Абелева 2-группа

В математике абелева 2-группа является более многомерным аналогом абелевой группы в смысле высшей алгебры ^[1] , которые были первоначально введены Александром Гротендиком при изучении абстрактных структур, окружающих абелевы многообразия и группы Пикара . ^[2] Более конкретно, они задаются группоидами , которые имеют бифунктор , который действует формально как сложение абелевой группы. А именно, бифунктор имеет понятие коммутативности , ассоциативности и структуры тождества . Хотя это кажется довольно возвышенной и абстрактной структурой, существует несколько (очень конкретных) примеров абелевых 2-групп. Фактически, некоторые из них предоставляют прототипы для более сложных примеров высших алгебраических структур, таких как абелевы n -группы . ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle +:\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to \mathbb {A} }$ ${\displaystyle +}$

Определение

Абелева 2-группа — это группоид (то есть категория , в которой каждый морфизм является изоморфизмом ) с бифунктором и естественными преобразованиями ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle +:\mathbb {A} \times \mathbb {A} \to \mathbb {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau :&X+Y\Rightarrow Y+X\\\sigma :&(X+Y)+Z\Rightarrow X+(Y+Z)\end{aligned}}}$

которые удовлетворяют множеству аксиом, гарантирующих, что эти преобразования ведут себя подобно коммутативности ( ) и ассоциативности для абелевой группы. Один из мотивирующих примеров такой категории исходит из категории Пикара линейных расслоений на схеме (см. ниже). ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\sigma )}$

Примеры

категория Пикарда

Для схемы или многообразия существует абелева 2-группа , объектами которой являются линейные расслоения , а морфизмы задаются изоморфизмами линейных расслоений. Обратите внимание на заданное линейное расслоение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {\textbf {Pic}} X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\text{End}}({\mathcal {L}})={\text{Aut}}({\mathcal {L}})\cong {\mathcal {O}}_{X}^{*}}$

поскольку единственные автоморфизмы линейного расслоения задаются неисчезающей функцией на . Аддитивная структура задается тензорным произведением на линейных расслоениях. Это делает более понятным, почему должны быть естественные преобразования вместо равенства функторов . Например, у нас есть только изоморфизм линейных расслоений ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\otimes {\mathcal {L}}'\cong {\mathcal {L}}'\otimes {\mathcal {L}}}$

но не прямое равенство. Этот изоморфизм не зависит от выбранных линейных расслоений и является функториальным, поэтому они дают естественное преобразование

${\displaystyle \tau :(-\otimes -)\to (-\otimes -)}$

перестановка компонент. Ассоциативность аналогично следует из ассоциативности тензорных произведений линейных расслоений.

Двухчленные цепные комплексы

Другим источником категорий Пикара являются двухчленные цепные комплексы абелевых групп.

${\displaystyle A^{-1}\xrightarrow {d} A^{0}}$

которые имеют каноническую группоидную структуру, связанную с ними. Мы можем записать множество объектов как абелеву группу , а множество стрелок как множество . Тогда исходный морфизм стрелки — это проекционная карта ${\displaystyle A^{0}}$ ${\displaystyle A^{-1}\oplus A^{0}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (a_{-1},a_{0})}$

${\displaystyle s(a_{-1}+a_{0})=a_{0}}$

и целевой морфизм — ${\displaystyle t}$

${\displaystyle t(a_{-1}+a_{0})=d(a_{-1})+a_{0}}$

Обратите внимание, что это определение подразумевает, что группа автоморфизмов любого объекта есть . Обратите внимание, что если мы повторим эту конструкцию для пучков абелевых групп над сайтом (или топологическим пространством ), мы получим пучок абелевых 2-групп. Можно было бы предположить, что это можно использовать для построения всех таких категорий, но это не так. Фактически, эта конструкция должна быть обобщена на спектры, чтобы дать точное обобщение. ^{[3] стр. 88} ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ker} d}$ ${\displaystyle X}$

Пример абелевой 2-группы в алгебраической геометрии

Одним из примеров является комплекс котангенса для локальной схемы полного пересечения , который задается двухчленным комплексом ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathbf {L} _{X}^{\bullet }=i^{*}I/I^{2}\to i^{*}\Omega _{Y}}$

для вложения . Существует прямая категорическая интерпретация этой абелевой 2-группы из теории деформаций с использованием категории Exalcomm . ^[4] ${\displaystyle i:X\to Y}$

Обратите внимание, что в дополнение к использованию цепного комплекса из 2 членов можно было бы вместо этого рассмотреть цепной комплекс и построить абелеву n -группу (или бесконечную группу). ${\displaystyle A^{\bullet }\in Ch^{\leq 0}({\text{Ab}})}$

