Проблема иерархии

Нерешенная проблема в физике

В теоретической физике проблема иерархии — это проблема, касающаяся большого расхождения между аспектами слабого взаимодействия и гравитации. ^[1] Не существует научного консенсуса относительно того, почему, например, слабое взаимодействие ^{в 1024} раз сильнее гравитации .

Техническое определение

Проблема иерархии ^[2] возникает, когда фундаментальное значение некоторого физического параметра, такого как константа связи или масса, в некотором лагранжиане значительно отличается от его эффективного значения, которое является значением, которое измеряется в эксперименте. Это происходит потому, что эффективное значение связано с фундаментальным значением предписанием, известным как перенормировка , которое применяет к нему поправки.

Обычно перенормированные значения параметров близки к их фундаментальным значениям, но в некоторых случаях, по-видимому, произошло деликатное сокращение между фундаментальной величиной и квантовыми поправками. Проблемы иерархии связаны с проблемами тонкой настройки и проблемами естественности.

За последнее десятилетие многие ученые ^{[3] [4] [5] [6] [7]} утверждали, что проблема иерархии является частным случаем применения байесовской статистики .

Изучение перенормировки в задачах иерархии затруднено, поскольку такие квантовые поправки обычно расходятся по степенному закону, что означает, что физика кратчайшего расстояния наиболее важна. Поскольку мы не знаем точных деталей квантовой гравитации , мы даже не можем рассмотреть, как происходит эта деликатная отмена между двумя большими членами. Поэтому исследователи вынуждены постулировать новые физические явления, которые решают проблемы иерархии без тонкой настройки.

Обзор

Предположим, что физическая модель требует четыре параметра для создания очень качественной рабочей модели, способной генерировать предсказания относительно некоторого аспекта нашей физической вселенной. Предположим, что мы обнаруживаем посредством экспериментов, что параметры имеют значения: 1,2, 1,31, 0,9 и значение около4 × 10 ²⁹ . Можно было бы задаться вопросом, как возникают такие цифры. Но в частности, может быть особенно любопытно о теории, где три значения близки к одному, а четвертое настолько отличается; другими словами, огромная диспропорция, которую мы, кажется, находим между первыми тремя параметрами и четвертым. Мы могли бы также задаться вопросом, является ли одна сила настолько слабее других, что ей нужен фактор4 × 10 ^{29 ,} чтобы позволить ему быть связанным с ними в терминах эффектов, как наша вселенная стала настолько точно сбалансированной, когда возникли ее силы? В современной физике элементарных частиц различия между некоторыми параметрами гораздо больше, чем это, поэтому вопрос еще более примечателен.

Один из ответов, данных философами, — это антропный принцип . Если вселенная возникла случайно, и, возможно, существует или существовало огромное количество других вселенных, то жизнь, способная к физическим экспериментам, возникла только во вселенных, которые по случайности имели очень сбалансированные силы. Все вселенные, где силы не были сбалансированы, не развили жизнь, способную задать этот вопрос. Поэтому, если формы жизни, такие как люди, осознают и способны задать такой вопрос, люди должны были возникнуть во вселенной, имеющей сбалансированные силы, как бы редко это ни было. ^{[8] [9]}

Второй возможный ответ заключается в том, что существует более глубокое понимание физики, которым мы в настоящее время не обладаем. Могут быть параметры, из которых мы можем вывести физические константы, имеющие менее несбалансированные значения, или может быть модель с меньшим количеством параметров. ^{[ необходима цитата ]}

Примеры из физики элементарных частиц

масса Хиггса

В физике элементарных частиц наиболее важной проблемой иерархии является вопрос, который спрашивает, почему слабое взаимодействие в 10 ²⁴ раз сильнее гравитации . ^[10] Обе эти силы включают константы природы, постоянную Ферми для слабого взаимодействия и ньютоновскую постоянную гравитации для гравитации. Более того, если Стандартная модель используется для расчета квантовых поправок к постоянной Ферми, оказывается, что постоянная Ферми на удивление велика и, как ожидается, будет ближе к постоянной Ньютона, если только не существует деликатного сокращения между голым значением постоянной Ферми и квантовыми поправками к ней.

