типа — это где — поле. Другой - бесконечный непересекающийся союз ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]))\to \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \coprod ^{\infty }X\to X}$

Закрытое погружение

Морфизм схем называется замкнутым погружением , если выполняются следующие условия: ${\displaystyle i:Z\to X}$

1. ${\displaystyle i}$определяет гомеоморфизм на его образ ${\displaystyle Z}$
2. ${\displaystyle i^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$является сюръективным

Это условие эквивалентно следующему: для любой аффинной открытости существует идеал такой, что ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=U\subseteq X}$ ${\displaystyle I\subseteq R}$ ${\displaystyle i^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)}$

Примеры

Конечно, любое (градуированное) частное определяет подсхему ( ). Рассмотрим квазиаффинную схему и подмножество оси, содержащееся в . Тогда, если мы возьмем открытое подмножество, то идеальный пучок будет , а на аффинном открытии идеала нет, поскольку подмножество не пересекает эту карту. ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (R)}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,y^{-1}])}$ ${\displaystyle (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[x,y,x^{-1}])}$

Отдельный

Разделенные морфизмы определяют семейства схем, которые являются «хаусдорфовыми». Например, при наличии отдельного морфизма в ассоциированных аналитических пространствах оба являются хаусдорфовыми. Мы говорим, что морфизм схемы отделим, если диагональный морфизм является замкнутым погружением. В топологии аналогичное условие хаусдорфовости пространства состоит в том, что диагональное множество ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/\mathbb {C} }$ ${\displaystyle X(\mathbb {C} )^{an}\to S(\mathbb {C} )^{an}}$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle \Delta _{X/S}:X\to X\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Delta =\{(x,x)\in X\times X\}}$

является закрытым подмножеством . Тем не менее, большинство схем не являются хаусдорфовыми топологическими пространствами, поскольку топология Зарисского, как правило, совершенно нехаусдорфова. ${\displaystyle X\times X}$

Примеры

Большинство морфизмов, встречающихся в теории схем, будут разделены. Например, рассмотрим аффинную схему

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

закончилось Поскольку схема произведения ${\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ).}$

${\displaystyle X\times _{\mathbb {C} }X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f)}}\right)}$

идеал, определяющий диагональ, порождается

${\displaystyle x\otimes 1-1\otimes x,y\otimes 1-1\otimes y}$

показывающий, что диагональная схема аффинна и замкнута. Это же вычисление можно использовать, чтобы показать, что проективные схемы также разделены.

Непримеры

Единственный момент, когда необходимо соблюдать осторожность, — это когда вы склеиваете семейство схем. Например, если взять диаграмму включений

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\\&\searrow &\\&&\operatorname {Spec} (R[x])\\&\nearrow &\\\operatorname {Spec} (R[x,x^{-1}])&&\end{matrix}}}$

тогда мы получим теоретико-схемный аналог классической прямой с двумя началами.

Правильный

Морфизм называется собственным , если ${\displaystyle f:X\to S}$

1. оно отделено
2. конечного типа
3. универсально закрытый

Последнее условие означает, что для данного морфизма морфизм замены базы является замкнутым погружением. Большинство известных примеров собственных морфизмов на самом деле проективны; но примеры собственных многообразий, которые не являются проективными, можно найти с помощью торической геометрии . ${\displaystyle S'\to S}$ ${\displaystyle S'\times _{S}X}$

Проективный

Проективные морфизмы определяют семейства проективных многообразий над фиксированной базовой схемой. Обратите внимание, что существует два определения: Хартсхорнс, которое утверждает, что морфизм называется проективным, если существует замкнутое погружение , и определение EGA, которое утверждает, что схема является проективной, если существует квазикогерентный -модуль конечного типа такой, что существует закрытое погружение . Второе определение полезно, поскольку для определения проективных морфизмов можно использовать точную последовательность модулей. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}^{n}=\mathbb {P} ^{n}\times S}$ ${\displaystyle X\in {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$ ${\displaystyle X\to \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}$

Проективный морфизм над точкой

Проективный морфизм определяет проективную схему. Например, ${\displaystyle f:X\to \{*\}}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{n}+y^{n}-z^{n})}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

определяет проективную кривую рода над . ${\displaystyle (n-1)(n-1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Семейство проективных гиперповерхностей

Если допустить , что проективный морфизм ${\displaystyle S=\mathbb {A} _{t}^{1}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{S}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}]}{\left(x_{0}^{5}+\cdots +x_{4}^{5}-tx_{0}x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\right)}}\right)\to S}$

определяет семейство вырождающихся многообразий Калаби-Яу.

Карандаш Лефшеца

Другой полезный класс примеров проективных морфизмов — это карандаши Лефшеца: они представляют собой проективные морфизмы над некоторым полем . Например, для гладких гиперповерхностей, определенных однородными полиномами, существует проективный морфизм ${\displaystyle \pi :X\to \mathbb {P} _{k}^{1}=\operatorname {Proj} (k[s,t])}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2}\subseteq \mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$

${\displaystyle {\underline {\operatorname {Proj} }}_{\mathbb {P} ^{1}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{1}}[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf_{1}+tf_{2})}}\right)\to \mathbb {P} ^{1}}$

давая карандаш.

