Порядок величины

Масштаб чисел с фиксированным соотношением

Порядок величины — это приближение логарифма значения относительно некоторого контекстуально понимаемого эталонного значения, обычно 10, интерпретируемого как основание логарифма и представителя значений единицы. Логарифмические распределения распространены в природе, и учет порядка величин, выбранных из такого распределения, может быть более интуитивным. Когда опорное значение равно 10, порядок величины можно понимать как количество цифр в десятичном представлении значения. Аналогично, если опорное значение представляет собой одну из некоторых степеней 2, поскольку компьютеры хранят данные в двоичном формате, величину можно понимать с точки зрения объема компьютерной памяти, необходимой для хранения этого значения.

Различия по порядку величины могут быть измерены по десятичной логарифмической шкале в « десятилетиях » (т. е. в десять раз). ^[1] Примеры чисел разной величины можно найти на странице Порядки величин (числа) .

Определение

Обычно порядок числа — это наименьшая степень 10, используемая для представления этого числа. ^[2] Чтобы определить порядок величины числа , его сначала выражают в следующей форме: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=a\times 10^{b}}$

где или приблизительно . Тогда представляет порядок величины числа. Порядок величины может быть любым целым числом . В таблице ниже указан порядок величины некоторых чисел в свете этого определения: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {10}}}\leq a<{\sqrt {10}}}$ ${\displaystyle 0.316\lesssim a\lesssim 3.16}$ ${\displaystyle b}$

Среднее геометрическое и равно , что означает, что точное значение (т. е. ) представляет собой геометрическую среднюю точку в диапазоне возможных значений . ${\displaystyle 10^{b-1/2}}$ ${\displaystyle 10^{b+1/2}}$ ${\displaystyle 10^{b}}$ ${\displaystyle 10^{b}}$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle a}$

Некоторые используют более простое определение, где , ^[3] возможно, потому что среднее арифметическое и приближается к увеличению . ^{[ нужна цитация ]} Это определение приводит к небольшому снижению значений: ${\displaystyle 0.5\leq a<5}$ ${\displaystyle 10^{b}}$ ${\displaystyle 10^{b+c}}$ ${\displaystyle 5\times 10^{b+c-1}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$

Использование

Порядки величин используются для приблизительных сравнений. Если числа различаются на один порядок, x примерно в десять раз отличается по величине от y . Если значения различаются на два порядка, они отличаются примерно в 100 раз. Два числа одного порядка имеют примерно одинаковый масштаб: большее значение более чем в десять раз меньше меньшего. Растущие объемы интернет-данных со временем привели к добавлению новых префиксов SI , последний раз в 2022 году. ^[4]

Вычисление порядка величины

Порядок числа — это, интуитивно говоря, количество степеней 10, содержащихся в числе. Точнее, порядок числа можно определить через десятичный логарифм , обычно как целую часть логарифма, полученную путем усечения . ^{[ противоречиво ]} Например, число4 000 000 имеет логарифм (по основанию 10) 6,602; его порядок величины равен 6. При усечении число этого порядка находится между 10 ⁶ и 10 ⁷ . В аналогичном примере с фразой «семизначный доход» порядок величины — это количество цифр минус одна, поэтому без калькулятора очень легко определить, что он равен 6. Порядок величины — это приблизительное положение на логарифмическая шкала .

Оценка порядка величины

Оценка порядка величины переменной, точное значение которой неизвестно, представляет собой оценку, округленную до ближайшей степени десяти. Например, оценка порядка величины переменной от 3 до 30 миллиардов (например, человеческое население Земли ) составляет 10 миллиардов . Чтобы округлить число до ближайшего порядка, нужно округлить его логарифм до ближайшего целого числа. Таким образом4 000 000 , логарифм которого (по основанию 10) равен 6,602, имеет 7 в качестве ближайшего порядка величины, поскольку «ближайший» подразумевает округление, а не усечение. Для чисел, записанных в экспоненциальной записи, эта логарифмическая шкала округления требует округления до следующей степени десяти, когда множитель больше квадратного корня из десяти (около 3,162). Например, ближайший порядок величины для1,7 × 10 ⁸ равно 8, тогда как ближайший порядок величины для3,7 × 10 ⁸ равно 9. Оценку порядка величины иногда еще называют приближением нулевого порядка .

Разница на порядок

Разница на порядок величины между двумя значениями составляет 10 раз. Например, масса планеты Сатурн в 95 раз больше массы Земли , поэтому Сатурн на два порядка массивнее Земли. Различия на порядок величины называются десятилетиями , если измерять их в логарифмическом масштабе .

Недесятичные порядки величины

Другие порядки величины могут быть рассчитаны с использованием других оснований , кроме 10. Древние греки ранжировали яркость небесных тел в ночное время по 6 уровням, каждый из которых представлял собой пятый корень из ста (около 2,512), столь же яркий, как ближайший более слабый уровень яркости. , ^{[ нужна ссылка ]} и, таким образом, самый яркий уровень, который на 5 порядков ярче самого слабого, указывает на то, что он (100 ^1/5 ) ⁵ или в 100 раз ярче. Однако модернизированная версия превратилась в логарифмическую шкалу с нецелыми значениями.

