Статистическая сумма (теория чисел)

Количество разбиений целого числа

Значения функции распределения (1, 2, 3, 5, 7, 11, 15 и 22) можно определить, подсчитав диаграммы Юнга для разбиений чисел от 1 до 8. ${\displaystyle p(1),\dots ,p(8)}$

В теории чисел функция распределения p ( n ) представляет собой количество возможных разбиений неотрицательного целого числа n . Например, p (4) = 5 , поскольку целое число 4 имеет пять разбиений 1 + 1 + 1 + 1 , 1 + 1 + 2 , 1 + 3 , 2 + 2 и 4 .

Неизвестно замкнутое выражение для функции распределения, но у нее есть как асимптотические разложения , которые точно ее приближают, так и рекуррентные соотношения, с помощью которых ее можно точно вычислить. Она растет как экспоненциальная функция квадратного корня своего аргумента. Мультипликативная обратная ее производящей функции — это функция Эйлера ; по теореме Эйлера о пятиугольных числах эта функция является знакопеременной суммой пятиугольных степеней своего аргумента.

Шриниваса Рамануджан первым обнаружил, что функция разбиения имеет нетривиальные закономерности в модульной арифметике , теперь известные как сравнения Рамануджана . Например, когда десятичное представление n заканчивается цифрой 4 или 9, количество разбиений n будет делиться на 5.

Определение и примеры

Для положительного целого числа n , p ( n ) — это число различных способов представления n в виде суммы положительных целых чисел. Для целей этого определения порядок членов в сумме не имеет значения: две суммы с одинаковыми членами в разном порядке не считаются различными.

По соглашению p (0) = 1 , поскольку существует один способ ( пустая сумма ) представления нуля как суммы положительных целых чисел. Более того, p ( n ) = 0, когда n отрицательно.

Первые несколько значений функции распределения, начиная с p (0) = 1 , равны:

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... (последовательность A000041 в OEIS ).

Некоторые точные значения p ( n ) для больших значений n включают: ^[1] $${\displaystyle {\begin{aligned}p(100)&=190,\!569,\!292\\p(1000)&=24,\!061,\!467,\!864,\!032,\!622,\!473,\!692,\!149,\!727,\!991\approx 2.40615\times 10^{31}\\p(10000)&=36,\!167,\!251,\!325,\!\dots ,\!906,\!916,\!435,\!144\approx 3.61673\times 10^{106}\end{aligned}}}$$

Производящая функция

Использование метода Эйлера для нахождения p (40) : Линейка со знаками плюс и минус (серый ящик) сдвигается вниз, соответствующие члены добавляются или вычитаются. Положения знаков задаются разностями чередующихся натуральных (синий) и нечетных (оранжевый) чисел. В файле SVG наведите курсор на изображение, чтобы переместить линейку.

Производящая функция для p ( n ) задается выражением ^[2] Равенство между произведениями в первой и второй строках этой формулы получается путем разложения каждого множителя в геометрическую прогрессию Чтобы увидеть, что развернутое произведение равно сумме в первой строке, применим к произведению распределительный закон . Это разлагает произведение в сумму одночленов вида для некоторой последовательности коэффициентов , только конечное число из которых может быть ненулевым. Показатель степени члена равен , и эту сумму можно интерпретировать как представление как разбиения на копии каждого числа . Следовательно, количество членов произведения, имеющих показатель степени, в точности равно , такому же, как коэффициент в сумме слева. Следовательно, сумма равна произведению. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)\\&=\left(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \right)\left(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\cdots \right)\left(1+x^{3}+x^{6}+x^{9}+\cdots \right)\cdots \\&={\frac {1}{1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}-\cdots }}\\&=1{\Big /}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}x^{k(3k-1)/2}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle 1/(1-x^{k})}$ ${\displaystyle (1+x^{k}+x^{2k}+x^{3k}+\cdots ).}$ ${\displaystyle x^{a_{1}}x^{2a_{2}}x^{3a_{3}}\cdots }$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\textstyle n=\sum ia_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Функция, которая появляется в знаменателе в третьей и четвертой строках формулы, является функцией Эйлера . Равенство между произведением в первой строке и формулами в третьей и четвертой строках является теоремой Эйлера о пятиугольных числах . Показатели степени в этих строках являются пятиугольными числами для (несколько обобщенными из обычных пятиугольных чисел, которые получаются из той же формулы для положительных значений ) . Шаблон положительных и отрицательных знаков в третьей строке происходит от члена в четвертой строке: четный выбор дает положительные члены, а нечетный выбор дает отрицательные члены. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P_{k}=k(3k-1)/2}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,-1,2,-2,\dots \}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle k}$

