В математике неевклидова геометрия состоит из двух геометрий, основанных на аксиомах , тесно связанных с теми, которые определяют евклидову геометрию . Поскольку евклидова геометрия лежит на пересечении метрической геометрии и аффинной геометрии , неевклидова геометрия возникает либо в результате замены постулата параллельности альтернативой, либо в результате ослабления метрического требования. В первом случае получаются гиперболическая геометрия и эллиптическая геометрия , традиционные неевклидовы геометрии. Когда метрические требования ослаблены, с планарными алгебрами связаны аффинные плоскости, которые приводят к кинематической геометрии, которую также называют неевклидовой геометрией.
Существенное различие между метрическими геометриями заключается в природе параллельных линий. Пятый постулат Евклида , постулат параллельности , эквивалентен постулату Плейфэра , который утверждает, что в двумерной плоскости для любой данной прямой l и точки A , которая не находится на l , существует ровно одна прямая, проходящая через A. который не пересекает l . В гиперболической геометрии, напротив, существует бесконечно много линий, проходящих через A , не пересекающих l , тогда как в эллиптической геометрии любая линия, проходящая через A , пересекает l .
Другой способ описать различия между этими геометриями — рассмотреть две прямые линии, бесконечно протяженные в двумерной плоскости, которые обе перпендикулярны третьей линии (в той же плоскости):
Евклидова геометрия , названная в честь греческого математика Евклида , включает в себя некоторые из древнейших известных математических вычислений, а геометрии, которые отклонялись от нее, не были широко признаны законными до 19 века.
Дебаты, которые в конечном итоге привели к открытию неевклидовой геометрии, начались почти сразу после того, как Евклид написал «Начала» . В «Началах » Евклид начинает с ограниченного числа предположений (23 определения, пяти общих понятий и пяти постулатов) и стремится доказать все остальные результаты ( предложения ) в работе. Самый известный из постулатов часто называют «Пятым постулатом Евклида», или просто параллельным постулатом , который в оригинальной формулировке Евклида звучит так:
Если прямая падает на две прямые так, что внутренние углы одной и той же стороны вместе меньше двух прямых углов, то прямые, если производить их бесконечно, пересекутся на той стороне, на которой углы меньше двух прямых. два прямых угла.
Другие математики разработали более простые формы этого свойства. Однако независимо от формы постулата он неизменно оказывается более сложным, чем другие постулаты Евклида :
1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
2. Производить [продлевать] конечную прямую непрерывно по прямой.
3. Описать круг с любым центром и расстоянием [радиусом].
4. Что все прямые углы равны между собой.
По крайней мере тысячу лет геометры были обеспокоены несопоставимой сложностью пятого постулата и полагали, что его можно доказать как теорему, основанную на четырех других постулатах. Многие пытались найти доказательство от противного , в том числе Ибн аль-Хайсам (Альхазен, 11 век), [1] Омар Хайям (12 век), Насир ад-Дин ат-Туси (13 век) и Джованни Джироламо Саккери (18 век). ).
Теоремы Ибн аль-Хайсама, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках , включая четырехугольник Ламберта и четырехугольник Саккери , были «первыми несколькими теоремами гиперболической и эллиптической геометрии ». Эти теоремы вместе с альтернативными им постулатами, такими как аксиома Плейфэра , сыграли важную роль в более позднем развитии неевклидовой геометрии. Эти ранние попытки оспорить пятый постулат оказали значительное влияние на его развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело , Леви бен Герсона , Альфонсо , Джона Уоллиса и Саккери. [2] Однако все эти ранние попытки сформулировать неевклидову геометрию давали ошибочные доказательства постулата параллельности, зависящие от предположений, которые теперь признаны по существу эквивалентными постулату параллельности. Однако эти ранние попытки предоставили некоторые ранние свойства гиперболической и эллиптической геометрии.