Проект ЕГА

Хорошим классическим примером проективной схемы является построение проективных морфизмов, учитывающих рациональные свитки. Например, возьмем и векторное расслоение . Это можно использовать для создания -bundle поверх . Если мы хотим построить проективный морфизм, используя этот пучок, мы можем взять точную последовательность, например ${\displaystyle S=\mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}\oplus {\mathcal {O}}_{S}(3)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}(-d)\oplus {\mathcal {O}}_{S}(-e)\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0}$

который определяет структурный пучок проективной схемы в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{S}({\mathcal {E}}).}$

Плоский

Интуиция

Плоские морфизмы имеют алгебраическое определение, но имеют очень конкретную геометрическую интерпретацию: плоские семейства соответствуют семействам многообразий, которые «непрерывно» изменяются. Например,

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y,t]}{(xy-t))}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

представляет собой семейство гладких аффинных квадратичных кривых, вырождающихся до нормального пересекающегося дивизора

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(xy)}}\right)}$

в начале.

Характеристики

Одним из важных свойств, которым должен удовлетворять плоский морфизм, является то, что размеры слоев должны быть одинаковыми. Тогда простой не-пример плоского морфизма является раздутием, поскольку слои являются либо точками, либо копиями некоторого . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

Определение

Пусть – морфизм схем. Мы говорим, что является плоским в точке , если индуцированный морфизм дает точный функтор. Тогда является плоским , если он плоский в каждой точке . Он также совершенно плоский , если является сюръективным морфизмом. ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{f(x)}\to {\mathcal {O}}_{x}}$ ${\displaystyle -\otimes _{{\mathcal {O}}_{f(x)}}{\mathcal {O}}_{x}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Непример

Используя нашу геометрическую интуицию, очевидно, что

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

не является плоским, так как волокно над ним находится, а остальные волокна представляют собой просто точку. Но мы также можем проверить это, используя определение с локальной алгеброй: рассмотрим идеал, поскольку мы получаем морфизм локальной алгебры ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy)).}$ ${\displaystyle f({\mathfrak {p}})=(x)\in \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])}$

${\displaystyle f_{\mathfrak {p}}:\left(\mathbb {C} [x]\right)_{(x)}\to \left(\mathbb {C} [x,y]/(xy)\right)_{(x)}}$

Если мы тензорируем

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} [x]_{(x)}{\overset {\cdot x}{\longrightarrow }}\mathbb {C} [x]_{(x)}}$

с , карта ${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

${\displaystyle (\mathbb {C} [x,y]/(xy)))_{(x)}{\xrightarrow {\cdot x}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))_{(x)}}$

имеет ненулевое ядро ​​из-за исчезновения . Это показывает, что морфизм не является плоским. ${\displaystyle xy}$

Неразветвленный

Морфизм аффинных схем неразветвлен , если . Мы можем использовать это для общего случая морфизма схем . Мы говорим, что это неразветвлено в , если существуют аффинно открытая окрестность и аффинно открытая такая, что и Тогда морфизм неразветвлен, если он неразветвлен в каждой точке в . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}=0}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle \Omega _{U/V}=0.}$ ${\displaystyle X}$

Геометрический пример

Одним из примеров морфизма, который является плоским и в общем случае неразветвленным, за исключением точки, является

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [t])}$

Мы можем вычислить относительные дифференциалы, используя последовательность

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}\otimes _{\mathbb {C} [t]}\mathbb {C} [t]dt\to \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dt\oplus {\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(nx^{n-1}dx-dt)\to \Omega _{X/Y}\to 0}$

показывая

${\displaystyle \Omega _{X/Y}\cong \left({\frac {\mathbb {C} [t,x]}{(x^{n}-t)}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\neq 0}$

если взять слой , то морфизм разветвлен, так как ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \Omega _{X_{0}/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{x^{n}}}dx\right)/(x^{n-1}dx)}$

иначе у нас есть

${\displaystyle \Omega _{X_{\alpha }/\mathbb {C} }=\left({\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{n}-\alpha )}}dx\right)/(x^{n-1}dx)\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(\alpha )}}dx\cong 0}$

показывая, что он неразветвлен повсюду.

