Гамма-матрицы

Генераторы алгебры Клиффорда для релятивистской квантовой механики

В математической физике гамма -матрицы , также называемые матрицами Дирака , представляют собой набор обычных матриц с определенными антикоммутационными соотношениями, которые гарантируют, что они генерируют матричное представление алгебры Клиффорда. Также возможно определить гамма-матрицы более высокой размерности . При интерпретации как матрицы действия набора ортогональных базисных векторов для контравариантных векторов в пространстве Минковского , векторы-столбцы, на которые действуют матрицы, становятся пространством спиноров , на которое действует алгебра Клиффорда пространства-времени . Это, в свою очередь, позволяет представлять бесконечно малые пространственные вращения и лоренцевские усиления . Спиноры облегчают вычисления пространства-времени в целом и, в частности, являются основополагающими для уравнения Дирака для релятивистских спиновых частиц. Гамма-матрицы были введены Полем Дираком в 1928 году. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle {\tfrac {\ 1\ }{2}}}$

В представлении Дирака четыре контравариантные гамма-матрицы имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$— это эрмитова матрица времени . Остальные три — это антиэрмитовы матрицы пространства . Более компактно, и где обозначает произведение Кронекера , а (для j = 1, 2, 3 ) обозначают матрицы Паули . ${\displaystyle \ \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I_{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}\ ,}$ ${\displaystyle \ \otimes \ }$ ${\displaystyle \ \sigma ^{j}\ }$

Кроме того, для обсуждения теории групп единичная матрица ( I ) иногда включается в четыре гамма-матрицы, и существует вспомогательная, «пятая» бесследовая матрица, используемая совместно с обычными гамма-матрицами.

${\displaystyle {\begin{aligned}\ I_{4}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\ ,\qquad \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}~.\end{aligned}}}$

«Пятая матрица» не является собственным членом основного набора из четырех; она используется для разделения номинальных левых и правых хиральных представлений . ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

Гамма-матрицы имеют групповую структуру, гамма-группу , которая является общей для всех матричных представлений группы в любом измерении для любой сигнатуры метрики. Например, матрицы Паули 2×2 представляют собой набор "гамма"-матриц в трехмерном пространстве с метрикой евклидовой сигнатуры (3, 0). В пяти пространственно-временных измерениях четыре гаммы, указанные выше, вместе с пятой гамма-матрицей, которая будет представлена ​​ниже, порождают алгебру Клиффорда.

Математическая структура

Определяющим свойством гамма-матриц для генерации алгебры Клиффорда является антикоммутационное соотношение

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ ,}$

где фигурные скобки представляют антикоммутатор , — метрика Минковского с сигнатурой (+ − − −) , а — единичная матрица 4 × 4 . ${\displaystyle \ \{,\}\ }$ ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle I_{4}}$

Это определяющее свойство является более фундаментальным, чем числовые значения, используемые в конкретном представлении гамма-матриц. Ковариантные гамма-матрицы определяются как

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\}\ ,}$

и предполагается обозначение Эйнштейна .

Обратите внимание, что другое соглашение о знаках для метрики (− + + +) требует либо изменения определяющего уравнения:

${\displaystyle \ \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\ }$

или умножение всех гамма-матриц на , что, конечно, изменяет их свойства эрмитовости, подробно описанные ниже. Согласно альтернативному соглашению о знаках для метрики, ковариантные гамма-матрицы затем определяются как ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \ \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}~.}$