Хайям, например, пытался вывести его из эквивалентного постулата, сформулированного им из «Принципов Философа» ( Аристотеля ): «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в том направлении, в котором они сходиться». [3] Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершинные углы четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них он правильно опроверг тупой и острый случаи, основанные на его постулате и, следовательно, вывел классический постулат Евклида, которого он не осознавал, был эквивалентен его собственному постулату. Другой пример - сын ат-Туси, Садр ад-Дин (иногда известный как «Псевдо-Туси»), написавший в 1298 году книгу на эту тему, основанную на более поздних мыслях ат-Туси, в которой представил другую гипотезу, эквивалентную постулату о параллельности. . «Он существенно пересмотрел как евклидову систему аксиом и постулатов, так и доказательства многих положений из « Начал ». [4] [5] Его работа была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами, в том числе Саккери [4] , который критиковал эту работу, а также работу Уоллиса. [6]
Джордано Витале в своей книге Euclide restituo (1680, 1686) использовал четырехугольник Саккери, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.
В работе под названием Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (« Евклид, свободный от всех недостатков »), опубликованной в 1733 году, Саккери быстро отверг эллиптическую геометрию как возможность (некоторые другие аксиомы Евклида должны быть изменены, чтобы эллиптическая геометрия работала) и приступил к работе, доказывая большое количество результатов по гиперболической геометрии.
В конце концов он достиг точки, когда поверил, что его результаты демонстрируют невозможность гиперболической геометрии. Его утверждение, похоже, было основано на евклидовых предпосылках, поскольку в нем не было никакого логического противоречия. В этой попытке доказать евклидову геометрию он вместо этого непреднамеренно открыл новую жизнеспособную геометрию, но не осознал ее.
В 1766 году Иоганн Ламберт написал, но не опубликовал «Теорию параллелизма» , в которой попытался, как и Саккери, доказать пятый постулат. Он работал с фигурой, ныне известной как четырехугольник Ламберта , четырехугольник с тремя прямыми углами (можно считать половиной четырехугольника Саккери). Он быстро исключил возможность того, что четвертый угол тупой, как это сделали Саккери и Хайям, а затем приступил к доказательству многих теорем в предположении острого угла. В отличие от Саккери, он никогда не чувствовал, что пришел к противоречию с этим предположением. Он доказал неевклидов результат о том, что сумма углов в треугольнике увеличивается с уменьшением площади треугольника, и это привело его к размышлению о возможности модели острого случая на сфере мнимого радиуса. Дальше он эту идею не развивал. [7]
В то время широко распространено мнение, что Вселенная действует в соответствии с принципами евклидовой геометрии. [8]
Начало XIX века, наконец, стало свидетелем решающих шагов в создании неевклидовой геометрии. Около 1813 года Карл Фридрих Гаусс и независимо около 1818 года немецкий профессор права Фердинанд Карл Швейкарт [9] разработали основные идеи неевклидовой геометрии, но не опубликовали никаких результатов. Племянник Швейкарта Франц Тауринус опубликовал важные результаты гиперболической тригонометрии в двух статьях в 1825 и 1826 годах, однако, признавая внутреннюю непротиворечивость гиперболической геометрии, он все же верил в особую роль евклидовой геометрии. [10]
Затем в 1829–1830 гг. русский математик Николай Иванович Лобачевский и в 1832 г. венгерский математик Янош Бойяи отдельно и независимо опубликовали трактаты по гиперболической геометрии. Следовательно, гиперболическую геометрию называют геометрией Лобачевского или геометрией Бояи-Лобачевского, так как оба математика, независимо друг от друга, являются основными авторами неевклидовой геометрии. Гаусс упомянул отцу Бояи, когда ему показали работу младшего Бояи, что он разработал такую геометрию несколько лет назад [11] , хотя и не опубликовал ее. В то время как Лобачевский создал неевклидову геометрию, отрицая постулат параллельности, Бояи разработал геометрию, в которой в зависимости от параметра k возможны как евклидова, так и гиперболическая геометрия . Боляи заканчивает свою работу упоминанием, что невозможно решить только с помощью математических рассуждений, является ли геометрия физической вселенной евклидовой или неевклидовой; это задача физических наук.
Бернхард Риман в знаменитой лекции 1854 года основал область римановой геометрии , обсуждая, в частности, идеи, ныне называемые многообразиями , римановой метрикой и кривизной . Он построил бесконечное семейство неевклидовых геометрий, дав формулу для семейства римановых метрик на единичном шаре в евклидовом пространстве . Самая простая из них называется эллиптической геометрией и считается неевклидовой геометрией из-за отсутствия параллельных линий. [12]
Сформулировав геометрию в терминах тензора кривизны , Риман позволил неевклидовой геометрии применяться к более высоким измерениям. Бельтрами (1868) был первым, кто применил геометрию Римана к пространствам отрицательной кривизны.