В более общем смысле, производящая функция для разбиений на числа, выбранные из набора положительных целых чисел, может быть найдена путем взятия только тех членов в первом произведении, для которых . Этот результат принадлежит Леонарду Эйлеру . ^[3] Формулировка производящей функции Эйлера является частным случаем -символа Похгаммера и похожа на формулировку произведения многих модулярных форм , и в частности, эта-функции Дедекинда . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\in A}$ ${\displaystyle q}$

Рекуррентные соотношения

Та же последовательность пятиугольных чисел появляется в рекуррентном соотношении для функции распределения: ^[4] В качестве базовых случаев принимается равным , и принимается равным нулю для отрицательных  . Хотя сумма в правой части кажется бесконечной, она имеет только конечное число ненулевых членов, происходящих от ненулевых значений в диапазоне Рекуррентное соотношение также можно записать в эквивалентной форме $${\displaystyle {\begin{aligned}p(n)&=\sum _{k\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}(-1)^{k+1}p(n-k(3k-1)/2)\\&=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-p(n-22)-\cdots \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle -{\frac {{\sqrt {24n+1}}-1}{6}}\leq k\leq {\frac {{\sqrt {24n+1}}+1}{6}}.}$$ $${\displaystyle p(n)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\big (}p(n-k(3k-1)/2)+p(n-k(3k+1)/2){\big )}.}$$

Другое рекуррентное соотношение для можно задать в терминах функции суммы делителей σ : ^[5] Если обозначает число разбиений без повторяющихся частей, то, разделив каждое разбиение на четные и нечетные части и разделив четные части на два, получаем ^[6] ${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\sigma (n-k)p(k).}$$ ${\displaystyle q(n)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle p(n)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor n/2\right\rfloor }q(n-2k)p(k).}$$

Сравнения

Шринивасе Рамануджану приписывают открытие того, что функция разбиения имеет нетривиальные закономерности в модульной арифметике . Например, количество разбиений делится на пять, когда десятичное представление заканчивается цифрой 4 или 9, как выражается сравнением ^[7] Например, количество разбиений для целого числа 4 равно 5. Для целого числа 9 количество разбиений равно 30; для 14 имеется 135 разбиений. Это сравнение следует из более общего тождества также Рамануджана, ^{[8] [9]} , где обозначение обозначает произведение, определяемое как Краткое доказательство этого результата можно получить из функции генерации функции разбиения. ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle p(5k+4)\equiv 0{\pmod {5}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(5k+4)x^{k}=5~{\frac {(x^{5})_{\infty }^{5}}{(x)_{\infty }^{6}}},}$$ ${\displaystyle (x)_{\infty }}$ $${\displaystyle (x)_{\infty }=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{m}).}$$

Рамануджан также открыл сравнения по модулю 7 и 11: ^[7] Первое из них следует из тождества Рамануджана ^[9] $${\displaystyle {\begin{aligned}p(7k+5)&\equiv 0{\pmod {7}},\\p(11k+6)&\equiv 0{\pmod {11}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)x^{k}=7~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{3}}{(x)_{\infty }^{4}}}+49x~{\frac {(x^{7})_{\infty }^{7}}{(x)_{\infty }^{8}}}.}$$

Поскольку 5, 7 и 11 являются последовательными простыми числами , можно подумать, что будет аналогичное сравнение для следующего простого числа 13 для некоторого a . Однако сравнения вида не существует для любого простого числа b, отличного от 5, 7 или 11. ^[10] Вместо этого, чтобы получить сравнение, аргумент должен принять вид для некоторого . В 1960-х годах А. О. Л. Аткин из Иллинойсского университета в Чикаго открыл дополнительные сравнения этого вида для малых простых модулей. Например: ${\displaystyle p(13k+a)\equiv 0{\pmod {13}}}$ ${\displaystyle p(bk+a)\equiv 0{\pmod {b}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle cbk+a}$ ${\displaystyle c>1}$ $${\displaystyle p(11^{3}\cdot 13\cdot k+237)\equiv 0{\pmod {13}}.}$$

Кен Оно  (2000) доказал, что такие сравнения существуют для любого простого модуля, большего 3. Позже Альгрен и Оно (2001) показали, что существуют сравнения разбиений по модулю любого целого числа, взаимно простого с 6. ^{[11] [12]}

Формулы приближения

Существуют приближенные формулы, которые вычисляются быстрее, чем точная формула, приведенная выше.