Физическая структура

Алгебру Клиффорда над пространством-временем V можно рассматривать как набор действительных линейных операторов из V в себя, End( V ) , или, в более общем смысле, при комплексификации до набора линейных операторов из любого четырехмерного комплексного векторного пространства в себя. Проще говоря, при наличии базиса для V , это просто набор всех комплексных матриц 4×4 , но наделенный структурой алгебры Клиффорда. Предполагается, что пространство-время наделено метрикой Минковского η _μν . Также предполагается, что в каждой точке пространства-времени имеется пространство биспиноров U _x , наделенное биспинорным представлением группы Лоренца . Биспинорные поля Ψ уравнений Дирака, вычисленные в любой точке x в пространстве-времени, являются элементами U _x (см. ниже). Предполагается, что алгебра Клиффорда действует также на U _x (путем умножения матриц с векторами-столбцами Ψ( x ) в U _x для всех x ). Это будет основной вид элементов в этом разделе. ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\ }$

Для каждого линейного преобразования S группы U _x существует преобразование End( U _x ), заданное SES ⁻¹ для E в Если S принадлежит представлению группы Лоренца, то индуцированное действие E ↦ SES ⁻¹ также будет принадлежать представлению группы Лоренца, см. Теория представлений группы Лоренца . ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )_{\mathbb {C} }\approx \operatorname {End} (U_{x})~.}$

Если S(Λ) — биспинорное представление, действующее на U _x произвольного преобразования Лоренца Λ в стандартном (4-векторном) представлении, действующем на V , то существует соответствующий оператор на , заданный уравнением: ${\displaystyle \ \operatorname {End} \left(U_{x}\right)=\mathrm {Cl} _{1,3}\left(\mathbb {R} \right)_{\mathbb {C} }\ }$

${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }\ \mapsto \ S(\Lambda )\ \gamma ^{\mu }\ {S(\Lambda )}^{-1}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\ \gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\ \gamma ^{\nu }\ ,}$

показывая, что величина γ ^μ может рассматриваться как основа пространства представления 4- векторного представления группы Лоренца, находящейся внутри алгебры Клиффорда. Последнее тождество может быть признано определяющим соотношением для матриц, принадлежащих неопределенной ортогональной группе , которая записана в индексированной нотации. Это означает, что величины вида ${\displaystyle \ \eta \Lambda ^{\textsf {T}}\eta =\Lambda ^{-1}\ ,}$

${\displaystyle a\!\!\!/\equiv a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

следует рассматривать как 4 вектора в манипуляциях. Это также означает, что индексы можно поднимать и опускать на γ с помощью метрики η _μν, как и с любым 4 вектором. Эта нотация называется нотацией косой черты Фейнмана . Операция косой черты отображает базис e _μ V или любого 4-мерного векторного пространства в базисные векторы γ _μ . Правило преобразования для косых величин просто

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }~.}$

Следует отметить, что это отличается от правила преобразования для γ ^μ , которые теперь рассматриваются как (фиксированные) базисные векторы. Обозначение кортежа 4 как 4-вектора, иногда встречающееся в литературе, таким образом, является немного неправильным. Последнее преобразование соответствует активному преобразованию компонентов косой черты в терминах базиса γ ^μ , а первое — пассивному преобразованию самого базиса γ ^μ . ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)_{\mu =0}^{3}=\left(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right)}$

Элементы образуют представление алгебры Ли группы Лоренца. Это спиновое представление. Когда эти матрицы и их линейные комбинации возводятся в степень, они являются биспинорными представлениями группы Лоренца, например, S(Λ) выше имеет такую ​​форму. 6-мерное пространство σ ^μν span является пространством представления тензорного представления группы Лоренца. Для элементов высшего порядка алгебры Клиффорда в целом и их правил преобразования см. статью Алгебра Дирака . Спиновое представление группы Лоренца закодировано в спиновой группе Spin(1, 3) (для действительных незаряженных спиноров) и в комплексифицированной спиновой группе Spin(1, 3) для заряженных (дираковских) спиноров. ${\displaystyle \ \sigma ^{\mu \nu }=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\ }$

Выражение уравнения Дирака

В натуральных единицах уравнение Дирака можно записать как

${\displaystyle \ \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\ }$

где — спинор Дирака. ${\displaystyle \ \psi \ }$

Переходя к обозначениям Фейнмана , уравнение Дирака имеет вид

${\displaystyle \ (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0~.}$

Пятая «гамма»-матрица,.mw-parser-output .var-serif{font-family:"Nimbus Roman No9 L","Times New Roman",Times,serif;font-size:118%;line-height:1}γ5

Полезно определить произведение четырех гамма-матриц как , так что ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\equiv i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}\qquad }$(в базисе Дирака).

