Кратность (математика)

Сколько раз объект должен быть посчитан, чтобы убедиться в истинности общей формулы

В математике кратность члена мультимножества — это количество раз, которое он появляется в мультимножестве . Например, количество раз, когда данный многочлен имеет корень в данной точке, является кратностью этого корня.

Понятие множественности важно для правильного счета без указания исключений (например, двойные корни учитываются дважды). Отсюда и выражение «считать с множеством».

Если множественность игнорируется, это можно подчеркнуть, подсчитав количество различных элементов, например, «количество различных корней». Однако всякий раз, когда формируется набор (в отличие от мультинабора), множественность автоматически игнорируется, без необходимости использования термина «различный».

Кратность простого множителя

В простой факторизации кратность простого фактора является его -адической оценкой . Например, простая факторизация целого числа 60 равна ${\displaystyle p}$

60 = 2×2×3×5,

кратность простого множителя 2 равна 2 , а кратность каждого из простых множителей 3 и 5 равна 1 . Таким образом, число 60 имеет четыре простых делителя, допускающих кратность, но только три различных простых делителя.

Кратность корня многочлена

Пусть – поле и – многочлен от одной переменной с коэффициентами в . Элемент является корнем кратности , если существует многочлен такой, что и . Если , то а называется простым корнем . Если , то называется кратным корнем . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s(a)\neq 0}$ ${\displaystyle p(x)=(x-a)^{k}s(x)}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle a}$

Например, многочлен имеет корни 1 и −4 и может быть записан как . Это означает, что 1 — корень кратности 2, а −4 — простой корень (кратности 1). Кратность корня — это количество вхождений этого корня при полной факторизации многочлена с помощью основной теоремы алгебры . ${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$ ${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$

Если является корнем кратности многочлена, то это корень кратности производной этого многочлена, если только характеристика основного поля не является делителем k , и в этом случае это корень кратности, по крайней мере, производной . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle k}$

Дискриминант многочлена равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень .

Поведение полиномиальной функции вблизи кратного корня

Граф x ³  + 2 x ²  − 7 x  + 4 с простым корнем (кратности 1) в точке x=−4 и корнем кратности 2 в точке x=1. График пересекает ось X в простом корне. Она касается оси x в кратном корне и не пересекает его, поскольку кратность четная.

График полиномиальной функции f касается оси x в вещественных корнях многочлена. Граф касается его в кратных корнях f и не касается простых корней. График пересекает ось x при корнях нечетной кратности и не пересекает ее при корнях четной кратности.

Ненулевая полиномиальная функция всюду неотрицательна тогда и только тогда, когда все ее корни имеют четную кратность и существует такое, что . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f(x_{0})>0}$

Кратность решения нелинейной системы уравнений

Для уравнения с решением с одной переменной кратность равна, если ${\displaystyle f(x)=0}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$и ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

Другими словами, дифференциальный функционал , определяемый как производная функции при , обращается в нуль при вплоть до . Эти дифференциальные функционалы охватывают векторное пространство, называемое двойственным пространством Маколея в точке , ^[1] и его размерность равна кратности нуля . ${\displaystyle \partial _{j}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle x_{*}}$ ${\displaystyle f}$

Пусть – система уравнений переменных с решением где – отображение из в или из в . Существует также двойственное пространство Маколея дифференциальных функционалов при, в котором каждый функционал обращается в нуль при . Размерность этого дуального пространства Маколея равна кратности решения уравнения . Двойственное пространство Маколея образует структуру кратности системы при решении. ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle R^{m}}$ ${\displaystyle C^{n}}$ ${\displaystyle C^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Например, решение системы уравнений в виде с ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

имеет кратность 3, поскольку двойственное пространство Маколея

${\displaystyle span\{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

имеет размерность 3, где обозначает дифференциальный функционал, приложенный к функции в точке . ${\displaystyle \partial _{ij}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\partial x_{2}^{j}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$