Отмена квадратичной перенормировки массы бозона Хиггса между фермионной петлей топ-кварка и скалярным стоп- скварком -головастиком. Диаграммы Фейнмана в суперсимметричном расширении Стандартной модели

С технической точки зрения, вопрос заключается в том, почему бозон Хиггса настолько легче массы Планка (или энергии великого объединения , или шкалы масс тяжелых нейтрино): можно было бы ожидать, что большие квантовые вклады в квадрат массы бозона Хиггса неизбежно сделают массу огромной, сравнимой с масштабом, в котором появляется новая физика, если только не будет невероятно тонкой настройки компенсации между квадратичными радиационными поправками и голой массой.

Проблема даже не может быть сформулирована в строгом контексте Стандартной модели, поскольку масса Хиггса не может быть рассчитана. В некотором смысле проблема сводится к беспокойству о том, что будущая теория фундаментальных частиц, в которой масса бозона Хиггса будет вычислима, не должна иметь чрезмерных тонких настроек.

Теоретические решения

Было предложено множество решений многими опытными физиками.

Суперсимметрия

Некоторые физики полагают, что можно решить проблему иерархии с помощью суперсимметрии . Суперсимметрия может объяснить, как крошечная масса Хиггса может быть защищена от квантовых поправок. Суперсимметрия устраняет степенные расходимости радиационных поправок к массе Хиггса и решает проблему иерархии, пока суперсимметричные частицы достаточно легки, чтобы удовлетворять критерию Барбьери – Джудиче . ^[11] Однако это все еще оставляет открытой проблему мю . Принципы суперсимметрии проверяются на LHC , хотя никаких доказательств суперсимметрии пока не найдено.

Каждая частица, которая связывается с полем Хиггса, имеет связанную связь Юкавы λ _f . Связь с полем Хиггса для фермионов дает член взаимодействия , причем поле Дирака и поле Хиггса . Кроме того, масса фермиона пропорциональна его связи Юкавы, что означает, что бозон Хиггса будет связываться больше всего с самой массивной частицей. Это означает, что самые значительные поправки к массе Хиггса будут исходить от самых тяжелых частиц, наиболее заметно от верхнего кварка. Применяя правила Фейнмана , можно получить квантовые поправки к квадрату массы Хиггса от фермиона: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }=-\lambda _{f}{\bar {\psi }}H\psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \Delta m_{\rm {H}}^{2}=-{\frac {\left|\lambda _{f}\right|^{2}}{8\pi ^{2}}}[\Lambda _{\mathrm {UV} }^{2}+...].}$

Это называется ультрафиолетовым обрезанием и является масштабом, до которого действительна Стандартная модель. Если мы возьмем этот масштаб за масштаб Планка, то получим квадратично расходящийся лагранжиан. Однако предположим, что существуют два комплексных скаляра (принимаемых за спин 0) такие, что: ${\displaystyle \Lambda _{\mathrm {UV} }}$

${\displaystyle \lambda _{S}=\left|\lambda _{f}\right|^{2}}$(связь с бозоном Хиггса точно такая же).

Тогда по правилам Фейнмана поправка (от обоих скаляров) будет:

${\displaystyle \Delta m_{\rm {H}}^{2}=2\times {\frac {\lambda _{S}}{16\pi ^{2}}}[\Lambda _{\mathrm {UV} }^{2}+...].}$

(Обратите внимание, что вклад здесь положительный. Это происходит из-за теоремы о спиновой статистике, которая означает, что фермионы будут иметь отрицательный вклад, а бозоны — положительный. Этот факт используется.)

Это дает общий вклад в массу Хиггса, равный нулю, если мы включаем как фермионные, так и бозонные частицы. Суперсимметрия является расширением этого, которое создает «суперпартнеров» для всех частиц Стандартной модели. ^[12]

Конформный

Без суперсимметрии было предложено решение проблемы иерархии с использованием только Стандартной модели . Идею можно проследить до того факта, что член в поле Хиггса, который производит неконтролируемую квадратичную поправку при перенормировке, является квадратичным. Если бы поле Хиггса не имело массового члена, то не возникало бы проблемы иерархии. Но, пропустив квадратичный член в поле Хиггса, нужно найти способ восстановить нарушение электрослабой симметрии через ненулевое вакуумное ожидание. Это можно получить с помощью механизма Вайнберга-Коулмена с членами в потенциале Хиггса, возникающими из квантовых поправок. Масса, полученная таким образом, слишком мала по сравнению с тем, что наблюдается в ускорительных установках, и поэтому конформная Стандартная модель требует более одной частицы Хиггса. Это предложение было выдвинуто в 2006 году Кшиштофом Антони Мейсснером и Германом Николаи ^[13] и в настоящее время находится под пристальным вниманием. Однако если не будет обнаружено никакого дальнейшего возбуждения, выходящего за рамки того, что наблюдалось до сих пор на LHC , от этой модели придется отказаться.