Хотя в нем используется буква гамма, он не является одной из гамма -матриц. Индексное число 5 является пережитком старой нотации: раньше оно называлось « ». ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )~.}$ ${\displaystyle \ \gamma ^{0}\ }$ ${\displaystyle \gamma ^{4}}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$имеет также альтернативную форму:

${\displaystyle \ \gamma ^{5}={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

используя соглашение или ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }\ }$

Используя конвенцию Доказательство: ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1~.}$

Это можно увидеть, используя тот факт, что все четыре гамма-матрицы антикоммутируют, поэтому

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\tfrac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }\ ,}$

где — обобщенный символ Кронекера типа (4,4) в 4 измерениях, в полной антисимметризации . Если обозначает символ Леви-Чивиты в n измерениях, мы можем использовать тождество . Тогда мы получаем, используя соглашение ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{\alpha \dots \beta }\ }$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$ ${\displaystyle \ \varepsilon ^{0123}=1\ ,}$

${\displaystyle \ \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\tfrac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\tfrac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

Эта матрица полезна при обсуждении квантово-механической хиральности . Например, поле Дирака можно спроецировать на его левосторонние и правосторонние компоненты следующим образом:

${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ I-\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ,\qquad \psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ I+\gamma ^{5}\ }{2}}\ \psi ~.}$

Некоторые свойства:

• Это эрмитово:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}~.}$

• Его собственные значения равны ±1, потому что:

  ${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4}~.}$

• Она антикоммутирует с четырьмя гамма-матрицами:

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0~.}$

На самом деле, и являются собственными векторами, поскольку ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {L} }\ }$ ${\displaystyle \ \psi _{\mathrm {R} }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{5}\ }$

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {L} }={\frac {\ \gamma ^{5}-\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =-\psi _{\mathrm {L} }\ ,}$и ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\mathrm {R} }={\frac {\ \gamma ^{5}+\left(\gamma ^{5}\right)^{2}\ }{2}}\psi =\psi _{\mathrm {R} }~.}$

Пять измерений

Алгебра Клиффорда в нечетных измерениях ведет себя как две копии алгебры Клиффорда на одно измерение меньше, левая копия и правая копия. ^{[3] : 68} Таким образом, можно применить небольшой трюк, чтобы перепрофилировать i  γ ⁵ в качестве одного из генераторов алгебры Клиффорда в пяти измерениях. В этом случае набор { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , i γ ⁵ } , следовательно, в силу последних двух свойств (имея в виду, что i ² ≡ −1 ) и свойств «старых» гамм, образует основу алгебры Клиффорда в 5  пространственно-временных измерениях для метрической сигнатуры (1,4) . ^[a]  . ^{[4] : 97} В метрической сигнатуре (4,1) используется набор { γ ⁰ , γ ¹ , γ ² , γ ³ , γ ⁵ } , где γ ^μ являются подходящими для сигнатуры (3,1) . ^[5] Этот шаблон повторяется для пространственно-временного измерения 2 n четного и следующего нечетного измерения 2 n + 1 для всех n ≥ 1 . ^{[6] : 457} Более подробную информацию см. в разделе высокоразмерные гамма-матрицы .