Абелева 2-группа морфизмов

Для пары абелевых 2-групп существует ассоциированная абелева 2-группа морфизмов ${\displaystyle \mathbb {A} ,\mathbb {A} '}$

${\displaystyle {\text{Hom}}(\mathbb {A} ,\mathbb {A} ')}$

чьи объекты задаются функторами между этими двумя категориями, а стрелки задаются естественными преобразованиями. Более того, бифунктор на индуцирует бифункторную структуру на этом группоиде, давая ему абелеву 2-групповую структуру. ${\displaystyle +'}$ ${\displaystyle \mathbb {A} '}$

Классификация абелевых 2-групп

Для классификации абелевых 2-групп строгих категорий Пикара с использованием двухчленных цепных комплексов недостаточно. Один из подходов заключается в стабильной гомотопической теории с использованием спектров, которые имеют только две нетривиальные гомотопические группы . При изучении произвольной категории Пикара становится ясно, что существуют дополнительные данные, используемые для классификации структуры категории, они задаются инвариантом Постникова.

инвариант Постникова

Для абелевой 2-группы и фиксированного объекта изоморфизмы функторов и задаются стрелкой коммутативности ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle x\in {\text{Ob}}(\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle x+(-)}$ ${\displaystyle (-)+x}$

${\displaystyle \tau :x+x\Rightarrow x+x}$

дает элемент группы автоморфизмов , квадрат которого равен , следовательно, содержится в некоторых . Иногда это записывается как . Мы можем назвать этот элемент и этот инвариант индуцирует морфизм из классов изоморфизма объектов в , обозначаемый , в , т.е. он дает морфизм ${\displaystyle {\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {A} }$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$

${\displaystyle \varepsilon :\pi _{0}(\mathbb {A} )\otimes \mathbb {Z} /2\to \pi _{1}(\mathbb {A} )={\text{Aut}}_{\mathbb {A} }(x)}$

что соответствует инварианту Постникова . В частности, каждая категория Пикара, заданная как двухчленный цепной комплекс, имеет , поскольку они соответствуют по соответствию Дольда-Кана симплициальным абелевым группам с топологическими реализациями как произведение пространств Эйленберга–Маклейна ${\displaystyle \varepsilon =0}$

${\displaystyle K(H^{-1}(A^{\bullet }),1)\times K(H^{0}(A^{\bullet }),0)}$

Например, если у нас есть категория Пикара с и , то не существует цепного комплекса абелевых групп, дающего эти группы гомологии, поскольку может быть задан только проекцией ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{0}(\mathbb {A} )=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

${\displaystyle \mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot 2} \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /2}$

Вместо этого эту категорию Пикара можно понимать как категориальную реализацию усеченного спектра сферы , где единственные две нетривиальные гомотопические группы спектра находятся в степенях и . ${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbb {S} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

Смотрите также

• ∞-группоид
• n -группа
• Жерб

Ссылки

1. Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (28 июня 2011 г.). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара». arXiv : 1101.2918 [math.AT].
2. Гротендик, Александрель. «Разоблачение XVIII» (PDF) . SGA 4. С. 29–30.
3. Хопкинс, М. Дж.; Сингер, И. М. (2005-08-24). «Квадратичные функции в геометрии, топологии и М-теории». J. Differ. Geom . 70 (3): 329–452. arXiv : math/0211216 . doi :10.4310/jdg/1143642908. S2CID  119170140.
4. Олссон, Мартин. «Теории касательных и препятствий» (PDF) . стр. 13–18.

• Диссертация Хоанг Суан Синя (большие категории)
• Пирашвили, Теймураз (2010). «Об абелевых 2-категориях и производных 2-функторах». arXiv : 1007.4138 [math.CT].
• Джибладзе, Мамука; Пирашвили, Теймураз (2011). «Когомологии с коэффициентами в стопках категорий Пикара». arXiv : 1101.2918 [math.AT].
• Дебремейкер, Рэймонд (2017). «Когомологии со значениями в пучке скрещенных групп над сайтом». arXiv : 1702.02128 [math.AG].- дает методы определения когомологий пучков с коэффициентами в скрещенном модуле или категории Пикара
• Джонсон, Найлс; Осорно, Анжелика М. (2012). «Моделирование стабильных однотипных объектов». arXiv : 1201.2686 [math.AT].- экспозиция стабильных 1-типов, содержащих связь с категориями Пикара
• Гурски, Ник; Джонсон, Найлс; Осорно, Анжелика; Стефан, Марк (2017). «Стабильные данные Постникова категорий Пикара 2». Алгебраическая и геометрическая топология . 17 (5): 2763–2806. arXiv : 1606.07032 . doi : 10.2140/agt.2017.17.2763. S2CID  119324062.