Параметрическое уравнение

В математике параметрическое уравнение определяет группу величин как функции одной или нескольких независимых переменных , называемых параметрами . ^[1] Параметрические уравнения обычно используются для выражения координат точек, составляющих геометрический объект, такой как кривая или поверхность , называемые параметрической кривой и параметрической поверхностью соответственно. В таких случаях уравнения в совокупности называются параметрическим представлением , ^[2] или параметрической системой , ^[3] или параметризацией (альтернативно пишется как параметризация ) объекта. ^[1]^[4]^[5]

Например, уравнения образуют параметрическое представление единичной окружности , где $t$ — параметр: Точка $($ $x$ $,$ $y$ $)$ находится на единичной окружности тогда и только тогда, когда существует значение $t,$ такое, что эти два уравнения генерируют эту точку. Иногда параметрические уравнения для отдельных скалярных выходных переменных объединяются в одно параметрическое уравнение в векторах : ${\begin{align}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{align}}$

$(x,y)=(\cos t,\sin t).$

Параметрические представления, как правило, не являются уникальными (см. раздел «Примеры в двух измерениях» ниже), поэтому одни и те же величины могут быть выражены несколькими различными параметризациями. ^[1]

Помимо кривых и поверхностей, параметрические уравнения могут описывать многообразия и алгебраические многообразия большей размерности , причем число параметров равно размерности многообразия или многообразия, а число уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или многообразие (для кривых размерность равна единице и используется один параметр, для поверхностей размерность два и два параметра и т. д.).

Параметрические уравнения обычно используются в кинематике , где траектория объекта представлена уравнениями, зависящими от времени как параметра. Из-за этого применения один параметр часто обозначается как $t$ ; однако параметры могут представлять другие физические величины (например, геометрические переменные) или могут быть выбраны произвольно для удобства. Параметризации не являются уникальными; более чем один набор параметрических уравнений может определять одну и ту же кривую. ^[6]

Имплицитация

Преобразование набора параметрических уравнений в одно неявное уравнение включает исключение переменной $t$ из одновременных уравнений Этот процесс называется имплицитизацией . Если одно из этих уравнений может быть решено относительно $t$ , полученное выражение может быть подставлено в другое уравнение, чтобы получить уравнение, включающее только $x$ и $y$ : Решение для получения и использование этого в дает явное уравнение , в то время как более сложные случаи дадут неявное уравнение вида $x=f(t),\ y=g(t).$ $y=g(t)$ $t=g^{-1}(y)$ $x=f(t)$ $x=f(g^{-1}(y)),$ $h(x,y)=0.$

Если параметризация задана рациональными функциями $x={\frac {p(t)}{r(t)}},\qquad y={\frac {q(t)}{r(t)}},$

где $p$ , $q$ , и $r$ являются многочленами, взаимно простыми по множеству , результирующее вычисление позволяет неявно выразить. Точнее, неявное уравнение является результирующим по отношению к $t$ из $xr (t) - p (t)$ и $yr (t) - q (t)$ .

В более высоких размерностях (более двух координат или более одного параметра) имплицитация рациональных параметрических уравнений может быть выполнена с помощью вычисления базиса Грёбнера ; см. Базис Грёбнера § Имплицитация в более высоких размерностях .

Возьмем в качестве примера окружность радиуса $a$ , параметрические уравнения ${\begin{align}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\end{align}}$

может быть выражено в терминах $x$ и $y$ посредством тригонометрического тождества Пифагора . С

${\begin{align}{\frac {x}{a}}&=\cos(t)\\{\frac {y}{a}}&=\sin(t)\\\end{align}}$ и мы получаем и таким образом $\cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,$ $\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{2}=1,$ $x^{2}+y^{2}=a^{2},$

что является стандартным уравнением окружности с центром в начале координат.

Параметрические плоские кривые

Парабола

Простейшее уравнение параболы , $y=x^{2}$

может быть (тривиально) параметризована с помощью свободного параметра $t$ и установки $x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .$

Явные уравнения

В более общем смысле, любая кривая, заданная явным уравнением $y=f(x)$

может быть (тривиально) параметризована с помощью свободного параметра $t$ и установки $x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .$

Круг

Более сложный пример следующий. Рассмотрим единичную окружность, которая описывается обычным (декартовым) уравнением $x^{2}+y^{2}=1.$

Это уравнение можно параметризовать следующим образом: $(x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad \mathrm {for} \ 0\leq t<2\pi .$

С помощью декартового уравнения проще проверить, лежит ли точка на окружности или нет. С помощью параметрической версии проще получить точки на графике.