Асимптотическое выражение для p ( n ) имеет вид

${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)}$как . ${\displaystyle n\to \infty }$

Эта асимптотическая формула была впервые получена Г. Х. Харди и Рамануджаном в 1918 году и независимо от них И. В. Успенским в 1920 году. Учитывая , асимптотическая формула дает около , что достаточно близко к точному ответу, данному выше (на 1,415% больше истинного значения). ${\displaystyle p(1000)}$ ${\displaystyle 2.4402\times 10^{31}}$

Харди и Рамануджан получили асимптотическое разложение с этим приближением в качестве первого члена: ^[13] где Здесь обозначение означает, что сумма берется только по тем значениям , которые взаимно просты с . Функция является суммой Дедекинда . $${\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{2\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{v}A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\exp \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right),}$$ $${\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.}$$ ${\displaystyle (m,k)=1}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s(m,k)}$

Ошибка после членов имеет порядок следующего члена и может быть принята как имеющая порядок . В качестве примера Харди и Рамануджан показали, что является ближайшим целым числом к ​​сумме первых членов ряда. ^[13] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle p(200)}$ ${\displaystyle v=5}$

В 1937 году Ганс Радемахер смог улучшить результаты Харди и Рамануджана, предоставив выражение для сходящегося ряда . Это ^{[14] [15]} ${\displaystyle p(n)}$ $${\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right).}$$

Доказательство формулы Радемахера включает в себя круги Форда , последовательности Фарея , модульную симметрию и эта-функцию Дедекинда .

Можно показать, что -й член ряда Радемахера имеет порядок так, что первый член дает асимптотику Харди–Рамануджана. Пауль Эрдёш  (1942) опубликовал элементарное доказательство асимптотической формулы для . ^{[16] [17]} ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle \exp \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {\frac {2n}{3}}}\right),}$$ ${\displaystyle p(n)}$

Методы эффективной реализации формулы Харди–Рамануджана–Радемахера на компьютере обсуждаются Йоханссоном (2012), который показывает, что может быть вычислено за время для любого . Это близко к оптимальному, поскольку соответствует количеству цифр результата. ^[18] Наибольшее значение функции распределения, вычисленное точно, составляет , которое имеет немного больше 11 миллиардов цифр. ^[19] ${\displaystyle p(n)}$ ${\displaystyle O(n^{1/2+\varepsilon })}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle p(10^{20})}$

Строгая функция распределения

Определение и свойства

Разбиение, в котором ни одна часть не встречается более одного раза, называется строгим , или говорят, что это разбиение на отдельные части . Функция q ( n ) дает количество этих строгих разбиений данной суммы n . Например, q (3) = 2, потому что разбиения 3 и 1 + 2 являются строгими, в то время как третье разбиение 1 + 1 + 1 из 3 имеет повторяющиеся части. Число q ( n ) также равно количеству разбиений n, в которых разрешены только нечетные слагаемые. ^[20]

Производящая функция

Производящая функция для чисел q ( n ) задается простым бесконечным произведением: ^[21] где обозначение представляет собой символ Похгаммера Из этой формулы можно легко получить первые несколько членов (последовательность A000009 в OEIS ): Этот ряд также может быть записан в терминах тета-функций как где и Для сравнения, производящая функция обычных чисел разбиения p ( n ) имеет эту идентичность относительно тета-функции: $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=(x;x^{2})_{\infty }^{-1},}$$ ${\displaystyle (a;b)_{\infty }}$ ${\displaystyle (a;b)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-ab^{k}).}$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=1+1x+1x^{2}+2x^{3}+2x^{4}+3x^{5}+4x^{6}+5x^{7}+6x^{8}+8x^{9}+10x^{10}+\ldots .}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24},}$$ $${\displaystyle \vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}}$$ $${\displaystyle \vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=(x;x)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16\,x}}{\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}.}$$

Идентификации о строгих номерах разделов

Для продукции Pochhammer действительна следующая идентичность:

${\displaystyle (x;x)_{\infty }^{-1}=(x^{2};x^{2})_{\infty }^{-1}(x;x^{2})_{\infty }^{-1}}$