Идентичности

Следующие тождества вытекают из фундаментального антикоммутационного соотношения, поэтому они справедливы в любом базисе (хотя последнее зависит от выбора знака для ). ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

Разные идентичности

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$

2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$

3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$

4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$

5. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$

6. где ${\displaystyle \gamma ^{5}\sigma ^{\nu \rho }={\tfrac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\sigma _{\sigma \mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \sigma _{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]={\tfrac {i}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })\ }$

Отслеживание идентичности

Гамма-матрицы подчиняются следующим следовым тождествам :

1. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0}$
2. След любого произведения нечетного числа равен нулю ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
3. След времени, когда произведение нечетного числа все еще равно нулю ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$
4. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$
5. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
6. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$
7. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$
8. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)}$

Доказательство вышесказанного предполагает использование трех основных свойств оператора трассировки :

• тр( А + B ) = тр( А ) + тр( B )
• тр( рА ) = р тр( А )
• тр( АВС ) = тр( САВ ) = тр( ВСА )

Нормализация

Гамма-матрицы могут быть выбраны с дополнительными условиями эрмитовости, которые, однако, ограничены приведенными выше антикоммутационными соотношениями. Мы можем наложить

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$, совместимый с ${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

и для других гамма-матриц (для k = 1, 2, 3 )

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$, совместимый с ${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

Непосредственно проверяется, что эти соотношения эрмитовости справедливы для представления Дирака.

Вышеуказанные условия можно объединить в соотношение

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

Условия эрмитовости не являются инвариантными относительно действия преобразования Лоренца , поскольку это не обязательно унитарное преобразование из-за некомпактности группы Лоренца. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle S(\Lambda )}$

Зарядовое сопряжение

Оператор сопряжения зарядов в любом базисе может быть определен как

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}}$

где обозначает транспонированную матрицу . Явная форма, которая принимается, зависит от конкретного представления, выбранного для гамма-матриц, с точностью до произвольного фазового множителя. Это происходит потому, что хотя сопряжение зарядов является автоморфизмом гамма - группы , оно не является внутренним автоморфизмом ( группы). Сопрягающие матрицы могут быть найдены, но они зависят от представления. ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle C}$

К независимым от представительства идентичностям относятся:

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{\textsf {T}}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{\textsf {T}}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{\textsf {T}}\\\end{aligned}}}$

Оператор сопряжения зарядов также является унитарным , в то время как для он также имеет место для любого представления. При наличии представления гамма-матриц произвольный фазовый множитель для оператора сопряжения зарядов также может быть выбран таким образом, что , как это имеет место для четырех представлений, приведенных ниже (Дирака, Майораны и обоих хиральных вариантов). ${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{T}=-C}$ ${\displaystyle C^{\dagger }=-C}$

Обозначение Фейнмана с косой чертой

Обозначение косой черты Фейнмана определяется как

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

для любого 4-вектора . ${\displaystyle a}$

Вот несколько идентификаторов, похожих на те, что приведены выше, но с использованием слэш-нотации:

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=\left[a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }\right]I_{4}}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=\left[a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\right]I_{4}=\left[{\tfrac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)\right]I_{4}=\left[\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }\right]I_{4}=a^{2}I_{4}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)I_{4}}$^[7]
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$^[7]

  где - символ Леви-Чивита и На самом деле следы произведений нечетного числа равны нулю и, таким образом, ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\tfrac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right]~.}$ ${\displaystyle \ \gamma \ }$

• ${\displaystyle \operatorname {tr} (a_{1}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,a_{2}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,\cdots a_{n}\!\!\!\!\!\!/\,\,\,)=0\ }$для нечетного n . ^[8]

Многие из них напрямую вытекают из расширения слэш-обозначения и сокращения выражений формы с соответствующим идентификатором в терминах гамма-матриц. ${\displaystyle \ a_{\mu }b_{\nu }c_{\rho }\ \ldots \ }$

Другие представления

Матрицы также иногда записываются с использованием единичной матрицы 2×2 , и ${\displaystyle I_{2}}$

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

где k изменяется от 1 до 3, а σ ^k являются матрицами Паули .