Дополнительные размеры

Никаких экспериментальных или наблюдательных свидетельств существования дополнительных измерений официально не сообщалось. Анализ результатов Большого адронного коллайдера жестко ограничивает теории с большими дополнительными измерениями . ^[14] Однако дополнительные измерения могли бы объяснить, почему сила гравитации настолько слаба и почему расширение Вселенной происходит быстрее, чем ожидалось. ^[15]

Если мы живем в 3+1-мерном мире, то мы вычисляем силу тяготения с помощью закона Гаусса для гравитации :

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-Gm{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}}$ (1)

что является просто законом тяготения Ньютона . Обратите внимание, что постоянную Ньютона G можно переписать через массу Планка .

${\displaystyle G={\frac {\hbar c}{M_{\mathrm {Pl} }^{2}}}}$

Если мы распространим эту идею на дополнительные измерения, то получим: ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2+\delta }}}}$ (2)

где — 3+1+ размерная масса Планка. Однако мы предполагаем, что эти дополнительные измерения имеют тот же размер, что и обычные 3+1 измерения. Допустим, что дополнительные измерения имеют размер n ≪ обычных измерений. Если мы допустим r  ≪  n , то получим (2). Однако, если мы допустим r  ≫  n , то получим наш обычный закон Ньютона. Однако, когда r  ≫  n , поток в дополнительных измерениях становится постоянным, потому что нет дополнительного места для прохождения гравитационного потока. Таким образом, поток будет пропорционален , потому что это поток в дополнительных измерениях. Формула такова: ${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle n^{\delta }}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2}n^{\delta }}}}$

${\displaystyle -m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} }^{2}r^{2}}}=-m{\frac {\mathbf {e_{r}} }{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2}n^{\delta }}}}$

что дает:

${\displaystyle {\frac {1}{M_{\mathrm {Pl} }^{2}r^{2}}}={\frac {1}{M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }r^{2}n^{\delta }}}\Rightarrow }$

${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }^{2}=M_{\mathrm {Pl} _{3+1+\delta }}^{2+\delta }n^{\delta }.}$

Таким образом, фундаментальная масса Планка (дополнительная размерная масса) на самом деле может быть малой, что означает, что гравитация на самом деле сильна, но это должно компенсироваться числом дополнительных измерений и их размером. Физически это означает, что гравитация слаба, потому что есть потеря потока в дополнительные измерения.

Этот раздел адаптирован из книги «Квантовая теория поля в двух словах» А. Зи. ^[16]

Модели мира Браны

В 1998 году Нима Аркани-Хамед , Савас Димопулос и Джиа Двали предложили модель ADD , также известную как модель с большими дополнительными измерениями , альтернативный сценарий для объяснения слабости гравитации по сравнению с другими силами. ^{[17] [18]} Эта теория требует, чтобы поля Стандартной модели были ограничены четырехмерной мембраной , в то время как гравитация распространяется в нескольких дополнительных пространственных измерениях, которые велики по сравнению с масштабом Планка . ^[19]

В 1998–99 годах Мераб Гогберашвили опубликовал на arXiv (и впоследствии в рецензируемых журналах) ряд статей, в которых показал, что если рассматривать Вселенную как тонкую оболочку (математический синоним «браны»), расширяющуюся в 5-мерном пространстве, то можно получить один масштаб для теории частиц, соответствующий 5-мерной космологической постоянной и толщине Вселенной, и таким образом решить проблему иерархии. ^{[20] [21] [22]} Было также показано, что четырехмерность Вселенной является результатом требования устойчивости, поскольку дополнительная компонента уравнений поля Эйнштейна, дающая локализованное решение для полей материи , совпадает с одним из условий устойчивости.