Именно Гаусс ввел термин «неевклидова геометрия». [13] Он имел в виду свою собственную работу, которую сегодня мы называем гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского . Некоторые современные авторы до сих пор используют общий термин « неевклидова геометрия» для обозначения гиперболической геометрии . [14]
Артур Кейли отметил, что расстояние между точками внутри конуса можно определить с помощью логарифма и функции проективного перекрестного отношения . Этот метод стал называться метрикой Кэли-Клейна, потому что Феликс Кляйн использовал его для описания неевклидовой геометрии в статьях [15] в 1871 и 1873 годах, а затем в виде книги. Метрики Кэли-Клейна предоставили рабочие модели гиперболической и эллиптической метрической геометрии, а также евклидовой геометрии.
Клейну принадлежат термины «гиперболический» и «эллиптический» (в своей системе он называл евклидову геометрию параболической — термин, вообще вышедший из употребления [16] ). Его влияние привело к нынешнему использованию термина «неевклидова геометрия» для обозначения либо «гиперболической», либо «эллиптической» геометрии.
Есть математики, которые различными способами расширяют список геометрий, которые следует называть «неевклидовыми». [17]
Существует много видов геометрии, которые сильно отличаются от евклидовой геометрии, но также не обязательно включаются в общепринятое значение «неевклидовой геометрии», например, более общие примеры римановой геометрии .
Евклидову геометрию можно аксиоматически описать несколькими способами. Однако первоначальная система пяти постулатов (аксиом) Евклида не входит в их число, поскольку его доказательства опирались на несколько невысказанных предположений, которые также следовало принять в качестве аксиом. Система Гильберта , состоящая из 20 аксиом [18], наиболее близко соответствует подходу Евклида и обеспечивает обоснование всех доказательств Евклида. Другие системы, использующие разные наборы неопределенных терминов, получают одну и ту же геометрию разными путями. Однако все подходы имеют аксиому, которая логически эквивалентна пятому постулату Евклида — постулату параллельности. Гильберт использует форму аксиомы Плейфэра, в то время как Биркгоф , например, использует аксиому, которая гласит: «Существует пара подобных, но не конгруэнтных треугольников». В любой из этих систем удаление одной аксиомы, эквивалентной постулату параллельности, в какой бы форме она ни принималась, и оставление всех остальных аксиом нетронутыми, приводит к созданию абсолютной геометрии . Поскольку первые 28 положений Евклида (в «Началах» ) не требуют использования постулата параллельности или чего-либо эквивалентного ему, все они являются истинными утверждениями в абсолютной геометрии. [19]
Чтобы получить неевклидову геометрию, постулат параллельности (или его эквивалент) необходимо заменить его отрицанием . Отрицание формы аксиомы Playfair , поскольку это составное утверждение (... существует одно и только одно...), может быть выполнено двумя способами:
Модели неевклидовой геометрии — это математические модели геометрий, которые являются неевклидовыми в том смысле, что невозможно провести ровно одну линию параллельно данной прямой l через точку, не лежащую на l . В гиперболических геометрических моделях, напротив, через A проходит бесконечно много прямых, параллельных l , а в эллиптических геометрических моделях параллельных линий не существует. (Для получения дополнительной информации см. статьи о гиперболической геометрии и эллиптической геометрии .)
Евклидова геометрия моделируется нашим понятием «плоской плоскости ». Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (такие как экватор или меридианы на земном шаре ), а точки, противоположные друг другу, идентифицируются (считаются одинаковыми). Псевдосфера имеет соответствующую кривизну для моделирования гиперболической геометрии.
Простейшей моделью эллиптической геометрии является сфера, где линии представляют собой « большие круги » (например, экватор или меридианы на земном шаре ), а точки, противоположные друг другу (называемые антиподальными точками ), идентифицируются (считаются одинаковыми). Это также одна из стандартных моделей реальной проективной плоскости . Отличие состоит в том, что в качестве модели эллиптической геометрии вводится метрика, позволяющая измерять длины и углы, а в модели проективной плоскости такая метрика отсутствует.
В эллиптической модели для любой заданной прямой l и точки A , которая не находится на l , все прямые, проходящие через A , будут пересекать l .