В некоторых контекстах параметрические уравнения, включающие только рациональные функции (то есть дроби двух полиномов ), являются предпочтительными, если они существуют. В случае окружности такая рациональная параметризация ${\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}$

В этой паре параметрических уравнений точка $(-1, 0)$ представлена не действительным значением $t$ , а пределом x и y $,$ $когда$ t $стремится$ к бесконечности .

Эллипс

Эллипс в каноническом положении (центр в начале координат, большая ось вдоль оси $x$ ) с полуосями $a$ и $b$ можно параметрически представить как ${\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}$

Эллипс в общем положении можно выразить как ${\begin{alignedat}{4}x={}&&X_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\cos \varphi {}&&-b\,\sin t\,\sin \varphi \\y={}&&Y_{\mathrm {c} }&+a\,\cos t\,\sin \varphi {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignedat}}$

$при$ изменении параметра $t от$ $0$ до $2π$ . Здесь $($ $Xc, Yc) —$ центр эллипса, а $φ$ $—$ угол между осью $x$ и большой осью эллипса.

Обе параметризации можно сделать рациональными , используя формулу тангенса половинного угла и установив ${\textstyle \tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

кривая Лиссажу

Кривая Лиссажу похожа на эллипс, но синусоиды $x$ и $y$ не совпадают по фазе. В каноническом положении кривая Лиссажу задается как где $k$ $x$ и $k$ $y$ — константы, описывающие количество лепестков фигуры. ${\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}$

Гипербола

Гипербола, раскрывающаяся с востока на запад, может быть представлена параметрически как

${\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}$

или, рационально

${\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}$

Гиперболу, раскрывающуюся с севера на юг, можно параметрически представить как

${\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}$

или, рационально

${\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}$

Во всех этих формулах $(h, k)$ — координаты центра гиперболы, $a$ — длина большой полуоси, а $b$ — длина малой полуоси. Обратите внимание, что в рациональных формах этих формул точки $(-a, 0)$ и $(0 , -a)$ , соответственно, не представлены действительным значением $t$ , а являются пределом $x$ и $y$ при стремлении $t$ к бесконечности.

Гипотрохоидный

Гипотрохоида — это кривая , описываемая точкой, прикрепленной к окружности радиуса $r,$ катящейся по внутренней стороне фиксированной окружности радиуса $R$ , при этом точка находится на расстоянии $d$ от центра внутренней окружности.

Гипотрохоид, для которого $r = d$
Гипотрохоид, для которого $R = 5$ , $r = 3$ , $d = 5$

Параметрические уравнения для гипотрохоиды следующие:

${\begin{aligned}x(\theta )&=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)\,.\end{aligned}}$

Вот несколько примеров:

$Р = 6$ $р = 4$ $д = 1$
$Р = 7$ $р = 4$ $д = 1$
$Р = 8$ $р = 3$ $д = 2$
$Р = 7$ $р = 4$ $д = 2$
$Р = 15$ $р = 14$ $д = 1$

Параметрические пространственные кривые

Анимированная параметрическая спираль

Спираль

Параметрические уравнения удобны для описания кривых в многомерных пространствах. Например:

${\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}$

описывает трехмерную кривую, спираль , с радиусом $a$ и поднимаясь на $2 π b$ единиц за оборот. Уравнения в плоскости идентичны уравнениям для окружности. Такие выражения, как приведенное выше, обычно записываются как

${\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}$

где $r$ — трехмерный вектор.

Параметрические поверхности

Тор с большим радиусом $R$ и малым радиусом r $можно$ параметрически определить как

${\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}$

где оба параметра $t$ и $u$ изменяются в пределах от $0$ до $2 π$ .

$Р = 2$ , $р = 1/2$

При $изменении$ $u$ от $0$ до $2π$ точка на поверхности движется по короткой окружности, проходящей через отверстие в торе. При $изменении$ $t$ от $0$ до $2π$ точка на поверхности движется по длинной окружности вокруг отверстия в торе.

Прямая линия

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной вектору, имеет вид ^[7] $\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)$ $a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}$

${\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}$

Приложения

Кинематика

В кинематике пути объектов в пространстве обычно описываются как параметрические кривые, где каждая пространственная координата явно зависит от независимого параметра (обычно времени). При таком использовании набор параметрических уравнений для координат объекта в совокупности составляет векторную функцию для положения. Такие параметрические кривые затем могут быть интегрированы и дифференцированы почленно. Таким образом, если положение частицы описывается параметрически как $\mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,$

то его скорость можно найти как ${\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}$

и его ускорение как ${\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}$

Компьютерное проектирование

Другое важное применение параметрических уравнений — в области автоматизированного проектирования (САПР). ^[8] Например, рассмотрим следующие три представления, все из которых обычно используются для описания плоских кривых .