Впоследствии были предложены тесно связанные сценарии Рэндалла–Сундрума , которые предлагали свое решение проблемы иерархии.

Смешивание УФ/ИК

В 2019 году пара исследователей предположила, что смешивание ИК/УФ , приводящее к разрушению эффективной квантовой теории поля, может решить проблему иерархии. ^[23] В 2021 году другая группа исследователей показала, что смешивание УФ/ИК может решить проблему иерархии в теории струн. ^[24]

Космологическая постоянная

В физической космологии текущие наблюдения в пользу ускоряющейся Вселенной подразумевают существование крошечной, но ненулевой космологической постоянной . Эта проблема, называемая проблемой космологической постоянной , является проблемой иерархии, очень похожей на проблему массы бозона Хиггса, поскольку космологическая постоянная также очень чувствительна к квантовым поправкам, но она осложняется необходимым участием общей теории относительности в проблеме. Предлагаемые решения проблемы космологической постоянной включают изменение и/или расширение гравитации, ^{[25] [26] [27]} добавление материи с неисчезающим давлением, ^[28] и смешивание УФ/ИК в Стандартной модели и гравитации. ^{[29] [30]} Некоторые физики прибегали к антропным рассуждениям для решения проблемы космологической постоянной, ^[31] но оспаривается, являются ли антропные рассуждения научными. ^{[32] [33]}