Даже после работ Лобачевского, Гаусса и Бояи оставался вопрос: «Существует ли такая модель для гиперболической геометрии ?». Ответ на модель гиперболической геометрии предложил Эухенио Бельтрами в 1868 году, который первым показал, что поверхность, называемая псевдосферой , имеет соответствующую кривизну для моделирования части гиперболического пространства, а во второй статье того же года определил модель Клейна , которая моделирует все гиперболическое пространство и использовал это, чтобы показать, что евклидова геометрия и гиперболическая геометрия равносогласованы , так что гиперболическая геометрия была логически непротиворечивой тогда и только тогда, когда евклидова геометрия была таковой. (Обратный вывод следует из модели орисферы евклидовой геометрии.)
В гиперболической модели внутри двумерной плоскости для любой заданной прямой l и точки A , не находящейся на l , существует бесконечно много линий, проходящих через A , которые не пересекают l .
В этих моделях концепции неевклидовой геометрии представлены евклидовыми объектами в евклидовой обстановке. Это вносит искажение восприятия, при котором прямые линии неевклидовой геометрии представлены евклидовыми кривыми, которые визуально изгибаются. Этот «изгиб» не является свойством неевклидовых линий, а лишь уловкой их изображения.
В трех измерениях существует восемь моделей геометрии. [22] Существуют евклидова, эллиптическая и гиперболическая геометрии, как и в двумерном случае; смешанная геометрия, частично евклидова, частично гиперболическая или сферическая; закрученные версии смешанной геометрии; и одна необычная геометрия, которая полностью анизотропна (т.е. каждое направление ведет себя по-разному).
Евклидова и неевклидова геометрии, естественно, обладают многими схожими свойствами, а именно теми, которые не зависят от природы параллелизма. Эта общность является предметом абсолютной геометрии (также называемой нейтральной геометрией ). Однако наибольшее внимание исторически уделялось свойствам, отличающим одну геометрию от других.
Помимо упомянутого во введении поведения прямых относительно общего перпендикуляра, мы имеем еще следующее:
До того, как Бельтрами, Кляйн и Пуанкаре представили модели неевклидовой плоскости, евклидова геометрия считалась неоспоримой математической моделью пространства . Более того, поскольку сущность предмета синтетической геометрии была главным проявлением рациональности, евклидова точка зрения представляла собой абсолютный авторитет.
Открытие неевклидовой геометрии имело волновой эффект, выходящий далеко за пределы математики и естественных наук. Особую роль для геометрии сыграл подход философа Иммануила Канта к человеческому знанию. Это был его яркий пример синтетического априорного знания; не полученные от чувств и не выведенные с помощью логики — наши знания о пространстве были истиной, с которой мы родились. К несчастью для Канта, его концепция неизменно истинной геометрии была евклидовой. На богословие также повлиял переход от абсолютной истины к относительной истине в том, как математика связана с окружающим миром, что стало результатом этой смены парадигмы. [23]
Неевклидова геометрия — пример научной революции в истории науки , в ходе которой математики и учёные изменили взгляды на свои предметы. [24] Некоторые геометры называли Лобачевского « Коперником геометрии» из-за революционного характера его работ. [25] [26]
Существование неевклидовых геометрий во многом повлияло на интеллектуальную жизнь викторианской Англии [27] и, в частности, было одним из ведущих факторов, вызвавших пересмотр преподавания геометрии на основе « Начал» Евклида . Этот вопрос учебной программы в то время горячо обсуждался и даже стал темой книги « Евклид и его современные соперники» , написанной Чарльзом Лютвиджем Доджсоном (1832–1898), более известным как Льюис Кэрролл , автор « Алисы в стране чудес ».
В аналитической геометрии плоскость описывается декартовыми координатами : C = { ( x, y ) : x , y ∈ ℝ }. Точки иногда обозначаются комплексными числами z = x + yε , где ε2 ∈ { –1, 0, 1}.
Евклидова плоскость соответствует случаю ε 2 = −1 , поскольку модуль z определяется выражением
и эта величина представляет собой квадрат евклидова расстояния между z и началом координат. Например, { z | zz * = 1} — единичный круг .
Для планарной алгебры неевклидова геометрия возникает и в остальных случаях. Когда ε 2 = +1 , тогда z является расщепленным комплексным числом и традиционно j заменяет эпсилон. Затем
и { г | zz * = 1} — единичная гипербола .