Этале

Морфизм схем называется этальным, если он плоский и неразветвленный. Это алгебро-геометрический аналог накрывающих пространств. Два основных примера, о которых следует подумать, — это накрывающие пространства и конечные сепарабельные расширения полей. Примеры в первом случае можно построить, рассматривая разветвленные накрытия и ограничиваясь неразветвленным локусом. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Морфизмы как точки

По определению, если X , S — схемы (над некоторой базовой схемой или кольцом B ), то морфизм из S в X (над B ) является S -точкой X , и пишут:

${\displaystyle X(S)=\{f\mid f:S\to X{\text{ over }}B\}}$

для множества всех S -точек X . Это понятие обобщает понятие решений системы полиномиальных уравнений классической алгебраической геометрии. Действительно, пусть X = Spec( A ) с . Для B -алгебры R задать R -точку X значит задать гомоморфизм алгебры A → R , что, в свою очередь, равнозначно заданию гомоморфизма ${\displaystyle A=B[t_{1},\dots ,t_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$

${\displaystyle B[t_{1},\dots ,t_{n}]\to R,\,t_{i}\mapsto r_{i}}$

это _{убивает} всех . Таким образом, происходит естественная идентификация:

${\displaystyle X(\operatorname {Spec} R)=\{(r_{1},\dots ,r_{n})\in R^{n}|f_{1}(r_{1},\dots ,r_{n})=\cdots =f_{m}(r_{1},\dots ,r_{n})=0\}.}$

Пример : Если X — S- схема со структурным отображением π: X → S , то S -точка X (над S ) — это то же самое, что сечение π.

В теории категорий лемма Йонеды гласит, что для данной категории C контравариантный функтор

${\displaystyle C\to {\mathcal {P}}(C)=\operatorname {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Sets} ),\,X\mapsto \operatorname {Mor} (-,X)}$

вполне точен (где имеется в виду категория предпучков на C ). Применяя лемму к категории C = схем над B , это говорит о том, что схема над B определяется ее различными точками. ${\displaystyle {\mathcal {P}}(C)}$

Оказывается, на самом деле достаточно рассматривать S -точки только с аффинными схемами S именно потому, что схемы и морфизмы между ними получаются склейкой аффинных схем и морфизмов между ними. По этой причине обычно пишут X ( R ) = X (Spec R ) и рассматривают X как функтор из категории коммутативных B -алгебр в Sets .

Пример : даны S -схемы X , Y со структурными отображениями p , q ,

${\displaystyle (X\times _{S}Y)(R)=X(R)\times _{S(R)}Y(R)=\{(x,y)\in X(R)\times Y(R)\mid p(x)=q(y)\}}$.

Пример : поскольку B по-прежнему обозначает кольцо или схему, для каждой B -схемы X существует естественная биекция.

${\displaystyle \mathbf {P} _{B}^{n}(X)=}${ классы изоморфизма линейных расслоений L на X вместе с n + 1 глобальными сечениями, порождающими L . };

на самом деле, сечения s _i языка L определяют морфизм . (См. также Проект строительства#Global Proj .) ${\displaystyle X\to \mathbf {P} _{B}^{n},\,x\mapsto (s_{0}(x):\dots :s_{n}(x))}$

Замечание : Изложенная точка зрения (известная под названием функтора точек и принадлежащая Гротендику) оказала значительное влияние на основы алгебраической геометрии. Например, работа с (псевдо)функтором со значением категории вместо функтора с множеством значений приводит к понятию стека , который позволяет отслеживать морфизмы между точками.

Рациональная карта

Рациональное отображение схем определяется аналогично для многообразий. Таким образом, рациональное отображение приведенной схемы X в отделимую схему Y представляет собой класс эквивалентности пары, состоящей из открытого плотного подмножества U в X и морфизма . Если X неприводимо, рациональная функция на X по определению является рациональным отображением X на аффинную прямую или проективную прямую. ${\displaystyle (U,f_{U})}$ ${\displaystyle f_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}.}$

Рациональное отображение является доминирующим тогда и только тогда, когда оно переводит общую точку в общую точку. ^[8]

Кольцевой гомоморфизм между функциональными полями не обязательно должен индуцировать доминантное рациональное отображение (даже просто рациональное отображение). ^[9] Например, Spec k [ x ] и Spec k ( x ) имеют одно и то же функциональное поле (а именно, k ( x )) но нет рационального отображения от первого ко второму. Однако верно, что любое включение функциональных полей алгебраических многообразий индуцирует доминантное рациональное отображение (см. морфизм алгебраических многообразий#Свойства .)

Смотрите также

• Регулярное встраивание
• Конструктивный набор (топология)
• Универсальный гомеоморфизм

Примечания

1. Вакил 2014, Упражнение 6.3.C.
2. Вакил 2014, Упражнение 6.2.E.
3. Производная алгебраическая геометрия V: Структурированные пространства (PDF) , 22 февраля 2011 г., § 1.
4. Гротендик и Дьедонне 1960, гл. I, следствие 1.6.4.
5. Доказательство: для всех f в A . ${\displaystyle {\varphi ^{a}}^{-1}(D(f))=D(\varphi (f))}$
6. Гротендик и Дьедонне 1960, гл. I, следствие 1.2.4.
7. Гротендик и Дьедонне 1960, гл. Я, 1.2.2.3.
8. Вакил 2014, Упражнение 6.5.A.
9. Вакил 2014, абзац после упражнения 6.5.B.

Рекомендации

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Милн, Обзор алгебраической геометрии в алгебраических группах: теория групповых схем конечного типа над полем.
• Вакил, Рави (30 декабря 2014 г.), Основы алгебраической геометрии (PDF) (проект ред.)