Смотрите также

• нарушение КП
• Квантовая тривиальность
• Гипотеза слабой гравитации

Ссылки

1. "Проблема иерархии | Особое значение". Profmattstrassler.com . 16 августа 2011 г. Получено 13 декабря 2015 г.
2. Аркани–Хамед, Нима; Димопулос, Савас; Двали, Джиа (1998-06-18). «Проблема иерархии и новые измерения на миллиметре». Physics Letters B. 429 ( 3): 263–272. arXiv : hep-ph/9803315 . Bibcode : 1998PhLB..429..263A. doi : 10.1016/S0370-2693(98)00466-3 . ISSN  0370-2693.
3. Fowlie, Andrew; Balazs, Csaba; White, Graham; Marzola, Luca; Raidal, Martti (17 августа 2016 г.). "Естественность механизма релаксации". Journal of High Energy Physics . 2016 (8): 100. arXiv : 1602.03889 . Bibcode : 2016JHEP...08..100F. doi : 10.1007/JHEP08(2016)100. S2CID  119102534.
4. Фоули, Эндрю (10 июля 2014 г.). «CMSSM, естественность и ?цена тонкой настройки? Очень Большого Адронного Коллайдера». Physical Review D. 90 ( 1): 015010. arXiv : 1403.3407 . Bibcode : 2014PhRvD..90a5010F. doi : 10.1103/PhysRevD.90.015010. S2CID  118362634.
5. Фоули, Эндрю (15 октября 2014 г.). «Является ли CNMSSM более авторитетным, чем CMSSM?». The European Physical Journal C. 74 ( 10): 3105. arXiv : 1407.7534 . Bibcode : 2014EPJC...74.3105F. doi : 10.1140/epjc/s10052-014-3105-y. S2CID  119304794.
6. Кабрера, Мария Эухения; Касас, Альберто; Аустри, Роберто Руис де; Марзола, Лука; Райдал, Мартти (2009). «Байесовский подход и естественность в анализах MSSM для LHC». Журнал физики высоких энергий . 2009 (3): 075. arXiv : 0812.0536 . Bibcode : 2009JHEP...03..075C. doi : 10.1088/1126-6708/2009/03/075. S2CID  18276270.
7. Фише, С. (18 декабря 2012 г.). «Количественная оценка естественности с помощью байесовской статистики». Physical Review D. 86 ( 12): 125029. arXiv : 1204.4940 . Bibcode : 2012PhRvD..86l5029F. doi : 10.1103/PhysRevD.86.125029. S2CID  119282331.
8. "Антропный принцип | Космология, физика и философия | Britannica". www.britannica.com . 2024-02-08 . Получено 2024-04-01 .
9. Димопулос, Савас; Томас, Скотт (2007), Карр, Бернард (ред.), «Антропный принцип, темная энергия и LHC», Вселенная или Мультивселенная?, Кембридж: Cambridge University Press (опубликовано 5 июля 2014 г.), стр. 211–218, Bibcode : 2007unmu.book..211D, ISBN 978-0-521-14069-0, получено 2024-04-01
10. "Лекция 1: Введение; Закон Кулона; Суперпозиция; Электрическая энергия" (PDF) . Массачусетский технологический институт . Получено 4 ноября 2023 г. .
11. Barbieri, R.; Giudice, GF (1988). "Верхние границы масс суперсимметричных частиц". Nucl. Phys. B . 306 (1): 63. Bibcode :1988NuPhB.306...63B. doi :10.1016/0550-3213(88)90171-X.
12. Мартин, Стивен П. (1998). "A Supersymmetry Primer". Перспективы суперсимметрии . Расширенная серия по направлениям в физике высоких энергий. Том 18. World Scientific. стр. 1–98. arXiv : hep-ph/9709356 . doi :10.1142/9789812839657_0001. ISBN 978-981-02-3553-6. S2CID  118973381.
13. Мейсснер, К.; Николаи, Х. (2007). «Конформная симметрия и стандартная модель». Physics Letters . B648 (4): 312–317. arXiv : hep-th/0612165 . Bibcode : 2007PhLB..648..312M. doi : 10.1016/j.physletb.2007.03.023. S2CID  17973378.
14. Аад, Г.; Абаджян Т.; Эбботт, Б.; Абдалла, Дж.; Абдель Халек, С.; Абдинов О.; Абен, Р.; Аби, Б.; Аболинс, М.; Абузейд, ОС; Абрамович, Х.; Абреу, Х.; Абулаити, Ю.; Ачарья, Б.С.; Адамчик, Л.; Адамс, Д.Л.; Адди, Теннесси; Адельман, Дж.; Адомейт, С.; Адье, Т.; Аефский, С.; Агатонович-Йовин, Т.; Агилар-Сааведра, Дж.А.; Агустони, М.; Ален, СП; Ахмад, А.; Ахмедов Ф.; Айелли, Г.; Окессон, TPA; и др. (2014). "Поиск квантового образования черных дыр в конечных состояниях лептонов и струй с высокой инвариантной массой с использованием столкновений протонов при √ s = 8 ТэВ и детектора ATLAS". Physical Review Letters . 112 (9): 091804. arXiv : 1311.2006 . Bibcode : 2014PhRvL.112i1804A. doi : 10.1103/PhysRevLett.112.091804. PMID:  24655244. S2CID  : 204934578.
15. "Дополнительные измерения, гравитоны и крошечные черные дыры". Home.web.cern.ch . 20 января 2012 г. Получено 13 декабря 2015 г.
16. Zee, A. (2003). Квантовая теория поля в двух словах . Princeton University Press. Bibcode :2003qftn.book.....Z. ISBN 978-0-691-01019-9.