Различные десятичные системы счисления мира используют более крупную основу, чтобы лучше представить размер числа, и создали названия для степеней этой более крупной системы счисления. В таблице показано, к какому числу стремится порядок величины для основания 10 и для основания1 000 000 . Видно, что порядок величины включен в имя числа в этом примере, поскольку би- означает 2, а три- означает 3 (они имеют смысл только в длинной шкале), а суффикс -иллион сообщает, что основание равно1 000 000 . Но сами числа, названия миллиарды, триллионы (здесь с другим смыслом , чем в первой главе) не являются названиями порядков величин , это названия «величин», то есть чисел 1 000 000 000 000 и т. д.

Единицы СИ в таблице справа используются вместе с префиксами СИ , которые были разработаны в основном с учетом 1000-кратных величин. Префиксы стандарта IEC с основанием 1024 были изобретены для использования в электронных технологиях.

Чрезвычайно большие числа

Для чрезвычайно больших чисел обобщенный порядок величины может быть основан на их двойном логарифме или суперлогарифме . Округление их вниз до целого числа дает категории между очень «круглыми числами», округление их до ближайшего целого числа и применение обратной функции дает «ближайшее» круглое число.

Двойной логарифм дает категории:

..., 1,0023–1,023, 1,023–1,26, 1,26–10, 10–10 ¹⁰ , 10 ¹⁰ –10 ¹⁰⁰ , 10 ¹⁰⁰ –10¹⁰⁰⁰ , ...

(первые два упомянутых и расширение влево могут быть не очень полезны, они просто демонстрируют, как последовательность математически продолжается влево).

Суперлогарифм дает категории:

0–1, 1–10, 10–10 ¹⁰ , 10 ¹⁰ –10 ^{10 10} , ^{10 10 10} –10 ^{10 10 10} , ... или

0– ⁰ 10, ⁰ 10– ¹ 10, ¹ 10– ² 10, ² 10– ³ 10, ³ 10– ⁴ 10, ...

«Средние точки», определяющие, какой номер раунда ближе, в первом случае:

1.076, 2.071, 1453,4,20 × 10 ³¹ ,1,69 × 10 ³¹⁶ ,...

и, в зависимости от метода интерполяции, во втором случае

−0,301, 0,5, 3,162,1453 ,1 × 10 ¹⁴⁵³ , , ,... (см. обозначения чрезвычайно больших чисел ) ${\displaystyle (10\uparrow )^{1}10^{1453}}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{2}10^{1453}}$

Для чрезвычайно малых чисел (в смысле близких к нулю) ни один из методов напрямую не подходит, но можно рассматривать обобщенный порядок величины обратной величины.

Подобно логарифмической шкале, можно использовать двойную логарифмическую шкалу (пример приведен здесь ) и суперлогарифмическую шкалу. Прежде всего, интервалы имеют одинаковую длину, а «середины» фактически находятся посередине. В более общем смысле, точка на полпути между двумя точками соответствует обобщенному f - среднему с f ( x ) соответствующей функцией log log x или slog x . В случае log log x это среднее двух чисел (например, 2 и 16, дающее 4) не зависит от основания логарифма, как и в случае log x ( среднее геометрическое , 2 и 8, дающее 4), но в отличие от случая log log log x (4 и65 536 , что дает 16, если основание равно 2, но не иначе).

Смотрите также

• Обозначение большого О
• Децибел
• Математические операторы и символы в Юникоде
• Названия больших чисел
• Названия маленьких чисел
• Чувство числа
• Порядки величины (ускорение)
• Порядки величины (площадь)
• Порядки величины (скорость передачи данных)
• Порядки величины (текущие)
• Порядки величины (данные)
• Порядки величины (энергия)
• Порядки величины (сила)
• Порядки величины (частота)
• Порядки величины (освещенность)
• Порядки величины (длина)
• Порядки (масса)
• Порядки величины (числа)
• Порядки величины (мощность)
• Порядки величины (давление)
• Порядки величины (излучение)
• Порядки величины (скорость)
• Порядки величины (температура)
• Порядки величины (время)
• Порядки величины (напряжение)
• Порядки (объем)
• Силы десяти
• Научная нотация
• Символы Юникода для CJK. Совместимость включает символы единиц СИ.
• Оценка (алгебра) — алгебраическое обобщение «порядка величины».
• Масштаб (аналитический инструмент)

Рекомендации

1. Брайанс, Паус. "Порядки величины" . Проверено 9 мая 2013 г.
2. «Орден величины». Вольфрам Математический мир . Проверено 3 января 2017 г. Физики и инженеры используют фразу «порядок величины» для обозначения наименьшей степени десяти, необходимой для представления величины.
3. Shaalaa.com. «Ответьте на следующий вопрос. Опишите, что подразумевается под порядком величины. - Физика | Shaalaa.com». www.shaalaa.com . Проверено 4 июня 2023 г.
4. Гибни, Элизабет (2022). «Сколько йоттабайтов в кветтабайте? Экстремальные числа получают новые имена». Природа . дои : 10.1038/d41586-022-03747-9. PMID  36400954. S2CID  253671538 . Проверено 20 ноября 2022 г.

дальнейшее чтение

• Азимов, Исаак , Мера Вселенной (1983).

Внешние ссылки

• Интерактивный инструмент «Масштаб Вселенной 2»: от ^{планковской} длины 10–35 метров до размера Вселенной 10 ²⁷
• Космос – иллюстрированное путешествие в измерениях от микрокосмоса к макрокосмосу – от Digital Nature Agency
• Степени 10 — графическая анимированная иллюстрация, которая начинается с вида Млечного Пути на высоте ^10,23 метра и заканчивается субатомными частицами на высоте ^10–16 метров.
• Что такое порядок величины?