Из этого тождества следует следующая формула:

${\displaystyle {\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}{\biggr ]}={\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{2n}{\biggr ]}{\biggl [}\sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}{\biggr ]}}$

Поэтому эти две формулы справедливы для синтеза числовой последовательности p(n):

${\displaystyle p(2n)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k)}$

${\displaystyle p(2n+1)=\sum _{k=0}^{n}p(n-k)q(2k+1)}$

Ниже приведены два точно выполненных примера:

${\displaystyle p(8)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k)=}$

${\displaystyle =p(4)q(0)+p(3)q(2)+p(2)q(4)+p(1)q(6)+p(0)q(8)=}$

${\displaystyle =5\times 1+3\times 1+2\times 2+1\times 4+1\times 6=22}$

${\displaystyle p(9)=\sum _{k=0}^{4}p(4-k)q(2k+1)=}$

${\displaystyle =p(4)q(1)+p(3)q(3)+p(2)q(5)+p(1)q(7)+p(0)q(9)=}$

${\displaystyle =5\times 1+3\times 2+2\times 3+1\times 5+1\times 8=30}$

Ограниченная функция разделения

В более общем смысле можно рассматривать разбиения, ограниченные только элементами подмножества A натуральных чисел (например, ограничение на максимальное значение частей) или с ограничением на количество частей или максимальную разницу между частями. Каждое конкретное ограничение порождает связанную функцию разбиения с определенными свойствами. Некоторые общие примеры приведены ниже.

Теорема Эйлера и Глейшера

Двумя важными примерами являются разбиения, ограниченные только нечетными целыми частями или только четными целыми частями, при этом соответствующие функции разбиения часто обозначаются и . ${\displaystyle p_{o}(n)}$ ${\displaystyle p_{e}(n)}$

Теорема Эйлера показывает, что число строгих разбиений равно числу разбиений, содержащих только нечетные части: для всех n , . Это обобщено как теорема Глейшера , которая утверждает, что число разбиений, содержащих не более d-1 повторений любой части, равно числу разбиений, в которых ни одна часть не делится на d . ${\displaystyle q(n)=p_{o}(n)}$

Гауссовский биномиальный коэффициент

Если обозначить число разбиений n максимум на M частей, каждая из которых меньше или равна N , то производящая функция будет следующим гауссовым биномиальным коэффициентом : ${\displaystyle p(N,M,n)}$ ${\displaystyle p(N,M,n)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(N,M,n)q^{n}={N+M \choose M}_{q}={\frac {(1-q^{N+M})(1-q^{N+M-1})\cdots (1-q^{N+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{M})}}}$

Асимптотика

Известны некоторые общие результаты об асимптотических свойствах ограниченных функций распределения. Если p _A ( n ) — функция распределения разбиений, ограниченная только элементами подмножества A натуральных чисел, то:

Если A обладает положительной натуральной плотностью α, то , при этом ${\displaystyle \log p_{A}(n)\sim C{\sqrt {\alpha n}}}$ ${\displaystyle C=\pi {\sqrt {\frac {2}{3}}}}$

и наоборот, если это асимптотическое свойство выполняется для p _A ( n ), то A имеет естественную плотность α. ^[22] Этот результат был сформулирован с наброском доказательства Эрдёшем в 1942 году. ^{[16] [23]}

Если A — конечное множество, этот анализ неприменим (плотность конечного множества равна нулю). Если A имеет k элементов, наибольший общий делитель которых равен 1, то ^[24]

${\displaystyle p_{A}(n)=\left(\prod _{a\in A}a^{-1}\right)\cdot {\frac {n^{k-1}}{(k-1)!}}+O(n^{k-2}).}$