17. Arkani-Hamed, N.; Dimopoulos, S.; Dvali, G. (1998). «Проблема иерархии и новые измерения на миллиметре». Physics Letters . B429 (3–4): 263–272. arXiv : hep-ph/9803315 . Bibcode : 1998PhLB..429..263A. doi : 10.1016/S0370-2693(98)00466-3. S2CID  15903444.
18. Аркани-Хамед, Н.; Димопулос, С.; Двали, Г. (1999). «Феноменология, астрофизика и космология теорий с субмиллиметровыми размерами и квантовой гравитацией в масштабе ТэВ». Physical Review . D59 (8): 086004. arXiv : hep-ph/9807344 . Bibcode :1999PhRvD..59h6004A. doi :10.1103/PhysRevD.59.086004. S2CID  18385871.
19. Для педагогического введения см. Shifman, M. (2009). Большие дополнительные измерения: знакомство с альтернативной парадигмой . Пересечение границ: калибровочная динамика при сильной связи. International Journal of Modern Physics A. Vol. 25, no. 2n03. Singapore: World Scientific. pp. 199–225. arXiv : 0907.3074 . Bibcode :2010IJMPA..25..199S. doi :10.1142/S0217751X10048548.
20. Gogberashvili, Merab; Ahluwalia, DV (2002). «Проблема иерархии в модели оболочки-вселенной». International Journal of Modern Physics D . 11 (10): 1635–1638. arXiv : hep-ph/9812296 . Bibcode :2002IJMPD..11.1635G. doi :10.1142/S0218271802002992. S2CID  119339225.
21. Гогберашвили, М. (2000). «Наш мир как расширяющаяся оболочка». Europhysics Letters . 49 (3): 396–399. arXiv : hep-ph/9812365 . Bibcode : 2000EL.....49..396G. doi : 10.1209/epl/i2000-00162-1. S2CID  38476733.
22. Gogberashvili, Merab (1999). "Четыре измерения в некомпактной модели Калуцы–Клейна". Modern Physics Letters A . 14 (29): 2025–2031. arXiv : hep-ph/9904383 . Bibcode :1999MPLA...14.2025G. doi :10.1142/S021773239900208X. S2CID  16923959.
23. Крейг, Натаниэль; Корен, Сет (6 марта 2020 г.). «ИК-динамика из УФ-расхождений: смешивание УФ/ИК, NCFT и проблема иерархии». Журнал физики высоких энергий . 2020 (37): 37. arXiv : 1909.01365 . Bibcode : 2020JHEP...03..037C. doi : 10.1007/JHEP03(2020)037. S2CID  202540077.
24. Абель, Стивен; Динес, Кит Р. (29 декабря 2021 г.). «Вычисление массы Хиггса в теории струн». Physical Review D. 104 ( 12): 126032. arXiv : 2106.04622 . Bibcode : 2021PhRvD.104l6032A. doi : 10.1103/PhysRevD.104.126032. S2CID  235377340.
25. Булл, Филип, Яшар Акрами, Джулиан Адамек, Тесса Бейкер, Эмилио Беллини, Хосе Бельтран Хименес, Элоиза Бентивенья и др. «За пределами ΛCDM: проблемы, решения и путь вперед». Физика темной вселенной 12 (2016): 56-99.
26. Эллис, Джордж FR (2014). «Уравнения Эйнштейна без следов и инфляция». Общая теория относительности и гравитация . 46 (1): 1619. arXiv : 1306.3021 . Bibcode :2014GReGr..46.1619E. doi :10.1007/s10714-013-1619-5. S2CID  119000135.
27. Percacci, R. (2018). «Унимодулярная квантовая гравитация и космологическая постоянная». Foundations of Physics . 48 (10): 1364–1379. arXiv : 1712.09903 . Bibcode :2018FoPh...48.1364P. doi :10.1007/s10701-018-0189-5. S2CID  118934871.
28. Луонго, Орландо; Муччино, Марко (2018-11-21). «Ускорение Вселенной с помощью пыли с давлением». Physical Review D. 98 ( 10): 2–3. arXiv : 1807.00180 . Bibcode : 2018PhRvD..98j3520L. doi : 10.1103/physrevd.98.103520. ISSN  2470-0010. S2CID  119346601.
29. Коэн, Эндрю; Каплан, Дэвид Б.; Нельсон, Энн (21 июня 1999 г.). «Эффективная теория поля, черные дыры и космологическая постоянная». Physical Review Letters . 82 (25): 4971–4974. arXiv : hep-th/9803132 . Bibcode : 1999PhRvL..82.4971C. doi : 10.1103/PhysRevLett.82.4971. S2CID  17203575.
30. Никита Блинов; Патрик Дрейпер (7 июля 2021 г.). «Плотности состояний и граница CKN». arXiv : 2107.03530 [hep-ph].
31. Мартел, Хьюго; Шапиро, Пол Р .; Вайнберг, Стивен (январь 1998 г.). «Вероятные значения космологической постоянной». The Astrophysical Journal . 492 (1): 29–40. arXiv : astro-ph/9701099 . Bibcode : 1998ApJ...492...29M. doi : 10.1086/305016. S2CID  119064782.
32. Пенроуз, Р. (1989). Новый разум императора . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851973-7.Глава 10.
33. Starkman, GD; Trotta, R. (2006). «Почему антропное рассуждение не может предсказать Λ». Physical Review Letters . 97 (20): 201301. arXiv : astro-ph/0607227 . Bibcode : 2006PhRvL..97t1301S. doi : 10.1103/PhysRevLett.97.201301. PMID  17155671. S2CID  27409290.См. также эту новость.