В геометрии ортосхема Шлефли — это тип симплекса . Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого числа измерений. Ортосхемы определяются последовательностью взаимно ортогональных ребер . Они были введены Людвигом Шлефли , который назвал их ортосхемами и изучал их объем в евклидовой , гиперболической и сферической геометриях. Позднее Г. С. М. Коксетер назвал их в честь Шлефли. Поскольку прямоугольные треугольники являются основой тригонометрии , ортосхемы образуют основу тригонометрии n измерений, разработанной Схоутом , который назвал ее полигонометрией . [1] Ж.-П. Сидлер и Бёрге Йессен широко изучали ортосхемы в связи с третьей проблемой Гильберта .
Ортосхемы, также называемые путевыми симплексами в литературе по прикладной математике , являются частным случаем более общего класса симплексов, изученных Фидлером [ 2] и позднее переоткрытых Коксетером [3] . Эти симплексы являются выпуклыми оболочками деревьев , в которых все ребра взаимно перпендикулярны. В ортосхеме базовое дерево является путем .
В трех измерениях ортосхема также называется бипрямоугольным тетраэдром (потому что ее путь образует два прямых угла в вершинах, каждая из которых имеет два прямых угла) или квадрипрямоугольным тетраэдром (потому что она содержит четыре прямых угла). [4]
В 1956 году Хьюго Хадвигер выдвинул гипотезу, что каждый симплекс можно разбить на конечное число ортосхем. [7] Гипотеза была доказана в пространствах с пятью или меньшим числом измерений, [8] но остается нерешенной в более высоких измерениях. [9]
Гипотеза Хадвигера подразумевает, что любой выпуклый многогранник можно разбить на ортосхемы.
Коксетер определяет различные ортосхемы как характерные симплексы многогранников, которые они генерируют отражениями. [10] Характерный симплекс является фундаментальным строительным блоком многогранника. Он может быть воспроизведен отражениями или вращениями для построения многогранника, так же как многогранник может быть разрезан на некоторое его целое число. Характерный симплекс является хиральным (он существует в двух зеркальных формах, которые различны), и многогранник разрезан на равное количество его левых и правых экземпляров. Он имеет разные длины ребер и грани вместо равносторонних треугольных граней правильного симплекса. Когда многогранник является правильным, его характерный симплекс является ортосхемой, симплексом только с прямоугольными треугольными гранями.
Каждый правильный многогранник имеет свою характерную ортосхему , которая является его фундаментальной областью , неправильным симплексом, который имеет точно такие же характеристики симметрии, как и правильный многогранник, но охватывает их все без повторений. [11] Для правильного k -политопа диаграмма Коксетера-Дынкина характеристической k -ортосхемы является диаграммой k -политопа без кольца порождающих точек . Правильный k -политоп подразделяется своими элементами симметрии ( k -1) на g экземпляров своей характерной k -ортосхемы, которые окружают его центр, где g - порядок группы симметрии k -политопа . Это барицентрическое подразделение .
Продолжим описывать «симплициальное подразделение» правильного многогранника, начиная с одномерного случая. Отрезок 𝚷 1 делится на две равные части своим центром 𝚶 1 . Многоугольник 𝚷 2 = { p } делится своими линиями симметрии на 2 p прямоугольных треугольников, которые соединяют центр 𝚶 2 с симплициально подразделенными сторонами. Многогранник 𝚷 3 = { p, q } делится своими плоскостями симметрии на g четырехпрямоугольных тетраэдров (см. 5.43), которые соединяют центр 𝚶 3 с симплициально подразделенными гранями. Аналогично общий правильный многогранник 𝚷 n делится на некоторое количество конгруэнтных симплексов ([ортосхем]), которые соединяют центр 𝚶 n с симплициально подразделенными ячейками. [5]