Базис Дирака

Гамма-матрицы, которые мы написали до сих пор, подходят для действия на спиноры Дирака , записанные в базисе Дирака ; фактически, базис Дирака определяется этими матрицами. Подводя итог, в базисе Дирака:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

В базисе Дирака оператор зарядового сопряжения является действительным антисимметричным, ^{[9] : 691–700}

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&~~0&~~0&-1\\0&~~0&~~1&~~0\\0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\end{pmatrix}}~.}$

Вейлевский (хиральный) базис

Другим распространенным выбором является базис Вейля или хиральный базис , в котором остается тем же самым, но отличается, и поэтому также отличается, и диагональный, ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{5}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

или в более компактной записи:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\overline {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\overline {\sigma }}^{\mu }\equiv \left(1,-\sigma ^{i}\right).}$

Преимущество базиса Вейля в том, что его хиральные проекции принимают простую форму,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }={\tfrac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {R} }={\tfrac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi ~.}$

Идемпотентность хиральных проекций очевидна .

Немного изменив обозначения и повторно используя символы, мы можем определить ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} /R}}$

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {L} }\\\psi _{\mathrm {R} }\end{pmatrix}},}$

где теперь и — левые и правые двухкомпонентные спиноры Вейля. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

Оператор сопряжения зарядов в этом базисе является действительным антисимметричным,

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

Базис Дирака можно получить из базиса Вейля следующим образом:

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

через унитарное преобразование

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Базис Вейля (хиральный) (альтернативная форма)

Другой возможный выбор ^[10] базиса Вейля имеет

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Хиральные проекции принимают несколько иную форму, чем другой выбор Вейля,

${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\mathrm {L} }={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

Другими словами,

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\mathrm {R} }\\\psi _{\mathrm {L} }\end{pmatrix}},}$

где и — левые и правые двухкомпонентные спиноры Вейля, как и прежде. ${\displaystyle \psi _{\mathrm {L} }}$ ${\displaystyle \psi _{\mathrm {R} }}$

Оператор сопряжения заряда в этом базисе равен

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&~~0&~~0\\1&~~0&~~0&~~0\\0&~~0&~~0&~~1\\0&~~0&-1&~~0\\\end{pmatrix}}~=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}.}$

Этот базис можно получить из базиса Дирака, приведенного выше, с помощью унитарного преобразования ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {W} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {W} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}~~I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

основа майорана

Существует также базис Майораны , в котором все матрицы Дирака мнимые, а спиноры и уравнение Дирака действительные. Что касается матриц Паули , то базис можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}}\ ,~&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\ ,~&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}\ ,\end{aligned}}}$

где — матрица зарядового сопряжения, которая соответствует версии Дирака, определенной выше. ${\displaystyle C}$

Причина, по которой все гамма-матрицы делаются мнимыми, заключается исключительно в получении метрики физики частиц (+, −, −, −) , в которой квадраты масс положительны. Однако представление Майораны является действительным. Можно вынести за скобки , чтобы получить другое представление с четырьмя компонентами действительных спиноров и действительными гамма-матрицами. Следствием удаления является то, что единственной возможной метрикой с действительными гамма-матрицами является (−, +, +, +) . ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$

Базис Майораны может быть получен из базиса Дирака, приведенного выше, с помощью унитарного преобразования ${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{\mu }=U\gamma _{\mathrm {D} }^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\mathrm {M} }=U\psi _{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\tfrac {1}{{\sqrt {2\ }}\ }}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}~.}$

Кл1,3(С) и Cl1,3(Р)