Ссылки

1. Слоан, Н. Дж. А. (ред.), «Последовательность A070177», Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS{{cite web}}: CS1 maint: overridden setting (link)
2. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен (1964), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов, стр. 825, ISBN 0-486-61272-4
3. Эйлер, Леонард (1753), «Departitione numerorum», Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни), 3 : 125–169
4. Эвелл, Джон А. (2004), «Рекуррентные соотношения для функции распределения и ее родственников», The Rocky Mountain Journal of Mathematics , 34 (2): 619–627, doi : 10.1216/rmjm/1181069871 , JSTOR  44238988, MR  2072798
5. Уилф, Герберт С. (1982), «Что такое ответ?», American Mathematical Monthly , 89 (5): 289–292, doi :10.2307/2321713, JSTOR  2321713, MR  0653502
6. Аль, Бусра; Алькан, Мустафа (2018), «Заметка о связях между разделами», Труды Средиземноморской международной конференции по чистой и прикладной математике и смежным областям (MICOPAM 2018), стр. 35–39
7. Харди, GH ; Райт, EM (2008) [1938], Введение в теорию чисел (6-е изд.), Oxford University Press , стр. 380, ISBN 978-0-19-921986-5, MR  2445243, Zbl  1159.11001
8. Берндт, Брюс К .; Оно, Кен (1999), «Неопубликованная рукопись Рамануджана о функциях разбиения и тау с доказательствами и комментариями» (PDF) , The Andrews Festschrift (Maratea, 1998) , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , т. 42, ст. B42c, 63, MR  1701582
9. Оно, Кен (2004), Сеть модулярности: арифметика коэффициентов модулярных форм и -рядов , CBMS Regional Conference Series in Mathematics, т. 102, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 87, ISBN ${\displaystyle q}$ 0-8218-3368-5, Збл  1119.11026
10. Ahlgren, Scott; Boylan, Matthew (2003), "Арифметические свойства функции распределения" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 153 (3): 487–502, Bibcode :2003InMat.153..487A, doi :10.1007/s00222-003-0295-6, MR  2000466, S2CID  123104639
11. Оно, Кен (2000), «Распределение функции распределения по модулю », Annals of Mathematics , 151 (1): 293–307, arXiv : math/0008140 , Bibcode : 2000math......8140O, doi : 10.2307/121118, JSTOR  121118, MR  1745012, S2CID  119750203, Zbl  0984.11050 ${\displaystyle m}$
12. Ahlgren, Scott; Ono, Ken (2001), "Свойства конгруэнтности для функции распределения" (PDF) , Труды Национальной академии наук , 98 (23): 12882–12884, Bibcode : 2001PNAS...9812882A, doi : 10.1073/pnas.191488598 , MR  1862931, PMC 60793 , PMID  11606715 
13. Харди, GH ; Рамануджан, S. (1918), «Асимптотические формулы в комбинаторном анализе», Труды Лондонского математического общества , Вторая серия, 17 (75–115). Перепечатано в сборнике статей Шринивасы Рамануджана , Американское мат. общество (2000), стр. 276–309.
14. Эндрюс, Джордж Э. (1976), Теория разделов , Cambridge University Press, стр. 69, ISBN 0-521-63766-X, МР  0557013
15. Радемахер, Ганс (1937), «О функции распределения », Труды Лондонского математического общества , Вторая серия, 43 (4): 241–254, doi :10.1112/plms/s2-43.4.241, MR  1575213 ${\displaystyle p(n)}$
16. Erdős, P. (1942), «Об элементарном доказательстве некоторых асимптотических формул в теории разбиений» (PDF) , Annals of Mathematics , Вторая серия, 43 (3): 437–450, doi :10.2307/1968802, JSTOR  1968802, MR  0006749, Zbl  0061.07905
17. Натансон, МБ (2000), Элементарные методы в теории чисел , Graduate Texts in Mathematics , т. 195, Springer-Verlag , стр. 456, ISBN 0-387-98912-9, ЗБЛ  0953.11002
18. Йоханссон, Фредрик (2012), «Эффективная реализация формулы Харди–Рамануджана–Радемахера», LMS Journal of Computation and Mathematics , 15 : 341–59, arXiv : 1205.5991 , doi : 10.1112/S1461157012001088, MR  2988821, S2CID  16580723
19. Йоханссон, Фредрик (2 марта 2014 г.), Новая запись функции распределения: вычислено p(1020)
20. Стэнли, Ричард П. (1997), Перечислительная комбинаторика 1 , Кембриджские исследования по высшей математике, т. 49, Cambridge University Press, Предложение 1.8.5, ISBN 0-521-66351-2
21. Стэнли, Ричард П. (1997), Перечислительная комбинаторика 1 , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 49, Cambridge University Press, Доказательство предложения 1.8.5, ISBN 0-521-66351-2
22. Натансон 2000, стр. 475–485.
23. Натансон 2000, стр. 495.
24. Натансон 2000, стр. 458–64.

Внешние ссылки

• Первые 4096 значений функции распределения