Когда ε2 = 0 , то z — двойственное число . [28]
Этот подход к неевклидовой геометрии объясняет неевклидовы углы: параметры наклона в двойственной числовой плоскости и гиперболический угол в расщепленной комплексной плоскости соответствуют углу в евклидовой геометрии. Действительно, каждый из них возникает при полярном разложении комплексного числа z . [29]
Гиперболическая геометрия нашла применение в кинематике вместе с физической космологией , введенной Германом Минковским в 1908 году. Минковский ввел в математическую физику такие термины, как мировая линия и собственное время . Он понял, что подмногообразие событий в один момент собственного времени в будущем можно рассматривать как гиперболическое трехмерное пространство . [30] [31] Уже в 1890-х годах Александр Макфарлейн нарисовал это подмногообразие с помощью своей «Алгебры физики» и гиперболических кватернионов , хотя Макфарлейн не использовал космологический язык, как Минковский в 1908 году. Соответствующая структура теперь называется гиперболоидной моделью гиперболической геометрии. .
Неевклидовы плоские алгебры поддерживают кинематическую геометрию на плоскости. Например, число расщепленного комплекса z = e a j может представлять пространственно-временное событие на один момент в будущем в системе отсчета с быстротой a . Более того, умножение на z представляет собой усиление Лоренца , отображающее кадр с нулевой скоростью в кадр с быстротой a .
Кинематическое исследование использует двойственные числа для представления классического описания движения в абсолютном времени и пространстве : уравнения эквивалентны сдвиговому отображению в линейной алгебре:
Для двойственных чисел отображение [32]
Другой взгляд на специальную теорию относительности как на неевклидову геометрию был выдвинут Э.Б. Уилсоном и Гилбертом Льюисом в трудах Американской академии искусств и наук в 1912 году. Они переработали аналитическую геометрию, неявную в алгебре комплексных чисел с расщеплением, в синтетическую геометрию посылок. и вычеты. [33] [34]
Неевклидова геометрия часто появляется в произведениях научной фантастики и фэнтези .
«Три учёных, Ибн аль-Хайсам, Хайям и ат-Туси, внесли наиболее значительный вклад в эту отрасль геометрии, важность которой была полностью признана только в девятнадцатом веке. По существу, их положения относительно свойств четырёхугольника — которые они рассматривали, предполагая, что некоторые углы этих фигур были острыми или тупыми, — воплотили в себе первые несколько теорем гиперболической и эллиптической геометрий. Другие их предложения показали, что различные геометрические утверждения эквивалентны евклидову постулату V. Это чрезвычайно важно что эти учёные установили взаимную связь между этим постулатом и суммой углов треугольника и четырёхугольника.Своими работами по теории параллельных прямых арабские математики непосредственно повлияли на соответствующие исследования своих европейских коллег.Первая европейская попытка доказать Постулат о параллельных линиях, выдвинутый Витело , польскими учёными XIII века, при пересмотре «Книги оптики» Ибн аль-Хайсама ( «Китаб аль-Маназир »), несомненно, был подсказан арабскими источниками. Доказательства, выдвинутые в четырнадцатом веке еврейским ученым Леви бен Герсоном , жившим на юге Франции, и упомянутым выше Альфонсо из Испании непосредственно граничат с доказательством Ибн аль-Хайсама. Выше мы показали, что « Изложение Евклида» Псевдо-Тузи стимулировало исследования теории параллельных прямых как Дж. Уоллиса, так и Дж. Саккери ».
«Но в рукописи, написанной, вероятно, его сыном Садр ад-Дином в 1298 году и основанной на более поздних мыслях Насир ад-Дина по этому вопросу, есть новый аргумент, основанный на другой гипотезе, также эквивалентной гипотезе Евклида, [...] Важность этой последней работы состоит в том, что она была опубликована в Риме в 1594 году и изучалась европейскими геометрами. В частности, она стала отправной точкой для работ Саккери и, в конечном счете, для открытия неевклидовой геометрии».
«В «Изложении Евклида» Псевдо-Туси [...] вместо постулата используется другое утверждение. Оно было независимым от евклидова постулата V и его легко доказать. [...] Он существенно пересмотрел обе евклидовы системы аксиом. а также постулаты и доказательства многих положений из « Элементов ».