Каждое представление имеет свои преимущества и недостатки для приложений САПР.

Явное представление может быть очень сложным или даже не существовать. Более того, оно плохо себя ведет при геометрических преобразованиях , и в частности при вращениях . С другой стороны, поскольку параметрическое уравнение и неявное уравнение могут быть легко выведены из явного представления, когда существует простое явное представление, оно имеет преимущества обоих других представлений.

Неявные представления могут затруднить генерацию точек на кривой и даже решение о том, существуют ли реальные точки. С другой стороны, они хорошо подходят для решения вопроса о том, находится ли данная точка на кривой или находится ли она внутри или снаружи замкнутой кривой.

Такие решения могут быть сложными при параметрическом представлении, но параметрические представления лучше всего подходят для создания точек на кривой и для ее построения. ^[9]

Целочисленная геометрия

Многочисленные проблемы целочисленной геометрии можно решить с помощью параметрических уравнений. Классическим решением является параметризация Евклида прямоугольных треугольников , при которой длины их сторон $a, b$ и гипотенузы $c$ являются взаимно простыми целыми числами . Поскольку $a$ и $b$ не являются оба четными (иначе $a, b$ и $c$ не были бы взаимно простыми), можно поменять их местами, чтобы получить четное $a$ , и параметризация тогда будет

${\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}$

где параметры $m$ и $n$ — положительные взаимно простые целые числа, которые не являются одновременно нечетными.

Умножая $a, b$ и $c$ на произвольное положительное целое число, получаем параметризацию всех прямоугольных треугольников, три стороны которых имеют целые длины.

Недоопределенные линейные системы

Система из $m$ линейных уравнений с $n$ неизвестными недоопределена , если она имеет более одного решения. Это происходит, когда матрица системы и ее расширенная матрица имеют одинаковый ранг $r$ и $r < n$ . В этом случае можно выбрать $n - r$ неизвестных в качестве параметров и представить все решения в виде параметрического уравнения, где все неизвестные выражены как линейные комбинации выбранных. То есть, если неизвестные , можно переупорядочить их для выражения решений как ^[10] $x_{1},\ldots ,x_{n},$

${\begin{aligned}x_{1}&=\beta _{1}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{1,j}x_{j}\\\vdots \\x_{r}&=\beta _{r}+\sum _{j=r+1}^{n}\alpha _{r,j}x_{j}\\x_{r+1}&=x_{r+1}\\\vdots \\x_{n}&=x_{n}.\end{aligned}}$

Такое параметрическое уравнение называется параметрической формой решения системы. ^[10]

Стандартный метод вычисления параметрической формы решения заключается в использовании метода исключения Гаусса для вычисления сокращенной ступенчатой формы строки расширенной матрицы. Тогда неизвестные, которые могут быть использованы в качестве параметров, соответствуют столбцам, не содержащим ни одного начального элемента (то есть самого левого ненулевого элемента в строке или матрице), и параметрическая форма может быть выведена напрямую. ^[10]

Смотрите также

Примечания

^ abc Вайсстейн, Эрик В. «Параметрические уравнения». MathWorld .
^ Крейсциг, Эрвин (1972). Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.). Нью-Йорк: Wiley . С. 291, 342. ISBN 0-471-50728-8.
^ Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993). Численный анализ (5-е изд.). Бостон: Brookes/Cole . стр. 149. ISBN 0-534-93219-3.
^ Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Addison-Wesley . стр. 91.
^ Найкамп, Дуэйн. "Пример параметризации плоскости". mathinsight.org . Получено 14.04.2017 .
^ Шпицбарт, Абрахам (1975). Исчисление с аналитической геометрией . Глевью, Иллинойс: Скотт, Форесман и компания. ISBN 0-673-07907-4. Получено 30 августа 2015 г. .
^ Исчисление: одно- и многомерное . John Wiley. 2012-10-29. С. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012.
^ Стюарт, Джеймс (2003). Calculus (5-е изд.). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. стр. 687–689. ISBN 0-534-39339-X.
^ Шах, Джами Дж .; Мартти Мантила (1995). Параметрические и основанные на признаках CAD/CAM: концепции, методы и приложения . Нью-Йорк, Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc. стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
^ abc Антон, Говард; Роррес, Крис (2014) [1973]. «1.2 Гауссово исключение». Элементарная линейная алгебра (11-е изд.). Wiley. С. 11–24.

Внешние ссылки

Веб-приложение для рисования параметрических кривых на плоскости