Алгебру Дирака можно рассматривать как комплексификацию действительной алгебры Cl _1,3 ( ), называемую алгеброй пространства-времени : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cl _1,3 ( ) отличается от Cl _1,3 ( ): в Cl _1,3 ( ) допускаются только действительные линейные комбинации гамма-матриц и их произведений. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Следует отметить две вещи. Поскольку алгебры Клиффорда , Cl _1,3 ( ) и Cl ₄ ( ) изоморфны, см. классификацию алгебр Клиффорда . Причина в том, что базовая сигнатура метрики пространства-времени теряет свою сигнатуру (1,3) при переходе к комплексификации. Однако преобразование, необходимое для приведения билинейной формы к комплексной канонической форме, не является преобразованием Лоренца и, следовательно, не является «допустимым» (по крайней мере, непрактичным), поскольку вся физика тесно связана с симметрией Лоренца, и предпочтительно сохранять ее проявленной. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Сторонники геометрической алгебры стремятся работать с действительными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что, как правило, возможно (и обычно познавательно) определить наличие мнимой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в действительной алгебре Клиффорда, квадрат которой равен −1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, необходимо ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака. ^{[11] : x–xi}

В математике римановой геометрии принято определять алгебру Клиффорда Cl _p,q ( ) для произвольных размерностей p,q . Спиноры Вейля преобразуются под действием группы спинов . Комплексификация группы спинов, называемая группой спинов , является произведением группы спинов с окружностью Произведение — это просто обозначение для идентификации с Геометрический смысл этого заключается в том, что оно распутывает действительный спинор, который ковариантен относительно преобразований Лоренца, из компонента, который можно отождествить с волокном электромагнитного взаимодействия. Это запутывающая четность и зарядовое сопряжение способом, подходящим для связи состояний частицы/античастицы Дирака (эквивалентно, хиральных состояний в базисе Вейля). Биспинор , поскольку он имеет линейно независимые левые и правые компоненты, может взаимодействовать с электромагнитным полем. Это контрастирует со спинором Майораны и спинором ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators), которые не могут ( т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор, чтобы не взаимодействовать с частью, поступающей из комплексификации. Спинор ELKO является спинором класса 5 Лоунесто. ^{[12] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Однако в современной практике физики алгебра Дирака, а не алгебра пространства-времени, продолжает оставаться стандартной средой, в которой «живут» спиноры уравнения Дирака.

Другие объекты, не требующие представительства

Гамма-матрицы диагонализируемы с собственными значениями для и собственными значениями для . ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \pm i}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

В частности, это подразумевает, что является одновременно эрмитовым и унитарным, в то время как являются одновременно антиэрмитовыми и унитарными. ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{i}}$

При этом кратность каждого собственного значения равна двум.

В более общем случае, если не является нулем, то аналогичный результат имеет место. Для конкретности мы ограничиваемся случаем положительной нормы с Отрицательный случай следует аналогично. ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }X_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \gamma ^{\mu }p_{\mu }=p\!\!\!/\ }$ ${\displaystyle \ p\cdot p=m^{2}>0~.}$

Из этого следует, что пространство решений (то есть ядро ​​левой части) имеет размерность 2. Это означает, что пространство решений для плоских волновых решений уравнения Дирака имеет размерность 2. ${\displaystyle \ p\!\!\!/-m=0\ }$

Этот результат по-прежнему справедлив для безмассового уравнения Дирака. Другими словами, если нуль, то имеет нуль 2. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle p\!\!\!/}$

Евклидовы матрицы Дирака

В квантовой теории поля можно повернуть ось времени по Вику, чтобы перейти из пространства Минковского в евклидово пространство . Это особенно полезно в некоторых процедурах перенормировки , а также в решеточной калибровочной теории . В евклидовом пространстве есть два обычно используемых представления матриц Дирака:

Хиральное представление

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Обратите внимание, что множители были вставлены в пространственные гамма-матрицы, так что евклидова алгебра Клиффорда ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

возникнет. Также стоит отметить, что существуют варианты этого, которые вставляют вместо этого одну из матриц, например, в решеточных кодах КХД, которые используют хиральный базис. ${\displaystyle -i}$

В евклидовом пространстве,

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {M} }^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {M} }={\tfrac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\mathrm {E} }=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\mathrm {E} }=\gamma _{\mathrm {E} }^{5}~.}$

Используя антикоммутатор и отмечая, что в евклидовом пространстве , можно показать, что ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

В хиральном базисе в евклидовом пространстве,

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

которая не отличается от версии Минковского.