Кратность всегда конечна, если решение изолировано, инвариантно относительно возмущений в том смысле, что -кратное решение становится кластером решений с объединенной кратностью при возмущении в комплексных пространствах и идентично кратности пересечений в полиномиальных системах. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Кратность пересечения

В алгебраической геометрии пересечение двух подмногообразий алгебраического многообразия представляет собой конечное объединение неприводимых многообразий . Каждой компоненте такого пересечения присвоена кратность пересечения . Это понятие является локальным в том смысле, что его можно определить, рассматривая то, что происходит в окрестности любой точки общего положения этого компонента. Отсюда следует, что без ограничения общности для определения кратности пересечений можно рассматривать пересечение двух аффинных многообразий (подмногообразий аффинного пространства).

Итак, для двух аффинных многообразий V ₁ и V ₂ рассмотрим неприводимую компоненту W пересечения V ₁ и V ₂ . Пусть d — размерность W , а P — любая общая точка W. Пересечение W с d гиперплоскостями общего положения , проходящими через P, имеет неприводимую компоненту, сводящуюся к одной точке P. Следовательно, локальное кольцо в этой компоненте координатного кольца пересечения имеет только один простой идеал и, следовательно, является артиновым кольцом . Таким образом, это кольцо представляет собой конечномерное векторное пространство над основным полем. Его размерность равна кратности пересечения V ₁ и V ₂ в точке W .

Это определение позволяет точно сформулировать теорему Безу и ее обобщения.

Это определение обобщает кратность корня многочлена следующим образом. Корни многочлена f — это точки на аффинной прямой , которые являются компонентами алгебраического множества, определенного полиномом. Координатное кольцо этого аффинного множества - это где K - алгебраически замкнутое поле, содержащее коэффициенты f . Если - факторизация f , то локальное кольцо R в простом идеале - это векторное пространство над K , размерностью которого является кратность корня. ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$ ${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$ ${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Это определение множественности пересечений, которое по существу принадлежит Жану-Пьеру Серру в его книге «Локальная алгебра» , работает только для теоретико-множественных компонентов (также называемых изолированными компонентами ) пересечения, а не для вложенных компонентов . Были разработаны теории для обработки встроенного случая ( подробности см. в разделе «Теория пересечений» ).

В комплексном анализе

Пусть z ₀ — корень голоморфной функции f , и пусть n — наименьшее положительное целое число такое, что n- ^я производная от f , вычисленная в точке z _0, отлична от нуля. Тогда степенной ряд f относительно z 0 _{начинается} с n- ^го члена, и говорят, что f имеет корень кратности (или «порядка»)  n . Если n  = 1, корень называется простым корнем. ^[4]

Мы также можем определить кратность нулей и полюсов мероморфной функции . Если у нас есть мероморфная функция, возьмем разложения Тейлора g и h относительно точки z ₀ и найдем в каждом из них первый ненулевой член (обозначим порядок членов m и n соответственно), тогда если m =  n  , то точка имеет ненулевое значение. Если , то точка является нулем кратности. Если , то точка имеет полюс кратности. ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ ${\displaystyle m>n,}$ ${\displaystyle m-n.}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle n-m.}$

Рекомендации

1. DJ Bates, AJ Sommese, JD Hauenstein и CW Wampler (2013). Численное решение полиномиальных систем с помощью Бертини . СИАМ. стр. 186–187.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. Б.Х. Дейтон, Т.-Ю. Ли и З. Цзэн (2011). «Множественные нули нелинейных систем». Математика вычислений . 80 (276): 2143–2168. arXiv : 2103.05738 . дои : 10.1090/s0025-5718-2011-02462-2. S2CID  9867417.
3. Маколей, FS (1916). Алгебраическая теория модульных систем . Кембриджский университет. Пресс 1994 г., перепечатка оригинала 1916 г.
4. (Кранц 1999, стр. 70)

• Кранц, С.Г. Справочник по комплексным переменным . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер, 1999. ISBN 0-8176-4011-8 .