Нерелятивистское представление

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}}\ ,\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Сноски

1. Набор матриц (Γ ^a ) = ( γ ^μ , i γ ⁵ ) с a = (0, 1, 2, 3, 4) удовлетворяет пятимерной алгебре Клиффорда {Γ ^a , Γ ^b } = 2  η ^ab

Смотрите также

• физический портал

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Многомерные гамма-матрицы
• Фирц идентичность
• Алгебра пространства-времени

Цитаты

1. Кукин 2016.
2. Лонигро 2023.
3. Йост 2002.
4. Тонг 2007, Эти вводные заметки по квантовой теории поля предназначены для студентов Части III (уровень магистратуры).
5. Вайнберг 2002, § 5.5.
6. де Вит и Смит 2012.
7. Фейнман, Ричард П. (1949). «Пространственно-временной подход к квантовой электродинамике». Physical Review . 76 (6): 769–789. doi :10.1103/PhysRev.76.769 – через APS.
8. Каплуновский 2008.
9. Ицыксон и Зубер 2012.
10. Каку 1993.
11. Хестенес 2015.
12. Родригес и Оливейра 2007.

Ссылки

• де Вит, Б.; Смит, Дж. (2 декабря 2012 г.). Теория поля в физике элементарных частиц, том 1. Elsevier. ISBN 978-0-444-59622-2.[1]
• Halzen, Francis; Martin, Alan D. (17 мая 2008 г.). Кварк и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц. Wiley India Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1656-8.
• Хестенес, Дэвид (2015). Пространственно-временная алгебра. Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-18412-8.
• Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (20 сентября 2012 г.). Квантовая теория поля. Courier Corporation. Приложение A. ISBN 978-0-486-13469-7.
• Йост, Юрген (2002). Риманова геометрия и геометрический анализ. Springer. стр. 68, следствие 1.8.1. ISBN 978-3-540-42627-1.
• Каку, Мичио (1993). Квантовая теория поля: Современное введение. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509158-8.
• Каплуновский, Вадим (2008). "Трассология" (PDF) . Квантовая теория поля (домашнее задание по курсу / конспекты занятий). Физический факультет. Техасский университет в Остине . Архивировано из оригинала (PDF) 2019-11-13.

• Кукин, ВД (2016). "Матрицы Дирака - Энциклопедия математики". encyclopediaofmath.org . Получено 2023-11-02 .

• Lonigro, Davide (2023). "Размерная редукция уравнения Дирака в произвольных пространственных измерениях". The European Physical Journal Plus . 138 (4): 324. arXiv : 2212.11965 . Bibcode : 2023EPJP..138..324L. doi : 10.1140/epjp/s13360-023-03919-0.
• Паули, В. (1936). «Математические вклады в теорию матриц Дирака». Анналы Института Анри Пуанкаре . 6 :109.

• Пескин, М.; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля. Westview Press. Глава 3.2. ISBN 0-201-50397-2.

• Родригес, Вальдир А.; Оливейра, Эдмундо К. де (2007). Многоликость уравнений Максвелла, Дирака и Эйнштейна: подход с использованием пучка Клиффорда. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-71292-3.
• Тонг, Дэвид (2007). Лекции по квантовой теории поля (конспекты лекций курса). Дэвид Тонг в Кембриджском университете . стр. 93. Получено 07.03.2015 .

• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том 1. Cambridge University Press . ISBN 0-521-55001-7– через Интернет-архив (archive.org).

• Zee, A. (2003). Квантовая теория поля в двух словах. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. Глава II.1. ISBN 0-691-01019-6.

Внешние ссылки

• Матрицы Дирака на mathworld, включая их групповые свойства
• Матрицы Дирака как абстрактная группа на GroupNames
• «Матрицы Дирака», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]